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8/6/2019 cor9ASmeca_rdm_td

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Rsistance des matriauxHypothses Sollicitations - Contraintes

Exercice 1Soit une poutre droite E de section constante, de longueur l , encastre sonextrmit A et supportant son extrmit B un effort concentr F .Soit R0= A , x0 , y0 , z 0 le repre li la poutre, tel que l'axe A , x0 est confonduavec la ligne moyenne.On effectue une section droite fictive de la poutre par un plan P . Soit G, d'abscisse xdans R0 , le centre de surface de cette section droite.

1- Isoler la poutre E et dterminer, au point A, les lments de rduction du torseur associ la liaison encastrement : {T 1 E } .

2- En utilisant successivement les deux critures du torseur de cohsion (en fonction desefforts extrieurs sur E 1 et E 2 ), dterminer les lments de rduction en G dutorseur de cohsion dans la section droite d'abscisse x .

3- Donner l'expression des composantes algbriques N x , T y x , T z x , M t x , M fy x , M fz x dans le repre R= G , x , y , z .

4- Reprsenter la variation de ces composantes algbriques en fonction de l'abscisse x ducentre de surface G de la section droite fictive.

RdM : Hypothses Sollicitations - Contraintes TD - Page 1STS Productique Conception des outillages Mcanique 09/2003 jgb - rdm1.sxw

F

1

y0

x0

B

y

x

l

E 2

x P

E 1


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Exercice 2

La figure ci-dessous reprsente la modlisation de l'arbre porte-mandrin d'une tted'usinage multibroche. Cet arbre reoit le mandrin porte-outil 4 son extrmit A ; sonautre extrmit, en O , un pignon arbr de rayon primitif R = 12 mm reoit la puissancemcanique d'un autre pignon 2 non reprsent. L'arbre 1 est guid en rotation dans uncarter repr 0 par l'intermdiaire de deux roulements billes placs en B et C .(units : m et N)

Une tude statique pralable a permis de calculer la totalit des actions mcanique sur 1.On en donne les composantes algbriques dans le repre R0= G 0 , x0 , y0 , z 0 :

Action du mandrin 4 en A : {T 4 1 }={ 625 2,40 00 0 } x 0 , y 0 , z 0 A Action du mandrin 2 en D : {T 2 1 }=

{0 0

65 0

200 0 } x 0 , y 0 , z 0D

Action du carter 0 en B : {T 0 1 }={625 020 1,2 40 0,075 } x 0 , y 0 , z 0B Action du carter 0 en C : {T 2 1 }={0 0 85 0240 0 } x 0 , y 0 , z 0C Question

Dfinir le torseur de cohsion dans les sections droites de 1 entre O et A etconstruire les diagrammes des composantes algbriques des lments de rduction en

G des efforts de cohsion dans 1 .



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Exercice 3

La figure ci-dessous reprsente le crochet d'un pont roulant supportant une charge verticale F .

Hypothses :

Le centre de surface G 1 de la section droite fictive S 1 dfinie sur la figure est telque OG 1= 15 mm

Le centre de surface G 2 de la section droite fictive S 2 dfinie sur la figure est telque OG 2= 15 mm

On donne : F = 5000 N On dsigne par E 1 le tronon de crochet situ droite de la section fictive/

Units : N et m

Question :

1- Dterminer dans le repre R1= G 1 , x1 , y1 , z 1 li S 1 les composantesalgbriques des lments de rduction en G 1 du torseur des forces de cohsion dans

S 1 . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 1 ?

2- Dterminer dans le repre R2= G 2 , x , y , z li S 2 les composantesalgbriques des lments de rduction en G 2 du torseur des forces de cohsion dans

S 2 . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 2 ?


0

0

1

1


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Exercice 4La figure ci-dessous reprsente la bride 2 d'un systme de serrage d'un montaged'usinage. L'effort de serrage de la pice est obtenu par deux boulons reprs 3 quipassent dans les trous de la bride A et B . L'effort de la pice 4 sur la bride s'exerceen C .

Les trois forces concentres qui s'exercent sur la bride 2 sont reprsentes sur la figure etvalent :

A 3 2 = 800 N - B 3 2 = 800 N - C 4 2 = 1600 N

Dterminer les quations qui dfinissent le long de la ligne moyenne AB les projections sur R= G , x , y , z des lments de rduction en G du torseur de cohsion.



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Exercice 5 - Extrait BTS 2000

Vrification de la bride repre 3 la contrainte de flexion

Voir document B2 et extrait document DT9

Hypothses :

La bride 3 reprsente sur ce document est ralise d'un seul bloc, mais elle possde lemme comportement la flexion que l'ensemble constitu par 3+8.Le matriau C45 est conserv.Les dimensions sont identiques.Cette bride est dispose horizontalement avec son systme de reprage : l'axe des X estconfondu avec l'axe moyen de la poutre.

Le poids de la bride est nglig, le chargement extrieur est dfini par les torseurs :(units : composantes des forces en N, composantes des moments en mmN)

{T 2 /3 }= {O 2 /3 27457120 M 0 2 /3= 0 } x , y , z O {T 9 /3 }= {P 7 /30

93550

M P 7 /3= 0 } x , y , z P {T pice /3 }= {

Q pice /3

2743643

0 M Q pice /3= 0} x , y , z QLa rsistance lastique de la bride a pour valeur Re=420 MpaLe coefficient de scurit s=2,5

Travail demand :(A traiter sur feuille de copie)

1- Ecrire pour la section de ligne moyenne comprise entre O et Q les quations du momentflchissant.

2- Reprsenter le diagramme de ce moment flchissant.

3- Vrifier dans la section droite passant par P la condition de rsistance la flexion decette bride.



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Document DT9 (Extrait)



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Correction Exercice N11- Equilibre de la poutre : {T F } {T 1 E }=0

{T F }= {F.sin 0

F.cos 00 0 } x 0 , y 0 , z 0BM A F =M B F ABF

soit : 000

l 00

F.sin F. cos

0 =

0 00 0

0 l.F.cos donc :

{T 1 E }={T F }= { F.sin 0F.cos 00 l.F.cos } x 0 , y 0 , z 0 A2-

{T E E 1}={T 1 E }

{T 1 F }={ Fsin 0Fcos 00 lFcos } x 0 , y 0 , z 0 AM G 1 F =M A 1 F GAR 1 F

{T E E 2}={T

F }

{T F }= {F.sin 0 F.cos 00 0 } x 0 , y 0 , z 0BM G F =M B F GBF

N = T y= T z = M t = M fy= M fz =


t t t


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Correction Exercice N4

On utilise les units suivantes : N (newtons) et Nm (newtons mtres)On dsigne par le E 1 tronon de poutre compris entre A et G. Dans la zone AC pour laquelle 0 x 0,015 on choisit d'utiliser une des relations

dfinissant le torseur de cohsion : {T coh }={ T E E 1 } .Les actions de E E 1 sont celles du boulon 3 sur la bride 2 (en A) donc :

{T E E 1 }={T 3 A 2 } avec {T 3 A 2 }={0 0800 00 0 } x , y , z Aon calcule : M G 3 A 2 =M A 3 A 2 GAR 3 A 2 =800 x z

car : 000

x 00

0800

0=0 00 0

0 800 x donc {T 3 A 2 }={0 0800 00 800 x } x , y , z G

On en dduit que sur AC ( 0 x 0,015 )

{T coh }={T E E 1 }={T 3 A 2 }={0 0 800 00 800 x } x , y , z Gdonc : N = 0 T y = 800 N T z = 0 M t = 0 M fy = 0 M fz = 800 xNm Dans la zone CB pour laquelle 0,015 x 0,030 on choisit d'utiliser une des

relations dfinissant le torseur de cohsion : {T coh }={T E E 2 } (ceci permet desimplifier un peu les calculs)

Les actions de E E 2 sont celles du boulon 3 sur la bride 2 en B donc :

{T E E 1 }={T 3B 2 } avec {T 3 B 2 }={0 0

800 00 0 } x , y , z Bon calcule : M G 3 B 2 =M B 3B 2 GBR 3 B 2 =800 0,03 x z car :

000

0,03 x 00

0800

0=00

800 0,03 x soit {T 3B 2 }={0 0800 00 800 0,03 x } x , y , z GOn en dduit que sur CB ( 0,015 x 0,030 )

{T coh }={T E E 2 }={T 3B 2 }=

{0 0

800 0

0 800 0,03 x } x , y , z G

donc : N = 0 T y = 800 N T z = 0 M t = 0 M fy = 0 M fz = 800 0,03 x Nm

x(m)

T y N

A C B0 0,015 0,03

800

-800

x(m)

M fz Nm

A C B0 0,015 0,03

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Correction Exercice N5On utilise les units suivantes : N (newtons) et Nmm (newtons millimtres)On dsigne par le E 1 tronon de poutre compris entre O et G. Dans la zone AP pour laquelle 0 x 37,5 on choisit d'utiliser une des relations

dfinissant le torseur de cohsion : {T coh }={ T E E 1 } .Les actions de E E 1 sont celles de 2 sur la bride 3 (en O) donc :

{T E E 1 }={T 2 3 } avec {T 2 3 }={ 274 05712 00 0 } x , y , z Oon calcule : M G 2 3 =M O 2 3 GO R 2 3 =5712 x z

car : 000

x 00

2745712

0 =00

5712 x donc {T 3 A 2 }={ 274 05712 00 5712 x } x , y , z GOn en dduit que sur AC ( 0 x 37,5 )

{T coh }={ T E E 1 }={T 2 3 }={274 0

5712 00 5712 x } x , y , z G

donc : M fy = 0 M fz = 5712 xNmm Dans la zone PQ pour laquelle 37,5 x 96,3 on choisit d'utiliser une des relations

dfinissant le torseur de cohsion : {T coh }={T E E 2 } (ceci permet de simplifier un peu les calculs)

Les actions de E E 2 sont celles de la pice sur la bride 3 en Q donc :

{T E E 1 }={T pice 3 } avec {T pice 3 }=

{274 0

3643 00 0 } x ,y , z Qon calcule : M G pice 3 =M Q pice 3 GQ R pice 3 =3643 96,3 x z car :

000

96,3 x 00

2743643

0 =00

3643 96,3 x soit

{T pice 3 }={274 03643 00 3643 96,3 x } x , y , z GOn en dduit que sur PQ ( 37,5 x 96,3 )

{T coh }={T E E 2 }={T pice 3 }={274 03643 00 3643 96,3 x } x , y , z Gdonc : M fy = 0 M fz = 3643 96,3 x Nmm


x(m)O P Q0 37,5 96,3

214200


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Correction Exercice N5 (complment)

Complter le tableau :

0 x 37,5 37,5 x 96,3

Actions exerces sur E1 O 2 /3 P 7 /3 G Pice /3 O 2 /3 P 7 /3 G Pice /3

Actions exerces sur E2 O 2 /3 P 7 /3 G Pice /3 O 2 /3 P 7 /3 G Pice /3

{T coh }= { T E E 1 }=.{ T 2 3 } .{ T 7 3 } .{ T pice 3 }

{ T 2 3 } .{ T 7 3 } .{ T pice 3 }

{T coh }= { T E E 2 }=.{ T 2 3 } .{ T 7 3 } .

{ T pice 3 }

{ T 2 3 } .{ T 7 3 } .

{ T pice 3 }

OG x

GO x

GQ x

QG x


G

x

E1 E2

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