THEME 5Equilibre Général dans une économie

de production

Exercice n°14 :On considère une économie de production constituée de 2 producteurs. chaque

producteur est spécialisé dans la production d’un bien et utilise pour cela deuxinputs, le travail (noté L) et le capital (noté K).Le producteur 1 offre le bien 1 et sa fonction de production est définie par lafonction Cobb-Douglas suivante :

Y1 = 5K141 L

141

Le producteur 2 offre le bien 2 et sa fonction de production est définie par lafonction Cobb-Douglas suivante :

Y2 = 10K122 L

122

Les ressources de l’économie en facteurs de production sont les suivantes :¯(K,L) = (100; 150). Les dotations initiales des 2 producteurs en inputs sont :

(K̄1, L̄1) = (50; 100) et (K̄2, L̄2) = (50; 50).

1. Déterminez l’équilibre général de production de cette économie.

2. Déterminez l’expression de la courbe des contrats de production Pareto-Efficient.

3. Déterminez l’expression de la courbe de transformation des produits. Endéduire l’expression du taux de transformation des produits.

1

CorrectionOn considère une économie de production constituée de 2 producteurs. chaque

producteur est spécialisé dans la production d’un bien et utilise pour cela deuxinputs, le travail (noté L) et le capital (noté K).Le producteur 1 offre le bien 1 et sa fonction de production est définie par lafonction Cobb-Douglas suivante : Y1 = 5K

141 L

141 .

Le producteur 2 offre le bien 2 et sa fonction de production est définie par lafonction Cobb-Douglas suivante : Y2 = 10K

122 L

122 .

Les ressources de l’économie en facteurs de production sont les suivantes : ¯(K,L) =(100; 150). Les dotations initiales des 2 producteurs en inputs sont : (K̄1, L̄1) =(50; 100) et (K̄2, L̄2) = (50; 50).

1. Déterminez l’équilibre général de production de cette économie.

• Cherchons d’abord les équilibres individuels :

Pour le producteur 1

maxK1,L1 Y1(K1, L1)sc pKK1 + pLL1 ≤ 50pK + 100pL

On utilise la méthode de Lagrange :

maxK1,L1,λ

L = 5K141 L

141 + λ(50pK + 100pL − pKK1 − pLL1)

Les conditions du premier ordre sont :∂L

∂K1= 0

∂L

∂L1= 0

∂L

∂λ= 0

Soit,54K

− 34

1 L141 − λpK = 0 (1)

54K

141 L

− 34

1 − λpL = 0 (2)

50pK + 100pL = pKK1 + pLL1 (3)

2

Les équation 1 et 2 donnent TMST=rapport des prix :

TMSL/K =L1

K1= pKpL

L1 =pKK1

pL(4)

On intègre 4 dans 3 :

50pK + 100pL = pKK1 + pLpKK1

pL50pK + 100pL = 2pKK1

K1 = 25 + 50 pLpK

On transfère ce résultat dans 4 :

L1 = pKpL

(25 + 50 pLpK

) = 25pKpL

+ 50

Pour le producteur 2

maxK2,L2 Y2(K2, L2)sc pKK2 + pLL2 ≤ 50pK + 50pL

On utilise la méthode de Lagrange :

maxK2,L2,λ

L = 10K122 L

122 + λ(50pK + 50pL − pKK2 − pLL2)

Les conditions du premier ordre sont :

∂L

∂K2= 0

∂L

∂L2= 0

∂L

∂λ= 0

Soit,

5K− 12

2 L122 − λpK = 0 (1)

5K122 L

− 12

2 − λpL = 0 (2)50pK + 50pL = pKK2 + pLL2 (3)

3

Les équation 1 et 2 donnent TMST=rapport des prix :

TMSL/K = L2

K2= pK

pL

L2 = pKK2

pL(4)

On intègre 4 dans 3 :

50pK + 50pL =pKK2 + pLpKK2

pL50pK + 50pL =2pKK2

K2 =25 + 25 pLpK

On transfère ce résultat dans 4 :

L2 = pKpL

(25 + 25 pLpK

) = 25pKpL

+ 25

• On peut alors déterminer l’équilibre général :K∗1 +K∗

2 = 100L∗

1 + L∗2 = 150

⇔

25 + 50 pL

pK+ 25 + 25 pL

pK= 100

25pK

pL+ 50 + 25pK

pL+ 25 = 150

⇔

75 pL

pK= 50

50pK

pL= 75

⇔

pLpK

= 23

pKpL

= 32

Les quantités d’inputs sont alors :K∗

1 = 58.33, K∗2 = 41.67 et L∗

1 = 87.5, L∗2 = 62.5.

Les quantités offertes et demandées par chaque producteur sont :

• Producteur 1 :K∗

1 − K̄1 = 8.33. Il est demandeur de capital.L∗

1 − L̄1 = −12.5. Il est offreur de travail.

4

• Producteur 2 :K∗

2 − K̄2 = −8.33. Il est offreur de capital.L∗

2 − L̄2 = 12.5. Il est demandeur de travail.

2. Déterminez l’expression de la courbe des contrats de productionPareto-efficient.La courbe des contrats de production pareto-efficient représente l’ensembledes allocations de facteurs pareto-efficient.Calculons d’abord les TMST :

TMSTK1/L1 =∂Y1∂L1∂Y1∂K1

= K1L1

TMSTK2/L2 =∂Y2∂L2∂Y2∂K2

= K2L2

En tenant compte des contraintes de marché :{K1 +K2 = 100L1 + L2 = 150{K2 = 100−K1L2 = 150− L1

La courbe des contrats pareto efficients correspond à une situation oùles TMST des deux entreprises s’égalisent (personne n’a intérêt à dévier decette position).

TMST1 = TMST2

⇔ K1

L1= K2

L2

⇔ K1

L1= 100−K1

150− L1

⇔ 100L1 −K1L1 = 150K1 −K1L1

⇔ 100L1 = 150K1

La courbe des contrats dans l’espace (O1, L1, K1) est alors définie par:

K1 = 23L1

5

La courbe des contrats dans l’espace (O2, L2, K2) est telle que :

L2 = 32K2

3. Déterminez l’expression de la courbe de transformation des pro-duits. En déduire l’expression du taux de transformation des pro-duits.

La courbe de transformation des produits représente l’ensemble des com-binaisons de production (Y ∗

1 , Y ∗2 ) correspondant aux contrats de production

pareto-efficients, dans le plan (Y1, Y2).Les correspondances entre courbe des contrats et courbes de transfor-mation :la courbe des contrats de production pareto-efficient représente l’ensembledes allocations de facteurs pareto-efficient (dans la boite d’Edgeworth, c’estle plan des facteurs),

Cherchons la demande d’input en fonction de l’output pour chaque produc-teur:Producteur 1:

K1 = 23L1 et Y1 = 5K

141 L

141 , on obtient :

Y1 = 5(23L1) 1

4L141 = 5(2

3) 14L

121

L1 = ( Y1

5(23) 1

4)2 = Y 2

1√

325√

2

Producteur 2:

K2 = 23L2 et Y2 = 10K

122 L

122 , on obtient :

Y2 = 10(23L2) 1

2L122 = 10(2

3) 12L2

L2 = Y2

10(23) 1

2= Y2

√3

10√

2

6

En prenant maintenant en compte les contraintes de rareté :

L1 + L2 =150

⇔ Y 21√

325√

2+ Y2

√3

10√

2=150

⇔ Y2√

310√

2=150− Y 2

1√

325√

2

La courbe de transformation des produits est ainsi définie par :

Y2 = 1500√

2√3− 10Y 2

125

Le taux de transformation des produits (TTP) correspond à la pentede la courbe de transformation des produits.

TTP = ∂Y2

∂Y1= −4Y1

5

L’augmentation d’une unité de Y1 entraîne une diminution de 45Y1 unités de

Y2 pour que la situation soit toujours pareto efficiente.

7

Exercice n°15 : L’économie de Robinson Crusoë...Soit un consommateur qui possède la fonction d’utilité suivante : U = ln(x1)+

ln(x2) + ln(l), où x1 et x2 sont les quantités de biens consommés et l représente leloisir.Tout revenu provient uniquement du travail. Ce dernier est contraint par le tempstotal disponible T , qui est constant. Le temps T est affecté au travail et au loisir.

Soit un producteur qui produit deux biens en utilisant comme seul input letravail (L). Sa fonction de production est L =

√8(x1)2 + 2(x2)2.

1. Déterminez les fonctions de demande de biens et l’offre de travail du con-sommateur.

2. Déduire des résultats précédents les fonctions d’offre de biens du producteursi l’économie se résume à ces deux agents, le marché du travail étant enéquilibre.

3. Calculez les prix de l’équilibre général.

8

CorrectionSoit un consommateur qui possède la fonction d’utilité suivante : U = ln(x1)+

ln(x2) + ln(l) où x1 et x2 sont les quantités de biens consommés et l représente leloisir.Tout revenu provient uniquement du travail. Ce dernier est contraint par le tempstotal disponible T qui est constant. Le temps T est affecté au travil et au loisir.

Soit un producteur qui produit deux biens en utilisant comme seul input letravail (L). Sa fonction de production est L =

√8(x1)2 + 2(x2)2.

1. Déterminez les fonctions de demande de biens et l’offre de travaildu consommateur.maxx1,x2 U(x1, x2) = ln(x1) + ln(x2) + ln(l)

sc :p1x1 + p2x2 ≤ R

On peut poser que :

T = t+ l, Le temps total (la dotation initiale) se décompose entre travail et loisir,l = T − t, Le temps de loisir est le temps que Robinson ne passe pas à travailler,t = T − l, Le temps de travail est le temps que Robinson ne passe pas devant la Tv...

L’expression du revenu s’écrit également : R = wt, avec w le salaire.Donc on peut écrire :maxx1,x2 U(x1, x2) = ln(x1) + ln(x2) + ln(l)

sc :p1x1 + p2x2 ≤ wt

Or, nous pouvons également poser que :

l = T − t = T − p1x1 + p2x2

w

Donc on peut poser une équation avec deux variables, x1 et x2 et une con-stante T :

maxx1,x2

U(x1, x2) = ln(x1) + ln(x2) + ln(T − p1x1 + p2x2

w)

9

Les conditions du premier ordre sont :

∂U

∂x1= 0

∂U

∂x2= 0

Soit,1x1− p1

w

1T − p1x1+p2x2

w

= 0 (1)

1x2− p2

w

1T − p1x1+p2x2

w

= 0 (2)

L’équation 1 se réécrit :

x1 =w

p1(T − p1x1 + p2x2

w)

x1 =wTp1− x1 −

p2

p1x2

x1 =wT2p1− p2

2p1x2 (4)

L’équation 2 se réécrit :

x2 =w

p2(T − p1x1 + p2x2

w)

x2 =wTp2− x2 −

p1

p2x1

x2 =wT2p2− p1

2p2x1

On remplace dans l’équation 4 :

x1 =wT2p1− p2

2p1[wT2p2

− p1

2p2x1]

x1 =wT2p1− wT

4p1+ 1

4x1

34x1 =2wT

4p1− wT

4p1= wT

4p1

x∗1 =wT3p1

10

Qui représente la demande optimale du consommateur en bien 1.

x2 =wT2p2− p1

2p2

wT

3p1

x2 =wT2p2− wT

6p2= 2wT

6p2

x∗2 =wT3p2

Qui représente la demande optimale du consommateur en bien 2.

Pour trouver la fonction d’offre de travail :

wt =p1x∗1 + p2x

∗2

wt =p1wT

3p1+ p2

wT

3p2

wt =2wT3

t∗ =2T3

La fonction d’offre optimale de travail.

2. En déduire les fonctions d’offre de biens du producteur si l’économieest composée uniquement de ces deux agents et le marché de tra-vail est en équilibre.

On note yi, l’offre de bien i. A l’équilibre les quantités produites par leproducteur sont intégralement consommées par le consommateur, de tellesorte que yi=xi. On peut donc réécrire la fonction de demande de travail Len substituant les quantités consommées par les quantités produites, commeci-dessous..On peut ainsi établir qu’à l’équilibre l’offre de travail = demande travail :

⇔ t = L

⇔ L =√

8(y1)2 + 2(y2)2 = 2T3

⇔ 8(y1)2 + 2(y2)2 = 4T 2

9

⇔ y2 =√

2T 2

9 − 4(y1)2 (5)

11

Le producteur maximise son profit :

maxy1,y2

Π = p1y1 + p2y2 −2T3 w

Avec l’équation 5 :

maxy1

Π = p1y1 + p2(2T 2

9 − 4(y1)2) 12 − 2T

3 w

⇔ ∂Π∂y1

= p1 −p2

2 8y1(2T 2

9 − 4(y1)2)−12 = 0

⇔ p1 − 4p2y1(2T 2

9 − 4(y1)2)−12 = 0

⇔ p1(2T 2

9 − 4(y1)2) 12 = 4p2y1

⇔ p21(2T 2

9 − 4(y1)2) = 16p22y

21

⇔ p21(2T 2

9 − 4(y1)2)− 16p22y

21 = 0

⇔ p212T 2

9 − 4p21(y1)2 − 16p2

2y21 = 0

⇔ p21T 2

9 = y21(2p2

1 + 8x22)

⇔ p21T

2

9(2p21 + 8x2

2) = y21

On obtient alors l’offre optimale de 1 :

y∗1 = p1T

3√

2p21 + 8x2

2

A l’aide de (5), il vient ensuite pour 2 :

y∗2 =(2T 2

9 − 4( p21T

2

9(2p21 + 8x2

2))2) 12

y∗2 =T3 (2− 4p2

12p2

1 + 8x22

12

y∗2 =T3 (4p2

1 + 16p22 − 4p2

12p2

1 + 8x22

12

)

12

On obtient alors l’offre optimale de 2 :

y∗2 = T

34p2

(2p21 + 8x2

2) 12

3. Calculez les prix de l’équilibre général.A l’équilibre générale, on a pour le bien 1:

x∗1 =y∗

1wT

3p1= p1T

3√

2p21 + 8x2

2w

p1= p1√

2p21 + 8x2

2

w = p21√

2p21 + 8x2

2

et pour le bien 2:

x∗2 =y∗

2wT

3p2=T3

4p2

(2p21 + 8x2

2) 12

w

p2= 4p2

(2p21 + 8x2

2) 12

w = 4p22

(2p21 + 8x2

2) 12

On obtient donc :

w = p21√

2p21 + 8x2

2

= 4p22

(2p21 + 8x2

2) 12

p21 =4p2

2p1

p2=2

13