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Terminal L Mathématiques Devoir N°1 20/09/2012 Correction du N° 104 page 41 transmath TL édition 2012 Soit (Un) la suite définie par U0 = 8 et pour tout entier naturel n :
𝑈!!! = 0,85𝑈! + 1,8 1. On considère les droites d’équations respectives 𝑦 = 𝑥 et 𝑦 = 0,85𝑥 + 1,8
Soit I leur point d’intersection. Calcul des coordonnées du point I : Ses coordonnées sont solution du système : 𝑦 = 𝑥
𝑦 = 0,85𝑥 + 1,8 ⟺𝑦 = 𝑥
𝑥 = 0,85𝑥 + 1,8 ⟺𝑦 = 𝑥
0,15𝑥 = 1,8 ⟺𝑦 = 𝑥
𝑥 =1,80,15
⟺ 𝑥 = 12𝑦 = 12
Les points A et B respectivement sur les droites d’équation y = 0,85x + 1,8 et y = x se rapprochent du point I point d’intersection de ces deux droites ; Donc on peut conjecturer que la limite de la suite (𝑈!) est l’abscisse du point I soit 12.
2. a) Soit (Vn) la suite définie par Vn = Un – 12 donc Vn+1 = Un+1 – 12 or 𝑈!!! = 0,85𝑈! + 1,8 donc 𝑉!!! = 0,85𝑈! + 1,8− 12 = 0,85𝑈! − 10,2 or 𝑉! = 𝑈! − 12 donc 𝑈! = 𝑉! + 12 donc 𝑉!!! = 0,85 𝑉! + 12 − 10,2 = 0,85𝑉! + 10,2− 10,2 donc 𝑉!!! = 0,85𝑉! b) Cette suite est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme V0 = U0-‐12 donc V0 = – 4 et 𝑽𝒏 = −𝟒×𝟎,𝟖𝟓𝒏 et 𝑼𝒏 = 𝟏𝟐− 𝟒×𝟎,𝟖𝟓𝒏 c) Le premier terme est négatif, la raison négative et est inférieure à 1 donc la suite (Vn) est croissante or 𝑈! = 𝑉! + 12 donc la suite (Un) est elle aussi croissante. d) Limite de la suite (Vn) lim!→!!
0,85 ! = 0 donc lim!→!!
−4 0,85 ! = 0 donc lim!→!!
12− 4 0,85 ! = 12 la suite (Un) a pour limite 12, ce qui correspond à ce que nous avons conjecturé dans la question 1. e) U8 > 10 or la suite est croissante et a pour limite 12 donc pour tout n > 8 10 < Un < 12.
3. Un magasine vendu par abonnement, en 2010 il y avait 8000 abonnés soit U0 = 8 milliers d’abonnés. a) Chaque année 15 % des abonnées ne se réabonnent pas et 1800 personnes nouvelles s’abonnent soit 1,8 milliers de personne. Si Un est le nombre de milliers de personnes abonnées en 2010+n alors 𝑈!!! = 𝑈! − 0,15𝑈! + 1,8 = 0,85𝑈! + 1,8. La suite (Un) de la question 1 modélise donc le nombre de milliers d’abonnés les années 2010+n. b) donc d’après la question 2.b), en 2020, n = 10 donc on peut estimer le nombre d’abonnés à 𝑈!" = 12− 4×0,85!" soit environ 11 milliers abonnés et si le modèle est exact on ne dépassera pas 12 milliers d’abonnés.