cours asserve simplifié
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Cours 02 – Modélisation des systèmes asservis en SLCI et réponses temporelles Lycée Bellevue Toulouse – CPGE MP
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Modélisation des systèmes asservis en SLCI et réponses temporelles
EExxeemmpplleess ddee ssyyssttèèmmeess aasssseerrvviiss ddee llaa ssaallllee ddee TTPP SSIIII Robot jockey, Direction Assistée Electrique, Maxpid, cordeuse de raquette ...
1. Systèmes automatiques
1.1. Définition système automatiqueUn système automatique est un système dont les éléments le constituant coordonnent entre eux pour
réaliser des opérations et pour lequel l'intervention humaine est limitée à la programmation du système
et à son réglage préalable. Un système automatique permet de :
• Réaliser des tâches trop complexes ou dangereuses pour l'homme
Exemple : Module d’exploration Martien
• Substituer la machine à l’homme pour faire des tâches répétitives et pénibles
Exemple : Bras de soudage de chaîne d’assemblage automobile
• Accroître la précision
Exemple : Robot chirurgical
Les systèmes de commande automatiques s'inspirent le plus souvent du comportement de l'homme.
1.2. Classification des systèmes automatiquesLes systèmes automatiques sont classés en fonction de la nature de leurs informations de commande et
de mesure. On distingue deux types d'informations : analogiques et discrètes.
Information (signal) analogique : Une information analogique peut prendre, de manière continue,toutes les valeurs possibles dans un intervalle donné. Un signal analogique peut être représenté par une
courbe continue. Exemple : les grandeurs physiques (température, vitesse, position, tension, ...) sont
des informations analogiques.
Information (signal) discrète : Une information discrète est constituée d'un nombre fini de valeurs.
On distingue :• une information logique du type « vrai/faux » ou « 0/1 ». Elle est associée à l'état d'une variable
qui ne peut prendre que deux valeurs possibles. Ces informations peuvent aussi être appelées
des informations binaires (bit) ou « Tout Ou Rien » (TOR).
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• une information numérique sous la forme d'un mot binaire, constitué de plusieurs bits(variables binaires 0/1). Cette information numérique est en général issue d'un traitement
(échantillonnage et codage) d'une information analogique (on parle de Conversion Analogique
Numérique CAN).
Signal analogique (à gauche) et signal numérique (échantillonné puis codé) (à droite)
On peut découper les systèmes automatiques suivant les catégories ci-dessous :
Système asservi
Système automatique
Système automatique à
logique combinatoire
Système automatique à
logique séquentielle
Système suiveur Système régulateur
Les systèmes asservis suiveurs ou en poursuited'une loi de référence dans lesquels la consigne
d'entrée varie en permanence. L'objectif de cesystème est d'ajuster en permanence le signal desortie au signal d'entrée.
Exemple : Radar de poursuite
Les systèmes régulateurs pour lesquels laconsigne d'entrée est fixe. Ils sont destinés à
maintenir une sortie constante pour une consigned'entrée constante.
Exemple : Régulateur de débit
1.3. Représentation des systèmes asservisPour représenter un système asservi, on utilise toujours un schéma-bloc fonctionnel qui permet decomprendre la structure du système selon un point de vue commande.
Consigne
Entrée
e(t)
Amplificateur
ou correcteurSortie
s(t)
Capteur
Chaîne directe
Chaîne de retour
Actionneur
Partie commande
Partie opérative
-+
Ecart
ε(t)
Système
dynamique
Mise en forme
du signal
Perturbation
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1.4. Généralités sur les caractéristiques des performances des systèmes asservisQuatre critères principaux permettent d'analyser la réponse d'un système automatique.
StabilitéUn système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Le bouclage peut
déstabiliser un système. C'est le critère que l'on regarde en premier, car sinon on ne peut pas analyserles autres critères. On souhaite toujours que le système asservi soit stable.
t
e(t) = u(t)
0
t
0
t
0
e(t) = u(t)
s(t) avec
s(+∞) = +∞
s(t)
s1(t)
e(t) = u(t)
s2(t)
Réponse s(t) à un échelon e(t) d’un
système instable
Réponse s(t) à un échelon e(t) d’un
système instable Réponses à un échelon e(t) de
systèmes stables
PrécisionLa précision qualifie l'aptitude du système à atteindre la valeur visée. Elle est caractérisée par l’erreur
er(t) entre la consigne en entrée et la valeur asymptotique effectivement atteinte par la grandeur de
sortie. Si l’erreur est nulle, on dit que le système est précis.
t
0
t
0
e(t) = u(t) e(t) = a.t.u(t)
s(t)
Erreur
Erreur
s(t)
RapiditéLa rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la
grandeur d'entrée. Cependant, la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique,
on retient alors comme principal critère d'évaluation de la rapidité d'un système, le temps de réponse à
n%.
Dans la pratique, on utilise le temps de réponse à 5% (t5%), c'est le temps mis par le système pouratteindre sa valeur de régime permanent à ±5% près et y rester.
Attention le temps de réponse à 5% n’est pas le temps mis pour atteindre 5% de la valeur
souhaitée !!!
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t
0
t
u(t)
0
e(t) = u(t)
s(t)
Valeur
asymptotique
t5%
±5% de la valeur
asymptotiquee(t) = u(t)
s(t)
Valeur
asymptotique
±5% de la valeur
asymptotique
t5%
Méthode pour déterminer le temps de réponse à 5% :
1. On trace la droite correspondant à la valeur asymptotique.
2. On trace la bande correspondant à ± 5% de la valeur asymptotique.
3. On en déduit graphiquement le temps de réponse à 5%.
Amortissement (ordre >2)L'amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la
sortie. Plus ces oscillations s'atténuent rapidement, plus le système est amorti.
t
0
t
0
t
0
e(t) = u(t)
s(t)
e(t) = u(t)
s(t)
e(t) = u(t)s(t)
Système sur-amorti Système « bien » amorti Système sous-amorti
L'asservissement « idéal » est un système ayant une bonne stabilité, une bonne précision ainsiqu’un régime transitoire rapide et bien amorti. Cependant ces critères de performances ne sont pas
toujours compatibles. Par exemple, un processus rapide est généralement léger, il a ainsi une faibleinertie et risque d'être peu amorti voire instable. D'autre part si on veut améliorer la précision, on raidit
l'asservissement et on risque de tomber alors sur un phénomène d'instabilité. Tout l'art de
l'automaticien est de réaliser une partie commande permettant de respecter au mieux ces critères.
2. Modélisation des systèmes asservis
2.1. Démarche de modélisation et d’étude des systèmes asservisEn automatique, l'objectif principal est d’établir un modèle comportemental du système à commanderpour pouvoir ensuite élaborer sa partie commande. Ce modèle comportemental est obtenu après
plusieurs étapes.
La première étape correspond à une phase de modélisation des entrées du système ainsi que dusystème lui-même, elle permet d’élaborer un modèle de connaissance grâce aux lois fondamentalesde la physique ou la chimie.
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Ce modèle de connaissance se traduit
souvent par une relation mathématique
qui peut être assez complexe et comporter
de nombreux paramètres à identifier.
On simplifie le modèle de connaissance
en le linéarisant autour d’un point defonctionnement. On obtient à l’issue decette étape, un modèle de comportementdont la validité reste limitée à de petitesvariations autour du point defonctionnement choisi. Le modèle decomportement est caractérisé par une
fonction mathématique que l’on appelle fonction de transfert. La réponse ducomportement du système est ensuite
simulée grâce à des outils de simulation
adaptés. Enfin, une fois analysée, laréponse obtenue doit être validée par
rapport aux résultats expérimentaux du
système réel ou aux critères de FS
attendues.
Comportement réel du système
Domaine Physique (réel)
Comportement simulé du système
Domaine Virtuel Validation
Calcul de la fonction de transfert
Modèle de comportement
Linéarisation
autour d’un point
de fonctionnement
Modèle de
connaissance
Objectif d’étude
Schéma-bloc
fonctionnel
+ équa. diff.
Schéma-bloc +
Fonction de transfert
Modélisationdes entrées etdu système
• Le domaine de validité des différents outils utilisés dans le domaine virtuel implique lamise en place d’hypothèses simplificatrices lors de la phase de modélisation. Plus lemodèle est proche du système réel, plus les résultats obtenus seront satisfaisants.
• Les outils informatiques peuvent être très utiles lors des différentes étapes de simulationdu système.
• Si le modèle de connaissance est déjà linéaire, le modèle de connaissance et le modèlede comportement sont alors identiques.
2.2. Modélisation des entrées des systèmes asservis - Signaux testsPour étudier un système d'un point de vue expérimental ou pour réaliser une validation d'un modèle, il
est nécessaire d'utiliser des consignes simples ou signaux d'entrée test. On utilise majoritairement les
modèles de signaux suivants :
• Impulsion de Dirac (ou impulsion unité) δ(t), avec δ(t)=0 ∇ t≠0
Cette fonction modélise une action s'exerçant pendant un temps trèscourt. Exemple : chocs tels que l'action d'un marteau …
La réponse à une impulsion de Dirac s'appelle une réponseimpulsionnelle.
t
δ(t)
0
• Échelon unité u(t), avec u(t)=0 si t
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Toute fonction mathématique simple, nulle pour les temps négatifs, peut s'écrire à l'aide
d'un échelon unitaire u(t)
Exemples : Rampe de pente unitaire ou signal sinusoïdal
• Rampe de pente unitaire f(t), avec f(t)=0 si t
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En réalité aucun système n’est parfaitement linéaire. La caractéristique entrée sortie
comporte toujours plus ou moins des non linéarités, notamment aux faibles amplitudes
(seuils) ou aux fortes amplitudes (saturation, courbure). Le système est dit non linéaire.
s(t)
e(t)
Courbure
s(t)
e(t)
Seuil
s(t)
e(t)
Saturation
smaxi
emini
s(t)
e(t)
Hystérésis
Exemple : saturation
amplificateur
Exemple : frottement Exemple : butée
mécanique
Exemple : jeux
mécaniques
Dans la pratique pour étudier les systèmes, on
linéarise la caractéristique entrée-sortie auvoisinage du point de fonctionnement étudié en remplaçant la portion de courbe par une
droite. Le système est dit alors linéarisé.
e(t)
Zone d’approximation linéaire
Approximation linéaire
s(t)
Point de fonctionnement
étudié
Système continu : Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variationsdes grandeurs physiques sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par des fonctions
continues). On parle aussi dans ce cas de système analogique.
Système invariant : Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système(masse, dimensions, résistance, impédance, ...) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit
pas").
sortie
entrée
sortie
entrée
t tt1 t1+τ
Conséquence : Un système linéaire continu invariant peut être représenté par une équationdifférentielle à coefficients constants.
2.4. Modèle de comportement général des SLCI et transformée de LaplaceUn système linéaire continu invariant est modélisé par un modèle de comportement représenté par une
équation différentielle d'ordre n reliant la sortie s(t) à l’entrée e(t). Elle est obtenue par la combinaison
des différentes équations différentielles issues des modèles de comportement des sous-systèmes
élémentaires constituant le schéma-bloc fonctionnel du système global. Elle s'écrit sous la
forme générale :
)(....)(
.)(....)(
.00
t ebdt
t ed bt sa
dt
t sd a
m
m
mn
n
n
++=++
L'outil privilégié pour traiter un SLCI de manière efficace, tant pour analyser le comportement, que
pour résoudre une équation d'ordre quelconque, est la transformation de Laplace.
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Définition : La transformée de Laplace de la fonction f(t), telle que f(t)=0 pour t
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2.5. Fonction de transfertLa transformation de l'équation différentielle du SLCI (obtenue dans le domaine temporel) en équation
polynomiale (obtenue dans le domaine de Laplace) permet de déterminer une fonction appelée
fonction de transfert qui caractérise le comportement du SLCI.
On appelle fonction de transfert H(p) du système (ou transmittance) la relation dans le domainesymbolique telle que :
).....1.(
).....1.(
)(
)()(
1
1
α α −+++
+++==
n
n
m
m
pa pa p
pb pbK
p E
pS p H
avec α : classe du système (représente le nombre d’intégration dans le système avec α = 0 ,1 ou 2)n : ordre du système, identique à l’ordre de l’équation différentielle
K : gain statique (permet de connaître le comportement du système en régime permanent). Kpossède une unité (unité de la variable de sortie / unité de la variable d’entrée).
•
La fonction de transfert caractérise le comportement intrinsèque du système et nedépend ni de l'entrée, ni de la sortie.• L’écriture de la fonction de transfert sous cette forme s’appelle forme canonique.
Pour représenter le système décrit par la fonction de transfert H(p), on utilise des blocs.
• Un bloc peut représenter un composant ou bien un sous-système ou également unsystème complexe.
• Le schéma-bloc fonctionnel doit être modifié en schéma-bloc pour lequel les noms descomposants sont remplacés par la fonction de transfert correspondante et les variables
temporelles sont remplacées par les variables symboliques (E(p), S(p)...).
E(p)Système
S(p)e(t)Système
s(t)
Le comportement dynamique du système est entièrement défini par les pôles (racines dudénominateur) et les zéros (racines du numérateur) de la fonction de transfert car ils permettentd’analyser le comportement du système sans calculer la réponse temporelle.
Re
Im
Sinusoïde
amortie
Exponentielle
amortie
Constante
Réponse amortie Réponse amplifiée
Pôle double
Pôles conjugués
Sinusoïde Sinusoïde
amplifiée
Exponentielle
amplifiée
Forme de la réponse d’un système en fonction du lieu des pôles
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2.6. Calcul de la fonction de transfert des systèmes complexes
Fonction de Transfert Boucle Fermée (FTBF) : On définit la fonction de transfert en boucle ferméeH(p) d’un système pour caractériser le comportement global du système. Elle est déterminée sur la
base du schéma boucle fermée ci dessous.
A(p)
B(p)
-+
ε(p)E(p) S(p)
M(p)
E(p) S(p)
)().(1
)()(
p B p A
p A p H
+=
Simplification
On utilise la FTBF pour étudier les réponses s(t) du système à des entrées e(t) quelconques.
Ces études permettent ensuite d'analyser les performances du système bouclé.
Attention aux signes dans le comparateur !!!! Si le – de M(p) dans le comparateur est
remplacé par un + la formule devient)().(1
)(
)(
)()(
p B p A
p A
p E
pS p H
−==
Fonction de Transfert Boucle Ouverte (FTBO) : La fonction de transfert en boucle ouverte T(p) estdéfinie comme la fonction de transfert du système lorsque le retour sur le sommateur est coupé. Elle
comprend la chaîne directe et la chaîne de retour. Dans le cas de la FTBO, on ne s'intéresse pas à la
sortie S(p) mais à la mesure M(p) en fonction ε(p).
A(p)
B(p)
-+
ε(p)E(p) S(p)
M(p)
Coupure
ε(p) M(p)T(p)=A(p).B(p)
Simplification
•
Si la structure du schéma-bloc est complexe, on peut définir des FTBO et FTBFintermédiaires pour tous les sous-systèmes à boucle fermée, mais seules la FTBF et laFTBO de la boucle principale sont intéressantes.
• Dans la pratique on peut calculer simplement la FTBF à partir de la FTBO grâces auxrelations suivantes :
FTBO
FTBO
retour dechaineladeFT FTBO
directechaineladeFT FTBF
+=
+=
1.
1
1
Manipulations élémentaires sur les schémas-blocs
U(p) W(p)B(p)A(p) U(p) W(p)B(p)A(p)
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W(p)
V(p)
-+
++
U(p) W(p)
++
-+
X(p) X(p) V(p)
U(p)
Y(p)B(p)A(p)
S(p)
C(p)X(p)
Schéma-bloc initial
Y(p)B(p)A(p)
S(p)
C(p).A(p)X(p)
Déplacement du point de
prélèvement vers la gauche
Y(p)B(p)A(p)
S(p)
C(p)/B(p)X(p)Déplacement du point de
prélèvement vers la droite
Y(p)B(p)A(p)
S(p)
C(p)X(p)
Schéma-bloc initial
Déplacement du
sommateur vers la gauche
Déplacement du
sommateur vers la droite
-
+
ε(p)
B(p)A(p)S(p)
C(p)/A(p)X(p)
-+
Y(p)
A(p) B(p)S(p)
C(p).B(p)X(p)
-+
Y(p)
• Il est inutile de déplacer un sommateur en direction d'une jonction ou l'inverse caraucune simplification n'est possible.
• Il faut toujours faire attention au(x) bloc(s) rajouté(s) dans la branche déplacée.
Système à boucles concentriques
-+
-+
E(p)A(p) C(p)
D(p)
B(p)
S(p)
Pour ce type de système, il faut toujours commencer par calculer la FTBF de la boucle interne.
-
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-+
E(p)C(p)
D(p)
S(p)
)().(1
)(
p B p A
p A
+
On reconnait ensuite une boucle fermée que l’on sait bien traiter…
Système à boucles imbriquées
-+
-+
E(p)A(p) B(p)
C(p)
S(p)D(p)
E(p)
Pour ce type de système, il faut toujours commencer par déplacer les points de prélèvement pour se
ramener à un système de boucles concentriques.
-+
-+
E(p)A(p) B(p)
C(p)
S(p)D(p)
E(p) D(p)
On se retrouve ensuite devant un système à boucles concentriques que l’on sait aussi bien gérer.
Fonction de transfert boucle fermée des systèmes multi-variables
-
-+A(p) B(p)
C(p)
S(p)
E2(p)
+E1(p)
Pour déterminer la fonction de transfert sur ce type de système, on utilise le principe de superposition
des SLCI. On superpose deux modes : un 1er mode pour lequel l’entrée E2(p) est considérée commenulle et un 2
nd mode lequel l’entrée E1(p) est considérée comme nulle.
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• Mode à entrée E2(p)=0
-+
E1(p)A(p) B(p)
C(p)
S(p) 0)(10)(1
2
2 )(
)()(
=
= =
p E
p E p E
pS p H
)().().(1
)().()(
0)(1 2 pC p B p A
p B p A p H
p E +
==
H1(p) est la fonction de transfert en
poursuite.
• Mode à entrée E1(p)=0
-
-+A(p) B(p)
C(p)
S(p)
E2(p)
-
A(p) C(p)
B(p)S(p)E2(p)
-
)().().(1
)(
)(
)()(
0)(20)(2
1
1 pC p B p A
p B
p E
pS p H
p E
p E +
==
=
=
H2(p) est la fonction de transfert en régulation.
La superposition permet d’obtenir la fonction de transfert boucle fermée du système multi-variables :
)(.
)().().(1
)()(.
)().().(1
)().()( 21 p E
pC p B p A
p B p E
pC p B p A
p B p A pS
+
−
+
=
3. Réponses temporelles des systèmes du 1er ordre
p
K
p E
pS pG
.1)(
)()(
τ +== où : K est le gain statique du système ([unité de sortie]/[unité d’entrée])
τ est la constante de temps (secondes).
3.1. Réponse impulsionnelle
L’entrée est définie par une impulsion de Dirac,e(t)=δ(t) → E(p)=1.
La sortie a donc pour expression dans le
domaine de Laplace :
p
K
p
K pS
+
=+
=
τ
τ τ 1.1
)( soit :
p
K
pS
+
=
τ
τ 1
)(
La réponse temporelle a donc pour expression :
)(.)( t ueK
t s
t
τ
τ
−
= t
δ(t)
0
s(t)
τ
K
τ
Tangente à l’origine
• La tangente à l’origine coupel’axe des abscisses en t=τ
• s(+∞)= )(.lim)(lim0
pS pt s pt →∞→
= = 0
s(+∞)=0
Théorème de la valeur finale
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3.2. Réponse indicielle L’entrée est définie par un échelon unitaire, e(t)=u(t).
La réponse temporelle a pour expression :
)(.1)( t ueK t s
t
−=
−τ
• Ordonnée en +∞ :
K pS pt ss pt
===+∞→∞+→
)(.lim)(lim)(0
Théorème de la valeur finale
→ K s =+∞)(
• Pente à l’origine :
Représentation graphique pour K
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• Etude asymptotique en +∞:
Lorsque t → ∞, le terme τ τ
t
e−
. → 0, par conséquent s(t) → a.K.(t – τ).
L’asymptote est donc y(t) = a.K.(t – τ). Cette asymptote a donc une pente a.K et coupe l’axe des
abscisses en t = τ.
Pour K1, l’écart entre
l’entré et la sortie diminue,
s’annule puis augmente.
t
e(t)
0
s(t)
τ
Droite de pente a
Asymptote de pente a.K
4. Réponses temporelles des systèmes du 2nd ordre
2
00
2
2
0
2
2
00
...21.21)(
)()(
ω ω
ω
ω ω ++
=
++
== p z p
K
p p z
K
p E
pS pG
où : K est le gain statique du système (unité [sortie]/[entrée]).z est le coefficient d’amortissement (z>0 et sans unité).
ω0 est la pulsation propre non amortie du système (ω0 >0 en radians/secondes).
4.1. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Racines du polynôme :2
00
2...2 ω ω ++ p z p → )1.(.4.4..4 2
2
0
2
0
2
0
2−=−=∆ z z ω ω ω
cab ..42−=∆
Les pôles de la fonction de transfert dépendent donc de la valeur de z, il y a 3 cas de figure possibles :
• Cas z > 1 → ∆ > 0
)1(...2
2
00
2
1−±−=
∆±−= z z
a
b
p
pω ω d’où :
2
00
2 ...2 ω ω ++ p z p = ( )( )21 . p p p p −− avec :
)1(.. 2001 −+−= z z p ω ω
)1(..2
002 −−−= z z p ω ω
2 pôles réels
négatifs
Représentation dans le plan complexe :
Re
Im
p1
p2 Quand z→∞, p1→0
Quand z→∞, p2→–∞
Cas particulier : Représentation des pôles
correspondant à z infini.
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• Cas z = 1 → ∆ = 0
0
2
1
.2ω −=
∆±−=
a
b
p
p d’où :
2
00
2 ...2 ω ω ++ p z p = ( )21 p p − = ( )2
2 p p − avec :
01 ω −= p
02 ω −= p 2 pôles réels confondus
Représentation dans le plan complexe :
Re
Im
p1
p2
• Cas z < 1 → ∆ < 0
)1.(..4222
0 z j −=∆ ω
)1(....2
2
00
2
1 z j z
ab
p p −±−=∆±−= ω ω d’où :
2
00
2 ...2 ω ω ++ p z p = ( )( )21 . p p p p −− avec :
)1(...2
001 z j z p −+−= ω ω
)1(...2
002 z j z p −−−= ω ω
2 pôles complexes
conjugués
0
22
21 ImRe ω =+== p p
Représentation dans le plan complexe :
Re
p1 pour z=0.7
p2 pour z=0.7p2 pour z=0
p1 pour z=0
p1 p2 pour z=1 0
ImCercle de centre 0 et de rayon ω0
Cas particuliers : pôles correspondant à z=0, z=0.7et z=1.
4.2. Réponse indicielle
L’entrée est définie par un échelon unitaire, e(t)=u(t), soit dans le domaine de Laplace, E(p)= p
1.
La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :2
00
2
2
0
...2
..
1)(
ω ω
ω
++=
p z p
K
p pS
• Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
[ ] 0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0=
++===
∞→∞→→
+
+ ω ω
ω
p z p
K
p p pS p pt ss
p pt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
• Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
K p z p
K pS pt ss
p pt =
++===+∞
→→∞+→2
00
2
2
0
00 ...2
.lim)(.lim)(lim)(
ω ω
ω → K s =+∞)(
Théorème de la valeur finale Le régime établi ne dépend que du gain statique Z alors
que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire
-
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Cours 02 – Modélisation des systèmes asservis en SLCI et réponses temporelles Lycée Bellevue Toulouse – CPGE MP
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Réponse indicielle pour z > 1 (Système amorti - réponse apériodique)La réponse temporelle a pour expression :
)(...)( 21 t ueeK t st pt p δ β ++=
Régime permanent Régime transitoire
Avec p1 et p2 pôles réels négatifs.
Re
Im
p1 p2
Pôle négligé Pôle dominant
t
S’il existe un facteur 10
minimum sur la partie réelle
des pôles, on ne conserve
que le pôle dominant. s(t)
Forme de la réponse
Système du 1er
ordre
Représentation graphique pour z > 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale à l’origine
Réponse indicielle pour z = 1 (Amortissement critique - réponse apériodique)La réponse temporelle a pour expression :
( ) )(...1)( .0. 00 t uet eK t s
t t ω ω ω −− −−=
Régime permanent Régime transitoire
Représentation graphique pour z = 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale à l’origine
Réponse indicielle pour z < 1 (système sous amorti - régime pseudo-périodique)
La réponse temporelle a pour expression : )(.).sin(..1
).cos(.1.)(..
2
.. 00 t ut e z
zt eK t s p
t z
p
t z
−
−−= −− ω ω ω ω
Régime permanent Régime transitoire
• Pseudo-période :
La réponse présente des oscillations amorties de
période :2
0 1
22
zT
p
p
−
==
ω
π
ω
π
• 1er dépassement : Le premier maximum (ou dépassement) apparait à
p
pT t
ω
π ==
21 .
La valeur relative du 1er
dépassement D1 correspond à
21
.
1 z
z
e D −−
=
π
Représentation graphique pour z < 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Tp
D1
t1 =Tp /2
-
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• La valeur relative du 1er dépassement (et des autres dépassements) s’exprime en %.
• La valeur du dépassement ne dépend que de la valeur de z. On utilise cetteparticularité pour identifier z à partir d’un tracé expérimental, modélisable par la réponse
indicielle avec dépassement d’un système d’ordre 2.
• Un abaque est souvent utilisé (annexe 1).
Temps de réponse à 5% et temps de réponse réduit Il n’existe pas de formule simple pour calculer le temps de réponse à 5% car il dépend de la valeur du
coefficient d’amortissement z et de la pulsation propre non amortie du système ω0.
Le temps de réponse à 5% correspond à la durée au delà de laquelle la réponse s(t) reste
comprise entre 0.95 et 1.05 fois la valeur de la réponse en régime permanent (s(∞)).
On utilise un abaque (annexe 2) qui donne la valeur du temps de réponse réduit t5%.ω0 en
fonction du coefficient d’amortissement z. L’abaque permet aussi l’identification de ω0 sur un
tracé expérimental modélisable par la réponse indicielle avec dépassement d’un système
d’ordre 2.
Le temps de réponse minimum est obtenu pour un dépassement relatif de 5% ce qui correspond à un
coefficient d’amortissement de z=0,69≈0,7. On a alors 3. 0%5 =ω t pour z=0,7.
Pour une même pulsation propre non amortie ω0 et :
• pour z1, il n’y a pas de dépassement mais le système est hyper amorti donc le temps de réponseest très grand.
Pour un même coefficient d’amortissement z, plus ω0 augmente plus le temps de réponse à 5%
diminue, donc plus le système est rapide.
5. Notion de pôles dominants
Certains des pôles de la FTBF du système ont une contribution prépondérante sur le comportement
dynamique du système : il s’agit des pôles à partie réelle négative les plus proches de l’axe desimaginaires. Ils sont appelés "pôles dominants". On peut souvent simplifier l’expression du
dénominateur de la FTBF en ne conservant que les termes correspondant aux pôles dominants. Le
dénominateur doit être nécessairement sous forme canonique avant d’effectuer la simplification.
)1()1()(
21 pT pT
K pF
+⋅+= avec T1
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L’allure de la réponse impulsionnelle s(t) montre que l’on
peut négliger la constante de temps la plus faible T1 ce
qui conduit à l’expression simplifiée suivante pour H(p) :
pT
K pF
21)(
+≈
En effet, dans l’expression temporelle de s(t) :
)()( pF pS = ⇒
−⋅
−=
−−
12
12
)( T t
T
t
eeT T
K t s
s(t)
t
sans T1
avec T1
2T
K
T2
Tangente
à l’origine
Le terme 2T t
e−
correspondant au pôle dominant p2 devient prépondérant lorsque le temps croît. Il
détermine la dynamique asymptotique du système.
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Valeur du dépassement transitoire
0,05100
5= →Di=5%
Pour z≈0,7 on ne remarquequ’un seul dépassement
visible qui vaut 5%.
Pour z>0,82 il existe des
dépassements mais qui ne
sont pas visibles à l’œil (ils
sont inférieurs à 1%).
Annexe 1. Valeurs des dépassements relatifs
Annexe 2. Temps de réponse réduit