concepts fondamentaux pour l’aide à la décision · fonction d’utilité cardinale associée à...

GDR MACS GDR MACS –– Journées de Nantes Journées de Nantes –– Mars 2004Mars 2004

Concepts fondamentauxConcepts fondamentauxpour l’aide à la décision pour l’aide à la décision

Groupe MAGroupe MA22D D -- LASSLASS


Plan Plan

1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux

concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité

3 3 –– Modélisations Modélisations 4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs

problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation

5 5 –– Questions ouvertes Questions ouvertes

La prise de décision : un phénomène extrêmement complexeLa prise de décision : un phénomène extrêmement complexe-- processus chaotiqueprocessus chaotique-- fruit de confrontationfruit de confrontation-- se construisant lentementse construisant lentement

(R. (R. PrélazPrélaz--DrouxDroux))

Le déroulement du processus de décision passe par :Le déroulement du processus de décision passe par :-- l’exposé informel, la définition du problèmel’exposé informel, la définition du problème-- la conception du cadre d’analyse, la liste des solutions,la conception du cadre d’analyse, la liste des solutions,la performance des solutionsla performance des solutions-- un choixun choix-- l’analyse rétrospectivel’analyse rétrospective

(H. Simon)(H. Simon)


Sur un plan davantage fonctionnel, le processus deSur un plan davantage fonctionnel, le processus dedécision peut être vu comme un continuum :décision peut être vu comme un continuum :






5 5 –– Questions ouvertesQuestions ouvertes


Définition d’une relation de préférenceDéfinition d’une relation de préférence

E : ensemble d’objetsE : ensemble d’objets

eeii eejj

Décideur Décideur

Relation binaire dRelation binaire dééfinie sur Efinie sur E

eeii ≥≥ eejj si et seulement si si et seulement si «« eeii est prest prééfféérréé ou indiffou indifféérent rent àà eejj »» est vraiest vrai

≥≥ est un prest un prééordre total sur Eordre total sur E

Relation qui traduit les préférences du décideur sur l’ensemble Relation qui traduit les préférences du décideur sur l’ensemble des objetsdes objets


Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence

-- Par une relation binaire, selon la définition précédentePar une relation binaire, selon la définition précédente

-- Par une généralisation :Par une généralisation :fonction de préférence P : fonction de préférence P : ExEExE →→ II

P(x,y) = P(x,y) = αα, , αα ∈∈ I


I

Exemple Exemple

I = I = {{1, 2, e, a1, 2, e, a}}

P(x,y) = 1 P(x,y) = 1 ⇔⇔ x prx prééfféérréé àà yy

P(x,y) = 2 P(x,y) = 2 ⇔⇔ y pry prééfféérréé àà xx

P(x,y) = e P(x,y) = e ⇔⇔ x et y x et y «« indiffindifféérentsrents »»

P(x,y) = a P(x,y) = a ⇔⇔ x et y rejetx et y rejetééss

Approche Approche à la « Arrow »à la « Arrow »

Prix NobelPrix Nobeld’économied’économie

19721972avec J. R. HicksPréordre partielPréordre partiel avec J. R. Hicks

Fonction d’Utilité Ordinale associée à une Relation de Préférence

Soit u(.) une application de E dans ℝ

u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽ si et seulement si :

ei ej≽ u(ei) ≥ u(ej)

e i

u(e i)

u(.)

E objets

NombresRéels

Structure existante :ordre

(classement sans ex-aequo)

Structure induite :préordre

(classement avec ex-aequo)


Fonction d’Utilité Ordinale associée à une Relation de Préférence

E = { }

u(.)u(.)

33

22

11

44

v(.)v(.)

6464

2727

88

11

EE IRIRu(.)u(.)

v(e) = u(e)v(e) = u(e)33

v(.) = fv(.) = f°°u(.)u(.)

IRIRf(x) = xf(x) = x33

f(.)f(.)

Si u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽ alorsSi u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽ alors quelle que quelle que soit l’application réelle f strictement croissante, v(.) = fsoit l’application réelle f strictement croissante, v(.) = f°°u(.) est une fonction u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽d’utilité ordinale associée à ≽


Fonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de PréférenFonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de Préférencece

et u(.) une application de E dans IR et u(.) une application de E dans IR Soit [E,Soit [E, , , ] un espace vectoriel r] un espace vectoriel rééelel

u(.) est une fonction du(.) est une fonction d’’utilitutilitéé cardinale associcardinale associéée e àà ≽≽ si et seulement si :si et seulement si :

eeii eejj≽≽ u(u(eeii) ) ≥≥ u(u(eejj))

u(u(eeii eejj) = u() = u(eeii) + u() + u(eejj))

u(l u(l eeii) = l ) = l u(u(eeii) )

Remarques :Remarques :u(.) est une forme linéaire sur Eu(.) est une forme linéaire sur E

u(u(eeii) est interprété comme le niveau de satisfaction procurée par ) est interprété comme le niveau de satisfaction procurée par eeii



1 1 -- Si Si θθ est l’élément neutre de la somme dans E, alors : u(est l’élément neutre de la somme dans E, alors : u(θθ) = 0) = 0

2 2 -- Si u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ aloSi u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ alors, quelle que soit rs, quelle que soit l’application linéaire réelle f, strictement croissante, v(.) = l’application linéaire réelle f, strictement croissante, v(.) = ff°°u(.) est une fonction u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽d’utilité cardinale associée à ≽

33-- si u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ alosi u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ alors, quelle que rs, quelle que soit k > 0, v(.) = k u(.) est une fonction d’utilité cardinale asoit k > 0, v(.) = k u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ ssociée à ≽

RemarqueRemarqueL’utilité cardinale est interprétée comme une mesure de la satisL’utilité cardinale est interprétée comme une mesure de la satisfaction.faction.comme pour toute mesure il faut alors définir un référentiel, c’comme pour toute mesure il faut alors définir un référentiel, c’estest--àà--diredireune origine et une unité.une origine et une unité.

Plus précisémentPlus précisément

Il faut définir dans E un objet « origine » (satisfaction nulleIl faut définir dans E un objet « origine » (satisfaction nulle))

Il faut définir dans E un objet « unité » (satisfaction égale àIl faut définir dans E un objet « unité » (satisfaction égale à 1)1)

L’objet « origine » est fixé c’est l’élément neutre L’objet « origine » est fixé c’est l’élément neutre θθ de la somme dans Ede la somme dans E

L’objet « unité » est laissé au libre choixL’objet « unité » est laissé au libre choix



Structure existante :Structure existante :ordre ordre espace vectorielespace vectoriel

en particulier :en particulier :••additionaddition••multiplication par un réelmultiplication par un réel••zérozéro

Structure InduiteStructure Induitepréordrepréordre

espace vectorielespace vectorielen particulier :en particulier :

••addition des modalitésaddition des modalités••multiplication d'une modalité par un réelmultiplication d'une modalité par un réel

••modalité nulle"modalité nulle"une propriété : une propriété :

si u(.) et v(.) sont deux utilités cardinales traduisantsi u(.) et v(.) sont deux utilités cardinales traduisantle même préordre, alors il existe un réel k>0 tel quele même préordre, alors il existe un réel k>0 tel que

v(.) = k u(.)v(.) = k u(.)

Utilité CardinaleCardinale

NombresNombresRéelsRéels

u(.)u(.)

Objets EObjets E

θ

0 = u(0 = u(θθ))


Structure NeumannienneStructure Neumannienne

(Von Neumann, Morgenstern, (Von Neumann, Morgenstern, TheoryTheory of of gamesgames and and economiceconomic behaviorbehavior, Princeton , Princeton University Press 1953, (pages 24 University Press 1953, (pages 24 --29))29))

E un ensemble dE un ensemble d’’objets, objets, n > 0 un entier n > 0 un entier ∆∆(n) = {(n) = {αα / / αα = (= (αα11, . . . , , . . . , ααnn), ), ααii supsupéérieur ou rieur ou éégal gal àà 0, 0, ΣαΣαii = 1}= 1}

barbarnn : E: Enn x x ∆∆(n)(n) E E (bar(barnn))n>1n>1 famille dfamille d’’applicationsapplications

telles que, quel que soit n > 2 , barn[e1, . . ., en, α] est égal à :barn-1{e1, ..., en-2, bar2[en-1,en, (αn-1 /(αn-1+ αn) , αn/(αn-1+ αn))],(α1, . . . , αn-1+ αn)}

et baret bar22 vvéérifierifie

barbar22{e{e11, bar, bar22[e[e11, e, e22, (, (αα11, , αα22)], ()], (ββ11, , ββ22)} = bar)} = bar22[e[e11, e, e22, (, (ββ11+ + ββ2 2 αα1 1 , , ββ2 2 αα22)] )]

barbar22{bar{bar22[e[e11, e, e22, (, (αα11, , αα22)], e)], e22, (, (ββ11, , ββ22)} = bar)} = bar22[e[e11, e, e22, (, (ββ1 1 αα1 1 , , ββ22+ + ββ1 1 αα22)] )]

[E, [E, (bar(barnn))n>1n>1] est appel] est appeléé structure neumaniennestructure neumanienne


Structure NeumannienneStructure Neumannienne

Un exemple : les loteries Un exemple : les loteries –– la roulette russela roulette russe

5/6

1/6

3/6

3/6

1/2

1/2

4/6

2/6

=

7 €7 €


Utilité neumannienneUtilité neumannienne

NombresNombresRéelsRéels

Structure existante :Structure existante :ordre ordre convexité convexité (intervalle)(intervalle)

Structure Induite :Structure Induite :préordrepréordrestructure neumanniennestructure neumannienneune propriété :une propriété :

si u(.) et v(.) sont deux utilités neumanniennes traduisantsi u(.) et v(.) sont deux utilités neumanniennes traduisantle même préférence, alors il existe deux réel a>0 et b tels quele même préférence, alors il existe deux réel a>0 et b tels quev(.) = a u(.) + bv(.) = a u(.) + b

u(.)u(.)

u(e)u(e)e

EE

ee



u(.) neumanienne implique la neutralité au risque en probabilitéu(.) neumanienne implique la neutralité au risque en probabilité

NeutralitNeutralitéé au risque en probabilitau risque en probabilitéé ((WakkerWakker) :) :

Un individu est neutre au risque en probabilitUn individu est neutre au risque en probabilitéé si quels que soientsi quels que soient aa11, a, a22 deuxdeux

nombres rnombres rééels els tels que tels que αα11 ≥≥ 0, 0, αα22 ≥≥ 0 0 αα11 + + αα22 = 1 et quels que soient e= 1 et quels que soient e11, e, e22, ,

deux loteries telles que edeux loteries telles que e11 ≽≽ ee22, alors :, alors :

ee11 ≽≽ barbar22(e(e11, e, e22, , αα11, , αα22) et bar) et bar22(e(e11, e, e22, , αα11, , αα22) ) ≽≽ ee22

Hypothèse raisonnable ??Hypothèse raisonnable ??



Propriété Propriété

Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)

Soit la préférence induite sur E par u(.)Soit la préférence induite sur E par u(.)

Soit v(.) = a u(.) + b avec a >0 et la préférence induite Soit v(.) = a u(.) + b avec a >0 et la préférence induite sur E par v(.)sur E par v(.)

AlorsAlors

et sont identiques et sont identiques

u<

u<

u<

v<<<

u<

u<

u<

v<<<

Propriété Propriété Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit < Soit < uu la préférence induite sur E par u(.), et la préférence induite sur E par u(.), et ≈≈uu ll’’indiffindifféérence associrence associééeeSoient x, y et z trois éléments de E tels que :Soient x, y et z trois éléments de E tels que :

x < x < u u z < z < uu yy (1)(1)Alors :Alors :

Il existe l Il existe l ∈∈ [0, 1] tel que z [0, 1] tel que z ≈≈uu h(x, y, l)h(x, y, l)



PropriétéPropriétéSoit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit < Soit < uu la préférence induite sur E par u(.), la préférence induite sur E par u(.),

et et ≈≈uu ll’’indiffindifféérence associrence associééeeSoient x, y et z trois éléments de E tels que :Soient x, y et z trois éléments de E tels que :

x < x < u u z < z < uu yy (1)(1)Alors :Alors :Quelle que soit l’utilité neumannienne v(.) telle que < Quelle que soit l’utilité neumannienne v(.) telle que < vv = < = < uu

Il existe l indépendant de v(.) tel queIl existe l indépendant de v(.) tel quev(z) v(z) –– v(y) = l (v(x) v(y) = l (v(x) –– v(y))v(y)) (2)(2)



Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude

Utilité multi attributUtilité multi attribut

Dans ce qui suit, on dDans ce qui suit, on déésigne par :signe par :

11t dt déésigne la loterie : tsigne la loterie : t 11z dz déésigne la loterie : zsigne la loterie : z

11(t, z) d(t, z) déésigne la loterie : tsigne la loterie : t

On cherche la fonction f de IR dans IROn cherche la fonction f de IR dans IR22 telle que :telle que :

u(., .) = f[w(.), v(.)]u(., .) = f[w(.), v(.)]



Les modLes modèèles classiquesles classiques

Additif :Additif :u(t, z) = av(z) + u(t, z) = av(z) + bwbw(t)(t)

MultilinMultilinééaire (multiplicatif) :aire (multiplicatif) :u(t, z) = av(z) + u(t, z) = av(z) + bwbw(t) + (t) + cvcv(z)w(t)(z)w(t)

A Quelles Conditions ces spA Quelles Conditions ces spéécifications sont elles cifications sont elles possibles ?possibles ?





Modèle additifModèle additif

On dit que les ensembles de loteries dOn dit que les ensembles de loteries dééfinies respectivement sur les lots T et Zfinies respectivement sur les lots T et Z

sont indsont indéépendants en utilitpendants en utilitéé additive si et seulement si les pradditive si et seulement si les prééfféérences drences d’’unun

Individu sur les loteries dont les lots sont les Individu sur les loteries dont les lots sont les ééllééments de ments de TxZTxZ ne dne déépendentpendent

que des marges des loteries que des marges des loteries zz11 zz22

tt11 pp11 pp22 pp11 + p+ p22

tt22 pp33 00 pp33

tt33 00 pp44 pp44

pp11 + p+ p33 pp22 + p+ p44

(t(t11, z, z11))pp11

pp22

pp33

pp44

Les marges dLes marges d’’une loterieune loterie

(t(t11, z, z22)) ==

(t(t22, z, z11))

(t(t33, z, z22))




Modèle additifModèle additif

Soit :Soit :T, Z deux ensembles d’objetsT, Z deux ensembles d’objetsw(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots aw(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots appartenant à Tppartenant à Tv(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots av(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots appartenant à Zppartenant à Zu(.,.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lotsu(.,.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots appartenant à appartenant à TxZTxZtt00, t, t11 appartenant à T, zappartenant à T, z00, z, z11 appartenant à Z, tels que :appartenant à Z, tels que :

(t(t11 , z, z00) préféré à (t) préféré à (t00, z, z00) et (t) et (t00 , z, z11) préféré à (t) préféré à (t00, z, z00))Si on pose :Si on pose :u(tu(t00 , z, z00) = 0, ) = 0, u(tu(t11 , z, z11) = 1) = 1w(tw(t00) = 0,) = 0, w(tw(t11) = 1) = 1v(zv(z00) = 0,) = 0, v(zv(z11) = 1) = 1

alors : alors : si les ensembles de loteries dont les lots sont respectivement si les ensembles de loteries dont les lots sont respectivement T et Z sont T et Z sont

indépendantes additivement en utilité on a : indépendantes additivement en utilité on a : u(t, z) = u(t, z) = av(z) + av(z) + bwbw(t)(t)

avec a = u(tavec a = u(t00 , z, z11)) b = u(tb = u(t1 1 , z, z00))




Modèle multiplicatifModèle multiplicatif

IndIndéépendance en utilitpendance en utilitéé (Fishburn)(Fishburn)

Soit T et Z deux ensembles dSoit T et Z deux ensembles d’’objetsobjets

On travaille sur les loteries dont les lots appartiennent On travaille sur les loteries dont les lots appartiennent àà T x ZT x Z

On note On note XXzz la loterie de support {tla loterie de support {t11, ..., , ..., ttnn} x {z} } x {z} de distribution pde distribution p11, ..., , ..., ppnn

etetXXzz ‘‘ la loterie de support {tla loterie de support {t11, ..., , ..., ttnn} x {z} x {z’’} }

de distribution pde distribution p11, ..., , ..., ppnn

T indT indéépendant de Z en utilitpendant de Z en utilitéé, si et seulement si :, si et seulement si :XXzz prprééfféérréée ou Ind. e ou Ind. àà YYzz

impliqueimpliqueXXzz ‘‘ prprééfféérréée ou Ind. e ou Ind. àà YYzz ‘‘




Modèle multiplicatifModèle multiplicatif

Le RLe Réésultat principal (Fishburn)sultat principal (Fishburn)KeeneyKeeney et et RaiffaRaiffa, , DecisionsDecisions withwith multiple objectives,Cambridge University Press, 1993, multiple objectives,Cambridge University Press, 1993,

pages 234pages 234--235235Soit :Soit :T, Z deux ensembles dT, Z deux ensembles d’’objetsobjetsw(.) fonction dw(.) fonction d’’utilitutilitéé neumannienne sur les loteries de lots appartenant neumannienne sur les loteries de lots appartenant àà TTv(.) fonction dv(.) fonction d’’utilitutilitéé neumannienne sur les loteries de lots appartenant neumannienne sur les loteries de lots appartenant àà ZZu(.,.) fonction du(.,.) fonction d’’utilitutilitéé neumannienne sur les loteries de lots appartenant neumannienne sur les loteries de lots appartenant àà TxZTxZtt00, t, t11 appartenant appartenant àà T, zT, z00, z, z11 appartenant appartenant àà Z, tels que :Z, tels que :

(t(t11 , z, z00) pr) prééfféérréé àà (t(t00, z, z00) et (t) et (t00 , z, z11) pr) prééfféérréé àà (t(t00, z, z00))Si on pose :Si on pose :u(tu(t00 , z, z00) = 0, ) = 0, u(tu(t11 , z, z11) = 1) = 1w(tw(t00) = 0,) = 0,w(tw(t11) = 1) = 1v(zv(z00) = 0,) = 0, v(zv(z11) = 1) = 1

Alors : si T et Z sont mutuellement indAlors : si T et Z sont mutuellement indéépendants en utilitpendants en utilitéé on a : on a : u(t, z) = av(z) + u(t, z) = av(z) + bwbw(t) + (t) + cvcv(z)w(t)(z)w(t)

avec : a = u(tavec : a = u(t00 , z, z11)) b = u(tb = u(t1 1 , z, z00) c = 1 ) c = 1 -- a a -- b b


Le Paradoxe de Saint PétersbourgLe Paradoxe de Saint Pétersbourg

Une somme de monnaie Une somme de monnaie éégale gale àà 1 milliard d1 milliard d’’euro avec certitudeeuro avec certitude

Jouer au jeu de Pile ou Face suivant : Jouer au jeu de Pile ou Face suivant :

Tirage 1 :Tirage 1 :Pile sort : vous avez gagnPile sort : vous avez gagnéé 2 euros et le jeu s2 euros et le jeu s’’arrête arrête

Face sort : vous devez relancer la piFace sort : vous devez relancer la pièèceceTirage 2 :Tirage 2 :

Pile sort : vous avez gagnPile sort : vous avez gagnéé 2x2 euros et le jeu s2x2 euros et le jeu s’’arrête arrête

Face sort : vous devez relancer la piFace sort : vous devez relancer la pièècece

Tirage n :Tirage n :

Pile sort : vous avez gagnPile sort : vous avez gagnéé 22nn euros et le jeu seuros et le jeu s’’arrête arrête

Face sort : vous devez relancer la piFace sort : vous devez relancer la pièècece



Le Paradoxe de Saint PétersbourgLe Paradoxe de Saint Pétersbourg

11 1 milliard d1 milliard d’’euroeuro

2 2 €€

2x2 2x2 €€

2x2x2 2x2x2 €€

22nn €€

……

……

1/21/2

1/41/41/81/8

1/21/2nn

Gain moyen : 1 milliard dGain moyen : 1 milliard d’’euroeuro ∑∞

=1i

ii 221

Gain moyen :Gain moyen : dd’’euroeuro

Or :Or : ∑∞

=1i

ii 221

>> 1 milliard1 milliard

On dOn déécide de jouer cide de jouer àà Pile ou Face !Pile ou Face !



Le Paradoxe de Saint PétersbourgLe Paradoxe de Saint Pétersbourgune solutionune solution

La satisfaction procurLa satisfaction procuréée par une somme de monnaie xe par une somme de monnaie xddéécrocroîît lorsque x augmente t lorsque x augmente

Soit v(x) lSoit v(x) l’’utilitutilitéé cardinale de la somme x de monnaiecardinale de la somme x de monnaie

Si v(x) = Si v(x) = lnxlnx


xx

v(x)v(x) v(1 milliard) = ln(1 milliard) = 20,72v(1 milliard) = ln(1 milliard) = 20,72

∑∞

=

==1i

ii 39,12ln22ln21

Gain moyen :Gain moyen :

On prend le milliard dOn prend le milliard d’’euroeuro

UtilitUtilitéé EspEspéérréée et Coefficient de et Coefficient d ’’Arrow PrattArrow Pratt

Une condition :Une condition :Les lots sont des nombres (monnaie, durées, …)Les lots sont des nombres (monnaie, durées, …)

Deux hypothèses :Deux hypothèses :H1 H1 -- La fonction d’utilité v sur les lots est connueLa fonction d’utilité v sur les lots est connueH2 H2 -- La fonction d’utilité u sur les loteries est de la forme :La fonction d’utilité u sur les loteries est de la forme :

xx11

u( u( xxi i ) = p) = p11v(xv(x11) + … + ) + … + ppiivv(x(xii) + … + ) + … + ppnnvv((xxnn) )

xxnn

Un premier résultat : les préférences sont neumanniennesUn premier résultat : les préférences sont neumanniennes

pp11

ppii

ppnn




UtilitUtilitéé EspEspéérréée et Coefficient de et Coefficient d ’’Arrow PrattArrow Pratt

v(.) : Lv(.) : L RéelsRéelslotlot v(lot)v(lot) RR(lot) = (lot) = --[v”(lot)/v’(lot)][v”(lot)/v’(lot)]

v(x)= xv(x)= x Neutre au risque faibleNeutre au risque faible v(.) affinev(.) affine RR(x) = 0(x) = 0

v(x)= xv(x)= x22 Risque Prône faibleRisque Prône faible v(.) convexev(.) convexe RR(x) = (x) = -- 1/ x < 01/ x < 0

v(x)= x v(x)= x 1/21/2Risque averse faible Risque averse faible v(.) concavev(.) concave RR(x) = 1/ 2x(x) = 1/ 2x22 > 0> 0




L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno

C = {cC = {c11, c, c22,..,,..,ccnn} : ensemble de critères} : ensemble de critères

X un objet évalué selon les n critèresX un objet évalué selon les n critères

Les évaluations sont toutes données sur une même échelle E, enseLes évaluations sont toutes données sur une même échelle E, ensemblembleordonné, dont 0 désigne le plus petit élément et 1 le plus grandordonné, dont 0 désigne le plus petit élément et 1 le plus grand élémentélément

X X →→ (x(x11, x, x22,,……,,xxnn))

∠∠ : une relation de pr: une relation de prééfféérence sur les objetsrence sur les objets

Capacité de ChoquetCapacité de Choquet




S : ensembleS : ensembleAA : : σσ--algèbre sur S (S fini, A= algèbre sur S (S fini, A= PP(S))(S))

v : capacité de Choquet :v : capacité de Choquet :

v(v( ) = 0) = 0v(S) = 1v(S) = 1A A B B ⇒⇒ v(A) v(A) v(B)v(B)

Si Si A, B A, B ∈∈ AA, , v(A v(A B) = v(A) B) = v(A) v(B), v est une mesure de possibilitv(B), v est une mesure de possibilitéé

Si Si A, B A, B ∈∈ AA, , v(A v(A B) = v(A) B) = v(A) v(B), v est une mesure de nv(B), v est une mesure de néécessitcessitéé




X : S X : S →→ EEv une capacitv une capacitéé sur sur AA une une σσ--algalgèèbre dbre dééfinie sur Sfinie sur S

L’intégrale de Sugeno de X par rapport à v :L’intégrale de Sugeno de X par rapport à v :

Xdv = Xdv = ((αα v(X v(X ≥≥ αα))))αα ∈∈ EE

En décision :En décision :S devient C l’ensemble des critèresS devient C l’ensemble des critèresX de S dans E est une fonction d’évaluationX de S dans E est une fonction d’évaluationOn définit une capacité de Choquet v sur les parties de COn définit une capacité de Choquet v sur les parties de C




Intégrale de Sugeno de X par rapport à v :Intégrale de Sugeno de X par rapport à v :

SSvv(X) = (X) = (X (X σσ(i)(i) v(Av(Aσσ(i)(i)))))i=1i=1

nn

où où σσ est la permutation sur l’ensemble des critères telle queest la permutation sur l’ensemble des critères telle queXXσσ(1)(1) XXσσ(2)(2) …… XXσσ(n)(n) et Aet Aσσ(i)(i) = {= {σσ(i), ..., (i), ..., σσ(n)}(n)}




11

y = xy = x X : S X : S →→ [0 1][0 1]

11 ααSSvv(X)(X)

SSvv(X)(X)

V(X V(X ≥≥ αα))




Toute relation de préférence estToute relation de préférence est--elle représentable par l’intégrale de Sugeno ??elle représentable par l’intégrale de Sugeno ??

Deux niveaux de représentation :Deux niveaux de représentation :-- représentation fortereprésentation forte-- représentation faiblereprésentation faible

Chercher v telle que :Chercher v telle que : ReprRepréésentation forte :sentation forte :

X,Y X Y X,Y X Y ⇔⇔ SSvv(X) (X) ≥≥ SSvv(Y)(Y)

ReprRepréésentation faible :sentation faible :

X,Y X Y X,Y X Y ⇔⇔ ¬¬((SSvv(Y) (Y) > > SSvv(X))(X))

préordre totalpréordre total

préférence stricte associéepréférence stricte associée




3 objets à comparer : X, Y et Z3 objets à comparer : X, Y et Z

4 critères à valeurs dans E= {0,1,2,3}4 critères à valeurs dans E= {0,1,2,3}

Tableau de performancesTableau de performances

1 2 3 41 2 3 4

X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0

X, YX, YPréférence du décideur : X Préférence du décideur : X ∼∼ Y < ZY < Z

ZZ




1 2 3 41 2 3 4

X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0

Préférence du décideur : X Préférence du décideur : X ∼∼ Y < ZY < ZX, YX, Y

ZZ

Chercher Chercher αα11 et et αα22 dans {0,1,2,3} tels quedans {0,1,2,3} tels que

αα11 < < αα22

représentereprésente X, YX, Y représentereprésente ZZ




1 2 3 41 2 3 4

X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0

Chercher Chercher αα11 et et αα22 dans {0,1,2,3} tels quedans {0,1,2,3} tels que

αα11 < < αα22

représentereprésente X, YX, Y représentereprésente ZZ

Couple possibleCouple possible résultatrésultat(0, 1)(0, 1) pas de vpas de v(0, 2)(0, 2) pas de vpas de v(1, 2)(1, 2) vvss, , vvii

échelle trop petiteéchelle trop petitecontradictions du décideurcontradictions du décideur


00 001 1 00 332 2 11 331,2 1,2 22 3 3 3 3 22 331,3 1,3 22 3 3 2,3 2,3 22 3 3 1,2,3 1,2,3 22 3 3 4 4 00 3 3 1,4 1,4 00 3 3 2,4 2,4 00 3 3 1,2,4 1,2,4 11 3 3 3,4 3,4 22 331,3,4 1,3,4 22 3 3 2,3,4 2,3,4 22 3 3 EE 33 33



vvii

vvss

1 2 3 41 2 3 4

X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0


La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité

Le paradoxe d’EllsbergLe paradoxe d’Ellsberg

Urne à 90 boules : 30 rouges, les autres jaunes ou noires en proUrne à 90 boules : 30 rouges, les autres jaunes ou noires en proportionportioninconnue. Tirage d’une boule.inconnue. Tirage d’une boule.

R N JR N J

X XX XRR XXNN XXJJ

XX11 100 0 0100 0 0XX22 0 100 00 100 0

XX33 100 0 100100 0 100XX44 0 100 1000 100 100

XX11 > X> X2 XX11 > X> X2 2 ⇔⇔ P(R) > P(N)P(R) > P(N)2

XX44 > X> X3

?

3

?

XX44 > X> X3 3 ⇔⇔ P(R)+P(J) > P(N)+P(J)P(R)+P(J) > P(N)+P(J)

Principe de la chose sûrePrincipe de la chose sûreLes décideurs ne sont pas Les décideurs ne sont pas

probabilistiquement sophistiquésprobabilistiquement sophistiqués



Le paradoxe d’EllsbergLe paradoxe d’Ellsberg

Les limites de la théorie de l’utilité espéréeLes limites de la théorie de l’utilité espérée

ModélisationModélisation : remplacer le concept de probabilité par celui d’intégrale : remplacer le concept de probabilité par celui d’intégrale de Choquetde Choquet



Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet

(S, (S, AA) espace mesurable) espace mesurablev : S v : S →→ IR : capacitIR : capacitéé de Choquetde ChoquetX : S X : S →→ IR, IR, AA mesurable et bornmesurable et bornééee

Intégrale de Choquet définie par : Intégrale de Choquet définie par : ∫∫ Xdv = Xdv = ∫∫ (v(X (v(X ≥≥ t)t)--1)1)dtdt + + ∫∫ v(Xv(X ≥≥ t)t)dtdt--∞∞

00

00

∞∞

Dans le cas discret avec xDans le cas discret avec x11 < x< x22 < … < < … < xxnn

∫∫ Xdv = xXdv = x11(1(1--v(X v(X ≥≥ xx22) + x) + x22(v(X (v(X ≥≥ xx22))--v(X v(X ≥≥xx33) +) +……+ + xxnnvv(X (X ≥≥xxnn))




Axiome d’aversion pour l’incertitudeAxiome d’aversion pour l’incertitude

XX

44

11

AA

AA

YY

22

55

AA

AA

∼∼

on rajoute Zon rajoute Z

ZZ

11

44

AA

AA

X+ZX+Z

55

55

AA

AA

Y+ZY+Z

33

99

AA

AA

>>

aversion pour l’incertitudeaversion pour l’incertitude




est une relation d’ordreest une relation d’ordre

vérifie les propriétés de continuité et de convergence monotone vérifie les propriétés de continuité et de convergence monotone ::

[[XXnn, X, Y, , X, Y, XXnn Y, Y, XXnn ↓↓ X ] X ] ⇒⇒ X YX Y

[[XXnn, X, Y, , X, Y, XXnn Y, Y, XXnn ↑↑ X ] X ] ⇒⇒ X YX Y

vérifie la condition de monotonievérifie la condition de monotonie

X X ≥≥ YY++εε ((εε > 0) > 0) ⇒⇒ X YX Y

Pour tous X, Y et Z tels que X et Z sont comonotones, Y et Z sonPour tous X, Y et Z tels que X et Z sont comonotones, Y et Z sont comonotonest comonotonesalors X alors X ∼∼ Y Y ⇒⇒ X+Z X+Z ∼∼ Y+ZY+Z

Les 4 axiomes de baseLes 4 axiomes de base




La comonotonieLa comonotonie

X et Y sont comonotones siX et Y sont comonotones sis, t dans S, (X(t)s, t dans S, (X(t)--X(s))(Y(s)X(s))(Y(s)--Y(t)) Y(t)) ≥≥ 00

La continuité séquentielle monotoneLa continuité séquentielle monotone

Soit v une capacité sur (S,Soit v une capacité sur (S,AA). On dit que v est monotement séquentiellement). On dit que v est monotement séquentiellementcontinue sicontinue si

FFnn, F , F ∈∈ AA, , FFnn ↑↑ F F ⇒⇒ v(Fv(Fnn) ) ↑↑ v(F) et Fv(F) et Fnn ↓↓ F F ⇒⇒ v(Fv(Fnn) ) ↓↓ v(F) v(F)

Pour une relation de préférence sur les fonctions mesurablesPour une relation de préférence sur les fonctions mesurables bornéesbornéessur S, les assertions suivantes sont équivalentes :sur S, les assertions suivantes sont équivalentes :(i)(i) satisfait les 4 axiomessatisfait les 4 axiomes(ii)(ii) Tout X possède un équivalent certain I(X) et il existe une uniquTout X possède un équivalent certain I(X) et il existe une unique capacité ve capacité v

séquentiellement monotonement continue sur A telle que I(séquentiellement monotonement continue sur A telle que I(X) = X) = ∫∫XdvXdv




Axiome d’incertitudeAxiome d’incertitudeX X ∼∼ Y, Z comonotone avec X et Y, alors X+Z Y, Z comonotone avec X et Y, alors X+Z ∼∼ Y+ZY+Z

Capacité de Choquet convexeCapacité de Choquet convexev(A v(A ∪∪ B) + v(A B) + v(A ∩∩ B) B) ≥≥ v(A) + v(B)v(A) + v(B)

Soit v une capacité sur (S,A) alors les assertions suivantes sonSoit v une capacité sur (S,A) alors les assertions suivantes sont équivalentest équivalentes(i)(i) v est convexev est convexe(ii)(ii) C(v) = {P, probabilités / P C(v) = {P, probabilités / P ≥≥ vv (P(A)(P(A) ≥ v(A))} n’est pas vide et ≥ v(A))} n’est pas vide et

Min{EMin{EPP(X) / P (X) / P ∈∈ C(v)} = C(v)} = ∫∫XdvXdv

Théorème de SchmeiderThéorème de Schmeider




Le modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risqueLe modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risque

X, Y mesurables et bornées sur (S,X, Y mesurables et bornées sur (S,AA).).

X domine Y pour la dominance stochastique du premier ordre , X >X domine Y pour la dominance stochastique du premier ordre , X >FSDFSD Y, siY, siFFXX(t) (t) FFYY(t) ((t) (⇔⇔ t t PrPr(X > t) (X > t) ≥≥ PrPr(Y > t)(Y > t)

Une relation de préférence satisfait la dominance stochastiUne relation de préférence satisfait la dominance stochastique d’ordreque d’ordrepremier si premier si X, Y, X >X, Y, X >FSDFSD Y Y ⇒⇒ X YX Y

Axiome supplémentaire : Axiome supplémentaire : A, B A, B ∈∈ A, A, PrPr(A) (A) ≥≥ PrPr(B) (B) ⇒⇒ A BA B





Pour une relation de préférence , les assertions suivantesPour une relation de préférence , les assertions suivantes sontsontÉquivalentesÉquivalentes(i)(i) satisfait les 5 axiomessatisfait les 5 axiomes(ii)(ii) tout X possède un équivalent certain I(X) tel que tout X possède un équivalent certain I(X) tel que

X, Y , X Y X, Y , X Y ⇔⇔ I(X) I(X) ≥≥ I(Y) et il existeI(Y) et il existe une unique fonctionune unique fonctioncontinue et croissante f de [0 1] dans [0 1] vcontinue et croissante f de [0 1] dans [0 1] véérifiant f(0) = 0 etrifiant f(0) = 0 etf(1) = 1 telle que f(1) = 1 telle que X, I(X)=X, I(X)=∫∫XX dfoPdfoP

v = v = foPfoP : f est une fonction de distorsion de probabilité: f est une fonction de distorsion de probabilité





Relation de préférence. Un décideur est un Relation de préférence. Un décideur est un adversaire faible du risque si E(X) X.adversaire faible du risque si E(X) X.

Pour toute relation de préférence d’un décideur à la Pour toute relation de préférence d’un décideur à la YaariYaari, les, lesassertions suivantes sont équivalentesassertions suivantes sont équivalentes(i)(i) Les décideur est faiblement adversaire du risqueLes décideur est faiblement adversaire du risque(ii)(ii) la fonction de distorsion f est telle que f(p) la fonction de distorsion f est telle que f(p) ≤≤ p, p, ∀∀pp





Et de la même manière…..Et de la même manière…..

une notion de dominance stochastique forteune notion de dominance stochastique forteune notion d’aversion forte au risqueune notion d’aversion forte au risqueet un théorème sur la fonction de distorsion fet un théorème sur la fonction de distorsion f



3 3 –– ModélisationsModélisations4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs





Processus d’élicitation des préférencesProcessus d’élicitation des préférences

Étant donné une procédure d’agrégation multicritère, on appelleÉtant donné une procédure d’agrégation multicritère, on appelleprocessus d’élicitation des préférences tout processus qui procèprocessus d’élicitation des préférences tout processus qui procèdedepar une interaction entre le décideur et l’homme d’étude (ou un par une interaction entre le décideur et l’homme d’étude (ou un logiciel) et conduit ce décideur à exprimer une information surlogiciel) et conduit ce décideur à exprimer une information surses préférences dans le cadre de la procédure d’agrégation choisses préférences dans le cadre de la procédure d’agrégation choisie.ie.Cette information se concrétise par un ensemble de valeurs plausCette information se concrétise par un ensemble de valeurs plausiblesiblespour les paramètres préférentiels de la procédure. A l’issue de pour les paramètres préférentiels de la procédure. A l’issue de lalaprocédure, on doit arriver à un résultat compatible avec le poinprocédure, on doit arriver à un résultat compatible avec le point de vue t de vue du décideur.du décideur.

(Vincent Mousseau)(Vincent Mousseau)


Modèles d’interaction avec le décideurModèles d’interaction avec le décideur

Interaction reposant sur :Interaction reposant sur :-- le résultat de la procédure d’agrégation multicritèrele résultat de la procédure d’agrégation multicritère-- la valeur de certains paramètres préférentielsla valeur de certains paramètres préférentiels

Dans l’interaction , distinguer :Dans l’interaction , distinguer :-- les modalités selon lesquelles le décideur exprimera uneles modalités selon lesquelles le décideur exprimera uneinformation préférentielleinformation préférentielle-- le type d’information présentée au décideur pour susciterle type d’information présentée au décideur pour susciterl’interaction.l’interaction.


Approche par la négociationApproche par la négociation

Hypothèses sur les décideurs Hypothèses sur les décideurs ⇒⇒ construction de solutions, mais construction de solutions, mais ……..

Prise en compte de rationalités plus complexes des décideurs ???Prise en compte de rationalités plus complexes des décideurs ???

Prise en compte de comportements individuels ???Prise en compte de comportements individuels ???

Modèles de la théorie des jeux ….Modèles de la théorie des jeux ….

coopératifs !coopératifs !

Modélisations des préférences basées sur des approches « topologModélisations des préférences basées sur des approches « topologiques »iques »

Intégration de la théorie des jeux dans les méthodes d’agrégatioIntégration de la théorie des jeux dans les méthodes d’agrégationndes préférences.des préférences.

Prise en compte de rationalités plus complexes des décideursPrise en compte de rationalités plus complexes des décideurs

Possibilité de prendre en compte des comportements de négociatioPossibilité de prendre en compte des comportements de négociationn

Systèmes multi agentsSystèmes multi agents

MétaheuristiquesMétaheuristiques

Simulation Simulation


Annexe Annexe Les outils classiques Les outils classiques

de la de la décision multicritèredécision multicritère


Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère

Procédures d’agrégationProcédures d’agrégation

règle de Paretorègle de Paretorègle dictatorialerègle dictatorialerègle lexicographiquerègle lexicographiqueprocédures de vote :procédures de vote :

à la majorité simple, absolueà la majorité simple, absolueà la Borda, à la Borda, procédure majoritaire de Condorcetprocédure majoritaire de Condorcetprocédure algébriqueprocédure algébrique

valeur de Shapleyvaleur de Shapleyprocédure « ELECTRE »procédure « ELECTRE »procédure PROMETHEEprocédure PROMETHEE



E ensemble des objetsE ensemble des objets

m préférences (préordres) : < m préférences (préordres) : < 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm

Procédure de Pareto (règle d’unanimité) :Procédure de Pareto (règle d’unanimité) :aa (< (< 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm) = < ) = < PP

telle que telle que ∀∀xx∈∈E, E, ∀∀yy∈∈E , E ,

x < x < PP y y ⇔⇔ ∀∀ i i ∈∈ {1, {1, …… , m} , x < , m} , x < ii y y

Avantage : Avantage : très « démocratique »très « démocratique »préordrepréordre

Inconvénient : Inconvénient :

généralement pas totalegénéralement pas totale

mais permet de « faire le ménage »mais permet de « faire le ménage »




m préférences (préordres) : < m préférences (préordres) : < 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm

Procédure dictatoriale :Procédure dictatoriale :aa (< (< 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm) = < ) = < DD

telle que telle que ∃∃ i i ∈∈ {1, {1, …… , m} = J(m) avec < , m} = J(m) avec < DD = < = < ii

i est appeli est appeléé le le «« dictateur dictateur »»

Avantage : Avantage : même propriétés que même propriétés que < < ii

InconvéniantInconvéniant : :

pas franchement « démocratique »pas franchement « démocratique »




Vote à majorité simpleVote à majorité simple

m prm prééfféérences (prrences (prééordres totaux) : ordres totaux) : < < 1 1 , < , < 22, , …… , < , < mm

àà la prla prééfféérence < rence < ii , est associ, est associéée le poids pe le poids pi i ≥≥ 00ll’’un des pun des pii aauu moins moins éétant non nultant non nul..

Rem : on pourra toujours supposer que pRem : on pourra toujours supposer que p11+ p+ p22 + + …… + p+ pmm =1=1

DDééfinitionfinitionProcProcéédure dure «« ddéégradgradéée e »» qui cherche un qui cherche un «« plus grand plus grand »»si si aa (< (< 1 1 , < , < 22, , …… , < , < mm) = < ) = < MSMS

si x si x ∈∈ E, p(x) = E, p(x) = ΣΣ p p ii

ooùù J(m , x) = {J(m , x) = {ii∈∈{1, {1, …… , m} ; x plus grand , m} ; x plus grand éélléément de E pour ment de E pour < < ii }}

Alors x plus grand Alors x plus grand éélléément de E pour ment de E pour < < MSMS

ssissi∀∀y y ∈∈ E, p(x) E, p(x) ≥≥ p(y)p(y)

ii∈∈J(m,x)J(m,x)



Vote à majorité absolueVote à majorité absolue

Variante de la prVariante de la prééccéédentedente

i i ∈∈J(m,x)J(m,x)

DDééfinitionfinitionCondition : Condition : ∀∀ii∈∈{1, {1, …… , m} = J(m), , m} = J(m), < < i i est totalest totalProcProcéédure dure «« ddéégradgradéée e »» qui cherche un qui cherche un «« plus grand plus grand »»si si aa (< (< 1 1 , < , < 22, , …… , < , < mm) = < ) = < MAMA

si x si x ∈∈ E, p(x) = E, p(x) = ΣΣ p p ii

ooùù J(m , x) = {J(m , x) = {ii∈∈{1, {1, …… , m} ; x plus grand , m} ; x plus grand éélléément de E pour ment de E pour < < ii }}

Alors x plus grand Alors x plus grand éélléément de E pour ment de E pour SsiSsi

∀∀y E, p(x) y E, p(x) ≥≥ p(y)p(y)(p(x) / (p(x) / ΣΣ p p i i ) > a , (a fix) > a , (a fixéé dans [0, 1] ; en gdans [0, 1] ; en géénnééral a = 0,5)ral a = 0,5)

i i ∈∈J(m)J(m)

< < MAMA



Ensemble des actions, critèresEnsemble des actions, critères

Crit. 1 Crit.2 Crit.3 Crit.4 …Crit. 1 Crit.2 Crit.3 Crit.4 …(/20) (cote) (appréc.) (O/N) …(/20) (cote) (appréc.) (O/N) …

Action 1 18 135 AB OUI Action 1 18 135 AB OUI ……

Action 2 5 152 TB OUI Action 2 5 152 TB OUI ……

Action 3 15 129 M NON Action 3 15 129 M NON ……

Action 4 12 146 TM ? Action 4 12 146 TM ? ……

Action 5 7 121 B OUIAction 5 7 121 B OUI ……

… … … … … … … … … … ……

Matrice de performancesMatrice de performances



Méthode de BordaMéthode de Borda

gg11 gg22 gg33 ……

a ra r11(a) r(a) r22(a) r(a) r33(a) (a) ……b rb r11(b) r(b) r22(b) r(b) r33(b) (b) ……c rc r11(c) r(c) r22(c) r(c) r33(c) (c) ………… …… …… …… ……

rrii(a) : rang attribu(a) : rang attribuéé àà ll’’action a par le critaction a par le critèère ire i(action class(action classéée premie premièère : celle qui a le plus de re : celle qui a le plus de points pour le critpoints pour le critèère ire i

CritCritèère i re i →→ {r{rii(a), a (a), a ∈∈ A} induit un classement des actions a.A} induit un classement des actions a.Choix de coefficients (dits coefficients de Borda)Choix de coefficients (dits coefficients de Borda)kk11 > k> k22 > .. > k> .. > kmm, o, oùù m=card(A)m=card(A)

LL’’action classaction classéée premie premièère rere reççoit la valeur koit la valeur kmm, la suivante k, la suivante kmm--11,,……



Méthode de BordaMéthode de Borda

gg11 gg22 gg33 ……

a ra r11(a) r(a) r22(a) r(a) r33(a) (a) ……b rb r11(b) r(b) r22(b) r(b) r33(b) (b) ……c rc r11(c) r(c) r22(c) r(c) r33(c) (c) ………… …… …… …… ……

rrii(a) : rang attribu(a) : rang attribuéé àà ll’’action a par le critaction a par le critèère ire i(action class(action classéée premie premièère : celle qui a le plus de re : celle qui a le plus de points pour le critpoints pour le critèère ire i

gg11 gg22 gg33 ……

a ka k11(a) k(a) k22(a) k(a) k33(a) (a) ……b kb k11(b) k(b) k22(b) k(b) k33(b) (b) ……c kc k11(c) k(c) k22(c) k(c) k33(c) (c) ………… …… …… …… ……

SS

B(a)B(a)B(b)B(b)B(c)B(c)……

11

2233

bb

aacc

dd



Méthode de CondorcetMéthode de Condorcet

C1 C2 C3C1 C2 C3

A 15 16 3A 15 16 3B 11 13 17B 11 13 17C 8 4 12C 8 4 12D 2 10 9D 2 10 9

C1, C2, C3 : votantsC1, C2, C3 : votantsA, B, C et D : candidatsA, B, C et D : candidats

a > b a > b ⇔⇔ le nombre de critle nombre de critèèresrespour lequel a domine b estpour lequel a domine b est

strictement supstrictement supéérieur au nombrerieur au nombrede critde critèères pour lequel b domine ares pour lequel b domine a

A contre B : 2 pour A, 1 pour BA contre B : 2 pour A, 1 pour BA contre C : 2 pour A, 1 pour CA contre C : 2 pour A, 1 pour CA contre D : 2 pour A, 1 pour DA contre D : 2 pour A, 1 pour DB contre C : 2 pour B, 1 pour CB contre C : 2 pour B, 1 pour CB contre D : 3 pour B, 0 pour BB contre D : 3 pour B, 0 pour BC contre D : 2 pour C, 1 pour D

A > B > C > DA > B > C > D

C contre D : 2 pour C, 1 pour D



Méthode de CondorcetMéthode de Condorcet

Le paradoxe de CondorcetLe paradoxe de Condorcet

3candidats3candidats

60 votants60 votants

10 votants pour C >10 votants pour C >11 A >A >11 BB8 votants pour C >8 votants pour C >22 B>B>22 AA23 votants pour A >23 votants pour A >33 B >B >33 CC17 votants pour B >17 votants pour B >44 C >C >44 AA2 votants pour B >2 votants pour B >55 A >A >55 CC

A > B (33 voix pour A sur 60)A > B (33 voix pour A sur 60)B > C (42 voix pour B sur 60)B > C (42 voix pour B sur 60)C > A (35 voix pour C sur 60)C > A (35 voix pour C sur 60)



Agrégation algébriqueAgrégation algébrique

gg11 gg22 gg33 ……

a ga g11(a) g(a) g22(a) g(a) g33(a) …(a) …b gb g11(b) g(b) g22(b) g(b) g33(b) …(b) …c gc g11(c) g(c) g22(c) g(c) g33(c) …(c) …… … … … …… … … … …

WW11 WW22 WW33 … …

Poids des critèresPoids des critères

Valeur de a :Valeur de a :

V(a) = WV(a) = W11 gg11(a) + W(a) + W22 gg22(a) + W(a) + W33 gg33(a) + …(a) + …

a est meilleure que b si :a est meilleure que b si :V(a) > V(b)V(a) > V(b)

ΣΣWWii = 1= 1ii

SIGNIFICATION DES POIDS ??SIGNIFICATION DES POIDS ??



Agrégation algébriqueAgrégation algébriqueInterprétation géométriqueInterprétation géométrique

ZôneZône y y <<AA x x ZôneZône x x <<AA y y

IRIR

IRIR

u(y)u(y)

u(x)u(x)

p.u(y)p.u(y)

p.u(x)p.u(x)

pp11

11



SIGNIFICATION DES POIDS ??SIGNIFICATION DES POIDS ??

Solution : Solution : «« valeur de Shapley valeur de Shapley »»

Lloyd Lloyd StowellStowell ShapleyShapleyBorn: Cambridge, Massachusetts, Born: Cambridge, Massachusetts, JuneJune 2, 19232, 1923EducatedEducated: Harvard University, A.B., 1948: Harvard University, A.B., 1948Princeton University, Ph.D. (math.), 1953Princeton University, Ph.D. (math.), 1953Additive and Additive and NonadditiveNonadditive Set FunctionsSet Functions (A. W. Tucker), 1953(A. W. Tucker), 1953

Rand Corporation, Rand Corporation, researchresearch mathematicianmathematician, 1948, 1948--49, 195449, 1954--8181Princeton University, Fine Princeton University, Fine InstructorInstructor, 1952, 1952--5454University of California, Los Angeles, 1981University of California, Los Angeles, 1981--




Notations : Notations : J(m) = ensemble des J(m) = ensemble des «« juges juges »»P P (J(m)) = {S (J(m)) = {S ⊂⊂ J(m) ; J(m) ; «« coalition coalition »» de juges}de juges}v(.) : v(.) : P P (J(m)) (J(m)) __________> {0, 1}> {0, 1}

S v(S) = 1 si S « emporS v(S) = 1 si S « emporte la décision » [S gagnante]te la décision » [S gagnante]0 sinon 0 sinon [S perdante][S perdante]

DéfinitionDéfinitionii∈∈J(m)J(m)

i est « pivot » ou « décisif » de la « coalition S »i est « pivot » ou « décisif » de la « coalition S »ssissi

v(S) = 1 et v(S v(S) = 1 et v(S -- {i}) = 0{i}) = 0Remarque : i « pivot » de S Remarque : i « pivot » de S ⇒⇒ i i ∈∈ SSRemarque 2 : v(S) Remarque 2 : v(S) –– v(S v(S –– {i}) = 1 {i}) = 1 ⇔⇔ i « pivot » de S i « pivot » de S

v(S) v(S) –– v(S v(S –– {i}) = 0 {i}) = 0 ⇔⇔ i n’est pas « pivot » de S i n’est pas « pivot » de S




Calcul de la Calcul de la «« valeur de Shapley valeur de Shapley »» du juge i : du juge i : considconsidéérer S telle que i rer S telle que i ∈∈ SS

SS

((CardCard(S) (S) --1)!1)!

S S –– {i}{i}

J(m) J(m) -- SS

(m (m -- CardCard(S))!(S))!

ii

ΦΦ(i) = [(i) = [ ΣΣS S ⊂⊂ J(m)J(m)

((CardCard(S) (S) --1)! (m 1)! (m -- CardCard(S))! (v(S) (S))! (v(S) –– v(Sv(S--{i})]{i})] / m!/ m!

ΦΦ(i) = [(i) = [ ΣΣS S ⊂⊂ J(m)J(m)i i ∈∈SS

((CardCard(S) (S) --1)! (m 1)! (m -- CardCard(S))! (v(S) (S))! (v(S) –– v(Sv(S--{i})]{i})]/ m!/ m!



Méthodes de surclassementMéthodes de surclassement

Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes PROMETHEEMéthodes PROMETHEEMéthode GAIAMéthode GAIA……

Mécanisme de baseMécanisme de base

Comparaison deux à deux des actions par critèreComparaison deux à deux des actions par critère

Construction d’un coefficient de concordanceConstruction d’un coefficient de concordance

Relation de surclassementRelation de surclassement

Concept de discordanceConcept de discordance




Critère jCritère jseuil d’indifférence seuil d’indifférence qqjj

seuil de préférence seuil de préférence ppjj

ppjj > > qqjj

UUjj(a)(a)UUjj(b)(b)

évaluations selon le critère j des actions a et bévaluations selon le critère j des actions a et b

Relation de préférence >Relation de préférence >jj ::a >a >jj b b ⇔⇔ UUjj(a) > (a) > UUjj(b) + (b) + ppjj

Relation d’indifférence Relation d’indifférence ∼∼jj ::a a ∼∼jj b b ⇔⇔ UUjj(b) (b) –– qqjj ≤≤ UUjj(a) (a) ≤≤ UUjj(b) + (b) + qqjj




Critère jCritère jseuil d’indifférence seuil d’indifférence qqjj

seuil de préférence seuil de préférence ppjj

ppjj > > qqjj

UUjj(a)(a)UUjj(b)(b)

évaluations selon le critère j des actions a et bévaluations selon le critère j des actions a et b

Relation deRelation desurclassementsurclassement

associée à jassociée à j

a a SSjj b b ⇔⇔ UUjj(a) (a) ≥≥ UUjj(b) (b) -- qqjj

Couple d’actions (a,b)Couple d’actions (a,b)

C(a,b) = {j / a C(a,b) = {j / a SSjj b} : ensemble de concordanceb} : ensemble de concordance

D(b,a) = {j / D(b,a) = {j / UUjj(b) > (b) > UUjj(a) + (a) + ppjj} : ensemble} : ensemblede discordance entre a et b = sousde discordance entre a et b = sous--ensemble ensemble de critères pour lesquels b est indiscutablementde critères pour lesquels b est indiscutablementpréféré à a.préféré à a.CCff(a,b) = {j / (a,b) = {j / UUjj(b) (b) –– ppjj ≤≤ UUjj(a) < (a) < UUjj(b) (b) –– qqjj} }




Les différents types de préférenceLes différents types de préférence




PropositionPropositionLes trois ensembles C(a,b), Les trois ensembles C(a,b), CCff(a,b) et D(a,b) (a,b) et D(a,b) forment une partition de l’ensemble des critères.forment une partition de l’ensemble des critères.

DémarcheDémarcheMesurer « l’importance » Mesurer « l’importance »

des ensembles (des ensembles (ffcc(a,b), (a,b), ffcfcf(a,b) (a,b) et et ffdd(a,b))(a,b))

Coefficient de concordance :Coefficient de concordance :CCa,ba,b = = ffcc(a,b) + (a,b) + ffcfcf(a,b)(a,b)

Coefficient de discordanceCoefficient de discordanceDDa,ba,b = = ffdd(a,b)(a,b)

Relation de surclassementRelation de surclassement



Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement

ELECTRE = Elimination Et Choix Traduisant la REalitéELECTRE = Elimination Et Choix Traduisant la REalité




CC11 CC22 CC33 ……

aa11 … … … …… … … …aa22 … … … …… … … …aa33 … … … …… … … …… … … … …… … … … …

Fixation de : Fixation de :

sscc, 0 < , 0 < sscc < 1 : seuil de concordance< 1 : seuil de concordance

ssdd, 0 < , 0 < ssdd < 1 : seuil de discordance< 1 : seuil de discordance

aaii aakk

aaii surclasse surclasse aakk : : aaii S S aakk ⇔⇔ ccikik ≥≥ sscc et et ddikik ≤≤ ssdd

ww11 ww22 ww33 ……

aaii

aakkGraphe deGraphe de

surclassementsurclassement




AA

BBDD

EE

GG

HH Noyau associé à une relation de surclassement :Noyau associé à une relation de surclassement :Tout sousTout sous--ensemble N d’actions tel que :ensemble N d’actions tel que :--Pour toute action Pour toute action aakk hors de N, il existe une actionhors de N, il existe une actionaaii de N telle que ade N telle que aii S S aakk

--Quelles que soient aQuelles que soient all et et aakk appartenant à N, on n’aappartenant à N, on n’ani ani all S S aakk ni ni aakk S aS all..

Graphe de relation de surclassementGraphe de relation de surclassement




Trois types de variantes selon que Trois types de variantes selon que

on cherche un préordreon cherche un préordreon cherche à tireron cherche à tireron cherche à catégoriseron cherche à catégoriser



Méthodes PROMETHEEMéthodes PROMETHEEMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement

PreferencePreference RankingRanking Organisation METHod for Organisation METHod for EnrichmentEnrichment EvaluationEvaluation

Critère j à maximiserCritère j à maximiser

Action aAction aii aaii = (a= (ai1i1,a,ai2i2,..,,..,aainin))

Action Action aakk aakk = (a= (ak1k1,a,ak2k2,..,,..,aaknkn))

q : seuil d’indifférenceq : seuil d’indifférencep : seuil de préférence stricte p : seuil de préférence stricte

ddikik = = aaijij -- aakjkj SSjj(a(aii,,aakk) = ) = SSjj((ddikik) = ) =

0 si 0 si ddikik ≤≤ q q indifférenceindifférence

1 si 1 si ddikik > p préférence stricte> p préférence stricte

((ddikik –– q)/(p q)/(p –– q) si q < q) si q < ddikik ≤≤ p p




Construction de l’indice de préférence Construction de l’indice de préférence ccikik

ΣΣ wwii = 1= 1

∀∀i, i, wiwi > 0> 0ccikik = = ΣΣ

jjwwjjSSjj((ddikik))

aaii

Flux sortant en i : Flux sortant en i : ΦΦii++ = = ΣΣkk ccikik

Flux entrant en i : Flux entrant en i : ΦΦii-- = = ΣΣkk cckiki

Flux net en i : Flux net en i : ΦΦii = = ΦΦii++ -- ΦΦii

--




Construction de la relation de surclassementConstruction de la relation de surclassement

aaii surclasse surclasse aakk

⇔⇔ΦΦii

++ > > ΦΦkk++ et et ΦΦii

-- < < ΦΦkk--

ououΦΦii

++ > > ΦΦkk++ et et ΦΦii

-- = = ΦΦkk--

ououΦΦii

++ = = ΦΦkk++ et et ΦΦii

-- < < ΦΦkk--

PROMETHEE IPROMETHEE I

aaii surclasse surclasse aakk

⇔⇔ΦΦii ≥≥ ΦΦkk

PROMETHEE IIPROMETHEE II


concepts fondamentaux pour l’aide à la décision · fonction d’utilité cardinale associée à...

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