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Etude dune plaque troue 1

Etude dune plaque troue

L. CHAMPANEY et Ph. TROMPETTE

Objectifs : Concentrations de contraintes, Convergence de la solution, Reprsentation des contraintes, Influence du raffinement

Nous tudions le comportement de la mthode des lments finis en prsence deconcentrations de contraintes. Pour cela, nous examinons le cas dune plaque troueen traction. Nous gnralisons les rsultats pratiques de convergence obtenus sur unexemple industriel.

Table des matires

1 Problme 2

2 Rsultats bruts 4

3 Maillages uniformes 5

4 Dplacement 6

5 Contraintes 7

6 Maillages adapts 12

7 Illustration 15

8 Conclusions 18


1 Problme'

&

$

%

2h

2L

FF

2r

L = 100mm, h = 50m et r = 20mmE = 210000MPa et = 0.3 F = 100N/mm2.

On sintresse un problme classique de la mcanique des milieux continus : ltudedune plaque rectangulaire troue soumise une traction uniforme.

Sur cet exemple seront tudis : la convergence de la solution en dplacement et en contrainte pour des maillages

linaires ou quadratiques (uniformes ou non), la reprsentation graphique des contraintes, la stratgie adopter face un problme de concentration de contrainte.

Les dimensions de cette plaque en acier sont indiques sur la figure ci-dessus. Lechamp de traction uniforme est obtenu par application dune rpartition de pressionF = 100MPa chaque extrmit de la plaque.

On cherche modliser une plaque dpaisseur fine. Le problme est donc trait endimension deux sous lhypothse des contraintes planes.


'

&

$

%

F

h

L

r

A B

CD

E

L = 100mm, h = 50m et r = 20mmE = 210000MPa et = 0.3 F = 100N/mm2.

Le problme prsente deux plans de symtrie gomtrie, matrielle et des conditionsaux limites. Il est indispensable de prendre en compte les symtries du problme dansla modlisation.

Cela permet de : rduire la taille du problme tudi, rduire les temps de modlisation, dtude et de post-traitement. dintroduire un blocage des mouvements de solide rigide de cette plaque soumise

uniquement des efforts.

Les conditions de symtrie sont obtenues en imposant les conditions suivantes : dplacement Ux nul sur le bord DE, dplacement Uy nul sur le bord AB.


2 Rsultats bruts 14. 32. 49. 66. 83. 1.00E+02 1.17E+02 1.35E+02 1.52E+02 1.69E+02 1.86E+02 2.03E+02 2.20E+02 2.37E+02 2.55E+02 2.72E+02 2.89E+02 3.06E+02 3.23E+02 3.40E+02 3.58E+02 3.75E+02

AMPLITUDE 1.67E+02

Contrainte quivalente de Von Mises (MPa)

sur la plaque dforme ( 167)

Concentration des contraintes prs du trou Lissage des contraintes

On prsente dabord les rsultats bruts tels quils seraient donns par un code decalcul standard. La figure ci-dessus prsente les isovaleurs de la contrainte quivalentede Von Mises traces sur la structure dforme (le dplacement est amplifi 167 fois).Les constatations suivantes peuvent tre faites :

une concentration des contraintes est bien observe au bord du trou. Dans le casdun trou circulaire, le facteur dintensit des contraintes est en premire approxi-mation de trois (pour les trous de petite taille). Cest--dire que :

max = knom avec k = 3

ou la contrainte nominale nom est :

nom = Fh

h r= 166, 7MPa

Ce rsultat peut tre affin par le dveloppement limit suivant [?] :

k = 3 3.13(dh

) + 3.66(d

h)2 1.53(d

h)3 = 2.2357

soitmax = 372.7MPa

les contraintes traces semblent continues dans le domaine. Elles ont manifeste-ment t lisses lors du trac.


3 Maillages uniformes

22 elts - 18 nds 102 elts - 65 nds 399 elts - 228 nds


Pour tudier linfluence du raffinement du maillage, nous utilisons les six maillagesuniformes prsents sur la figure ci-dessus. Entre chaque maillage, la taille caractris-tique des mailles t divise par deux. Le nombre dlments est donc peu prs multiplipar quatre. Pour chacun de ces maillages, le calcul sera fait avec des lments linaires(triangles trois noeuds) et avec des lments quadratiques (triangles six noeuds).

Le tableau ci dessous rassemble les caractristiques des maillages linaires (Li) etquadratiques (Qi) employs :

Nom Nbre dlments Nbre de noeuds Nbre de ddlL1 22 18 36L2 102 65 130L3 399 228 456L4 1457 831 1662L5 6192 3212 6424L6 24829 12647 25294Q1 22 57 114Q2 102 231 462Q3 399 854 1708Q4 1457 3208 6416Q5 6192 12615 25230Q6 24829 50112 100224


4 Dplacement

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 0.90

0.98

1.06

1.14

1.22

1.30

1.38

1.46

1.54

1.62

1.70X1.E2

Dplacement

taille des lments

TRI3

TRI6

E

Rfrence

1.E1 1.E0 1.E1 1.E2

1 1 1 12 2 24 4 46 6 61.E5

1.E4

1.E3

1.E2

1.E1

1.E0

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

6

6

6

6

6

E

Erreur en dplacement

taille des lments

TRI3

TRI6

visualisation des rsultats thorique de convergence, vitesse de convergence en fonction du type dlment.

Pour tudier linfluence de la discrtisation sur la solution en dplacement, on sint-resse au dplacement dun point de la plaque. Le problme tant linaire, les conclusionstires de ltude du dplacement vertical du point E seront valables pour toutes les com-posantes de dplacement de tous les noeuds du maillage.

Pour illustrer la convergence de la mthode, on prend comme solution de rfrencela solution obtenue sur un maillages quadratique deux fois plus fin que le maillage Q6(99363 lments, 199656 noeuds soit 399312 ddl).

La figure de gauche montre lvolution du dplacement vertical du point E en fonctionde la taille caractristique des maillages (de 20 0.625mm) pour les maillages linaires(TRI3) et quadratiques (TRI6).

La figure de droite montre lvolution de lcart en dplacement vis--vis de la solu-tion de rfrence.

On visualise bien ici les rsultats thoriques sur la convergence de la mthode deslments finis et sur la vitesse de convergence en fonction du type dlment (linaireou quadratique) [?].


5 Contraintes5.1 Discontinuit des contraintes

0

23

46

68

91

114

137

160

182

205

228

251

274

296

319

342

smxx (Mpa)

XY

Z

On sintresse maintenant la rpartition des contraintes dans la plaque. Pour sim-plifier, seule la composante xx est trace dans la suite.

La figure ci-dessus prsente la rpartition de la contrainte telle quelle est rellementcalcule lment par lment en post-traitement de la rsolution.

La contrainte est naturellement discontinue dun lment lautre. Cette disconti-nuit est particulirement visible sur les lments linaires pour lesquels la contrainteest constante par lment.

La figure prsente la rpartition de contrainte xx pour les maillages Q1, Q2 et Q3.La discontinuit est visible grce lchelle des couleurs mais aussi grce un dcalagede position verticale des lments proportionnel la discontinuit.

Il est alors clair que parler de contraintes en un point (ou en un noeud) na pas desens. Par ailleurs, le lieu du maximum des contraintes dpendra fortement du dcoupagedu domaine.


5.2 Lissage des contraintes

0

18

36

53

71

89

107

124

142

160

178

196

213

231

249

267

smxx (MPa)

X

Y

Z

Dans les codes de calculs employs en bureau dtude, il est trs courant de lisser lescontraintes lors du trac.

La figure ci-dessus prsente le mme tat de contrainte (maillage Q2) sans lissage etavec trois niveaux de lissages diffrents.

Pour obtenir les contraintes lisses, des valeurs de contraintes sont obtenues parmoyenne sur les lments entourant le noeud. Ces contraintes nodales sont alors inter-poles sur les lment de la mme manire quest interpol le dplacement. Le niveaude lissage dpend alors du nombre de plages considres dans lchelle des isovaleurs dutrac.

Il est important de noter que le lissage des contraintes nest quun artifice du trac.Il namliore en aucune manire la qualit de la solution en contrainte.

Il existe des techniques de reconstruction de champs de contraintes statiquementadmissibles (champs rguliers qui vrifient parfaitement les conditions dquilibre) [?].Ces techniques sont lheure actuelle encore coteuses et namliorent pas forcment laqualit du champ de contraintes calcul.


5.3 Evolution dans la zone de concentration

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 050

100

150

200

250

300

350

400

Abscisse (mm)

xx (MPa)

La figure ci-dessus prsente la rpartition de contraintes xx le long du bord DEpour les maillages linaires (L1 L6).

On obtient rapidement (ds le maillage Q3) une rpartition proche de la rpartitionde rfrence.

La discontinuit de la contrainte est, cest bien normal, plus forte dans la zone ola contrainte volue rapidement (on parle de zone fort gradient). Cette discontinuitdiminue avec la taille des mailles.


5.4 Convergence

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00X1.E2

Contrainte (MPa)

taille des lments

TRI3

TRI6

E

Rfrencexx

On trace maintenant lvolution de lcart du maximum de la contrainte xx vis--visde la solution de rfrence pour les diffrents maillages.

La convergence en contrainte est moins marque que la convergence en dplacement.Le maximum de la contrainte est beaucoup plus soumis aux alas de la taille et de laforme des mailles dans la zone de concentration.

Il est nanmois possible datteindre rapidement moins de quelques pour cent dcartavec la solution de rfrence.

Nom Nbre dlments Linaire Ecart Quadratique Ecartxx (MPa) (%) xx (MPa) (%)

L-Q1 22 175.0 53.5 277.5 26.2L-Q2 102 218.7 41.8 323.7 13.9L-Q3 399 342.7 8.9 381.2 1.3L-Q4 1457 363.6 3.3 377.5 0.4L-Q5 6192 357.1 5.0 375.5 0.2L-Q6 24829 361.3 3.9 375.8 0.1


5.5 Evolution dans la zone dapplication desefforts

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 096

097

098

099

100

101

102

103

Abscisse (mm)

xx (MPa)

La figure ci-dessus prsente le trac de la rpartition de contraintes xx le long dubord BC pour les maillages linaires (L1 L6). Dans cette zone, la solution thoriquedonne des contraintes en quilibre avec les efforts externes, soit :

~n = F~n xx = F avec F = 100Mpa

On obtient rapidement une rpartition trs proche de la rpartition thorique (moinsde un pour cent dcart).

Il est bien vident quil nest pas ncessaire dimposer un tel raffinement du maillagedans une zone o les contraintes sont quasiment constantes.


6 Maillages adapts6.1 Maillages employs

8 elts - 9 nds 28 elts - 22 nds


2452 elts - 1308 nds 9201 elts - 4828 nds 26953 elts-13905 nds

Nous utilisons maintenant des maillages adapts la situation. La zone de concen-tration des contraintes est bien identifie sur ce problme simple de plaque troue. Lesmaillages prsents sur la figure ci-dessus ont donc t adapts manuellement par desraffinements locaux successifs au bord du trou. Entre chaque maillage, la taille ca-ractristique des mailles au bord du trou a t divise par deux. Pour chacun de cesmaillages, le calcul sera fait avec des lments linaires (triangles trois noeuds) et avecdes lments quadratiques (triangles six noeuds).

le tableau ci-dessous rassemble les caractristiques des maillages adapts linaires(LAi) et quadratiques (QAi) employs :

Nom Nbre dlments Nbre de noeuds Nbre de ddlLA1 8 9 18LA2 28 22 44LA3 83 55 110LA4 624 353 706LA5 1485 802 1604LA6 2452 1308 2616LA7 9201 4828 9656LA8 26953 13905 27810QA2 28 71 142QA3 83 192 384QA4 624 1329 2658QA5 1485 3088 6176


6.2 Contraintes - lments linaires

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 050

100

150

200

250

300

350

400

Abscisse (mm)

xx (MPa)

La figure ci-dessus prsente le trac de la rpartition de contrainte xx le long dubord DE pour les maillages linaires (LA1 LA6).

On obtient l aussi trs rapidement la solution. La convergence semble tre obtenueds le maillage LA4. Les adaptations suivantes du maillage sont inutiles.


6.3 Contraintes - lments quadratiques

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

100

150

200

250

300

350

400

Abscisse (mm)

xx (MPa)

La figure ci-dessus prsente le trac de la rpartition de contrainte xx le long dubord DE pour les maillages quadratiques (QA2 QA5).

On constate le trs fort avantage des lments quadratiques pour ce type de pro-blme. La solution, mme si elle comporte un gradient de contrainte important, est toutde suite capte par les lments.


7 Illustration

Section de quadriple LHC(source CEA/DAPNIA/STCM - C. Gourdin/L. Champaney)

Nous montrons, sur un problme industriel, comment a t faite ladaptation dumaillage et quelles ont t les causes de ladaptation.

Il sagit de ltude dune section de quadriple du LHC (Large Hardon Collider),futur acclrateur de Genve. On cherche tudier ici les prcontraintes appliquer surles bobines pour viter lapparition de jeux une fois la bobine refroidie (pour atteindreun tat supra-conducteur) et soumise des efforts magntiques.

Si des jeux apparaissent, il y a risque de vibrations, donc de frottement et doncdlvation de la temprature. Une lvation de temprature peut conduire le matriau quitter son tat supra-conducteur et donc devenir rsistif, ce qui est catastrophiquecompte tenu de lintensit importante qui circule dans les conducteurs.

Nous ne prsentons pas ici les rsultats de ltude mais juste le maillage utilis.


Front CollarBack Collar

Bobbin

Coils

Keys

Insulators

Gomtrie dtaille

La structure tudie est un assemblage de tles enserrant une bobine forme de diversconstituants. Un quart de la section est modlis ici. Lassemblage est prcontraint parlinsertion de clavettes.

Les tles et les ples sont en acier. Les bobines (parties grises au centre du schma)sont un assemblage de diffrents matriaux : lments supra-conducteurs, cuivre, iso-lants.


2

10

6

5

3

4

La figure ci-dessus prsente la maillage (il y a, en fait, deux maillages supperpossqui correspondent deux tles). Les numros indiquent diffrentes zones pour lequellesnous donnons des indications quant au raffinement du maillage.

Zone 0 Dans cette zone au milieu des tles, ltat de contrainte est relativement ho-mogne, le maillage est laiss grossier.

Zone 1 Cette zone reprsente les bobines qui sont un assemblage de diffrents mat-riaux. A cause de cette disparit de matriau, les gradients de contraintes peuventtre importants : il y a plusieurs interfaces o vont se concentrer les contraintes.Le maillage devrait tre adapt dans cette rgion. Malheureusement, ce maillagesert de support aux forces dorigine magntique qui ont t calcules par un pr-cdent calcul. Pour des problmes de projection de champ, ce maillage ne peuttre adapt sans que le calcul magntique soit modifi.

Zone 2 Dans la zone des ples de bobine, on constate un tat de compression quasiuniforme : le maillage est laiss grossier.

Zones 3, 4 et 5 Il sagit de zones de concentration de contraintes faisant apparatrede faibles rayons de raccordement. Le problme local est le mme que celui de laplaque troue. Le maillage est raffin en consquence.

Zone 6 Il sagit dune zone sans intrt o la ralit gomtrique na mme pas tmodlise. Le maillage est donc laiss trs grossier.


8 Conclusions

Concentrations de contraintes, Convergence de la solution EF avec la taillede maille, rapide dans les zones faibles gradients, lente dans les zones forts gradients,

Discontinuit des contraintes, Lissage des contraintes, Raffinement local, Grande efficacit des lments quadratiques.

Dans ce chapitre, nous avons tudi le comportement de la mthode des lmentsfinis en prsence de concentrations de contraintes. Comme cela a t montr dans lespremiers chapitres de ce cours, la solution EF en contrainte est discontinue. Il faut doncde se mefier des rsultats couramment donns par les codes EF sous forme de champslisss.

Nous avons constat une convergence trs rapide de la solution EF dans les zones faibles gradients de contrainte. Par contre, dans les zones gradients plus forts, unraffinement du maillage simpose. Ce raffinement peut tre trs localis autour de lazone de concentration.

Nous avons observ une grande efficacit des lments quadratiques en dplacementpour ce type de problme.

Rfrences

[1] Batoz J.L. et Dhatt G., Modlisation des structures par lments finis, Volume I -Solides Elastiques, Herms, 1990.

[2] Trompette Ph., Mcanique des structures par la mthode des lments finis finis,Masson, 1992.

[3] Zienkiewicz O.C. et Taylor R.T. : The Finite Element Method Volume 1 : The Basics,5th Ed, Butterworth-Heinemann, 2000.
ProblmeRsultats brutsMaillages uniformesDplacementContraintesMaillages adaptsIllustrationConclusions

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