Cône (géométrie)

En géométrie, un cône désigne une surface réglée ou bien un solide

Sommaire

1 Surface1.1 Cas général1.2 Cône de révolution1.3 Sections d'un cône de révolution par un plan

2 Solide2.1 Cas général2.2 Cas du cône de révolution2.3 Section du cône de révolution par un plan2.4 Patron ou développement d'un cône de révolution

3 Voir aussi3.1 Articles connexes3.2 Liens externes

Surface

Cas général

Un cône est une surface réglée définie par une droite(d), appelée génératrice, passant par un point fixe Sappelé sommet et un point variable décrivant unecourbe plane fermée (c), appelée courbe directrice.

On parle aussi dans ce cas de surface conique.

Cône de révolution

Parmi ces surfaces coniques, la plus étudiée est lecône de révolution dans lequel la courbe directrice estun cercle de centre O situé dans un planperpendiculaire à (SO). Ce cône est appelé derévolution car il peut être généré simplement par larotation d'une droite (d) passant par S autour d'unaxe (Sz) différent de (d). La génératrice du cône faitalors un angle fixe a avec l'axe de rotation.

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Intersection d'un plan et d'un cône de révolution

C'est à partir de ce cône de révolution que lesmathématiciens (dont Apollonius de Perga) ontclassifié un ensemble de courbes comme desconiques (intersection du cône et d'un plan) : cercles,ellipses, paraboles, hyperboles.

Dans le repère orthonormal (S, i, j, k), l'équation du cône de révolution d'axe (Sz) et de sommet S est donnéepar :

où α est l'angle du cône, formé par l'axe et une génératrice.

Sections d'un cône de révolution par un plan

Dans les cas où le plan est parallèle ou perpendiculaire àl'axe de révolution du cône on obtient les courbessuivantes :

La section d'un cône de révolution par un planperpendiculaire à l'axe de révolution est un cercle.La section d'un cône de révolution par un planparallèle à l'axe de révolution est

l'union de deux droites sécantes si le plan contientl'axe de révolutionune hyperbole dans le cas contraire

Plus généralement , la section d'un cône de révolutionpar un plan donne une conique. Ainsi on trouve,

une parabole (réduite éventuellement à une génératrice) lorsque le plan est strictement parallèle à unegénératrice du côneune ellipse (éventuellement réduite à un point) quand l'angle que forme le vecteur normal au plan et l'axe derotation est inférieur à π/2 - αune hyperbole (éventuellement réduite à deux droites sécantes) quand l'angle que forme le vecteur normal auplan et l'axe de rotation est isupérieur à π/2 - α

Solide

Cas général

On appelle aussi cône le solide délimité par la surface conique , lesommet S et un plan (P) ne contenant pas S et sécant à toutes lesgénératrices. La section du plan et de la surface s'appelle la base ducône.

Lorsque la section est circulaire de centre O et que la droite (OS) estperpendiculaire à la section, le cône est appelé cône de révolution

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cône de révolution et cônequelconque

cône de révolution

ou cône circulaire droit. C'est le cône le plus connu (cornet deglace, chapeau de clown). Dans ce cas, la distance séparant lesommet d'un point quelconque du cercle est constante et s'appellel'apothème du cône.

Lorsque la courbe fermée est un polygone, on obtient une pyramide.

Quelle que soit la forme du cône, son volume est toujours

où B est la surface de la base et h la hauteur du cône, c'est-à-dire la distance séparant le sommet S et le plan(P)

Cas du cône de révolution

Dans le cas particulier du cône de révolution, les formules du volume V et del'aire A (aire de la surface enfermant le cône: aire latérale + base circulaire) sont

,

où r est le rayon du cercle de base, h la hauteur du cône et

l'apothème du cône.

L'aire latérale Al (sans la base) vaut

or, d'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on a

où α est le demi-angle au sommet. Si A0 est l'aire de la base π·r 2, on a alors

Cette formule sert par exemple à calculer l'aire du front de flamme dans le cas d'une flamme conique, donc laconsommation de gaz et la puissance de cette flamme.

Section du cône de révolution par un plan

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Développement du cône de révolution

Quand on coupe un solide, cône de révolution, par un plan parallèle à la base, on obtient un cercle. Le rayon r1de ce cercle s'obtient en fonction du rayon r de la base, de la hauteur h du cône et de la distance h1 entre leplan et le sommet du cône en utilisant le théorème de Thalès :

Quand on coupe ce même cône par un plan contenant son axe de révolution , on obtient un triangle isocèle debase 2r et de hauteur h.

Patron ou développement d'un cône de révolution

Pour obtenir le patron d'un cône de révolutionde rayon r et de hauteur h, il faut d'abordcalculer l'apothème

Il suffit alors de tracer un cercle de rayon r etune portion de cercle de rayon a dont l'angle au

centre vaut de l'angle plein.

Voir aussi

Articles connexes

Cône (analyse convexe) : généralisation du concept de cône à des espaces vectoriels de dimension supérieureCône de lumièreConiquePerspective coniqueStéradian

Liens externes

A. Javary, Traité de géométrie descriptive, 1881 (sur Gallica) : Cônes et cylindres, sphère et surfaces dusecond degré (http://notices.bnf.fr/AfficherNoticeServlet?idNotice=37251169)

Solides géométriques

Les polyèdres

Les solides de Platon

Tétraèdre régulier - Cube - Octaèdre régulier - Icosaèdre régulier - Dodécaèdre régulier

Les solides d'Archimède

Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdretronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit

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rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grandrhombicosidodécaèdre

Les solides de Kepler-Poinsot

Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre

Les solides de Catalan

Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre -Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique -

Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdretrapézoïdal - Hexaki icosaèdre

Les solides de Johnson

Les solides de révolution

Boule - Cône de révolution - Cylindre de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution

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