connaissance des nombres et calcul au cycle 3 : un détour par le collège

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Connaissance des nombres et Connaissance des nombres et calcul au cycle 3 :calcul au cycle 3 :

un détour par le collège un détour par le collège

Jean-François Chesné

IUFM de Créteil

21 novembre 2006

[email protected]

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Une question pour commencer

En admettant qu’une séance de mathématiques dure une heure et qu’il y a 36 semaines dans une année scolaire, combien de semaines de travail allons-nous gagner en une année scolaire en ne perdant pas 5 minutes à chaque séance? (Il y a 4 séances de mathématiques par semaine)

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Préambule

« S’il y a une chose encore plus difficile que d’apprendre les mathématiques, c’est de les enseigner. »

(Jean-Pierre Kahane)

Technique et sens : amis ou ennemis?

Réussite immédiate ou apprentissage?

«L’objectif prioritaire reste (…) que les connaissances numériques des élèves soient opératoires »

(Documents d’application p6 )

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Quelques « erreurs » d’élèves de sixième…

J'ai un élève de 6e qui m'a dit qu'il traitait la partie entière à part de la partie décimale lors de la soustraction 27,17-13,2

Je dis "sept demis", une élève comprend 7,5

1,2 × 100 = 100,200 ou encore: 3,5 ×10 = 30,50

Arrondis au centième : 1,234

Au premier cours de 6e, les élèves devaient compléter : 361 = ... × 100 + ... × 10 + ... ; sur une dizaine d'élèves dont j'ai contrôlé les cahiers, au moins trois m'ont répondu : 361 = 300 ×100 + 60 ×10 + 1

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… et d’autres!

Avec les 5es, j'ai commencé mercredi par un test de connaissances de 6e. Pour mettre 5,8 en fraction décimale, j'ai eu presque la moitié des élèves qui m'a écrit : 5/8

En début de 4e, plusieurs élèves me donnent encore : 4/9+4/9=8/18

2/3 : 5 = 3/2 × 5

Mes élèves font ce type d'erreur: 3a + 4x = 7ax

Plusieurs de mes élèves écrivent que : 3x × 5x = 15x

J'ai mis un peu de temps à comprendre pourquoi certains élèves répondaient 3 comme solution de l’équation de type 3x = 6

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Points d’appui et sommaire

Une relecture des documents d’application et d’accompagnementdes programmes

Une exploitation des résultats de l’évaluation nationale à l’entrée en sixième

Une réorganisation par compétences

Des distinctions école/collège

Quelques messages personnels

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L’évaluation à l’entrée en sixième

Permettre, à partir d’un repérage des points forts et des points faibles, de décider les actions pédagogiques adaptées aux besoins de chacun pour poursuivre ses apprentissages.

Fournir des aides à la décision pédagogique pour chaque élève, dans la classe, dans l’école, dans le cadre de la liaison « école – collège ».

Ses finalités :

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Présentation générale

Deuxième évaluation portant sur les programmes de 2002Identique à celle de septembre 2005

Références très fortes aux documents d’application des programmes du cycle 3

Items portant sur des compétences isolées

Très grande part faite aux compétences attendues en fin de cycle 3

(construction/structuration, consolidation/utilisation)

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Les compétences évaluées

Pas d’exhaustivité, accent mis sur :

Calcul mental automatisé

Calcul mental réfléchi

Calcul posé (techniques opératoires)

Connaissance des fractions et des nombres décimaux

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Un quiz

12,65 a pour partie entière 12 et pour partie décimale 65.

L’écriture décimale a été inventée avant la découverte de l’Amérique par Christophe Colomb.

Dans 2,4 le chiffre 4 vaut 2 fois le chiffre 2.

Au cycle 3 : 43/10 = 4,3 car « quand on divise par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche ».

Dans 7,38 le nombre de centièmes est 8.

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Connaissance des nombres

27 items sur 101:

13 sur les nombres entiers

14 sur les fractions ou les décimaux

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Connaissance des nombres entiers naturels

Les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres naturels (…) doivent être bien maîtrisées à la fin de l’école primaire. Elles sont indispensables à la poursuite des apprentissages au collège.

(Documents d’application p18)

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L’écriture chiffrée des entiers

No. de l'item Tâche Hors ZEP 2005

ZEP 2005

MAT 051 475 93,4% 90,5%

MAT 052 3003 94,8% 92,2%

MAT 053 627 000 76,2% 64,8%

MAT 054 1 600 000 74,5% 65,2%

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Mettre en oeuvre des relations entre 25 et 100, 15, 45 et 60


ZEP 2005

MAT 024 25 + ? = 100 73,1% 65,6%

MAT 025 4 fois 25 71,4% 65,3%

MAT 026 60 divisé par 4 41,1% 35,1%

MAT 027 ? fois 15 = 60 71,5% 65,5%

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Ce que disent les documents d’application (p20)

La structuration des nombres autour du nombre 100 fait l’objet d’une attention particulière.Exemples de relations :100 = 75 + 25 ;100 = 4 25;75 = 3 25.La diversité des écritures d’un même nombre est mise en évidence, par exemple pour le nombre 15 :10 + 5 ; 3 5; la moitié de 30 ; le quart de 60.

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Ce que disent les documents d’accompagnement (p90)Articulation école/collège

Les élèves ont eu l’occasion de s’assurer une première maîtrise de certaines relations arithmétiques entre les nombres : utilisation de relations du type double, moitié, triple, tiers, trois quarts, deux tiers…, relations entre nombres d’usage courant, par exemple entre 5, 10 , 25, 50, 75, 100 ou entre 5, 15, 30, 45, 60.

Elle constitue un point d’appui pour le calcul mental.

Cette première culture du nombre entier doit être enrichie et consolidée au collège.

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Connaître et utiliser des expressions: double, moitié, tiers, quart


ZEP 2005

MAT 055 12 est le double de 6 72,0% 61,5%

MAT 056 5 est le tiers de 15 52,2% 41,4%

MAT 057 17 est la moitié de 34 56,6% 44,0%

MAT 058 25 est le quart de 100 51,3% 38,0%

MAT 059 25 est le tiers de 75 42,7% 31,7%

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Une remarque personnelle

100 = 4 25 ou 100 = 25 4 ?

On parle bien de: 100 = 25 + 25 + 25 +25 ?

Ou encore de 4 fois 25?

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Connaissance des fractions et des nombres décimaux (1)

Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux.


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L’étude des fractions et des nombres décimaux sera poursuivie au collège. Il convient donc de distinguer les compétences qui doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège.


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Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite.


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Fractions et mesures de longueurs

L’écriture à virgule est présentée comme une convention une convention d’écritured’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales, le lien avec le système métrique étant fait ensuite.

La fraction est introduite en référence au partage d’une unité, le dénominateur indiquant la nature du partage et le numérateur le nombre de “ parts ” considérées ( 3/4 , lu « trois quarts », est compris comme « trois fois un quart »).

(Articulation école/collège p91)

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Utiliser des fractions pour coder le résultat

de mesurages de longueurs


ZEP 2005

MAT 085 1/8 82,0% 72,6%

MAT 086 2/8 75,7% 65,5%

MAT 087 5/8 75,2% 64,2%

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Construire un segment dont la mesure de la longueur

est donnée sous la forme d'une fraction


ZEP 2005

MAT 034 1/4 de la longueur 51,9% 34,8%



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Les compétences visées sur les fractions

• Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d’entiers et de fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires, une unité de mesure étant choisie explicitement.

• Une unité de longueur étant fixée explicitement, construire un segment ou une bande de papier dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d’une fraction.

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Quelques exemples

Au cycle 3, le quart de 12 (unités) se pense et s’écrit 12 : 4, mais ne s’écrit pas encore 12 × .

Le quart de 12 ne s’écrit pas encore

14

124

Le lien entre les deux conceptions, qui auront la même écriture, relève du collège .

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segment de longueur 1 unité

?3434 ou

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?3434 ou

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le tiers de 1 unité segment de longueur 1 unité

?3434 ou

30

?3434 ou


31


?3434 ou

32

le tiers de 1 unité

longueur = "quatre tiers de 1 unité"


?3434 ou

33




?3434 ou

34




?3434 ou

35




?3434 ou

36




?3434 ou

37




?3434 ou

38




?3434 ou

39



longueur = "le tiers de 4 unités"


?3434 ou

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Quatre tiers sous toutes ses formes

Un tiers + un tiers + un tiers + un tiers

4 fois un tiers

Une unité + un tiers

Deux unités - deux tiers

Et des représentations graphiques variées…

41

?94

94

42

?94

94

?94

94

43

?94

94

?94

94

+

=

44

188

94

94

?

45

Des fractions aux nombres décimaux

En dehors de la connaissance des fractions d’« usage courant », le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales ( fractions de dénominateurs 10, 100, 1 000…).

(Documents d’application p 21)

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Associer les désignations orales et l’écriture chiffrée d’un nombre décimal

Exemples: 14,5 se lit 14 et demi ou 14 et 5 dixièmes ; 5,23 se lit 5 et 23 centièmes ou 5 et 2 dixièmes et 3 centièmes.La lecture courante (5 virgule 23) n’est pas exclue, mais il s’agit de ne pas la systématiser dans la mesure où son usage trop fréquent contribue à envisager le nombre décimal 5,23 comme deux entiers juxtaposés (5 d’un côté et 23 de l’autre).


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Tout commence vraiment à l’école…

Dès l’école primaire, les nombres décimaux peuvent être utilisés dans des problèmes de division prolongée au-delà de la virgule (problèmes de partage de longueurs, par exemple), sans que pour autant l'écriture fractionnaire ne soit introduite pour désigner 1e quotient .

(Document d’accompagnement Articulation école/collège p92)

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Les différentes écritures des décimauxNo. de l'item Tâche Hors ZEP

2005 ZEP 2005

MAT 039 80,4 52,3% 41,4%

MAT 041 96 + 2/100 59,7% 45,2%

MAT 071 Nombres entre 1,9 et 3,15 49,9% 35,0%

MAT 080 724/100 53,5% 37,1%

MAT 088 895,53 38,1% 25,4%

MAT 089 385/10 21,8% 9,7%

MAT 090 12 + 5/100 24,9% 12,6%

MAT 101 0,25 et 1/4 27,5% 13,2%

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Ce qui fait dire …

… à André Pressiat :

« Le thème des nombres décimaux fait l’objet depuis de nombreuses années d’items dans les évaluations nationales, et les résultats stagnent, au point que la situation du point de vue de l’apprentissage est sur le point de se naturaliser. »

… et à Roland Charnay :

« Du côté de l’école primaire, le travail sur la compréhension des écritures décimales (valeur des chiffres en fonction de leur position, relations entre unités de rangs différents) est insuffisant et laisse trop rapidement la place à la mise en place de techniques ou de questions formelles (repérage du chiffre des dizaines et de celui des unités, par exemple). »

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En résumé

« L’écriture à virgule » est une convention d’écriture

On mettra en avant la valeur d’un chiffre dans une écriture décimale en fonction de sa position

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Le passage fraction décimale/écriture décimale se fera avec précaution

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L’écriture décimale

• Les fractions décimales sont très anciennes, mais ont longtemps coexisté avec d’autres fractions, comme les quantièmes égyptiens ou les fractions sexagésimales babyloniennes.

• Ce n’est qu’en 1585 que Simon Stevin, dans son célèbre ouvrage, La Disme, introduit une écriture qui libère les calculs de la manipulation des fractions décimales.

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Quelques exemples

Le type d’erreur 0,5 × 3 = 0,15 est typique de la perte de signification de l’écriture utilisée.

Il est essentiel pour un élève de comprendre que dans l’écriture 2,4 c’est le 2 qui « vaut le plus »

La partie décimale de 3, 72 n’est pas 72 mais 72 centièmes.

43 dixièmes ne se pensent pas comme 43 : 10, mais comme 4 fois dix dixièmes et 3 dixièmes

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Quelques pistes d’enseignement sur les fractions

Faire manipuler les élèves (grandeurs)

Soigner le moment du passage aux mesures Associer les désignations orales ou littérales (décompositions, comparaisons et opérations)

Introduire avec vigilance la notation « a sur b »

Une fraction n’est pas a priori un nombre

Ne pas s’en tenir aux fractions inférieures à l’unité

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Quelques pistes d’enseignement sur les décimaux

L’écriture décimale est plus « économique », mais s’accompagne d’une perte de sens

Les techniques opératoires donnent du sens à l’écriture décimale

Les désignations orales ou littérales ne doivent pas disparaître de façon prématurée

Le passage d’une écriture à une autre est fondamental

Certaines fractions ne sont pas des décimaux !

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Le calcul

33 items :

10 en calcul mental automatisé

10 en calcul mental réfléchi

13 en calcul posé

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Le calcul mental à l’école élémentaire

Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2.

Il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser et ce qu’il faut être capable de reconstruire.

(Documents d’application p6 )

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Le calcul mental automatisé (1)


ZEP 2005

MAT 001 9 + 9 98,6% 97,9%

MAT 002 8 + 7 95,2% 93,3%

MAT 003 5 + ? = 11 94,7% 94,4%

MAT 004 2 + ? = 10 95,4% 94,2%

MAT 005 9 + ? =13 95,7% 95,4%

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Un document d’accompagnement très détaillé

La capacité à fournir instantanément de tels résultats est évidemment essentielle. La stabilisation complète du répertoire additif est très rarement achevée avant l’entrée au cycle 3. Le travail doit donc être poursuivi pour permettre aux élèves de mémoriser de nouveaux résultats, de reconstruire très rapidement ceux qui ne sont pas mémorisés en s’appuyant sur ceux qui le sont, et cela aussi bien pour calculer des sommes, des différences, des compléments ou obtenir des décompositions. (p41)

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Le calcul mental automatisé (2)


ZEP 2005

MAT 006 6 fois 8 70,3% 63,2%

MAT 007 9 fois 9 88,0% 86,3%

MAT 008 ? fois 5 = 35 81,6% 80,0%

MAT 009 ? fois 9 = 27 75,1% 73,7%

MAT 010 ? fois 8 = 56 55,0% 49,6%

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Connaître « les tables de multiplication »

La capacité à fournir instantanément de tels résultats est essentielle. La stabilisation complète du répertoire multiplicatif nécessite au moins deux années de travail au cycle 3 et doit être soutenue dans la dernière année, puis au collège. Il faut souligner que la récitation mécanique des tables constitue un obstacle à la mobilisation rapide d’un résultat quelconque. Le repérage de régularités ou de particularités sur la table de Pythagore peut constituer une aide à la mémorisation. Et ne pas oublier que connaître 8 6 = 48, c’est tout autant pouvoir donner rapidement ce résultat que répondre à « Combien de fois 8 dans 48 ? », à « Diviser 48 par 6 » ou décomposer 48 sous forme de produits de deux nombres inférieurs à dix. (p45)

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Le calcul mental réfléchi

Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé.(…) D’autres représentations des nombres sont mobilisées, notamment celles qui sont liées à leur expression dans les deux systèmes de numération utilisés, numération chiffrée et numération orale. Ces deux numérations ne sont pas exactement superposables.

La traduction chiffrée de « quatre-vingt douze » ne fait intervenir ni 4, ni 20, ni 12. C’est une première raison pour laquelle il n’est pas équivalent de proposer un calcul à faire mentalement sous la forme écrite “ 92 + 15 = ? “ et sous la forme orale « quatre-vingt douze plus quinze ». Une autre raison relève de la mémorisation. (p45)

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Ce qui a été évaluéNo. de l'item Tâche Hors ZEP

2005 ZEP 2005

MAT 060 31 - 3 88,7% 85,6%

MAT 061 126 + 9 84,9% 81,6%

MAT 062 105 - 10 86,8% 83,8%

MAT 063 43 + ? = 100 63,7% 55,0%

MAT 064 37 + 99 64,1% 60,3%

MAT 065 3600 + 1400 58,9% 50,7%

MAT 066 53 - 8 73,6% 67,9%

MAT 067 20 fois 18 36,8% 26,4%

MAT 068 40 fois 25 35,9% 25,4%

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Pierre à la boulangerie


ZEP 2005

MAT 040 Pierre 33,8% 33,0%

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Calcul mental et « petits problèmes »

Il n’est pas équivalent de poser la question « calculer 17 + 23 » (oralement ou par écrit) et le problème « Arnaud avait 17 billes et en gagne 23 ; combien en a-t-il maintenant ? ». Chacun de ces énoncés active une représentation de la tâche à accomplir. Dans le premier cas elle porte sur des nombres “purs”, dans le second elle s’appuie sur l’évocation d’un certain champ de réalité. L’expérience montre surtout qu’il s’agit, dans le second cas, d’un moyen efficace d’aider les élèves à progresser dans la maîtrise du « sens des opérations ».

(Document d’accompagnement p37/38)

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Le calcul posé à l’école élémentaire (1)Aujourd’hui l’apprentissage des techniques de calcul posé ne se justifie plus par leur utilisation effective dans la société, mais doit être centré sur deux objectifs essentiels : - une maîtrise de ces techniques, dans des cas simples, permet aux individus de mieux apprécier l’efficacité des instruments qu’ils utilisent ;

- un travail visant à la construction, à l’analyse et à l’appropriation de ces techniques conduit à utiliser et combiner de nombreuses propriétés relatives au système d’écriture des nombres et aux opérations en jeu ; en retour, ce travail assure une meilleure maîtrise de ces propriétés.

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Le calcul posé à l’école élémentaire (2)

En résumé, l’étude des techniques de calcul posé doit être résolument orientée vers la compréhension et la justification de leur fonctionnement. Elle ne peut donc, en aucun cas, se limiter à l’apprentissage de récitatifs.

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Ce qui a été évaluéNo. de l'item Tâche Hors ZEP

2005ZEP 2005

MAT 015 1357 + 728 + 463 + 506

77,9% 73,4%

MAT 016 445 - 238 80,9% 76,4%

MAT 017 164,8 + 26,57 73,6% 67,4%

MAT 018 127,58 - 13,2 70,9% 62,2%

MAT 028 876 x 34 48,4% 39,3%

MAT 029 523 x 305 57,1% 47,8%

MAT 030 27,5 x 23 31,9% 24,2%

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A propos des multiplications

En 2001, le calcul de 64 x 39 n’est réussi que par 54 % des élèves. En 2000, ceux de 45 x 19 et de 523 x 205 sont réussis par respectivement 67 % et 60 % des élèves. Et, contrairement à une idée répandue, l’analyse des réponses montre que les erreurs dues à une connaissance insuffisante des tables de multiplication sont nettement plus nombreuses que celles qui peuvent être attribuées à un manque de maîtrise de la technique.

L’observation de la disposition des facteurs dans l’opération posée peut être un élément à prendre en compte dans le cadre d’une formation inter-cycle ou d’une liaison école-collège visant l’harmonisation des pratiques ou l’articulation des apprentissages, que ce soit ici sur la technique de la multiplication ou sur sa justification .

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Les divisions


ZEP 2005

MAT 072 81 : 6 62,7% 54,1%

MAT 073 408 : 12 54,9% 44,9%

70

Division et numération

Comment faire pour partager 81 en 6?

On commence par partager les 8 dizaines

Chaque part vaut une dizaine …

… 3 unités …

… et 5 dixièmes

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Multiplier et diviser par 10 ou 100


ZEP 2005

MAT 091 23 x 10 90,9% 84,8%

MAT 092 35,2 x 100 34,6% 21,3%

MAT 093 630 : 10 70,8% 57,9%

MAT 094 9367 : 100 48,9% 32,8%

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Comment faire? (1)

Multiplier 23 par 10 revient à chercher une autre écriture de 23 dizaines .

Diviser 630 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 630.

73

Comment faire? (2)

35,2 c’est : 3 dizaines, 5 unités, 2 dixièmes .

10 fois 35,2 c’est : 30 dizaines 50 unités 20 dixièmes

Soit 3 centaines 5 dizaines 2 unités

Ce qui s’écrit 352

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Pourquoi faire aussi compliqué?

En abandonnant le fameux décalage de la virgule :

L’effet de la multiplication est rendu sur chaque chiffre

La règle est la même pour les décimaux que pour les entiers

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Quelques autres items…


ZEP 2005

MAT 019 5 kg = 5 000 g 62,3% 55,0%

MAT 020 630 mm = 63 cm 61,5% 50,0%

MAT 021 400 m = 0,4 km 51,7% 37,0%

MAT 022 1,5 L = 150 cL 38,1% 26,5%

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Ce qui relève clairement de l’école

• Ecriture des nombres entiers

• Techniques opératoires ( + et - )

• Une première approche des fractions

• « Tables » d’addition et de multiplication

• Un premier travail sur les durées

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Ce qui est en phase de consolidation

• Le partage d’un segment ou d’une surface

• La connaissance et l’écriture des décimaux

• La multiplication ou la division par 10,…

• Les « conversions » (longueurs, masses, contenances, et le début des aires)

• La « culture » des nombres entiers

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Ce qui relève clairement du collège

• La fraction quotient• L’utilisation des décimaux pour l’approche du quotient de deux entiers• Des écritures en ligne « expertes »• Les volumes (unités et calculs)

• La multiplication d’un entier par un décimal et la multiplication de deux décimaux

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En forme de conclusion, quelques messages personnels…

Dégager des moments de synthèse afin d’établir des bilans courts et cohérents

Favoriser la pérennisation des compétences visées par une mobilisation fréquente et régulière

Respecter les étapes de construction des apprentissages Prendre son temps

Consulter les programmes et les documents d’accompagnement de l’école et du collège

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…deux grands principes…

« Il serait vain de penser faire progresser les élèves en leur fournissant des stratagèmes qui conduisent à la réalisation de tâches

purement mécaniques. Ce serait même un contre-sens. »

C’est la diversité des situations et des représentations qui favorise l’évolution des concepts et leur mise en fonctionnement.

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…Une question d’actualité…

Entre fiches et pseudo-constructivisme, existe-t-il une autre voie?

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…Des solutions envisageables…

• Un travail collectif de réflexion et de conception dans les équipes d’enseignants, intra et inter cycles

• Des liaisons locales 1er/2nd degré basées sur les pratiques des uns et des autres

• Des stages de formation continue sur les contenus mis en jeu

• Des formations à distance comme celles qui sont initiées par une plate-forme comme BSCW ou un site comme TFM(http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/)

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…Et la réponse au problème initial

• 5 min 4 = 20 min 20 min 36 = …?

• 20 min = 1/3 h 1/3 h 36 = 12 h

• le temps « perdu » représente 1/12 de la durée totale de cours. 36 semaines 1/12 = 3 semaines

Variante : les séances durent 55 minutes et l’année scolaire est composée de 33 semaines.

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Les sites consultés : Les sites consultés :

http://evace26.education.gouv.fr/

http://eduscol.education.fr/D0048/primacc.htm

http://eduscol.education.fr/D0049/jeux_nombres.htm

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/index.php

http://eduscol.education.fr/D0015/LLPHAG00.htm