conception et modélisation d’un robot marcheur hexapode

الجمھوریة الجزائریة الدیمقراطیة الشعبیة République Algérienne Démocratique et Populaire

وزارة التعلیم العالي و البحث العلميMinistère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université Larbi Ben M’hidi Oum-El-Bouaghi

Faculté des Sciences et Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique

Filière : Génie Mécanique Option :…………

Mémoire de Fin d'Etudes En vue de l’obtention du diplôme:

MASTER

Présenté par :

RADJAI Ahlem Soutenu le :xxJuin 2015

Encadreur : Mr AISSAOUI

Année universitaire : 2015 / 2016

Conception et Modélisation d’un Robot Marcheur Hexapode

REMERCIEMENTS

En premier lieu je remercie Dieu tout puissant de m’avoir donné

la santé, pour terminer ce travail dans les meilleures conditions.

Je tien à exprimer mon remerciement et mon respect à mon

encadreur : Mr. AISSAOUI pour m’avoir assuré le suivi durant la

préparation de mon mémoire. Son aide et ses conseils...

Je remercie également les membres de jury qui ont accepté

d’évaluer ce travail.

Je remercie Professeur HADEF qui m'a offert la chance d`aller

en Allemagne.

Enfin un grand merci tout spécial à Tout le personnel de département G.Mécanique sons exception aussi Tous les enseignants qui ont contribué à ma formation du primaire jusqu’au cycle universitaire

i

DEDICACE

Je dédie ce modeste travail à tous ceux que j’aime mais surtout :

A ma défunte mère et mon chèr père qui est toujours été l’étoile de mon ciel et est illuminé mon chemin depuis ma naissance, je ne les

remercierai jamais assez ma belle mère :Saliha

A mes chères frères : Chemssou, Salah, Nawfel A mes chères sœurs : Rahma, Chayma

A mes tantes et mes oncles et surtout ma grande mère et mon grand père

A toute ma famille A mes amis : Alaae, Wissem, Meriem, Nesrin,

houda,meryem ,soumiya... A mon groupe D`Allemagne

A toute ma promotion 2016 sans exception ; A tout les enseignants de département G.Mécanique qui m’ont

accompagné durant mes études ; A toute personne utilisant ce document pour un bon usage.

AHLAM

ii

Sommaire

Remerciements………………………………………………………………………………….…..

Dédicace…………………………………………………………………………………….………..

Résumé……………………………………………………………………………………………….

Liste des figures……………………………………………………………………………………..

Liste des tableaux……………………………………………………………………………………

Introduction générale……………………………………………………………………………….

Chapitre I Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes …...…………………………………

1.1.Introduction ………………………………………………………………………………

1.2.Classification des robots mobiles ………………………………………………………..

1.3.Domaines d'application…………………………………………………………………

1.4.Les avantages dans l'utilisation des robots mobiles …………………………………

1.5.La structure mécanique et motricité …………………………………………………..

1.5.1. Les robots mobiles à roues ……………………………………………………..

1.5.2. Les robots à chenilles ……………………………………………………………..

1.5.3. Les robots marcheurs……………………………………………………………..

1.6.Le robot marcheur hexapode………………………………………………………………

1.7.Quelques exemples des robots hexapodes réalisés ………………………………………..

1.8.La marche chez des robots hexapodes …………………………………………………..

1.9.Différentes chaînes cinématiques des robots hexapodes………………………………….

1.10. Conclusion…………………………………………………………………………..

Chapitre II Modélisation Géométrique et Cinématique de l’hexapode………...........................

2.1. Introduction………………………………………………………………………………

2.2. Modélisation Géométrique Directe des robots ………………………………………………

2.2.1. La méthode de Khalil-Kleinfinger pour les robots à structure arborescente ……………

2.2.2. Calcul du MGD d’un robot manipulateur………………………………………………..

2.2.3. Application à l'hexapode …………………………………………………………….

2.2.4. La chaîne cinématique de la patte ………………………………………………………..

2 .2.5. Description du banc d’essai de la patte …………………………………………………

2.2.6. Repérage du mécanisme patte et son banc d’essais……………………………………..

2.2.7. Calcul du MGD pour une patte …………………………………………………………

2.2.8. Configuration d'une patte à partir du MGD ………………………………………………

2.3.1. Modélisation Géométrique Inverse des robots ……………………………………………

i

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Sommaire

2.3.2. Calcul du modèle géométrique inverse par la méthode de Paul…………………………..

2.3.3. Application de la méthode de Paul pour une patte …………………………………………

2.3.3.1. Calcul de 1θ ……………………………………………………………………………

2.3.3.2. Calcul de 2θ et 3θ ……………………………………………………………………

2.3.4. Application du MGI pour une patte …………………………………………………………

2.3.4.1. Application du MGI pour l'hexapode …………………………………………………

2.4. Modélisation cinématique des robots ………………………………………………………..

2.4.1. Calcul de la matrice Jacobienne de base ………………………………………………

2.4.2. MCD de la patte ………………………………………………………………………..

2.4.3. Le modèle cinématique inverse ………………………………………………………..

2.4.3.1. MCI de la patte ………………………………………………………………

2.4.4. Détermination des Positions Singulières de la patte………………………………….

2.5. Conclusion……………………………………………………………………………………

Chapitre III Génération de trajectoire de l'hexapode ………………………………………….

3.1. Introduction……………………………………………………………………………….

3.2. la marche des robots à pattes …………………………………………………………………

3.2.1. La marche des hexapodes ………………………………………………………………..

3.2. 2. Le cycle de marche de chaque patte …………………………………………………….

3.3. La méthode proposée pour générer le mouvement de la patte ……………………………….

3.4. Les étapes de la génération de mouvement…………………………………………………

3.5. Conclusion……………………………………………………………………………………

Chapitre IV Modélisation dynamique de l'hexapode……………………………………………. 4.1. Introduction ………………………………………………………………………………

4.2. Formalismes de Calcul du Modèle Dynamique…………………………………………..

4.2.1. Le formalisme de Lagrange………………………………………………………...

4.2.1.1. Calcul de l’énergie cinétique ………………………………………………..

4.2.2. le formalisme de Newton-Euler……………………………………………………

4.2.2.1. Équations de Newton-Euler linéaires par rapport aux paramètres inertiels...

4.2.2.2. Forme pratique des équations de Newton-Euler……………………………

4.2.2.3. Résultat de la modélisation dynamique………………………………………

4.2.2.3.1. Application du formalisme de Lagrange………………………………….

4.2.2.3.2. Application du formalisme de Newton Euler ……………………………..

4.3. Conclusion ……….……………………………………………………..........................

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Sommaire

Chapitre V Conception du l’hexapode…………………………………………………………….

5.1 Introduction………………………………………………………………………………….

5.2. Moteurs choisis………………………………………………………………………………

5.3. La conception proposée pour une patte……………………………………………………..

5.4. La conception proposée pour le corps ……………………………………………………...

5.5. La conception proposée pour le robot entier ………………………………………………

5.6. Conclusion………………………………………………………………………………......

Conclusion générale ………………………………………………………………………………

Bibliographie ………………………………………………………………………………………..

66

67

67

67

68

68

69

70 71

LISTE DES FIGURES

Figure I.1 : quelques exemples d’application des robots mobiles……………………4

Figure I.2 : robots à roues…………………………………………………………….6

Figure I.3 : robot a chenilles………………………………………………………….6

Figure I.4 : types de robots à pattes…………………………………………………………..7

Figure I.5 : Le robot marcheur hexapode (HECTOR)……………………………….8

Figure I.6 : robot SILO 6…………………………………………………………….9

Figure I.7 : modèle CAO du robot HECTOR………………………………………..9

Figure I.8 : robot Lemur II…………………………………………………………10

Figure I.9: mode de marche…………………………………………………………10

Figure II.1 : définition du MGD…………………………………………………….15

Figure II.2 : Notations associées à une chaîne arborescente………………………...16

Figure II.3 : Paramètres géométriques pour un corps à plus de deux articulations…17

Figure II.4 : structure de l'hexapode………………………………………………...19

Figure II.5 : la chaîne cinématique d'une patte……………………………………...20

Figure II.6 : chaîne cinématique du banc d’essais de la patte……………………….21

Figure II.7 : assignation de repères au banc d’essais et à la patte…………………...22

Figure II.8 : schéma du MGD d'une patte pour 4/,0,0 321 πθθθ === …………..27

Figure II.9 : schéma du MGD de l'hexapode pour 2/,0,0 321 πθθθ === ………27

Figure II.10 : définition du MGI…………………………………………………….28

Figure II.11 : Convergence du MGI au point désiré………………………………...34

Figure II.12 : Convergence du MGI en suivant un cercle horizontal……………….35

iv

Figure II.13 : Convergence du MGI en suivant une droite………………………….35

Figure II.14 : Convergence du MGI pou une rotation autour de l'axe vertical……...36

Figure II.15 : définition du MCD…………………………………………………...37

Figure II.16 : définition du MCI…………………………………………………….39

Figure II.17 : les positions singulières de la patte…………………………………...41

Figure III.1 : Génération de mouvement de patte dans l’espace opérationnel……...43

Figure III.2 : Diagramme de la marche tripode alternée……………………………43

Figure III.3 : Une trajectoire cycloïde )X(fZ = avec : πα 2:0,10R == …... 45

Figure III.4 : Schéma de la génération de marche de la patte………………………46

Figure III.5 : trajectoire cycloïde dans le plan de la marche………………………..48

Figure III.6 : la patte qui exécute un pas de marche………………………………...49

Figure III.7 : les angles et la position du CG correspondent à un pas marche……...49

Figure III.8 : Simulation de la marche de l'hexapode……………………………….50

Figure III.9 : Variation des angles…………………………………………………..51

Figure IV.1 : Composition des vitesses……………………………………………..57

Figure IV.2 : Bilan des efforts au centre de gravité…………………………………60

Figure IV.3 : Valeurs des couples…………………………………………………...64

Figure IV.4 : Valeurs des couples…………………………………………………...65

Figure V.1 : Moteur (plus réducteur) choisi…………………………………………67

Figure V.2 : Modèle CAO d’une patte………………………………………………67

Figure V.3 : Modèle CAO du corps…………………………………………………68

Figure V.4 : Modèle CAO de l’hexapode…………………………………………...68

v

LISTE DES TABLEAUX

Tableau I.1 : Domaines d’applications des robots mobiles…………………………..5

Tableau II.1 : Conventions de Khalil-Kleinfinger pour la structure arborescente….18

Tableau II.2 : Assignation repères –corps………………………………………….22

Tableau II.3 : Paramètres géométriques relatifs au mécanisme…………………….23

Tableau II.4 : Valeurs attribuées aux paramètres du mécanisme…………………...26

Tableau III.1 : définition des paramètres de la génération mouvement de la patte…45

vi

Introduction générale

Introduction générale

Un robot est un système mécatronique impliquant la mécanique, l’électronique,

l’automatique et l’informatique. Les robots mobiles se classent en deux catégories :

Les robots à roues et les robots à pattes.

Les robots a pattes possèdent un nombre élevé de degrés de liberté et de ce fait ils sont

considérés comme des robots qui ont une mobilité assez supérieure, ainsi que leur contacts

discrets avec le sol ce qui permet une sélection des points d’appui en fonction des conditions

locales du terrain. Selon le nombre de leurs pattes, ils peuvent être bipèdes, quadrupèdes ou

hexapodes. Les robots à pattes ont l'avantage de pouvoir s'adapter à la plupart des terrains.

Dans cette étude nous avons choisi un robot marcheur hexapode à cause de sa stabilité de

marche. Dans le chapitre un nous entamons un état de l’art sur la locomotion à pattes, le chapitre

deux est consacré à la modélisation géométrique et cinématique la ou on en choisi une chaine

cinématique pour la patte et en calcul les modèle géométrique directe et inverse deux on a établi

pour cet hexapode une modélisation géométrique directe et inverse pour trouver les angles

correspondants aux positions de chaque patte de robot. Ensuit on a fait une modélisation

cinématique afin de pouvoir calculer les vitesses et les positions singulières.

La marche tripode alternée observé chez certains insectes est présenté dans Le chapitre

pour pouvoir simuler le déplacement de l’hexapode. La modélisation dynamique de ce robot est

présentée dans le chapitre quatre par les deux formalismes de Lagrange et de Newton Euler afin

d’avoir les couples nécessaires aux actionneurs en fonction des positions, vitesses et

accélérations articulaires.

1

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes

Chapitre I :

Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes

2

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.1. INTRODUCTION

Un robot mobile est un véhicule doté de moyens de locomotion qui lui permettent de

se déplacer dans un environnement donné. Suivant son degré d'autonomie, il peut être doté de

moyens de perception et de raisonnement.

Pendant plusieurs années, laboratoires, industriels, informaticiens et mécaniciens vont

continuer leurs travaux en parallèle. On accède ainsi côté industriel à la télé-opération et à une

partie de la robotique classique, tandis que du côté informatique, on assiste à de grands

progrès dans le domaine de l’intelligence artificielle. Ainsi, vers la fin des années soixante-

dix, trois pôles géographiques principaux se distinguent (France, Japon, Etats-Unis). La

synthèse de tous les travaux réalisés jusqu’alors donne enfin naissance aux robots mobiles

autonomes.

Les domaines d’utilisation de robots autonomes sont très variés, allant de la

production en chaîne dans une usine de voitures à l’exploration d’autres planètes. C’est dans

cet environnement de plus en plus automatisé que se fait sentir le besoin d’outils capables,

non seulement d’effectuer des tâches répétitives ou encore impossibles à l’homme (porter des

charges lourdes, découpage ultra précis, …), mais aussi de manifester une certaine autonomie

de déplacement dans des milieux hostiles à l’homme. On en voit désormais les applications

sur des chantiers tels que le désamiantage d’immeubles, la décontamination radioactive, les

expériences en milieu dangereux…

1.2. Classification des robots mobiles

La classification des robots mobiles se fait selon plusieurs critères :

• degré d'autonomie : dotation de capacités décisionnelles et de moyens

d'acquisition et de traitement de l'information qui lui permettent d'accomplir

sous contrôle humain réduit, un certain nombre de tâches, dans un

environnement non complètement connu.

• système de locomotion : Locomotion à pattes, locomotion à roues et hybride,

d'ou le problème lié à la conception mécanique et à la mobilité.

• énergie utilisée : type d'énergie utilisée et consommation optimale.

3

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.3. Domaines d'application

Le domaine d'application des robots mobiles est vaste, nous présentons quelques

applications dans le tableau suivant figure I.1 et sur la figure I.2

Figure I.1 quelques exemples d’application des robots mobiles

Domaines Applications

Industrie nucléaire - surveillance de sites

- manipulation de matériaux radioactifs

- démantèlement de centrales

Sécurité civile - neutralisation d'activité terroriste

- déminage

- pose d'explosif

- surveillance de munitions

Chimique - surveillance de site

- manipulation de matériaux toxiques

Mine - assistance d'urgence

Agricole - cueillette de fruits

- traite, moisson, traitement des vignes.

DOMAINES DAPLICATIONS DES ROBOTS MOBILES

4


Nettoyage - coque de navire

- nettoyage industriel

Espace - exploration

industrie - convoyage

- surveillance

Sous-marine - pose de câbles

- recherche de navires immergés

- inspection des fonds marins

Militaire - Surveillance

- pose d’explosif

- manipulation de munitions

Tableau.1 Domaines d’applications des robots mobiles

1.4. Les avantages dans l'utilisation des robots mobiles

Les divers avantages des robots mobiles se résument ainsi:

• Accroissement de la capacité de production ;

• Remplacement de l'homme dans l'exécution des tâches pénibles ou

dangereuses;

• Manutentions.

1.5. La structure mécanique et motricité

Il existe quatre types de structures mécaniques assurant la motricité:

• Les robots mobiles à roues.

• Les robots à chenilles.

• Les robots marcheurs.

• Les robots rampants.

5

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.5.1. Les robots mobiles à roues

La mobilité par roues est la structure mécanique la plus communément appliquée .Cette technique assure selon l'agencement et les dimensions des roues un déplacement dans toutes les directions avec une accélération et une vitesse importantes. Le franchissement d'obstacles ou l'escalade de marches d'escaliers est possible.

Figure I.2 robots à roues

1.5.2. Les robots à chenilles

L'utilisation des chenilles présente l'avantage d'une bonne adhérence au sol et

d'une faculté de franchissement d'obstacles. L'utilisation est orientée vers l'emploi sur

sol accidenté ou de mauvaise qualité au niveau de l'adhérence.

Figure I.3 robot a chenilles

6

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.5.3. Les robots marcheurs

Les robots mobiles marcheurs sont destinés à réaliser des tâches variées dont

l’accès au site est difficile, dangereux ou impossible à l’homme. Leur anatomie à

nombreux degrés de liberté permet un rapprochement avec les robots manipulateurs.

La locomotion est commandée en termes de coordonnées articulaires. Les

méthodes de commande des articulations définissent le concept d’allure qui assure le

déplacement stable de l’ensemble. Les différentes techniques étudiées se rapprochent

de la marche des animaux et notamment de celle des insectes. L’adaptation au sol est

spécifique aux marcheurs, elle consiste à choisir le meilleur emplacement de contact

en alliant l’avance et la stabilité avec l’aide de capteurs de proximité, de contact ou

de vision.

Figure I.4 types de robots à pattes

Robot à deux pattes

Robot a six pattes

Robot a quatre pattes

7

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.6. Le robot marcheur hexapode

Figure I.5 Le robot marcheur hexapode (HECTOR [1])

L'hexapode est un robot mobile marcheur à six pattes, c'est un système mécatronique

combinant des notions mécaniques, électroniques et informatiques. L'intérêt de l'étude de ce

type de robot est justifiée par :

• sa stabilité : marche stables et efficaces gérée adéquatement par le

polygone de support ;

• Des applications terrestres : l'hexapode pourrait faire la collecte de

données ou d'échantillons biologiques dans une forêt éloignée, fouiller le site d'une

catastrophe pour localiser les survivants sans mettre en danger les sauveteurs,

démantèlement de mines et pourrait aussi être utilisé comme robot domestique.

• Des applications spatiales peuvent être imaginées pour le robot

hexapode : explorer Mars ou la Lune ou construire des bases planétaires. 1.7. Quelques exemples des robots hexapodes réalisés

Nous en présentons quelques exemples de robots réalisés :

• SILO6 : est un robot à six pattes qui peut rechercher et détecter les mines terrestres. Il a été créé pour être une plate-forme de recherche en locomotion robotique, il est doté d'un localisateur magnétique de mines à baes de GPS et des antennes Wifi [2].

8


Figure I.6 robot SILO 6

• Hector : Pour comprendre comment les animaux se déplacent avec élégance et conçoivent à leur tour des robots avec la même capacité, les chercheurs de l'université de Bielefeld (CITEC) ont mis au point le robot marcheur hexapode appelé HECTOR qui possède la morphologie à l'échelle d'un phasme et sera utilisé comme un banc d'essai dans projets [3].

Figure I.7 modèle CAO du robot HECTOR

• Robot Lemur II : Lemur Robotiques (limbed Excursion mécaniques Robots utilitaires) ont été conçus pour résoudre les problèmes de maintenance sur les engins spatiaux et des stations spatiales. Ce robot est équipé d'un ensemble de caméra stéréo, permettant la vision omnidirectionnelle, il dispose de six membres à 4 degrés de liberté. Les membres du robot permettent un changement rapide d'une variété d'outils amovibles pour effectuer des tâches multiples. Seuls trois jambes sont nécessaires pour l'auto-support du Lemur, de sorte que les trois jambes restantes sont libres de manipuler les outils et effectuer des tâches. En apesanteur, le robot peut même ancrer l'un de ses membres et de travailler à l'envers [4].

9


Figure I.8 robot Lemur II

1.8. La marche chez des robots hexapodes

Le mode de marche le plus courant pour un robot hexapode est le tripode

alterné. Il va se déplacer en soulevant 3 pattes à la fois, c’est à dire les deux extrêmes

d'un côté et la patte centrale du côté opposé. Puis il recommence en alternant les 3

pattes, et ainsi de suite....

Figure I.9 mode de marche

Sur la Figure I.9, les couleurs pleines représentent les pattes au sol et les pointillées

symbolisent les pattes en l'air [5].

Selon [6] les hypothèses suivantes simplifient l'analyse de la marche : - L'hexapode a une structure symétrique. - Le contact entre le pied et le sol est un point. - Il n'y a pas de glissement entre le pied et le sol.

10

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes - la masse de tous les pieds est rangé dans le corps, et le centre de gravité est supposé être au

centre de gravité du corps.

1.9. Différentes chaînes cinématiques des robots hexapodes

Robot Image Chaine cinématique de la patte Degré

de

liberté

SILO [7]

3

Hamlet [8]

3

Melanie [9]

3

LynxMotion

[10]

3

11

Chapitre I. Etat de l’art sur la locomotion des hexapodes 1.10. Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre une étude bibliographique sur les robots mobiles des

points de vue classification et domaines d'application, ensuite le mode de marche observé chez les

hexapodes et enfin quelques réalisations des robots hexapodes auxquelles ont s'est intéressé à la

chaine cinématique des pattes et à leur la disposition par rapport au corps. Le choix d'une telle

chaine nous permet d'entamer le chapitre II concernant la modélisation géométrique et

cinématique des hexapodes.

12

Chapitre II. Modélisation Géométrique et cinématique de l’hexapode

Chapitre II :

Modélisation Géométrique et

Cinématique de l’hexapode

13


2 .1.Introduction La conception et la commande des robots nécessitent le calcul des modèles

mathématiques suivants :

• les modèles géométriques direct (MGD) et inverse (MGI) qui expriment la situation

de l’organe terminal en fonction des variables articulaires du mécanisme et

inversement,

• Les modèles cinématique (MCD) direct et inverse (MCI) qui expriment la vitesse de

l’organe terminal en fonction des vitesses articulaires et inversement, • Les modèles dynamiques direct (MDD) et inverse (MDI) définissant les équations du

mouvement du robot qui permettent d’établir les relations entre les couples ou forces

exercées par les actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires.

Dans ce chapitre:

On décrit la méthode de Khalil et Kleinfinger pour le calcul du modèle géométrique

direct de l'hexapode robot à structure ouverte simple et arborescente [11]. la méthode

de Paul pour trouver les solutions du modèle inverse et on calcule le modèle

cinématique de l'hexapode en utlisant le la matrice jacobienne de base utilisant des

Ensuite nous présentons la modélisation géométrique de la patte et du robot hexapode.

2.2. Modélisation Géométrique Directe des robots

Pour le chercheur, la première interrogation face à un robot est : comment calculer sa

position ? Plus précisément : où va se trouver son organe terminal si chaque articulation

tourne d’un certain angle ou se déplace d’une certaine distance ? Il faut donc trouver

l’ensemble des relations qui permettent d’exprimer les coordonnées opérationnelles de son

organe terminal en fonction de ses coordonnées articulaires (Figure II.1) : c’est le MGD.

14


Figure II.1définition du MGD

Le calcul de ce MGD de façon automatique exige une méthode générale pour la description

de la morphologie des robots. Plusieurs méthodes et notations ont été proposées dans ce

domaine, les deux méthodes les plus répondues sont :

• La méthode de Denavit-Hartenberg qui est développée pour le paramétrage des robots

à structures ouvertes simples, mais présente des ambiguïtés lorsqu’elle est appliquée

sur des robots ayant des structures arborescentes ou fermées ;

• La méthode de Khalil et Kleinfinger qui permet la description des robots à

architectures : simple, arborescente et fermée.

2.2.1. La méthode de Khalil-Kleinfinger pour les robots à structure arborescente

Une structure arborescente est constituée de n articulations, de 1+n corps rigides notés

nCC ....,,0 , et éventuellement de plusieurs organes terminaux.

Par convention, les corps et les articulations sont numérotés (Figure II.2) de la manière

suivante :

• la base est fixe et constitue le corps 0C ;

• les numéros des corps et des articulations sont croissants sur chaque branche en

partant de la base vers un organe terminal ;

• le corps jC est articulé par l’articulation j ; autrement dit, l’articulation j connecte

le corps jC au corps )( jaC . Le corps )( jaC est le corps antécédent du corps jC lorsque

l’on parcourt la chaîne depuis la base. La topologie du système est complètement

définie par la donnée des njja ,...,1pour )( = .

Organe terminal

2θ

1θ

3θ 4θ

0X 0Y

0Z

15


Figure II.2 Notations associées à une chaîne arborescente

Pour déterminer les paramètres géométriques nécessaires à la définition des transformations

entre les différents repères liés aux corps, on place les repères de la manière suivante :

• iR est fixe par rapport au corps iC ;

• iZ est porté par l’axe de l’articulation i ;

• iX est porté par la perpendiculaire commune à iZ et à l’axe Z de l’un des corps aval

porté par le corps iC .

Jusque là ces notations sont parfaitement compatibles avec la description d’une chaîne

ouverte simple (méthode de Denavit-Hartenberg).

Si le corps )( , jaiCi = , n’a pas d’arborescence, iX est la perpendiculaire commune à iZ et

jZ .Dans le cas ou le corps iC porte plus d’un corps (Figure II.3), par exemple les

corps kj CC et , il faut alors choisir iX sur l’une des perpendiculaires communes à iZ et

jZ ou iZ et kZ .

- Si iX est la perpendiculaire commune à iZ et à un autre axe kZ (Figure II.3), on construit

la perpendiculaire commune iX ′ aux axes iZ et jZ . Le passage de iR ′ (défini par iX ′ et

1C

3+jC jC

2+jC

0C

nC

1+jC

jZ

1+jZ 2+jZ

3+jZ

nZ

16


iZ ) à jR s’effectue à l’aide des quatre paramètres usuels( jjjj rd ,,, θα ) . Pour définir le

passage de iR à iR ′ deux paramètres supplémentaires doivent être introduits :

• γj: angle entre iX et 'iX correspondant à une rotation autour de iZ ;

• bj: distance entre iX et 'iX correspondant à une translation le long de iZ ;

Figure II.3 Paramètres géométriques pour un corps à plus de deux articulations

Le tableau II.1 résume les conventions pour l’assignation des repères et la définition des

Paramètre :

Règles de construction : =jZ axe de l’articulation j supportant le corps jC

=′iX axe perpendiculaire à ( ji ZZ & ) / =iX axe perpendiculaire à ( ki ZZ & )

Variable Axe de

référence

De

l’axe

A

L’axe

Remarque Type de

paramètre

jγ iZ iX iX ′ angle spécial pour les ramifications paramètres

d’embranchement jb iZ iX iX ′ distance spéciale pour les ramifications

jα 1−jX 1−jZ

jZ angle entre les axes de deux articulations Paramètres fixes

jd 1−jX 1−jZ jZ distance entre les axes de deux articulations

jθ jZ 1−jX jX pour les articulations rotoïdes Variables

d’articulation jr jZ 1−jX

jX pour les articulations prismatiques

iZ

jZ

jO

jX

iX ′ jd

jr

jθ

jα

iX jγ

jb

kZ kα

iO kO

iO ′

17


Tableau II.1 Conventions de Khalil-Kleinfinger pour la structure arborescente

On aura donc besoin des six paramètres géométriques qui permettent de construire la matrice

de passage jiT du repère jR au repère iR , cette matrice est donnée par :

)r,Z(Trans),Z(Rot)d,X(Trans),X(Rot)b,Z(Trans),Z(RotT jjjjjjji θαγ= (II.1)

Après son développement, on obtient :

(II.2)

+

−−+−+

+−−−

=

1000bCrCCSSS

SCrSdSCCCCSSSCCCSSSrCdSSCCSSCSCSCC

Tjjjjjjjj

jjjjjjjjjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjjjjjjjj

ji

ααθαθα

αγγαγθαγθγθαγθγ

αγγαγθαγθγθαγθγ

C’est cette méthode qu’en va utiliser dans nos calculs car elle représente la forme générale de

la matrice de transformation en décrivant les robots à structures : ouverte simple et s’étend

aux robots à structures: arborescente et fermée.

La transformation inverse correspondante à la notation de Khalil et Kleinfinger est :

−

+

−

=

1 b-

b-

b-

j

ji

j

000rC

SdCSA

CdSS

Tjj

jjjjT

jjjj

ij

α

θθα

θθα

(II.3)

2.2.2. Calcul du MGD d’un robot manipulateur

18


Comme le MGD correspond à la situation de l’organe terminal par rapport au repère 0R en

fonction des variables articulaires, on l’écrit sous la forme :

)(qfX = (II.4)

Avec :

X : le vecteur de situation des coordonnées opérationnelles (orientation et position), tel que :

[ ]TZYXZYXZYXZYX PPPaaannnsssX = (II.5)

• Si on ne considère que la position de l’organe terminal par rapport au repère 0R , on

aura :

[ ]TZYX PPPX = (II.6)

q : étant le vecteur des variables articulaires, noté :

[ ]Tnqqqqq ....321= (II.7)

Le modèle MGD est exprimé par la matrice de passage nT0 , déduite de la composition des

multiplications à droite des transformations successives aboutissant au repère terminal alors :

)(...)()( 122

111

00nn

nn qTqTqTT −= (II.8)

2.2.3. Application à l'hexapode La structure du robot hexapode est formée d'un corps (plate forme) auquel sont rattachées

six pattes identiques (Figure II-4).

Figure II.4 structure de l'hexapode 2.2.4. La chaîne cinématique de la patte

Patte "j"

19


La chaîne cinématique choisie pour la patte du robot est représentée sur la (Figure II.5),

cette patte est constituée de trois tiges rigides de longueurs respectives 321 et , lll , articulées

entre elles par trois articulations rotoïdes 321 et , θθθ .

L’articulation rotule permet un contact complet du pied de la patte avec le sol, la

longueur 4l est considérée comme nulle ( 04 =l ) et )0( 654 === θθθ .

Figure II.5 la chaîne cinématique d'une patte

2 .2.5. Description du banc d’essai de la patte Pour que cette patte puisse effectuer librement ses différents mouvements comme si elle

est rattachée à un robot marcheur réel qui se déplace sur un terrain naturel, on propose le banc

d’essai suivant (Figure II.6), ce dispositif doit supporter la patte en lui permettant d’effectuer

les deux mouvements suivants :

a- Coulissement vertical pour changer l’attitude du centre de gravité du robot,

b- Coulissement horizontal pour déplacer et pivoter le centre de gravité du robot.

Ce banc d’essai est constitué de deux barres verticales encastrées à une base fixe sur

lesquelles coulisse une barre horizontale.

2θ

1θ

3θ

4θ 6θ

5θ

1l

3l

2l

04 =l

20


Pendant la phase "patte en l’air", on doit maintenir le centre de gravité du robot à une hauteur

voulue grâce au bon choix des 4 ressorts de compression calibrés ( 4321 et ,, RRRR ), et au

même temps éliminer tout mouvement relatif sur la barre horizontale…

Quant le pied de la patte entre en contact avec le sol pendant la phase " patte posée", le Centre

de gravité du robot doit coulisser sans pivoter le long de la barre horizontale.

Ce mécanisme (patte et son banc d’essai) compte en tout cinq articulations dont les deux

premières sont passives, alors que les trois dernières formant la patte proprement dite sont

actives.

Figure II.6 chaîne cinématique du banc d’essais de la patte

2.2.6. Repérage du mécanisme : patte et son banc d’essais

2θ

1θ

3θ

4θ

6θ

5θ

1l

3l

2l

04 =l

0l

h d α

21


On va attribuer à chaque corps appartenant à l’ensemble (atelier et mécanisme) (Figure II.7)

son repère associé de la façon suivante:

Tableau II.2 Assignation repères –corps

Figure II.7 assignation de repères au banc d’essais et à la patte

Repère Lié à (au)

),,( 0000 ZYXR repère atelier ;

),,( 1111 ZYXR centre de gravité du corps du robot;

),,( 2222 ZYXR première articulation de la patte liant la patte au corps du robot ;

),,( 3333 ZYXR deuxième articulation de la patte ;

),,( 4444 ZYXR troisième articulation de la patte ;

),,( 5555 ZYXR pied de la patte du robot.

2θ

1θ

3θ

04 =θ

1l

3l

2l

3Z 3X

0Z

0X

0Y

0l

1X

4Z 4X

5Z

5X

2Z

2X

β

1′X

ϕ

h

d

),,,,,( rdh θαβ

a

b

0l

θ α

22


Pour passer du repère 0R (repère atelier) au repère 5R (lié au pied de la patte) selon la notation

de Khalil et Kleinfinger, les paramètres géométriques (Tableau II.3) valent:

j jσ

jγ jb jα jd jθ jr

1 1 β h α d θ r

2 0 ϕ 0 0 0l 1θ 0

3 0 0 1l− 2/π− 0 2θ 0

4 0 0 0 0 2l 3θ 0

5 0 0 0 0 3l 0 0

Tableau II.3 Paramètres géométriques relatifs au mécanisme

2.2.7. Calcul du MGD pour une patte

Le MGD de la patte consiste à déterminer les coordonnées opérationnelles du bout de la patte

lié à 5R par rapport au repère de la base 0R en fonction des coordonnées

articulaires [ ]Tq 321 θθθ= , ce modèle est donnée par le produit matriciel suivant :

54

43

32

21

10

50 TTTTTT = (II.9)

Le calcul des matrices de transformation homogène successives suivantes nous donne:

−+−−−

=Τ

+−−+−++−−−

=Τ

10000100

00

1000

01111

01111

21

10

ϕθϕθϕθϕθϕϕθϕθϕθϕθϕ

ααθαθααββαβθαβθβθαβθβαββαβθαβθβθαβθβ

SlSSCCSCCSClCSSCSSCC

hrCCCSSSSrCdSSCCCCSSSCCCSSrSdCSSCCSSCSCSCC

23


Le calcul du modèle géométrique direct de la patte à l’aide du logiciel Maple nous a fourni les

valeurs des vecteurs 50

50

50

50 et ,, Pans formant la matrice 5

0T et qui ont pour composantes :

=Xs (C β C θ - S β C α S θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +

(-C β S θ - S β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +

S β S α (-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ).

=Ys ( S β C θ + C β C α S θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +

(- S β S θ + C β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) –

C β S α (-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ).

=Zs S α S θ ( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) + S α C θ

( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) ( C 2θ C 3θ - S 2θ S 3θ ) +C α (-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ).

=Xn (C β C θ - S β C α S θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +

−−−

−

=Τ

10000

010000

12

22

32

lCS

SC

θθ

θθ

−

=Τ

1000010000

0

33

233

43 θθ

θθCS

lSC

=

100001000010l001 3

54Τ

24


(-C β S θ - S β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +

S β S α ( S 2θ S 3θ - C 2θ C 3θ ).

=Yn ( S β C θ + C β C α S θ )( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +

(- S β S θ + C β C α C θ )( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) –

C β S α ( S 2θ S 3θ - C 2θ C 3θ ).

=Zn S α S θ (C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) + S α C θ

( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ )(-C 2θ S 3θ - S 2θ C 3θ ) +C α ( S 2θ S 3θ - C 2θ C 3θ ).

=Xa (C β C θ - S β C α S θ )(-C ϕ S 1θ - S ϕ C 1θ ) +

(-C β S θ S β C α C θ )(C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ).

=Ya ( S β C θ + C β C α S θ )(-C ϕ S 1θ - S ϕ C 1θ ) +

(- S β S θ + C β C α C θ )( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ).

=Za S α S θ (-C ϕ S 1θ - S ϕ C 1θ ) + S α C θ ( C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ).

Les coordonnées cartésiennes ZYX PPP et , du pied de la patte en fonction des coordonnées

articulaires 321 et , θθθ :

=XP (C β C θ - S β C α S θ ) ( (C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) –

S 2θ S 3θ 3l ) + 0l C ϕ ) +(-C β S θ - S β C α C θ )

(( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l S ϕ ) +

S β S α (- S 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - C 2θ S 3θ 3l - 1l ) + d C β + r S β S α .

=YP ( S β C θ + C β C α S θ ) ( (C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l )-

S 2θ S 3θ l3) + 0l C ϕ ) + (- S β S θ + C β C α C θ )

(( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l S ϕ ) –

C β S α (- S 2θ (C 3θ 3l + 2l )- C 2θ S 3θ 3l - 1l ) + d S β - r C β S α .

25


=ZP S α S θ ((C ϕ C 1θ - S ϕ S 1θ ) (C 2θ ( C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l C ϕ ) +

S α C θ (( S ϕ C 1θ + C ϕ S 1θ ) (C 2θ (C 3θ 3l + 2l ) - S 2θ S 3θ 3l ) + 0l S ϕ ) +

C α ( - S 2θ ( C 3θ 3l + 2l ) - C 2θ S 3θ 3l - 1l ) + r C α + h .

2.2.8. Configuration d'une patte à partir du MGD

On va attribuer (Tableau II.4) aux paramètres géométriques du mécanisme et aux variables

articulaires ( 321 et , θθθ ) de la patte les valeurs numériques suivantes:

Valeurs des paramètres géométriques et variables articulaires

j jσ

jγ jb jα jd jθ jr

1 1 πβ −= 35=h 0=α 10=d 0=θ 0=r

2 0 2/πϕ = 0 0 35,25 == ba

220 bal +=

01.430 =l

01 =θ 0

3 0 0 51 −=− l

2/π− 0 02 =θ 0

4 0 0 0 0 202 =l 2/3 πθ = 0

5 0 0 0 0 303 =l 0 0

Tableau II.4 Valeurs attribuées aux paramètres du mécanisme

26


-10 -8 -6 -4 -2 0

-100

-50

00

10

20

30

40

X(cm)

MGD

Y(cm)

Z(cm

)

O5

O4O3

O1

O0O2

Figure II.8 schéma du MGD d'une patte pour 4/,0,0 321 πθθθ ===

-60 -40 -20 0 20 40 60 80-100

-50

0

50

100

0

10

20

30

40

Figure II.9 schéma du MGD de l'hexapode pour 2/,0,0 321 πθθθ ===

27


2.3.1. Modélisation Géométrique Inverse des robots

Le modèle géométrique direct d’un robot permet de calculer les coordonnées

opérationnelles qui donnent la situation de l’organe terminal en fonction des coordonnées

articulaires. Le problème inverse consiste à calculer les coordonnées articulaires

correspondant à une situation donnée de l’organe terminal (Figure II.10). Lorsqu’elle existe,

la forme explicite qui donne toutes les solutions possibles constitue ce que l’on appelle le

modèle géométrique inverse (MGI).

Figure II.10 définition du MGI

2.3.2. Calcul du modèle géométrique inverse par la méthode de Paul

La situation de l’organe terminal d’un robot manipulateur à n degrés de liberté est décrite par

le modèle géométrique direct qui a pour expression :

)(...)()( 122

111

00nn

nn qTqTqTT −= (II.10)

Cette même situation désirée sera notée par la matrice de transformation homogène 0U telle

que :

=

1000PansPansPans

UZZZZ

YYYY

XXXX

0 (II.11)

Organe terminal

0X 0Y

0Z

4X 4Y

4Z ),( AP

28


La résolution du système d’équations suivant :

)(...)()( 122

111

00 nn

n qTqTqTU −= (II.12)

nous donne le modèle géométrique inverse du robot.

Pour trouver les solutions de ce système, Paul a proposé une méthode qui consiste à

pré multiplier successivement les deux membres de l’équation (II.12) par les matrices jj T1−

pour j variant de 1 à 1−n , opérations qui permettent d’isoler et d’identifier l’une après

l’autre les variables articulaires que l’on cherche.

Pour un robot à six degrés de liberté par exemple, on procède comme suit :

- on multiplie à gauche l’expression (II.12) par 10T :

65

54

43

32

21

010 TTTTTUT = (II.13)

- par identification terme à terme des deux membres de l’équation (II.13), On se ramène

à un système d’équations type, fonction de 1q uniquement.

- ensuite on multiplie à gauche l’expression (II.13) par 12T et on calcule 2q ,

La succession des équations permettant le calcul de tous les iq est la suivante:

)()()()()(

)()()()()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

665

4545

665

554

3434

665

554

443

2323

665

554

443

332

1212

665

554

443

332

221

0101

665

554

443

332

221

110

0

qTUqTqTqTUqT

qTqTqTUqTqTqTqTqTUqT

qTqTqTqTqTUqTqTqTqTqTqTqTU

=

=

=

=

=

=

(II.14)

Avec : 4...,,0pour 16

11 === +++ jUTTU jj

jjj

29


2.3.3. Application de la méthode de Paul pour une patte

La variable articulaire correspondante à l’articulation rotoïde i est notée:

iiq θ= (II.15)

La situation du bout de la patte est décrite par la matrice de transformation 50T déjà calculée

par le modèle géométrique direct :

54

343

232

121

10

50 )()()( TTTTTT θθθ= (II.16)

La matrice 0U :

=

1000PansPansPans

UZZZZ

YYYY

XXXX

0 (II.17)

Le système d’équations qu’on doit résoudre est:

54

343

232

121

10

0 )()()( TTTTTU θθθ= (II.18)

Pour trouver les solutions l’équation (II.18), on doit prémultipluer successivement ses deux

membres par les matrices 1jjT −

pour j variant de 1 à 4, opérations qui permettent d’isoler et

d’identifier l’une après l’autre les variables articulaires que l’on cherche.

La succession des équations permettant le calcul de 321 et , θθθ :

54

3334

54

343

2223

54

343

232

1112

54

343

232

121

001

TU)(TT)(TU)(T

T)(T)(TU)(TT)(T)(T)(TUT

=

=

=

=

θ

θθ

θθθ

θθθ

(II.19)

avec : 3...,,0jUTTU jj1j

51j

1j === +++ pour .

30


2.3.3.1. Calcul de 1θ

En identifiant les éléments de la quatrième colonne de 2U avec ceux de la quatrième colonne

de la matrice 52T qui ont été déjà calculés par le modèle géométrique direct et en remarquant

que :

[ ] 04,252 =T (II.20)

et celui de 2U a pour valeur :

[ ]

10

11

112

))()())(((

))()())(((4,2

θθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕ

θθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕ

SldSChSPCSPCCCSSPCCSSCSSCC

CdSShPSSPSCCCSPSCSCCCSSCU

ZYX

ZYX

++−++−+−−−+

−−+++−−−=

(II.21)

On pose :

θθαθαθαβθβθαβθβ CdSShPSSPSCCCSPSCSCCX ZYX −−+++−= )()()(1 (II.22)

et

θθαθαθαβθβθαβθβ SdCShPCSPCCCSSPCCSSCY ZYX +−++−+−−= )()()(1 (II.23)

ce qui donne :

ϕϕθ CYSXS 111 −= (II.24)

et 0111 lCXSYC +−−= ϕϕθ (II.25)

alors:

−=′=

πθθθθθ

11

111 ),(2 CSATAN (II.26)

Le nombre de solutions sur cet axe est : 2.

31


2.3.3.2. Calcul de 2θ et 3θ

En identifiant les éléments de la quatrième colonne de 3U avec ceux de la quatrième colonne

de la matrice 53T qui ont été déjà calculés par le modèle géométrique direct (MGD) et qui ont

pour valeurs :

[ ][ ]

=

+=

3353

23353

4,24,1

θ

θ

SlTlClT (II.27)

ceux de 3U valent

[ ]

.))()()(()))()())((()

)()())((((4,1

21210

11

1123

θαααβαβθθθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕθθα

θαθαβθβθαβθβθϕθϕθ

SlrChPCPSCPSSSClSdCShPCSPCCCSSPCCSSCSCCSdCSS

hPSSPSCCCSPSCSCCSSCCCU

ZYX

ZYX

ZYX

−−−+−−−+−++−+−−++−

−+++−−=(II-32)

[ ]

.))()()(()))()())((()

)()())((((4,2

21210

11

1123

θαααβαβθθθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕθθα

θαθαβθβθαβθβθϕθϕθ

ClrChPCPSCPSSCCldSCShPCSPCCCSSPCCSSCSCCSdCSS

hPSSPSCCCSPSCSCCSSCCSU

ZYX

ZYX

ZYX

−−−+−−−+−++−+−−++−

−+++−−−=(II-33)

en comparant d'une part : [ ] [ ]4,1 avec 4,1 353 UT ,

d’autre part : [ ] [ ]4,2 avec 4,2 353 UT ,

et en posant:

10

11

112

))()())((()

)()())(((

θθθαθαθαβθβθαβθβθϕθϕθθα

θαθαβθβθαβθβθϕθϕ

ClSdCShPCSPCCCSSPCCSSCSCCSdCSS

hPSSPSCCCSPSCSCCSSCCY

ZYX

ZYX

−+−++−+−−++−

−+++−−=(II-34)

et

rChPCPSCPSSX ZYX −−+−= αααβαβ )()()(2 (II.28)

on aura les 2 équations suivantes, à résoudre:

+−+=−++=−

22221233

2221233

)()(

lCYSlXClSYClXSlθθθθθθ

(II.29)

du type 6 tel que :

+−=++=

21

223

223

ZCYSXCWZSYCXSW

θθθθθθ

(II.30)

32


avec: 22123 l2Z01Z,YY,lXX,lW ===+=−= et

En élevant au carré et en faisant la somme de ces deux équations, on élimine les fonctions

trigonométriques en 3θ . On se ramène alors à une équation du type 2 de la forme :

321 22 BCBSB =+ θθ (II.31)

avec:

−−−−=

−=+=

22222 2Z1ZYXW3B)Y2ZX1Z(22B)X2ZY1Z(21B

alors :

22 132 θθ SBBCB −= (II.32)

expression que l’on élève au carré :

222

22

222

222 11323)1(22 θθθθ SBSBBBSBCB +−=−= (II.33)

et qu’on résout en 2θS , un raisonnement analogue conduit à une équation en 2θC .En fin on

obtient :

+−+−

=

+−++

=

22

222

2

22

222

2

21321132

21321231

BBBBBBBBC

BBBBBBBBS

εθ

εθ (II.34)

avec : 1±=ε , on obtient 2 combinaisons possibles de 2θS et 2θC , et on aura alors deux

solutions en 2θ :

),(2 222 θθθ CSATAN= (II.35)

Connaissant 2θ , on calcule 3θ à partir des 2 équations (II.30) du type 6, ce qui donne :

),(2 333 θθθ CSATAN= (II.36)

avec :

33


+−=

++=

WZCYSXC

WZSYCXS

2

1

223

223

θθθ

θθθ

(II.37)

Le nombre de solutions pour 3θ est égal à 1.

Le nombre total de solutions pour le modèle géométrique inverse est égal à quatre

( 4122 =×× ) : c’est à dire que le pied de la patte peut atteindre un point désiré de son

l’espace opérationnel atteignable par quatre configurations possibles de la patte.

2.3.4. Application du MGI pour une patte

La Figure II.11 montre la configuration qui permet d’atteindre le point désiré de l’espace

opérationnel )0P,0116.63P,10P( ZYX =−=−= .

-15

-10

-5

0 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

0

5

10

15

20

25

30

35

Y(cm)

MGI

X(cm)

Z(cm

)

O0

O2

O3O4

O5

O1

Figure II.11 Convergence du MGI au point désiré

34


-20

-15

-10

-5

0 -50-40

-30-20

-100

10

0

10

20

30

40

Y(cm)

MGI

X(cm)

Z(cm

)

O2

O3

O1

O0

O4

O5

Figure II.12 Convergence du MGI en suivant un cercle horizontal

-15

-10

-5

0

5 -50-40

-30-20

-100

100

10

20

30

40

Y(cm)

MGI

X(cm)

Z(cm

)

O1

O2

O3

O4

O5

O0

Figure II.13 Convergence du MGI en suivant une droite

2.3.4.1. Application du MGI pour l'hexapode

Pour ramener le corps du robot à une position désirée, on doit assurer la concordance entre les

trois angles des six pattes du robot, on simule par exemple un mouvement de rotation autour

de l'axe vertical.

35


Figure II.14 Convergence du MGI pou une rotation autour de l'axe vertical

2.4. Modélisation cinématique des robots

Le modèle cinématique direct (Figure II.15) d’un robot décrit les vitesses des coordonnées

Opérationnelles en fonction des vitesses articulaires, il est noté :

q)q(JX = (II.38)

où )q(J désigne la matrice Jacobienne de dimension nm× du mécanisme qui est fonction

de la variable articulaire q .

Cette matrice est à la base du calcul du modèle cinématique, elle facilite aussi le calcul

des singularités et la dimension de l’espace opérationnel accessible du robot.

36


Figure II.15 définition du MCD

2.4.1. Calcul de la matrice Jacobienne de base

On calcule La ièmek colonne de la matrice Jacobienne, notée kni J ; , projetée dans le

repère iR par la formule :

n,...1k;n,...0ia

)nPsP(aJ

ki

k

ki

nxk

ki

nyk

kki

kk;n

i ==

+−+=

σ

σσ (II.39)

où :

• isk, ink et iak : sont respectivement le ème3et 2,1 èmeer vecteurs la matrice iAk ,

• ki A : matrice d’orientation de dimension )33( × du repère kR dans le repère iR

• kPnx et kPny : sont respectivement la èmeère 2et 1 composantes du vecteur nk P qui est la

quatrième colonne de nkT calculée précédemment par le modèle géométrique direct.

organe terminal

0X 0Y

0Z 1θ

3θ 4θ

2θ

nω

nV

37


2.4.2. MCD de la patte

Le calcul de la matrice jacobienne notée 52 J (projetée dans le repère 2R et de

dimensions )56( × ) est effectué en premier lieu pour tout le mécanisme comportant les cinq

articulations )et ,( 4321 θθθθθ , soit :

=

4

3

2

1

)5,6(52

)4,6(52

)3,6(52

)2,6(52

)1,6(52

)5,5(52

)4,5(52

)3,5(52

)2,5(52

)1,5(52

)5,4(52

)4,4(52

)3,4(52

)2,4(52

)1,4(52

)5,3(52

)4,3(52

)3,3(52

)2,3(52

)1,3(52

)5,2(52

)4,2(52

)3,2(52

)2,2(52

)1,2(52

)5,1(52

)4,1(52

)3,1(52

)2,1(52

)1,1(52

Z,52

Y,52

X,52

Z,52

Y,52

X,52

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

JJJJJ

V

V

V

θ

θ

θ

θ

θ

ω

ω

ω

Comme les articulations 4θθ et sont inactives alors :

=

3

2

1

)4,6(52

)3,6(52

)2,6(52

)4,5(52

)3,5(52

)2,5(52

)4,4(52

)3,4(52

)2,4(52

)4,3(52

)3,3(52

)2,3(52

)4,2(52

)3,2(52

)2,2(52

)4,1(52

)3,1(52

)2,1(52

Z,52

Y,52

X,52

Z,52

Y,52

X,52

JJJ

JJJ

JJJ

JJJ

JJJ

JJJ

V

V

V

θ

θ

θ

ω

ω

ω

En séparant cette Jacobienne en deux sous matrices :

la 1ère en haut, carrée de dimensions )33( × , nous permet de calculer le vecteur vitesse de

translation 52V du pied de la patte dans le repère 2R :

=

=

3

2

1

)4,3(52

)3,3(52

)2,3(52

)4,2(52

)3,2(52

)2,2(52

)4,1(52

)3,1(52

)2,1(52

,52

,52

,52

52

θ

θ

θ

JJJ

JJJ

JJJ

V

V

V

V

Z

Y

X

Donc, la vitesse linéaire du pied de la patte est donnée par :

−−−+−

−−−−−=

32332322323323

22323323

33223322332233

52

CClSSllCCClSSl000lCSSlCCl

lCSClSlSlCSClS0VJ

θθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθ

38


la 2ère sous matrice de bas, carrée de dimensions )33( × , nous permet de calculer le

vecteur vitesse de rotation 52ω du pied de la patte dans le repère 2R :

=

=

)4,6(52

)3,6(52

)2,6(52

)4,5(52

)3,5(52

)2,5(52

)4,4(52

)3,4(52

)2,4(52

Z,52

Y,52

X,52

52

JJJ

JJJ

JJJ

J

ω

ω

ω

ω

Donc, la vitesse de rotation du pied de la patte est donnée par :

−−

=

=

3

2

1

Z,52

Y,52

X,52

52

1100023C0023S

θ

θ

θ

ω

ω

ω

ω

2.4.3. Le modèle cinématique inverse

Le modèle cinématique inverse (MCI) (Figure II.16) permet de calculer à partir d’une

configuration q donnée les vitesses articulaires q qui assurent au repère terminal une vitesse

opérationnelle X imposée, il est calculé par :

XJq 1−= (II.40)

Figure II.16 définition du MCI

−−−+−

−−−−−=

3

2

1

32332322323323

22323323

33223322332233

3

2

1

000

0

θ

θ

θ

θθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθ

CClSSllCCClSSllCSSlCCl

lCSClSlSlCSClS

XXX

organe terminal

0X 0Y

0Z

nω nV

39


Le calcul du modèle cinématique inverse revient à l’inversion de la matrice jacobienne

du robot. Dans le cas régulier où la matrice Jacobienne est carré d’ordre n et son déterminant

est non nul, son inversion est simple.

2.4.3.1. MCI de la patte

Pour cette patte, la matrice 52 J est carrée d’ordre3 , son inverse 1−J est calculé

directement, sa valeur est :

2.4.4. Détermination des Positions Singulières de la patte

Les Positions Singulières (Figure II.17) correspondent à l’équation :

0)( =Jdét

0)cossinsinsin)(cossinsincoscos()( 22

2333322

222323323 =−−+−−= lllllllJdét θθθθθθθθθ

Ceci nous donne les deux équations suivantes:

0sin 3 =θ

qui correspond à : ) II.17.b (Figure: tendu)(segment 0

) II.17.a (Figure: )segment lesur replié (segment

33

233

=±=

lll

θπθ

+++−−

+−

−+−

=−

332

22323323

332

22323323

32

3232

32

3232

22323323

1

0

0

010

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθθ

θθθθθ

θθθθθ

SlllSCSlSCl

SlllCSSlCCl

SlCSSC

SlSSCC

lCSSlCCl

J

40


a- segment 3l replié sur 2l b- segment 3l tendu

ou :

0cosl)cos(l 22323 =++ θθθ

cette position correspond à la situation du pied de la patte sur l’axe 2Z de la première

articulation (i-e : II.17.c Figure: 0et 0 == YX PP )

c- le pied de la patte sur l’axe Z

Figure II.17 les positions singulières de la patte

2.5. Conclusion

On a exposé dans ce chapitre :

• les méthodes de calcul du modèle géométrique direct et inverse des robots à

structure ouverte simple et arborescente et leur application à l'hexapode;

• les méthodes de détermination du modèle cinématique direct et inverse et leur

application à l'hexapode;

On va ensuite aborder l’étude des mouvements de marche l'hexapode.

-70-60-50-40-30-20-100100

5

10

15

20

25

30

35

-10-10

-10-10

-10-10

-60

-40

-20

029

30

31

32

33

34

35

θ3 =+-pi

θ1 =0

θ2 =0

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0

-100

-50

0

500

10

20

30

40

41

Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode

Chapitre III :

Génération de trajectoire de l'hexapode

42

Chapitre III. Génération de trajectoire de l’hexapode 3.1. Introduction

Pour un robot marcheur la génération d’un mouvement de marche consiste à calculer les

consignes de référence en position, vitesse et accélération qui sont fonction du temps et qui

assurent le passage des bouts des différentes pattes par des trajectoires imposées, définies

selon le mode de la marche du robot.

Comme le robot évolue dans l’espace opérationnel, sa génération mouvement sera

décrite dans cet espace (Figure III.1), ceci implique l’utilisation du MGI.

Figure III.1 Génération de mouvement de patte dans l’espace opérationnel

Dans ce chapitre on va définir le mode de marche utilisé pour l'hexapode et le cycle

de marche de l’une de ses pattes et on proposera une méthode de calcul de la génération de

trajectoire pour cette patte.

3.2. La marche des robots à pattes

3.2.1. La marche des hexapodes

Le type de marche observé chez certains insectes est le tripode alterné où l’on constate qu’à

chaque instant, les pattes alternent en phase de transfert et de support trois par trois (Figure

III.2 )

Figure III.2 Diagramme de la marche tripode alternée

trajectoire désirée : )t(X d

MGI

Génération de mouvement de la patte Asservissement

MGD

)t(dθ

iθ

fX

iX

+

43


3.2. 2. Le cycle de marche de chaque patte

Lors de la marche, le mouvement d’un pas de la patte est devisé en deux phases :

• celle de support (de durée c ), où la patte est en contact avec la sol, elle doit supporter

et propulser le corps du robot vers l’avant ;

• celle de transfert ( de durée τ ), où la patte est levée et se déplace en l’air pour passer

d’un pas au suivant.

la somme de ces deux temps constitue le cycle de le marche de la patte de durée : cT += τ .

Le facteur de service β , est défini comme la fraction du cycle durant laquelle la patte est dans

sa phase de support : T)1(Tc βτβ −== et

3.3. La méthode proposée pour générer le mouvement de la patte

Cette méthode est basée:

1. sur l’idée qu’un cycle de marche de la patte comporte deux phases qui se

succèdent :

• la phase d’appui : pendant laquelle le pied de la patte reste en contact avec le sol,

tandis que le centre de gravité )CG( du corps du robot se déplace

horizontalement suivant une courbe donnée )(xfy = ;

• phase de transfert : où le pied de la patte suit une trajectoire qui doit prendre en

compte les caractéristiques souhaitées pour les instants des levers et des posers. telles

que : souplesse des mouvements et minimisation des collisions avec le sol ,

accomplissement des parcours dans le temps imposé par l’allure exécutée, adaptation

aux variations du relief du terrain.

Une trajectoire qui respecte bien ces conditions est celle d’une cycloïde [MAR 1998].

Rappelons qu’une cycloïde (Figure III.3) est la courbe décrite par un point fixe de la

circonférence d’un cercle de rayon R qui roule sans glisser sur une droite.

Les équations des coordonnées X et Z de cette cycloïde en fonction de l’angle de roulement

α sont :

−=−=

)cos1(RZ)sin(RX

ααα

(III.1)

Sa hauteur maximale est R2 , la distance entre ses deux points consécutifs est R2π .

44


0 10 20 30 40 50 60-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

X(cm)

Z(cm

)

cycloide

Figure III.3 Une trajectoire cycloïde )X(fZ =

avec : πα 2:0,10R ==

2. et sur les transformations de mouvement relatif entre le centre de gravité )CG( du

corps du robot et le pied de sa patte.

Pour appliquer cette méthode on définit les paramètres (Tableau I-4) suivants :

Paramètre Désignation

b,a,l,l,l 321 paramètres géométriques de la patte

1R repère lié à CG , sa situation est calculée par rapport au repère de

base 0R en utilisant la transformation homogène 10T

0λ course de la phase de support

[ ]T321 PPPP = vecteur des coordonnées du pied de la patte par rapport au repère 1R

[ ]TPPPPPPPP 321= vecteur des coordonnées du pied de la patte par rapport au repère 0R

0PP point de début de la cycloïde, référencié par rapport au repère 0R

PPn point final de la cycloïde, référencié par rapport au repère 0R

00λ l’enjambée de cycloïde de la cycloïde mesurée dans le plan XOY

n période d’un cycle de marche Tn =

s index simple s qui parcourt l’intervalle n et sépare les deux phases en

la valeur 2n

Tableau III.1 définition des paramètres de la génération mouvement de la patte

45


Figure III.4 Schéma de la génération de marche de la patte

3.4. Les étapes de la génération de mouvement

Pour générer un pas de marche de la patte on doit assurer la concordance entre le mouvement

du pied de la patte et celui du centre de gravité du corps du robot, alors on a procédé par :

1. définir les paramètres géométriques de la patte b,a,l,l,l 321 ;

2. initialiser une position quelconque de la patte par rapport à son support ( 0R )

0R

1R 1θ

3θ

1l

3l

2l

β

ϕ

Z

a

b

0l

α

dX =

CG

P

PP

0PP

nPP

translation du CG

cycloïde

00λ

0λ

hZ =

2θ

46


3. déterminer l’équation du mouvement r,,d,,h,,Z,Y,X αθβ du centre de gravité du

robot (origine de 1R ) dans le repère 0R , c’est en fait la transformation homogène 10T

qui permet de situer 1R par rapport à 0R ;

4. séparer les deux phases d’un pas de marche de telle sorte que la phase de transfert

commence quant se termine celle d’appui, cette séparation est assurée grâce à la

division de l’intervalle n en deux moitiés 2n et on utilise une variable de test s qui est

comparée avec la valeur 2n , et on définit alors le mouvement effectué pendant chaque

phase:

4.1 on propose une translation qui fait déplacer l’origineCG du repère 1R d’une distance

0λ donnée, ce qui revient à reculer le point [ ]TPPPP 321= de la même distance

4.2 puis une cycloïde ( avanced' calculéssont et paramètres lesdont 00n0 PP,PP λ ) que doit

suivre le pied de la patte .Quand s dépasse la valeur2n , commence la deuxième phase de la

marche qui consiste à calculer les points intermédiaires appartenant à la cycloïde et que doit

suivre le pied de la patte (l’origine 1R devra rester immobile). Ce calcul est fait par rapport au

repère 0R de la manière suivante :

Pour trouver l’équation de la cycloïde correspondante à notre cas, on introduit les

paramètres du tableau ci-dessus :

=−

=

=−==

=

tn

4tT)1(

2

nT,2nst,

212

R 00

πβπα

β

πλ

(III.2)

avec

R : le rayon de la circonférence,

t : variable temps de la phase de transfert,

T : la période d’un pas de marche.

l’équation de la cycloïde dans le plan de la marche s’écrit :

47


−=

−=

)tn

4cos(12

k)t(Z

)tn

4sin(tn

42

)t(X

00

00

ππ

λ

πππ

λ

λ

λ

(III.3)

avec : 1k ≤ : facteur de correction de la hauteur de la cycloïde.

Cette trajectoire (Figure III.4) conserve les propriétés de continuité de la cycloïde.

avec : 5.0ket1k,cm5,s5:0t,s10Tn 00 ====== λ

Figure III.5 trajectoire cycloïde dans le plan de la marche

On doit calculer à chaque fois la position relative du pied de la patte par rapport au repère 1R

grâce à 01T . , en fin le cycle de marche se termine quand s atteint la valeur de n .

5. transformer les positions obtenues pendant les deux phases par rapport au repère de

base 0R .

6. utiliser le MGI pour tracer les courbes de variation des angles 321 et , θθθ pour un pas

de marche.

7. dessiner à chaque fois la configuration correspondante de la patte.

Cette étude de mouvement nous a fourni les résultats suivants :

48


1. sur la Figure III.5 les différentes configurations de la patte qui effectue un pas de

marche ;

9.510

10.511

11.512

12.5

010

2030

4050

0

10

20

30

40patte en l'air

patte en contact

Figure III.6 la patte qui exécute un pas de marche

2. sur la Figure III.6 les valeurs des angles 321 , θθθ et correspondants et les

coordonnées X,Y et Z .

0 5 10-20

0

20

40

60

80

100

s

θ(de

g)

Variation des angles

0 5 100

5

10

15

20

25

30

35

s

coor

donn

ées(

cm)

Position du CG

θ3

θ1

θ2

X

Y

Z

Figure III.7 les angles et la position du CG correspondent à un pas marche

49


3. le robot hexapode qui suit une droit e( Figure III.7)

-60 -40 -20 0 20 40 60 80-100

-50

0

50

100

150

-10

0

10

20

30

40

Figure III.8 Simulation de la marche de l'hexapode

50


4. sur la (Figure III.9) les valeurs des angles 321 , θθθ et correspondants

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

angl

es(d

eg)

Variation des angles

theta 1

theta 2

theta 3

Figure III.9 Variation des angles

3.5. Conclusion

Ce chapitre nous a permis d’étudier la marche tripode alternée de l'hexapode à

partir de la marche cyclique d'une patte et d’obtenir trajectoires articulations conséquentes.

Cette trajectoire de référence sera utilisée s pour la détermination des valeurs des couples

moteurs engendrés pendant la marche, ceci constitue l’étude dynamique de la patte, objectif

du prochain chapitre.

51

Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode

Chapitre IV :

Modélisation dynamique de

l'hexapode

52

Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode 4.1. Introduction

Le modèle dynamique de l'hexapode permet de déterminer les équations du

mouvement, c'est-à-dire : la relation entre les couples appliqués aux trois actionneurs

et les positions, vitesses et accélérations articulaires.

En représente ce modèle dynamique par une relation de la forme :

),,,( efqqqf =Γ (IV.1)

avec :

Γ : vecteur des couples/forces des actionneurs, selon que l'articulation est rotoïde

ou prismatique. Dans la suite, on écrira tout simplement couples ;

q : vecteur des positions articulaires ;

q : vecteur des vitesses articulaires ;

q : vecteur des accélérations articulaires ;

ef : vecteur représentant l’effort extérieur qu’exerce le sol sur le pied de la patte.

Après avoir obtenu ce modèle dynamique de la patte, il sera utilisé pour la commande

de cette dernière à suivre une trajectoire de marche désirée.

Les principales notations utilisées sont les suivantes :

- aj vecteur unitaire suivant l'axe zj ;

- Fj résultante des forces extérieures sur le corps Cj ;

- fj résultante du torseur dynamique exercé sur le corps Cj par le corps

Cj-1 ;

- fej résultante du torseur dynamique exercé par le corps Cj sur

l'environnement ;

- Fsj paramètre de frottement sec de l'articulation j ;

- Fvj paramètre de frottement visqueux de l'articulation j ;

- g accélération de la pesanteur ;

- Gj centre de gravité du corps Cj ;

- IGj matrice d'inertie du corps Cj par rapport à un repère parallèle à Rj et

53


d'origine Gj ;

- Iaj moment d'inertie du rotor de l'actionneur j et de son réducteur ressenti

par l'articulation ;

- jJj matrice d'inertie du corps Cj par rapport au repère Rj, qui s'exprime

par :

jJj=

=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

jZZjj

jjj

jjj

YZXZYZYYXYXZXYXX

y2)dm+(x2yzdm-xzdm-yzdm-z2)dm+(x2xydm-xzdm-xydm-z2)dm+(y2

(IV.2)

- Lj vecteur liant l'origine du repère Rj-1, antécédent du repère Rj, et l'origine du

repère Rj, égal à Oj-1Oj ;

- Mj masse du corps Cj ;

- MSj premier moment d'inertie du corps Cj autour de l'origine du repère Rj, égal à

Mj Sj. Soit : [MXj MYj MZj]T les composantes de jMSj ;

- MGj moment des efforts extérieurs exercés sur le corps Cj autour de Gj ;

- Mj moment des efforts extérieurs exercés sur le corps Cj autour de Oj ;

- mj moment du torseur dynamique autour de Oj exercé sur le corps Cj par le corps

Cj-1;

- mej moment du torseur dynamique exercé par le corps Cj sur l'environnement

autour de Oj ;

- Sj vecteur ayant pour origine Oj et pour extrémité le centre de masse du corps Cj.

Il est égal à OjGj ;

- Vj vitesse du point Oj ;

- �̇�𝐕Rj accélération du point Oj ;

- VGj vitesse du centre de gravité du corps Cj ;

- �̇�𝐕RGj accélération du centre de gravité du corps Cj ;

- jω vitesse de rotation du corps Cj ;

- jω accélération de rotation du corps Cj.

54

Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode 4.2. Formalismes de Calcul du Modèle Dynamique

Les deux formalismes les plus souvent utilisés pour obtenir le modèle dynamique

Inverse des robots sont :

• le formalisme de Lagrange ;

• le formalisme de Newton-Euler.

4.2.1. Le formalisme de Lagrange

Le formalisme de Lagrange décrit les équations du mouvement en terme de

travail et d’énergie du système, ce qui se traduit par, lorsque l’effort extérieur sur

l’organe terminal est supposé nul , par l’équation suivante :

niqL

qL

dtd

iii ...,1=

∂∂

−∂∂

=Γ

(IV.3)

où :

L : Lagrangien du système égal à : UE − ;

E : énergie cinétique totale du système ;

U : énergie potentielle totale du système.

L’énergie cinétique du système est une fonction quadratique des vitesses articulaires :

qAqE T 21

= (IV.4)

L’énergie potentielle étant fonction des variables articulaires q.

Ce couple Γ peut se mettre sous la forme :

).(),()( qQqqqCqqA ++=Γ (IV.5)

où :

• A : est la matrice )nn( × d’inertie du robot qui est symétrique et définie

positive, d’élément générique ijA qui sont fonction des variables

articulaires q . Pour les calculer, on procède comme suit :

- l’élément iiA est égal au coefficient de )2( 2iq dans l’expression de

l’énergie cinétique ;

55


- l’élément ijA , si ji ≠ est égal au coefficient de ji qq .

• qqqC ),( : vecteur de dimension (n×1) représentant les couples/forces de

Coriolis et des forces centrifuges, tel que :

qEqAqC

∂∂

−= )( (IV.6)

- On calcule ses éléments à partir du symbole de Christophell, noté jk,ic tel

que :

∂

∂−

∂∂

+∂

∂=

= ∑=

i

jk

j

ik

k

ijjki

n

kkjkiij

qA

qA

qA

c

qcC

21

,

1,

(IV.7)

• [ ] :...1Τ= nQQQ vecteur des couples/forces de gravité.

- Les éléments du vecteur Q se calculent par :

ii q

UQ∂∂

= (IV.8)

Les éléments de A, C et Q sont fonction des paramètres géométriques et

inertiels du mécanisme. Les équations dynamiques d'un système mécanique articulé

forment donc un système de n équations différentielles du second ordre, couplées et

non linéaires.

4.2.1.1. Calcul de l’énergie cinétique

L’énergie cinétique totale du système est donnée par la relation :

∑

=

=n

jjEE

1 (IV.10)

où :

- jE désigne l’énergie cinétique du corps jC , qui s’exprime par :

)I(

21

jG GjT

GjjjTjj VVME += ωω (IV.11)

56

Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode Etant donné que (Figure IV.1) :

jj

jGj SVV ∧+= ω (IV.12)

et sachant que :

jjjGj SSMIJj

ˆˆ−= (IV.13)

La relation (IV.12) devient :

[ ])(221

jjjT

JjjT

jjjjTjj VMSVVMJE ωωω ∧++= (IV.14)

Figure IV.1 Composition des vitesses

Le calcul de jj

jj Vetω se fait par les équations de composition de vitesses

(Figure IV.1):

jj

jjjj

jj

jjjj

jj

jj qqA aa

111

1 σωσωω +=+=−−

−− (IV.15)

Et

jj

jjjj

jj

jj

jj

ji qPVAV a)( 1

11

11

1 σω +∧+= −−

−−

−− (IV.16)

4.2.2. Le formalisme de Newton-Euler

Les équations de Newton-Euler expriment le tenseur dynamique en Cj des efforts

extérieurs sur un corps j par les équations :

0z

0y

0x

1−jz

1−jy

1−jx jz

jy

jx

0O

jO

1jO −

jG

Sj

Lj

jC

57


(IV.17)

(IV.18)

Le calcul du modèle dynamique des robots fondé sur une double récurrence.

• La récurrence avant, de la base du robot vers l’effecteur, calcule

successivement les vitesses et accélérations des corps, puis leur torseur

dynamique;

• Une récurrence arrière, de l'effecteur vers la base, permet le calcul des

couples des actionneurs exprimant pour chaque corps le bilan des éfforts.

4.2.2.1. Équations de Newton-Euler linéaires par rapport aux paramètres

inertiels

Les équations de Newton-Euler s’écrivent :

(IV.19)

(IV.20)

En utilisant les notations des torseurs, on obtient :

(IV.21)

Avec :Fj =�𝐹𝐹𝑗𝑗𝑀𝑀𝑗𝑗� , 𝑉𝑉 ̇ = ��̇�𝑉

�̇�𝜔� (IV.22)

i) Récurrence avant :

elle permet de calculer Fj et Mj à partir des relations (IV.21) et (IV.22). Pour

ce faire, il calculer ωj , �̇�𝜔 Rj et �̇�𝑉 Rj.Les formules de composition des vitesses donnent :

(IV.23)

jjj GVMF =

)I(IM Gj jGjGj jj ωωω ∧+=

( )jjjjj MSMS ∧∧+∧+= ωωωjjj VMF

( ) jjjjj VMSJ ∧+∧+= ωωω jjj JM

( )( )

∧

∧∧+=

jj

jjjjj J

MSVJ

ωωωω

jF

j1jj ajj qσωω +=−

58


(IV.24)

La dérivée de l’équation (IV.23) par apport au temps s’écrit :

(IV.25)

En procédant de même avec l’équation (IV.24), on obtient :

(IV.26)

Ce qui donne :

(IV.27)

On peut finalement calculer 𝐹𝐹𝑗𝑗 et 𝑀𝑀𝑗𝑗 grâce aux relations (IV.19) et (IV.20).On

initialise cette récurrence par 𝜔𝜔0=0, �̇�𝜔 R0=0 et �̇�𝑉 R0=0.

ii) Récurrence arrière : Les équations composant la récurrence arrière sont obtenues à

partir du bilan des efforts sur chaque corps, écrit à l’origine Oj. On obtient

(Figure((() :

(IV.28)

(IV.29)

jj11jj aL jjj qVV σω ∧+= −−

)aa( j1j1jj jjjj qq ∧++= −−ωσωω

)aa()aL(L j1jjj11j11jj jjjjjjjjj qqqVV ∧+++∧∧+∧+= −−−−−ωσσωωω

)a2a()L(L j1jj11j11jj jjjjjjj qqVV ∧++∧∧+∧+= −−−−−ωσωωω

ejjj gM fffF 1jj −+−= +

ejjjjjj mgMSLm −∧+∧−−= +−+ 111jj fmM

59


Figure IV.2 Bilan des efforts au centre de gravité

On peut faire intervenir l’effet de la gravité sans avoir à la prendre en compte dans

le bilan des efforts. Pour cela, on prend :

�̇�𝑉 R0=-g

D’où l’on tire les équations suivantes :

(IV.30)

(IV.31)

Récurrence initialisée par les efforts fn+1 =0 et mn+1 =0.

On obtient alors les couples aux actionneurs jΓ en projetant, suivant la nature de

l’articulation j , les vecteurs fj au mj sur l’axe du mouvement. On ajoute les termes

correctifs représentant l’effet des frottements et des inerties des actionneurs. Ce

donne :

( ) ( ) jjVjjSjT

jjjjj qIqFqsignFm jj aaf ++++=Γ σσ (IV.32)

ejj ffFf 1jj ++= +

ejjjj mLm +∧++= +++ 111jj fMm

60

Chapitre IV. Modélisation dynamique de l’hexapode 4.2.2.2. Forme pratique des équations de Newton-Euler

les équations de récurrence avant deviennent, pour j=1,......n :

(IV.33)

(IV.34)

(IV.34)

(IV.36)

(IV.37)

(IV.38)

Avec 𝜔𝜔0=0 ,�̇�𝜔 R0=0 et �̇�𝑉 R0= -g et :

(IV.39)

−−

−

=0

00

ˆ

xy

xz

yz

ωωωω

ωω

ω

et

−−

−

=0

00

ˆ

xy

xz

yz

ωωωω

ωω

ω

(IV.40)

Pour la récurrence arrière lorsque j= , ........1 :

(IV.41)

(IV.42)

1-j1

1j1j A ωω −−−

= jjj

jj

1-jj ajjjj qσωω +=

)aa( jj

1jj

11

1-jj jjj

jjjjjj qqA ∧++= −−− ωσωω

)a2a()( jj

1jj1

11

11

1-jj jjj

jjjj

jj

jjjj qqPUVAV ∧++++= −

−−

−−

− ωσ

jj

jj

jj

jj MSUVMF += −

−1

1j

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jjj VMSJJM ∧+∧+= )(j ωωω

ejj

jjj ffFf 1jj

j ++= +

j1

j1-j ff j

jj A += −

jj

jj

jjjU ωωω ˆˆˆ

j +=

61


(IV.43)

(IV.44)

4.2.2.3. Résultat de la modélisation dynamique

4.2.2.3.1. Application du formalisme de Lagrange

On prend les données suivantes :

les Longueurs : l1, l2 ,l3, les masses mj ;

Matrices d'inertie :

Tenseur d’inertie :

• on calcule la valeur de l'énergie cinétique :

:= MS ,1 1

, ,0 0 −

m1 L12 := MS ,2 2

, ,m2 L2

2 0 0 := MS ,3 3

, ,m3 L3

2 0 0

:= J ,1 1

XX1 0 0

0 YY1 0

0 0 ZZ1

:= J ,2 2

XX2 0 0

0 YY2 0

0 0 ZZ2

:= J ,3 3

XX3 0 0

0 YY3 0

0 0 ZZ3

:= E112 qp1

2 ZZ1

:= E2 + + 12 S22 qp1

2 XX212 C22 qp1

2 YY212 qp2

2 ZZ2

E312 ( )− − C3 S2 qp1 S3 C2 qp1

2 XX312 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1

2 YY3 + :=

12 ( ) + qp2 qp3

2 ZZ312 m3 ( ) + + S32 qp2

2 L22 C32 qp22 L22 C22 qp1

2 L22 + +

12 m3 L3 C2 qp1 L2 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1

12 m3 L3 C3 qp2 L2 ( ) + qp2 qp3 − +

ejj

jj

jj

jj

jjj mPmA +∧++= +++

++ 111

11jj

j fMm

( ) ( ) qIqFqsignFm jVjjSjT

jjjjj jj aaf ++++=Γ σσ

62


• on en déduit la valeur des éléments ijA de la matrice d’inertie A

4.2.2.3.2. Application du formalisme de Newton Euler

• On prend les données suivantes :

Paramètres Valeurs numériques Géométriques

30,25,10,20,61,25

,0,,0,35,2

,

3210

22

=======

=+====−=

lllalba

ryxdh απϕπβ

Inertiels

81.9,1,1,1,1,1,1

1,1.,1,1,1,1.0

333

222

111

321

==========

===

gZZYYXXZZYYXXZZYYXX

mmm

Frottements 00

321

321

======

vvv

sss

FFFFFF

Efforts de Contact Patte/Sol

0,0,0

,10,5.0,5.0

43

43

43

43

43

43

===

===

zyx

zyx

mmm

fff

Trajectoires désirées -

-theta1=g1*sin(2*pi*t/T);

- - theta2=g2*sin(2*pi*t/T);

-

- theta3=g3*sin(2*pi*t/T); g1=0.25, g1=0.5, g1=0.5, T=20.

E 12 qp1

2 ZZ112 S22 qp1

2 XX212 C22 qp1

2 YY212 qp2

2 ZZ2 + + + :=

12 ( )− − C3 S2 qp1 S3 C2 qp1

2 XX312 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1

2 YY3 + +

12 ( ) + qp2 qp3

2 ZZ312 m3 ( ) + + S32 qp2

2 L22 C32 qp22 L22 C22 qp1

2 L22 + +

12 m3 L3 C2 qp1 L2 ( ) − S3 S2 qp1 C3 C2 qp1

12 m3 L3 C3 qp2 L2 ( ) + qp2 qp3 − +

A11 Ia1 ZZ1 S22 XX2 C22 YY2 C3 S2 XX3 S3 C2 XX3 ( ) − S3 S2 C3 C2 2 YY3 + + + − − + :=

M3 C22 L22 m3 L3 C2 L2 ( ) − S3 S2 C3 C2 + −

= A22 + + + + + Ia2 ZZ2 ZZ3 M3 S32 L22 M3 C32 L22 m3 L3 C3 L2

= A33 + Ia3 ZZ3

:= A12 0

:= A13 0

= A23 + ZZ3m3 L3 C3 L2

2

63


• on obtient les couples moteurs (Figure IV.3)

Figure IV.3 Valeurs des couples

• Avec des accélérations nulles, on aura les valeurs des couples H (H=C+Q)

(Figure IV.4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

t(s)

Gam

ma

(N.c

m)

Valeurs des couples

Gammma 3

Gammma 2

Gammma 1

64


Figure IV.4 Valeurs des couples

4.3. Conclusion:

Nous avons présenté dans ce chapitre les deux formalismes du calcul du

modèle dynamique : le premier de Lagrange et le deuxième de Newton Euler. La

matrice d'inertie A est calculée par la formalisme de Lagrange alors que le vecteur H

est calculé par la double récurrence de Newton Euler.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100Vleurs de H (accélérations=0)

t(s)

H (N

.cm

)

H1

H3

H2

65

Chapitre V. Conception du l’hexapode

Chapitre V :

Conception du l’hexapode

66

Chapitre V. Conception du l’hexapode 5.1 Introduction En se basant sur la chaine cinématique choisie pour une patte et sur les dimensions du

corps du robot on veut faire une conception qui soit compatible avec la réalité. Alors on

commence par le choix des trois moteurs à partir du site internet de la société Maxon motor

[12].

5.2. Moteurs choisis

La configuration on line d’un moteur plus un réducteur nous donne :

Figure V.1 Moteur (plus réducteur) choisi

5.3. La conception proposée pour une patte La conception dune patte est la suivante

Figure V.2 Modèle CAO d’une patte

67

Chapitre V. Conception du l’hexapode 5.4. La conception proposée pour le corps La conception du corps est la suivante :

Figure V.3 Modèle CAO du corps

5.5. La conception proposée pour le robot entier La conception du robot est la suivante :

Figure V.4 Modèle CAO de l’hexapode

68

Chapitre V. Conception du l’hexapode 5.6. Conclusion A Partir de la chaine cinématique étudiée et des moteurs disponibles, on a pu proposer une

conception pou ce robot hexapode.

69

Conclusion générale Conclusion générale A partir du sujet qui m’a été attribuée, Jai commencé le premier chapitre par une étude bibliographique sur les robots mobiles d’une façon générale et je me suis intéressée aux hexapodes du point de vue :

• Utilisation en terrains inaccessibles : milieux hostiles ; • Des différentes réalisations : il existe plusieurs laboratoires travaillant sur ces robots ; • Des différentes chaines cinématiques : il existe plusieurs chaines cinématiques pour

les pattes et les corps de ces robots ; • Des modes de marche de ces robots : ou le mode tripode alterné qui est le plus utilisé.

Ensuite on a entamé au deuxième chapitre la partie modélisation géométrique et cinématique de l’hexapode :

• à partir du choix d’une chaine cinématique pou une patte ; • sa modélisation géométrique directe par la méthode de khalil-kleinfiger • sa modélisation géométrique directe inverse par la méthode de Paul • sa modélisation cinématique par le calcul de la matrice jacobienne de base

pour une patte ; • et la généralisation de cette modélisation pour le robot entier.

Le troisième chapitre est consacré à la génération de la trajectoire de marche de l’hexapode, là ou on a simulé le mode tripode alterné pour le déplacement de ce robot. Cet approche est basée sur :

• Le mouvement cyclique d’une patte qui se compose de deux phases : support et appui ;

• Sur la coordination des mouvements des six pattes en alternance ; • Et sur les mouvements relatifs entre les bouts des pattes, et le centre de gravité

du corps par rapport au repère de base.

Dans le chapitre quatre on à présenté la théorie du calcul du modèle dynamique des robots par les deux formalismes :

• de Lagrange pour calculer la valeur de la matrice d’inertie du robot ; • et de Newton Euler pour calculer les valeurs des couples moteurs d’une façon

implicite par la double récurrence.

Un modèle CAO de cet hexapode est proposé au chapitre cinq à partir de :

• la chaine cinématique de l’hexapode et • de la configuration on line aboutissant au choix des trois moteurs.

Les perspectives restantes ouvertes pour ce travail peuvent concerner la réalisation d’un hexapode et l’implémentation des lois de commande pour simuler sa marche réelle.

70

Recherche bibliographie

[1] Richard Gray, «Mechanical stick insect scales obstacles-and could be used to explore alien planets », maileonline, 2014.

[2] Robotics To day, «robot development and those who make it happen», instit de Automatic a industrial, 2004.

[3] Darren Quick, «Insespired Hector walking robot», university of Bielefeld, 2011.

[4] B.A, «pet robot Assisting in space»,Tel-aviv university,2015.

[5] site web:www.electronique.com

[6] IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS—PART B: CYBERNETICS, VOL. 28, NO. 1, FEBRUARY 1998.

[7] Estremera,J.A cobano and P.Gonzalez de santos , «Hexapode robots on a natural terrain»,institute of industrial Automation,Madrid,spain, 2009.

[8] Chadi Soheyb & Filali Hamza«Calcul dynamique et conception d’un robot marcheur hexapode », Mémoire de master, Université de Oum EL Bouaghi, Algérie2014.

[9] Boukesmir yazid & Dib farouk « Modélisation d’un robot marcheur hexapode », Mémoire de master, Université de Oum EL Bouaghi, Algérie2013.

[10] Richard Gray, «the visual sevo path traking and obstacle avoidance for the Hexapod robot», Electrical engineering department,tatung university , 2015.

[11] W.Khalil et E. Dombre. Modélisation Identification et Commande des robots. édition, Hermès Science Publications, Paris, 1999.

[12] www.moxonmotor.com

http://www.moxon/

Résumé Ce présent travail concerne la modélisation et la conception d’un robot marcheur hexapode. Jai commencé le premier chapitre par une étude bibliographique sur les robots mobiles d’une façon générale et je me suis intéressée aux hexapodes. Ensuite on a entamé au deuxième chapitre la partie modélisation géométrique et cinématique de l’hexapode.

Le troisième chapitre est consacré à la génération de la trajectoire de marche de l’hexapode, là ou on a simulé le mode tripode alterné pour le déplacement de ce robot.

Dans le chapitre quatre on à présenté la théorie du calcul du modèle dynamique des robots par les deux formalismes de Lagrange et de Newton Euler.

Un modèle CAO de cet hexapode est proposé au chapitre cinq à partir de sa chaine cinématique et des trois moteurs choisis.

conception et modélisation d’un robot marcheur hexapode

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