Construire des Construire des surfaces avec des surfaces avec des

polygonespolygonesPar Nanna et MarinePar Nanna et Marine

Lycée français Saint Louis de Lycée français Saint Louis de StockholmStockholm

ProblématiqueProblématique

Combien de surfaces différentes Combien de surfaces différentes peut-on construire avec un triangle ? peut-on construire avec un triangle ? En assemblant deux triangles ? 3 ou En assemblant deux triangles ? 3 ou 48 triangles ? 48 triangles ?

Et avec des carrés ? Des pentagones Et avec des carrés ? Des pentagones ??

Les RèglesLes Règles Les formes sont indéfiniment extensiblesLes formes sont indéfiniment extensibles On colle les arêtes deux par deuxOn colle les arêtes deux par deux On ne peut pas coller trois ou plus arêtes On ne peut pas coller trois ou plus arêtes

entre elles entre elles On ne peut pas collerOn ne peut pas coller une arête le long une arête le long

de deux arêtesde deux arêtes On s’arrête On s’arrête quand chaque arête a été quand chaque arête a été

collée à une autrecollée à une autre..

Un premier exemple : 2 Un premier exemple : 2 carréscarrés

Nous avons utilisé 2 carrés de tissu cousus Nous avons utilisé 2 carrés de tissu cousus ensemble :ensemble :

Pour utiliser le fait que les faces soient Pour utiliser le fait que les faces soient extensibles, nous avons utilisé un ballon de extensibles, nous avons utilisé un ballon de baudruche, introduit entre les carrésbaudruche, introduit entre les carrés

En soufflant nous obtenons alors ... une sphère !! En soufflant nous obtenons alors ... une sphère !!

Un deuxième exemple : 4 Un deuxième exemple : 4 trianglestriangles

Nous avons utilisé quatre triangles de tissu Nous avons utilisé quatre triangles de tissu que nous avons cousus ensembleque nous avons cousus ensemble

En déformant nous obtenons encore une En déformant nous obtenons encore une sphère.sphère.

Un troisième exemple : 1 Un troisième exemple : 1 carrécarré

Nous avons utilisé un seul carré de tissuNous avons utilisé un seul carré de tissu 11èreère étape : relier les côtés faces opposés du étape : relier les côtés faces opposés du

carrécarré Nous obtenons alors un cylindreNous obtenons alors un cylindre 22èmeème étape : relier les deux bases du cylindre étape : relier les deux bases du cylindre

Nous obtenons alors un tore Nous obtenons alors un tore

QuestionsQuestions

1) 1) Est-ce qu’on peut obtenir une sphère à Est-ce qu’on peut obtenir une sphère à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? partir de 3 triangles ? 4 triangles ? nn triangles ?triangles ?

2) 2) Même question pour un tore.Même question pour un tore.3) 3) Quelles sont les différentes façons de Quelles sont les différentes façons de

recoller six carrés pour faire une sphère ?recoller six carrés pour faire une sphère ?4) 4) Est-ce que l’on peut obtenir une surface Est-ce que l’on peut obtenir une surface

différente d’une sphère ou d’un tore ?différente d’une sphère ou d’un tore ?5) 5) Qu’est-ce que cela veut dire pour deux Qu’est-ce que cela veut dire pour deux

surfaces d’être différentes ?surfaces d’être différentes ?

1) Est-ce qu'on peut obtenir une sphère à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ?

Deux figures identiques superposées Deux figures identiques superposées forment toujours une sphère.forment toujours une sphère.

Soit un nombre Soit un nombre nn de triangles, où de triangles, où nn est un est un nombre pair. En construisant une figure nombre pair. En construisant une figure avec avec nn triangles et en la superposant sur triangles et en la superposant sur son identique formé deson identique formé de n n triangles aussi, on triangles aussi, on a une sphère.a une sphère.

Si il y a un nombre pair d'arêtes et donc de Si il y a un nombre pair d'arêtes et donc de triangles, on peut faire une sphère cartriangles, on peut faire une sphère car

3*nombre pair = nombre pair.3*nombre pair = nombre pair.

2) Est-ce qu'on peut obtenir un tore à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ?

Comme précédement, il faut un nombre pair d'arêtes pour que la figure puisse se fermer.On ne peut donc pas former de tore avec trois triangles car il y aurait deux arêtes collées sur une seule.On peut former un tore avec quatre triangles.

Dès que les triangles forment un quadrilatère, on peut former un tore.

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2 ,3 carrés)

Les différentes façons de recoller six Les différentes façons de recoller six carrés pour obtenir une sphère sont :carrés pour obtenir une sphère sont : tous les patrons du cubetous les patrons du cube

un alignement de six carrés un alignement de six carrés

deux alignements de trois carrésdeux alignements de trois carrés

  

  

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2 ,3 carrés)

On peut aussi obtenirOn peut aussi obtenir

une sphère avec une sphère avec unun carré : carré :

  Ou avec Ou avec deuxdeux carrés carrés

(cf exemple précédent) (cf exemple précédent)

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2 ,3 carrés)

Pour Pour deuxdeux carrés, 2 carrés, 2èmeème méthode : méthode :

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés)

Pour Pour deuxdeux carrés, 3 carrés, 3èmeème méthode : méthode :

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés)

Avec trois carrés : 1ère méthode

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés)

Avec trois carrés : 2ème méthode

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés)

Avec trois carrés : 3ème méthode

4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ?

On peut obtenir plusieurs surfaces différentes d'une sphère et d'un tore.On peut obtenir plusieurs surfaces différentes d'une sphère et d'un tore.

ApplicationApplication : :

On obtient un tore à deux trous. On obtient un tore à deux trous. 

4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ?

Remarque : si les différentes arêtes recollées se croisent selon n points n points d’intersectiond’intersection, alors la surface obtenue sera un tore à n troustore à n trous.

1 point d’intersection, 2 points d’intersection,

tore à un 1 trou tore à 2 trous

4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ?

A partir d’un polygone à n cotés, on A partir d’un polygone à n cotés, on pourra obtenir un tore à (n / 2) – 1 pourra obtenir un tore à (n / 2) – 1 trous.trous.

  Excemple de toreExcemple de tore

à trois trous obtenuà trois trous obtenu

à partir d’unà partir d’un

Octogone :Octogone :

5) Qu'est ce que cela veut dire pour deux surfaces d’être différentes ?

Deux surfaces sont différentes en Deux surfaces sont différentes en fonction du nombre de trous qu'elles fonction du nombre de trous qu'elles ont.ont.

La façon dont elles ont étéLa façon dont elles ont étéconstruites n'est pas importante,construites n'est pas importante,ni le nombre ou la nature desni le nombre ou la nature desfigures avec lesquelles elles ontfigures avec lesquelles elles ontété construites, car les surfacesété construites, car les surfaces sont extensibles et déformables. sont extensibles et déformables. 

Question générale (conclusion) :

Avec un nombre fixé de triangles (carrés, pentagones . . .) Avec un nombre fixé de triangles (carrés, pentagones . . .) on peut construire une surface de plusieurs manières.on peut construire une surface de plusieurs manières.

La sphère peut être construite de nombreuses manières qui La sphère peut être construite de nombreuses manières qui diffèrent selon le nombre de figures utilisées, leur nature et diffèrent selon le nombre de figures utilisées, leur nature et leur façon d'être assemblées.leur façon d'être assemblées.

Le point commun entre toutes ces manières est le fait qu'il y Le point commun entre toutes ces manières est le fait qu'il y ait toujours un nombre pair d'arêtes au total lorsque l'on a ait toujours un nombre pair d'arêtes au total lorsque l'on a assemblé toutes les figures. Ceci est valable pour n'importe assemblé toutes les figures. Ceci est valable pour n'importe quelle surface.quelle surface.