conception de l’outil de prédimensionnement de champs de...

Conception de l’outil de prédimensionnement de champs de

sondes géothermiques verticales PredimCSGV

Rapport final

BRGM/RP-64445-FR Février 2015

Conception de l’outil de prédimensionnement de champs de

sondes géothermiques verticales PredimCSGV

Rapport final

BRGM/RP-64445-FR Février 2015

Étude réalisée dans le cadre des opérations de Service public du BRGM. Cofinancement de l’ADEME. Projet PS14DGR109

C. Maragna

Vérificateur :

Nom : Mikaël PHILIPPE

Fonction : Ingénieur

Date : 20/02/2015

Signature :

Approbateur :

Nom : Bernard SANJUAN

Fonction : Responsable d’Unité

Date : 20/02/2015

Signature :

Le système de management de la qualité et de l’environnement est certifié par AFNOR selon les normes ISO 9001 et ISO 14001.

Mots-clés : Géothermie – Dimensionnement - Champ de sondes géothermiques verticales En bibliographie, ce rapport sera cité de la façon suivante : Maragna C. (2015) – Conception de l’outil de prédimensionnement de champs de sondes géothermiques verticales PredimCSGV.- Rapport final, BRGM/RP-64445-FR, 35 p., 13 fig., 1 tabl., 1 ann. © BRGM, 2015, ce document ne peut être reproduit en totalité ou en partie sans l’autorisation expresse du BRGM.

Conception de PredimCSGV

BRGM/RP-64445-FR – Rapport final 3

Synthèse

e rapport présente le moteur de calcul de l’outil PredimCSGV développé pour le prédimensionnement de Champs de Sondes Géothermiques Verticales (CSGV). Cette

action d’une durée de 12 mois est cofinancée par le BRGM et l’ADEME, conformément à la convention n° 13 05 C0071.

L’outil développé est ciblé pour une utilisation en phase de pré-conception d’un CSGV raccordé à une pompe à chaleur (PAC). Le moteur de calcul permet une estimation rapide de la longueur forée nécessaire à la couverture d’un besoin en énergie thermique d’un bâtiment (chauffage et rafraîchissement) en respectant un critère (défini par l’utilisateur) de température extrême acceptable en entrée de pompe à chaleur. La principale originalité de l’outil repose sur la possibilité de placer les sondes géothermiques verticales (SGV) de manière totalement arbitraire. La demande du bâtiment peut être mixte : chauffage et rafraichissement.

Une comparaison de PredimCSGV au logiciel EED (Earth Energy Design) pour une sonde unique montre que PredimCSGV minore de 5,5 % environ la longueur forée par rapport au logiciel EED. L’exécution de PredimCSGV sur un cas simple est de quelques secondes sur un PC de bureau. Des tests supplémentaires dans des configurations à plusieurs échangeurs demeurent nécessaires pour valider le logiciel PredimCSGV.

L



Sommaire

1. Introduction ............................................................................................................. 7

1.1. ÉTAT DE L’ART DES LOGICIELS ET MÉTHODES DE PRÉDIMENSION- NEMENT ............................................................................................................ 7

1.2. PROBLÉMATIQUE ............................................................................................ 7

2. Moteur de calcul : Conception................................................................................ 9

2.1. DONNÉES D’ENTRÉE ...................................................................................... 9

2.1.1. Caractéristiques du besoin ........................................................................ 9

2.1.2. Caractéristiques de la Pompe à Chaleur (PAC) ...................................... 11

2.1.3. Critère de dimensionnement ................................................................... 12

2.1.4. Disposition des sondes géothermiques verticales (SGV) ........................ 12

2.1.5. Caractéristiques du terrain ...................................................................... 13

2.1.6. Caractéristiques des sondes géothermiques verticales (SGV) ................ 14

2.1.7. Caractéristiques du fluide caloporteur ..................................................... 14

2.2. RÉSULTATS (DONNÉES DE SORTIE) ........................................................... 14

2.3. ALGORITHME DU MOTEUR DE CALCUL ...................................................... 14

2.3.1. Étape 1a : évaluation de la puissance échangée avec le CSGV ............. 16

2.3.2. Étape 1b : calcul de la réponse indicielle du CSGV sans effets de bord .. 16

2.3.3. Étape 1c : calcul de la réponse indicielle du CSGV avec effets de bord .. 18

2.3.4. Étape 2 : optimisation préliminaire de la longueur forée .......................... 20

2.3.5. Étape 3 : optimisation de la longueur forée ............................................. 20

2.4. IMPLÉMENTATION DU MOTEUR DE CALCUL – CONSTRUCTION D’UNE INTERFACE UTILISATEUR ............................................................................. 21

3. Moteur de calcul : Comparaison de PredimCSGV à EED ................................... 23

4. Conclusion ............................................................................................................. 25

5. Bibliographie ......................................................................................................... 27


6 BRGM/RP-64445-FR – Rapport final

Liste des illustrations

Figure 1 : Évolution de la puissance appelée par le bâtiment Pbat(t) (légende : « surface ») en fonction des paramètres caractérisant le besoin en énergie thermique. Pbat(t) est représentée en bleu ; la puissance prélevée sur le champ de SGV PCSGV(t) est aussi représentée (en rouge). Valeurs des paramètres de l’exemple représenté : 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 = 50 kW, 𝐸𝑐𝑎𝑙 = 10 MWh, 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 = -30 kW, 𝐸𝑓𝑟 = 3 MWh. ......................... 11

Figure 2 : Exemple de disposition des SGV pour une grille à maille carrée de pas a = 5 m. Disposition en rectangle plein (en haut à gauche), en rectangle creux (en haut à droite), en U (en bas à gauche) et en L en rectangle plein (en bas à droite). nx = 10, ny = 10. 2 SGV par rangée. ........................................................................................................................ 13

Figure 3 : Synoptique du moteur de calcul. ................................................................................................ 15

Figure 4 : Illustration de la procérure pour le calcul des réponses d’interactions 𝐺𝑖 → 𝑗𝑡 : ........................ 19

Figure 5 : Capture d’écran de l’outil de prédimensionnement du champ de sondes géothermiques verticales. Version provisoire. ........................................................................................... 22

Figure 6 : Évolution de la puissance appelée par le bâtiment (en bleu) et prélevée à la SGV (en rouge) (données d’entrée de PredimCSGV. ................................................................................ 23

Figure 7 : Évolution de la température moyenne de fluide sur 20 ans calculée par PredimCSGV............ 24

Figure 8 : Exemple de corrélation 𝐺𝑖 → 𝑗𝐻𝑡 ∗ établie pour 𝑑𝑖𝑗 ∗= 11,11 et 𝐻𝑖𝑗 ∗= 111,11. 𝑡 ∗ est le temps adimensionné (ou nombre de Fourier). .................................................................. 30

Figure 9 : Coefficient 𝐺𝑚𝑎𝑥 en fonction de la distance normalisée entre échangeurs 𝑑𝑖𝑗 ∗ et de la profondeur normalisée 𝐻 ∗. ................................................................................. 31

Figure 10 : coefficient 𝐴1 en fonction de la distance normalisée entre échangeurs 𝑑𝑖𝑗 ∗ et de la profondeur normalisée 𝐻 ∗. ................................................................................. 32



Figure 13 : coefficient 𝑋 en fonction de la distance normalisée entre échangeurs 𝑑𝑖𝑗 ∗ et de la profondeur normalisée 𝐻 ∗. ................................................................................. 35

Liste des tableaux

Tableau 1 : Cas de comparaison de PredimCSGV et EED. ...................................................................... 23

Liste des annexes

Annexe 1 : Corrélation pour le calcul des réponses d’interaction entre les SGV Cas de comparaison de PredimCSGV et EED. ....................................................................................................... 23



1. Introduction

1.1. ÉTAT DE L’ART DES LOGICIELS ET MÉTHODES DE PRÉDIMENSIONNEMENT

Il existe plusieurs méthodes et logiciels de prédimensionnement de champ de sondes gratuits et libres d’accès. Le rapport BRGM RP-60815-FR présente un état de l’art des méthodes de prédimensionnement de sondes géothermiques verticales. Cinq méthodes y sont été identifiées : SIA-384/6 (Suisse), VDI 4640 (Allemagne), la MIS 3005 (Royaume-Uni), ASHRAE (Amérique du Nord), RETScreen.

La SIA-384/6, la VDI 4640, la MIS 3005 sont des méthodes pour le dimensionnement de petites installations, comportant typiquement moins de 4 SGV (maisons individuelles). Les méthodes ASHRAE et RETScreen sont des méthodes pour le prédimensionnement de champs de SGV, pour des besoins de chaud et/ou de froid. La méthode ASHRAE permet de prédimensionner, à l’aide d’une feuille de calcul, un champ comportant jusqu’à 144 SGV. Cependant, cette méthode présente certaines limites, en particulier la disposition des sondes suivant une grille de forme rectangulaire ou l’absence d’interface intuitive.

1.2. PROBLÉMATIQUE

Le BRGM a développé un outil de de prédimensionnement de champs de sondes géothermiques verticales, dénommé PredimCSGV. Cet outil permet une estimation rapide de la longueur forée nécessaire à la couverture d’un besoin en énergie thermique d’un bâtiment (chauffage et rafraichissement) en respectant un critère (défini par l’utilisateur) de température extrême acceptable en entrée de pompe à chaleur. Ce critère est pertinent dans la mesure où :

- il permet le maintien d’un COP minimal lors des pointes de consommations en chaud et en froid ;

- il permet d’éviter des températures de fluide caloporteur en entrée de PAC qui sont cohérente avec les limites constructeur.

Ce rapport présente la conception du moteur de calcul (chapitre 2) puis la comparaison des résultats de PredimCSGV avec les résultats du logiciel EED sur une configuration simple à une seule SGV (chapitre 3). Cette étude a bénéficiée d’un cofinancement ADEME-BRGM, conformément à la convention n° 13 05 C0071.



2. Moteur de calcul : Conception

2.1. DONNÉES D’ENTRÉE

2.1.1. Caractéristiques du besoin

Le besoin en énergie thermique du bâtiment (chauffage et rafraichissement) est caractérisé à l’aide de neuf paramètres. Ces paramètres permettent de décrire simplement les pointes de besoins et les prélèvements saisonniers dans les deux usages :

- en ce qui concerne les besoins de chauffage du bâtiment :

une puissance de pointe en chauffage Pcal,max (kW) du bâtiment et la durée correspondante à l’appel de cette pointe Δtcal,max (h),

une énergie annuelle en chauffage appelée par le bâtiment Ecal (kWh),

la durée de la saison de chauffage tchauff (h).

- de manière similaire, en ce qui concerne les besoins de rafraichissement du bâtiment :

une puissance de pointe en rafraichissement Pfr,max (kWh) du bâtiment et la durée Δtfr,max (h) correspondant à l’appel de cette pointe,

une énergie annuelle en rafraichissement appelée par le bâtiment Efr (kWh),

la durée de la saison de rafraichissement traf (h).

Les puissances sont comptées algébriquement : les puissances et énergies correspondant aux demandes de chauffage (Pcal,max, Ecal) sont comptées en positif tandis que les puissances et énergies correspondant aux demandes de rafraichissement (Pfr,max, Efr) du bâtiment sont comptées en négatif.

La puissance appelée par le bâtiment Pbat(t) est exprimée en fonction des 9 paramètres par la relation suivante :

𝑃𝑏𝑎𝑡(𝑡) = Δ𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 Π(0, Δ𝑡𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥)

+1

2𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 [(𝑐𝑜𝑠 (

2𝜋

𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑡) + 1)Π (0,

𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓

2)

+ (1 − 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑡))Π(𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 −

𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓

2, 𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒)]

+ Δ𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 Π (𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 −Δ𝑡𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥

2, 𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 +

Δ𝑡𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥

2)

+1

2𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 [𝑐𝑜𝑠 (

2𝜋

𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓(𝑡 −

𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒

2)) + 1]Π (

𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 − 𝑡𝑟𝑎𝑓𝑓

2,𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 + 𝑡𝑟𝑎𝑓𝑓

2)

(1)

La relation (1) est une somme de 4 termes qui décrivent respectivement :



- la puissance de pointe en rafraichissement ;

- la puissance moyenne annuelle en chauffage ;

- la puissance moyenne de base ;

- la puissance moyenne annuelle en rafraichissement.

Π(𝑡1, 𝑡2) représente la fonction porte qui vaut 0 si t < t1 ou t > t2 et 1 si t1 < t < t2. 𝑡𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 représente

une année (8760 h). Les 4 facteurs Δ𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥, 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒, Δ𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 et 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 sont

calculées ainsi :

Δ𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒

Δ𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 =−𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 Δ𝑡𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 + 𝐸𝑐𝑎𝑙2𝜋 𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓 − Δ𝑡𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥

𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 =−𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 𝛥𝑡𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 + 𝐸𝑓𝑟

2𝜋 𝑡𝑓𝑟 − 𝛥𝑡𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥

(2)

Dans l’équation (2), l’expression des paramètres 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 et 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 est établie à partir

de la conservation de l’énergie en chauffage et en rafraichissement.

Il peut arriver que, si l’utilisateur indique une durée de chauffage tchauff assez courte et une puissance de pointe Pcal,max faible, Pcal,max,base soit négatif. Dans ce cas, l’énergie Ecal est modifiée de manière à ce que 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 0 : la valeur de Ecal indiquée par l’utilisateur est

remplacée par 2

𝜋 𝑡𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥. De manière similaire, si Pfr,max,base est positif, la valeur de Efr

indiquée par l’utilisateur est remplacée par 2

𝜋 𝑡𝑟𝑎𝑓𝑓 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥.

La Figure 1 fournit une représentation graphique de Pbat(t) et les notations des différents paramètres.



Figure 1 : Évolution de la puissance appelée par le bâtiment Pbat(t) (légende : « surface ») en fonction des

paramètres caractérisant le besoin en énergie thermique. Pbat(t) est représentée en bleu ; la puissance prélevée sur le champ de SGV PCSGV(t) est aussi représentée (en rouge). Valeurs des paramètres de

l’exemple représenté : 𝑃𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑥 = 50 kW, 𝐸𝑐𝑎𝑙 = 10 MWh, 𝑃𝑓𝑟,𝑚𝑎𝑥 = -30 kW, 𝐸𝑓𝑟 = 3 MWh.

2.1.2. Caractéristiques de la Pompe à Chaleur (PAC)

L’utilisateur doit indiquer deux coefficients de performance (COP) de la PAC :

- un coefficient de performance en mode chauffage du bâtiment, noté COPch

- un coefficient de performance en mode rafraichissement du bâtiment, noté COPfr.

La puissance échangée entre la pompe à chaleur et le champ de SGV est notée PCSGV(t). Elle aussi est comptée de manière algébrique : PCSGV > 0 correspond à un apport de chaleur au champ de SGV (rafraichissement du bâtiment) ; PCSGV < 0 correspond à un apport de froid au champ de SGV (chauffage du bâtiment). PCSGV(t) est exprimé en fonction de Pbat(t) par :

𝑃𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡) =

{

𝑃𝑏𝑎𝑡(𝑡) (−1 +

1

𝐶𝑂𝑃𝑐ℎ) si 𝑃𝑏𝑎𝑡(𝑡) > 0

𝑃𝑏𝑎𝑡(𝑡) (−1 −1

𝐶𝑂𝑃𝑓𝑟) si 𝑃𝑏𝑎𝑡(𝑡) < 0

(3)

L’utilisateur doit par ailleurs indiquer l’écart de température ΔTPAC entre l’entrée et la sortie de la PAC ou de manière équivalente de l’échangeur géothermique. Cet écart de température correspond :



- (en mode chauffage du bâtiment) à l’écart de température entre l’entrée et la sortie de l’évaporateur ;

- (en mode rafraichissement du bâtiment) à l’écart de température entre l’entrée et la sortie du condenseur.

2.1.3. Critère de dimensionnement

L’utilisateur doit indiquer :

- la température minimale acceptable en entrée d’évaporateur de la PAC (mode chauffage du bâtiment) T,e,min,PAC ;

- la température maximale acceptable en entrée de condenseur de la PAC (mode rafraichissement du bâtiment) T,e,max,PAC

2.1.4. Disposition des sondes géothermiques verticales (SGV)

Les sondes géothermiques verticales peuvent être disposées de manière arbitraire au sein du champ. Chaque SGV i est repérée par la position de son centre (xi, yi). Pour construire le champ, l’utilisateur peut procéder de 3 façons :

(i) indiquer manuellement les coordonnées de chaque échangeur,

(ii) charger un fichier Excel contenant les coordonnées,

(iii) utiliser une des méthodes suivantes correspondant à des dispositions courantes :

Champ en « L »

Champ en rectangle

Champ en rectangle creux

Champ en « U »

Pour chacune de ces méthodes, les SGV sont réparties sur une grille à maille carrée de pas a. L’utilisateur doit indiquer (cf. Figure 2) :

- le nombre de SGV dans la direction x, noté nx ;

- le nombre de SGV dans la direction y, noté ny ;

- le pas de la grille à maille carrée a (m) ;

- pour les méthodes « rectangle creux », « U », « L » : le nombre de SGV par rangée. Par exemple, sur la Figure 2, il y a 2 SGV par rangée.



Figure 2 : Exemple de disposition des SGV pour une grille à maille carrée de pas a = 5 m. Disposition en rectangle plein (en haut à gauche), en rectangle creux (en haut à droite), en U (en bas à gauche) et en L

en rectangle plein (en bas à droite). nx = 10, ny = 10. 2 SGV par rangée.

2.1.5. Caractéristiques du terrain

Les propriétés du terrain sont caractérisées par :

- la conductivité thermique du terrain λm (W.K-1.m-1) ;

- la capacité calorifique volumique du terrain (𝜌𝐶𝑝)𝑚 (J.K.m-3) ;

- la température moyenne annuelle à la surface Tsurf (°C) ;

- le flux géothermique ϕGTH (W.m-2). Le flux géothermique est relié au gradient géothermique 𝜕𝑇

𝜕𝑧 de la manière suivante : Le gradient géothermique est le rapport entre flux géothermique

et conductivité thermique du milieu :

𝜕𝑇

𝜕𝑧=𝜙𝐺𝑇𝐻𝜆𝑚

(4)

Ces quatre valeurs sont saisies par l’utilisateur.



Le moteur de calcul fait appel à la diffusivité thermique du terrain am (m².s-1) définie par :

𝑎𝑚 =𝜆𝑚

(𝜌𝐶𝑝)𝑚

(5)

2.1.6. Caractéristiques des sondes géothermiques verticales (SGV)

Les sondes géothermiques verticales (SGV) sont caractérisées par une résistance thermique notée Rf (K.m.W-1). Cette valeur doit être indiquée par l’utilisateur. L’utilisateur doit aussi indiquer le rayon de forage rf (m). Il peut aussi indiquer la disposition des tubes de l’échangeur au sein du forage.

2.1.7. Caractéristiques du fluide caloporteur

L’utilisateur peut indiquer la concentration en monopropylène glycol (MPG) du fluide caloporteur ainsi que le débit-masse par échangeur. Ces valeurs sont utilisées par le moteur pour calculer le nombre de Reynolds et déterminer si le régime d’écoulement est laminaire ou turbulent dans les SGV.

2.2. RÉSULTATS (DONNÉES DE SORTIE)

Le moteur calcule l’évolution de la température moyenne du fluide caloporteur. La longueur totale de forage nécessaire (L – ou de manière équivalente la profondeur de chaque forage H = L / N) est optimisée de manière à ce que les deux critères de dimensionnement (températures minimale et maximales acceptables en entrée et sortie de PAC) soient remplis au bout de 20 années d’exploitation. L’utilisateur peut afficher l’évolution de la température moyenne du fluide caloporteur dans les SGV au cours des 20 années d’exploitation calculée pour la profondeur de forage H optimisé. Par « température moyenne du fluide caloporteur », on entend « température moyenne entre l’entrée et la sortie des SGV » :

𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉 =𝑇𝑒,𝐶𝑆𝐺𝑉 + 𝑇𝑠,𝐶𝑆𝐺𝑉

2

(6)

2.3. ALGORITHME DU MOTEUR DE CALCUL

Le calcul se déroule en cinq étapes (cf. Figure 3).



Figure 3 : Synoptique du moteur de calcul.

En rouge : les données d’entrée ; en bleu : les étapes du calcul. en vert : les résultats.

Dans une étape 1a, la puissance échangée avec le champ de CSGV est évaluée sur une durée 20 ans (durée modélisée de l’exploitation) à l’aide de l’équation (2).

Les étapes 1b et 1c correspondent au calcul de « réponses indicielles » notée G du champ de sondes. Une fois déterminée, ces réponses sont intégrées à un modèle de l’évolution de la température de fluide caloporteur dans les SGV ; la profondeur de forage est alors optimisée de manière à ce que les critères en termes de température minimale et maximale de fluide caloporteur soient remplis (étapes 2 et 3).

Deux types de réponses indicielles sont calculés :

- dans l’étape 1b, la réponse est calculée en faisant l’hypothèse que les forages sont de profondeur infinie. En d’autres termes, le modèle utilisé considère que le flux de chaleur dans le terrain est normal à l’axe des SGV et que la composante verticale du flux de chaleur est nulle : les « effets de bord » due à la longueur finie du forage ne sont pas pris en compte. La réponse calculée, notée G∞, est indépendante de la profondeur H ;

- dans l’étape 1c, la réponse est calculée en prenant en compte la profondeur finie H des forages et les « effets de bord » associés. La réponse calculée, notée GH, dépend de la profondeur forée. Cette réponse est plus représentative du comportement sur le long terme (plusieurs années) d’un ensemble de sondes géothermiques verticales (Eskilson, 1987).

Par la suite, l’optimisation de la longueur de forage est réalisée en deux étapes :

- une première optimisation est réalisée en considérant un modèle de sonde de profondeur infinie et la réponse G∞ du champ de SGV associé : c’est l’étape 2. La variation de H au cours de cette optimisation ne nécessite pas de mise à jour de la réponse indicielle, ce qui permet de converger assez rapidement vers une profondeur forée notée H0. Le calcul de réponses indicielles à partir d’un modèle ne prenant pas en compte la longueur finie (étape 1b) des forages et la première optimisation (étape 2) vise uniquement à calculer un point de départ crédible à la seconde optimisation (étape 3) ;



- H0 sert de point de départ à la seconde optimisation (étape 3) qui prend en compte la longueur finie du forage et la réponse GH associée et aboutit à la profondeur d’un forage H (résultat final du calcul).

2.3.1. Étape 1a : évaluation de la puissance échangée avec le CSGV

La puissance échangée avec le champ de CSGV est évaluée sur 20 ans (durée de la modélisation) à l’aide de l’équation (2).

2.3.2. Étape 1b : calcul de la réponse indicielle du CSGV sans effets de bord

Une « réponse indicielle », notée G, permet de calculer l’évolution de la température moyenne à la paroi des forages Tp(t) des SGV :

𝑇𝑝(𝑡) =1

𝑁𝜆𝑚𝐻𝑃𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡) ∗

𝑑𝐺

𝑑𝑡+ 𝑇0

(7)

Avec :

- N : le nombre de SGV ;

- λm : la conductivité thermique du terrain (W.K-1.m-1) ;

- H : la profondeur d’un forage (m) ;

- 𝑃𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡) : La puissance échangée entre la PAC et le champ de SGV (W) ;

- ∗ : le produit de convolution ;

- 𝑇0 : La température initiale moyenne du terrain (°C).

T0 est estimé à la profondeur de H/2 (la moitié de la profondeur d’un forage) à partir du flux géothermique et la conductivité thermique du terrain :

𝑇0 = 𝑇𝑠𝑢𝑟𝑓 +𝜙𝐺𝑇𝐻𝜆𝑚

𝐻

2

(8)

La température moyenne du fluide caloporteur 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉 dans les SGV est définie par :

𝑃𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡)

𝑁 𝐻=𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡) − 𝑇𝑝(𝑡)

𝑅𝑓

(9)

Ou :

𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡) =𝑃𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡)

𝑁 𝐻𝑅𝑓 +

1

𝑁𝜆𝑚𝐻𝑃𝐶𝑆𝐺𝑉(𝑡) ∗

𝑑𝐺

𝑑𝑡+ 𝑇0

(10)

Si on note Gii(t) la réponse d’une SGV i, et Gi

j(t) la réponse de la SGV j due à l’interaction avec la SGV i, la réponse G du champ peut se mettre sous la forme :



𝐺(𝑡) =1

𝑁

(

∑𝐺𝑖𝑖(𝑡)

𝑁

𝑖=1

+∑∑𝐺𝑖→𝑗(𝑡)

𝑁

𝑗=1𝑗≠𝑖

𝑁

𝑖=1

)

(11)

Toutes les SGV sont supposées identiques. Par conséquent, G11(t) = Gii(t) = … GNN(t). Par ailleurs en l’absence d’écoulement les réponses sont symétriques : 𝐺𝑖→𝑗(𝑡) = 𝐺𝑗→𝑖(𝑡). La

réponse du champ se met sous la forme :

𝐺(𝑡) = 𝐺11(𝑡) +2

𝑁∑∑𝐺𝑖→𝑗(𝑡)

𝑁

𝑗>𝑖

𝑁

𝑖=1

(12)

Dans l’étape 1a, les fonctions 𝐺11(𝑡) et 𝐺𝑖→𝑗(𝑡) sont obtenues par des modèles prenant en

compte uniquement des transferts dans la direction radiale. On les note 𝐺11∞(𝑡) et 𝐺𝑖→𝑗

∞(𝑡)

- la fonction 𝐺11∞(𝑡) est calculée par le modèle de la « Source Cylindrique Infinie »

(SCI) (Carslaw & Jaeger, 1959) :

𝐺11∞(𝑡) =

1

𝜋2∫

𝑒−𝛽2𝑡∗ − 1

𝐽12(𝛽) + 𝑌1

2(𝛽)(𝐽0(𝛽)𝑌1(𝛽) − 𝐽1(𝛽)𝑌0(𝛽))

𝑑𝛽

𝛽2

∞

0

(13)

- les fonctions 𝐺𝑖→𝑗∞(𝑡) sont calculées par le modèle de la « Source Linéique Infinie »

(SLI) (Ingersoll & Plass, 1948):

𝐺𝑖→𝑗∞(𝑡) =

1

4𝜋𝐸1 (

𝑑𝑖𝑗∗

4𝑡∗)

(14)

La réponse du champ est alors :

𝐺∞(𝑡) = 𝐺11∞(𝑡) +

2

𝑁∑∑𝐺𝑖→𝑗

∞(𝑡)

𝑁

𝑗>𝑖

𝑁

𝑖=1

(15)

Dans l’équation (14) :

- 𝑡∗ est le nombre de Fourier (temps adimensionné) défini par (avec am la diffusivité thermique du terrain et rf le rayon du forage) :

𝑡∗ =𝑎𝑚𝑡

𝑟𝑓2

(16)

- 𝑑𝑖𝑗∗ est la distance adimensionnée entre deux échangeurs i et j définie par :



𝑑𝑖𝑗∗ =

𝑑𝑖𝑗

𝑟𝑓

(17)

2.3.3. Étape 1c : calcul de la réponse indicielle du CSGV avec effets de bord

En parallèle du calcul de la réponse 𝐺∞(𝑡), on calcule une fonction permettant de calculer la réponse du champ prenant en compte la longueur finie des forages. Cette réponse est notée

𝐺𝐻(𝑡) et dépend de la profondeur H des forages.

La réponse 𝐺𝐻(𝑡) s’exprime par :

𝐺𝐻(𝑡) = 𝐺11𝐻(𝑡) +

2

𝑁∑∑𝐺𝑖→𝑗

𝐻(𝑡)

𝑁

𝑗>𝑖

𝑁

𝑖=1

(18)

Pour le calcul de la fonction 𝐺11𝐻(𝑡) on utilise toujours le modèle de la « Source Cylindrique

Infinie » (SCI) :

𝐺11𝐻(𝑡) = 𝐺11

∞(𝑡) (19)

La fonction 𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡) est en revanche calculée par le modèle dit de la « Source Linéique Finie »

(SLF) :

𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡) =

1

4𝜋𝐻∫ ∫

[

𝑒𝑟𝑓𝑐

(

√𝑑𝑖𝑗

2 + (𝑧 − ℎ)2

2√𝑎𝑚𝑡)

√𝑑𝑖𝑗2 + (𝑧 − ℎ)2

−

𝑒𝑟𝑓𝑐

(

√𝑑𝑖𝑗

2 + (𝑧 + ℎ)2

2√𝑎𝑚𝑡)

√𝑑𝑖𝑗2 + (𝑧 + ℎ)2

]

𝐻

0

𝑑ℎ 𝑑𝑧𝐻

0

(20)

Cette fonction permet de quantifier la variation de température moyenne à la paroi du forage j dû à l’injection ou à l’extraction de chaleur au forage i.

À la différence du modèle de la SCI utilisé pour le calcul de la réponse dans l’étape 1b, le modèle SLF décrit mieux l’évolution de la température aux parois des forages sur le long terme (Philippe, Bernier, & Marchio, 2009).

Remarques :

(i) Le nombre de calcul de réponses d’interactions 𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡) ou 𝐺𝑖→𝑗

∞(𝑡) est 𝑁(𝑁−1)

2 avec

N le nombre de SGV dans le champ. Le nombre de calcul croît donc comme le carré du nombre de SGV. Calculer séquentiellement toutes les réponses peut nécessiter un temps important. Or, si les SGV sont disposées sur une grille régulière, une

même distance 𝑑𝑖𝑗 (et donc une même réponse 𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡)) peut se retrouver pour un



grand nombre de couples de SGV. Nous avons mis en place une procédure qui passe en revue toutes les distances ij. Si plusieurs couples avec une même distance sont identifiés, la réponse correspondante n’est calculée qu’une seule fois puis recopiée pour tous les couples caractérisés par cette distance (cf. Figure 3). Cette procédure a une conséquence importante : la durée du calcul sera plus courte quand une même distance 𝑑𝑖𝑗 apparait à de nombreuses reprises. La disposition des

SGV sur une grille caractérisée par un pas constant permet notamment de remplir cette condition.

Figure 4 : Illustration de la procérure pour le calcul des réponses d’interactions 𝐺𝑖→𝑗(𝑡) :

dans le cas d’un champ à 4 échangeurs en carré à maille a, il y a 4 x 3 / 2 = 6 réponses à calculer, mais

seulement deux distances (𝑎 et √2𝑎). Utiliser la procédure décrite en (i) permet de diviser le nombre

d’évaluation des réponses 𝐺𝑖→𝑗(𝑡) par 3.

(ii) Le calcul de 𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡) nécessite l’évaluation numérique d’une double intégrale. Pour

éviter le calcul de cette double intégrale qui est coûteuse en temps de calcul, on a

établi une corrélation qui permet un calcul approché de 𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡), sous la forme :


𝐺max

2[1 + tanh (∑𝐴𝑛(𝑑𝑖𝑗

∗, 𝐻∗) (𝑙𝑜𝑔10(𝑡∗) − 𝑋(𝑑𝑖𝑗

∗, 𝐻∗))𝑛

3

𝑛=1

)]

(21)

Les cinq coefficients 𝐺𝑚𝑎𝑥, 𝐴𝑛 (n = 1,2,3) et 𝑋 dépendent de la distance

adimensionnée entre les forages i et j 𝑑𝑖𝑗∗ =

𝑑𝑖𝑗

𝑟𝑓 et de la profondeur adimensionnée

𝐻∗ =𝐻

𝑟𝑓. Ces coefficients ont été déterminés de manière à « ajuster » la fonction

calculée par la fonction (21) sur la fonction (20) sur un ensemble de 579 configurations de référence, chaque configuration étant caractérisée par une valeur de 𝑑𝑖𝑗

∗ et 𝐻∗. Dans l’outil PredimCSGV, les cinq coefficients𝐺𝑚𝑎𝑥, 𝐴𝑛 et 𝑋 sont

interpolés à partir des valeurs stockées pour les 579 configurations de référence (cf. Annexe 1).



2.3.4. Étape 2 : optimisation préliminaire de la longueur forée

La profondeur forée est calculée de la manière suivante :

- cas 1 : si le besoin de rafraîchissement du bâtiment est nul, la profondeur forée est calculée de manière à ce que, lors des pics de puissance en chauffage du bâtiment, la température en sortie de CSGV soit égale à la température minimale acceptable en entrée d’évaporateur de la PAC à la 20ème année de fonctionnement ;

- cas 2 : si le besoin de chauffage du bâtiment est nul, la profondeur forée est calculée de manière à ce que, lors des pics de puissance en rafraichissement du bâtiment, la température en sortie de CSGV est égale à la température maximale acceptable en entrée de condenseur de la PAC à la 20ème année de fonctionnement ;

- cas 3 : si le bâtiment a des besoins de chaud et de froid, la profondeur forée est calculée de manière à ce que la température en sortie de CSGV ne soit pas inférieure à la température minimale acceptable en entrée d’évaporateur de la PAC ; et que la température en sortie de CSGV n’excède pas la température maximale acceptable en entrée de condenseur de la PAC, à la 20ème année de fonctionnement.

La profondeur préliminaire d’un forage H0 est déterminée en résolvant :

- dans le cas 1 (chauffage du bâtiment uniquement) :

min( 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉∞(𝑡)) − 𝑇𝑒,𝑚𝑖𝑛,𝑃𝐴𝐶 +

Δ𝑇𝑃𝐴𝐶2

= 0

(22)

- dans le cas 2 (rafraîchissement du bâtiment uniquement) :

max ( 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉∞(𝑡)) − 𝑇𝑒,𝑚𝑎𝑥,𝑃𝐴𝐶 −

Δ𝑇𝑃𝐴𝐶2

= 0

(23)

- dans le cas 3 (rafraîchissement et chauffage du bâtiment uniquement) : les deux critères (en chauffage et rafraichissement de bâtiments) sont testés, la plus grande longueur obtenue correspondant au critère le plus défavorable est retenue.

Dans les équations (22), (23), 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉∞(𝑡) représente la température moyenne du fluide

caloporteur calculée à partir d’un modèle avec un échangeur de longueur infinie.

2.3.5. Étape 3 : optimisation de la longueur forée

La profondeur préliminaire d’un forage H0 déterminée en étape 2 sert de point de départ à la détermination de la profondeur forée finale. La profondeur optimisée dépend là aussi des usages en présence :

- dans le cas 1 (chauffage du bâtiment uniquement) :

min ( 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉𝐻(𝑡)) − 𝑇𝑒,𝑚𝑖𝑛,𝑃𝐴𝐶 +

Δ𝑇𝑃𝐴𝐶2

= 0

(24)



- dans le cas 2 (rafraîchissement du bâtiment uniquement) :

max ( 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉𝐻(𝑡)) − 𝑇𝑒,𝑚𝑎𝑥,𝑃𝐴𝐶 −

Δ𝑇𝑃𝐴𝐶2

= 0

(25)

- dans le cas 3 (rafraîchissement et chauffage du bâtiment uniquement) : les deux critères (en chauffage et rafraichissement de bâtiments) sont testés, la plus grande longueur obtenue correspondant au critère le plus défavorable est retenue.

Dans les équations (24) et (25), 𝑇𝑓𝑙,𝐶𝑆𝐺𝑉𝐻(𝑡) représente la température moyenne du fluide

caloporteur calculée à partir du modèle avec un échangeur de longueur finie.

2.4. IMPLÉMENTATION DU MOTEUR DE CALCUL – CONSTRUCTION D’UNE INTERFACE UTILISATEUR

Le moteur de calcul et une interface utilisateur conviviale ont été développés dans l’environnement numérique MATLAB ® (cf. Figure 5).

L’interface se compose d’un volet « paramètres » à gauche permettant à l’utilisateur d’indiquer les caractéristiques des différents éléments (données d’entrée) :

- caractéristiques du terrain ;

- caractéristiques du besoin ;

- caractéristiques de la PAC ;

- critère de dimensionnement ;

- disposition des SGV ;

- caractéristiques des SGV ;

- caractéristiques du fluide caloporteur.

Dans une fenêtre à droite sont affichées :

- la géométrie d’une SGV ;

- la position des SGV ;

- l’évolution de la température sur les 20 années de fonctionnement.

Cliquer sur le bouton « Calcul » permet de démarrer l’optimisation de la longueur forée. Le résultat du calcul est inscrit dans un fichier de log récupérable par l’utilisateur.



Figure 5 : Capture d’écran de l’outil de prédimensionnement du champ de sondes géothermiques

verticales. Version provisoire.



3. Moteur de calcul : Comparaison de PredimCSGV à EED

L’outil PredimCSGV a été comparé au logiciel EED sur la simulation d’une configuration à une SGV unique (cf. Tableau 1). Pour le cas retenu, la puissance en chauffage est de 11,51 kW, avec une consommation annuelle de 10,94 MWh. Le COP chaud est de 3,5. Le critère de dimensionnement pour le calcul de la longueur forée est que la température moyenne du fluide entre l’entrée et la sortie soit de -5 °C après 20 ans de fonctionnement.

Tableau 1 : : Cas de comparaison de PredimCSGV et EED.

Figure 6 : Évolution de la puissance appelée par le bâtiment (en bleu) et prélevée à la SGV (en rouge)

(données d’entrée de PredimCSGV.

La longueur de forage calculée par EED est de 128 m, tandis que la longueur calculée par PredimCSGV est de 121 m. Sur ce cas de comparaison, PredimCSGV minore de 5,5 % la longueur forée. PredimCSGV permet d’apprécier l’évolution de la température de moyenne de fluide sur 20 années d’exploitation. Le temps de calcul de PredimCSGV est de quelques secondes sur un ordinateur de bureau. La température minimale dans l’échangeur est de

Fluide Sonde

Critère de

dimensionn

ement

Différence

entree EED

et

PredimCSG

V

Conductivit

é thermique

Capacité

calorifique

Températur

e Surface

Gradient

Géothermiq

ue

Concentrati

on MP

Résistance

effective du

forage

Puissance

calo. Max

couverte

par la PAC

Energie

annuelle

chauffage

COP chaud

(chauffage)

Températur

e

MOYENNE

de fluide

minimum

EEDPredimCSG

V

W/K/m MJ/K/m^3 °C W/m² % K.m/W kW MWh m m

3.5 2.16 8 0.06 0 0.09 11.51 10.94 3.5 -5 128 121 5.47%

Propriétés du Sol Profondeur d'un forageCaractéristiques du Besoin



-4,5 °C lors du 1er appel de puissance maximale (année 1). Au cours des années suivantes, la température du fluide suit un motif périodique. La température minimale de fluide atteint rapidement -5 °C sur les pics de consommation.

Figure 7 : Évolution de la température moyenne de fluide sur 20 ans calculée par PredimCSGV.

L’écart de 5,5 % entre les longueurs de forage calculées par PredimCSGV et EED semble acceptable, ce qui permet de valider PredimCSGV dans une configuration à une SGV unique. En revanche, une comparaison étendue est nécessaire pour pouvoir valider l’outil dans une configuration à plusieurs SGV. Une telle comparaison est en cours.



4. Conclusion

Un outil a été développé pour la pré-conception d’un champ de SGV raccordé à une PAC. Cet outil permet une estimation rapide de la longueur forée nécessaire à la couverture d’un besoin en énergie thermique d’un bâtiment (chauffage et rafraichissement) en respectant un critère (défini par l’utilisateur) de température extrême acceptable en entrée de pompe à chaleur après 20 ans d’exploitation. Il permet aussi d’apprécier l’évolution de la température moyenne sur 20 années d’exploitation. La principale originalité de l’outil repose sur la possibilité de placer les sondes géothermiques verticales (SGV) de manière totalement arbitraire. La demande du bâtiment peut être mixte ou pas : chauffage et/ou rafraichissement. L’outil repose sur le calcul de la température moyenne de fluide caloporteur dans les sondes géothermiques verticales au moyen de solutions analytiques de l’équation de la chaleur, ce qui permet un calcul assez rapide, de l’ordre de quelques secondes sur un PC de bureau.

Une comparaison de PredimCSGV au logiciel EED (Earth Energy Design) pour une sonde unique montre que PredimCSGV minore de 5,5 % environ la longueur forée par rapport au logiciel EED. Des tests supplémentaires dans des configurations à plusieurs échangeurs demeurent nécessaires pour valider le logiciel PredimCSGV. Cet écart semble acceptable, ce qui permet de valider PredimCSGV dans une configuration à une SGV unique. En revanche, une comparaison étendue est nécessaire pour pouvoir valider l’outil dans une configuration à plusieurs SGV. Une telle comparaison est en cours.



5. Bibliographie

Maragna C., Monnot P., Philippe M. (2012). – État de l’art à l’échelle internationale des méthodes de pré-dimensionnement des sondes géothermiques verticales / Rapport final. Rapport BRGM RP -60815-FR, 38 p.

Carslaw, H. S., & Jaeger, J. C. (1959). - Conduction of Heat in Solids. Oxford: Clarendon Press.

Eskilson, P. (1987). - Thermal analysis of heat extraction boreholes. University of Lund, Sweden.

Ingersoll, L. R., & Plass, H. J. (1948). - Theory of the ground pipe heat source for the heat pump. Heating, Piping and Air Conditioning.

Philippe, M., Bernier, M., & Marchio, D. (2009). - Validity ranges of three analytical solutions to heat transfer in the vicinity of single boreholes. Geothermics, 38(4), 407–413. doi:10.1016/j.geothermics.2009.07.002



Annexe 1

Corrélation pour le calcul des réponses d’interaction entre les SGV

Le calcul de 𝐺𝑖→𝑗𝐻(𝑡) nécessite l’évaluation numérique d’une double intégrale. Pour éviter le

calcul de cette double intégrale qui est couteuse en temps de calcul, on a établi un modèle

approché sous la forme d’une corrélation qui permet un calcul approché de 𝐺𝑖→𝑗∞(𝑡) :


𝐺max

2[1 + tanh (∑𝐴𝑛(𝑑𝑖𝑗

∗, 𝐻∗) (𝑙𝑜𝑔10(𝑡∗) − 𝑋(𝑑𝑖𝑗

∗, 𝐻∗))𝑛

3

𝑛=1

)]

(26)

Les 5 coefficients 𝐺max , 𝐴𝑛 et 𝑋 dépendent de la distance adimensionnée entre les forages i et j

notée 𝑑𝑖𝑗∗ =

𝑑𝑖𝑗

𝑟𝑓 et de la profondeur adimensionnée 𝐻∗ =

𝐻

𝑟𝑓. Ces coefficients ont été déterminés

en ajustant la fonction approchée (21) sur la fonction exacte (20) sur un ensemble de 579 configurations de référence, chaque configuration étant caractérisée par une valeur de 𝑑𝑖𝑗

∗ et

𝐻∗. Ces configurations de référence correspondent à des distances adimensionnées entre échangeurs et des profondeurs adimensionnées telles que :

11,11 < 𝑑𝑖𝑗∗ < 344,44

111,11 < 𝐻∗ < 2222,22

(27)

Les cinq coefficients ont été déterminés en minimisant l’écart quadratique moyen 𝜀({𝑋}) entre le modèle exact et le modèle approché :

𝜀({𝑋}) = (∫ (𝐺𝑖→𝑗𝐻

𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡(𝑡∗) − 𝐺𝑖→𝑗

𝐻

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙.({𝑋}, 𝑡∗))

2

𝑑𝑡∗𝑡𝑚𝑎𝑥

∗

0

)

1/2

(28)

Où {𝑋} représente les cinq coefficients. La Figure 8 donne un exemple de corrélation 𝐺𝑖→𝑗𝐻(t∗).

Un excellent accord entre la fonction exacte et la fonction corrélée est obtenu.



Figure 8 : Exemple de corrélation 𝐺𝑖→𝑗

𝐻(𝑡∗) établie pour 𝑑𝑖𝑗∗ = 11,11 et 𝐻𝑖𝑗

∗ = 111,11. 𝑡∗ est le temps

adimensionné (ou nombre de Fourier).

Les Figure 9 à Figure 13 représentent les 5 coefficients du modèle approché fonction de la distance normalisée entre échangeurs dij

∗ et de la profondeur normalisée H∗. Dans l’outil

PredimCSGV, les cinq coefficients 𝐺𝑚𝑎𝑥, 𝐴𝑛 et 𝑋 sont interpolés à partir des valeurs calculées et stockées pour les 579 configurations de référence.



Figure 9 : Coefficient 𝐺𝑚𝑎𝑥 en fonction de la distance normalisée entre échangeurs 𝑑𝑖𝑗

∗

et de la profondeur normalisée 𝐻∗.



Figure 10 : coefficient 𝐴1 en fonction de la distance normalisée entre échangeurs 𝑑𝑖𝑗

∗





∗




Figure 13 : coefficient 𝑋 en fonction de la distance normalisée entre échangeurs 𝑑𝑖𝑗

∗


Centre scientifique et technique

Direction des Géoressources

3, avenue Claude-Guillemin BP 36009 – 45060 Orléans Cedex 2 – France – Tél. : 02 38 64 34 34

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conception de l’outil de prédimensionnement de champs de...

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