cnc 2020 filière : mp psi sciences industrielles

CNC 2020 Filière : MPPSI Sciences Industrielles

Sciences industrielles pour l’ingénieur sur 13

Système d’orientation de miroirs

Un système de projection sur écran plafond fait partie d’un ensemble de cinq

systèmes de projection utilisés dans des techniques de réalité virtuelle (figure 1).

Figure 1 : système de projection au plafond

Dans cette étude on s’intéressera au système d’orientation de miroir assurant la

projection des images issues du vidéoprojecteur sur le plafond. La figure 2

présente son diagramme de blocs internes.

Figure 2 : Diagramme de blocs internes

Vidéo projecteur

Châssis porteur

Actionneur

Support miroir Miroir



Exercice préliminaire : noté 4 points sur 20

L’orientation du support du miroir est commandée par un vérin électrique. La

figure 3 présente le schéma cinématique du mécanisme d’orientation.

Les principaux constituants de ce mécanisme sont :

Le châssis (0).

L’ensemble miroir + support (1) : en liaison pivot d’axe 0O,z avec le

châssis (0).

Le corps du vérin (3) : en liaison pivot d’axe 0B,z avec le châssis (0).

La tige du vérin (2) : en liaison pivot d’axe 0A,z avec (1) et en liaison

glissière de direction 2x avec (3).

Figure 3 : Schéma cinématique du mécanisme d’orientation

Paramétrage :

Le repère 0 0 0 0R O,x , y ,z est lié au châssis (0). Ce repère est supposé

galiléen.

Le repère 1 1 1 1R O,x , y ,z est lié à l’ensemble (1).

On note 0 1 0 1x ,x y , y l’angle de rotation du bras (1) par rapport au

châssis (0).

Le repère 2 2 2 2R A,x , y ,z est lié à la tige du vérin électrique (2).

On note 0 2 0 2x ,x y , y l’angle de rotation du vérin électrique par

rapport au châssis (0).

Données géométriques :



Détermination de la course du vérin :

Q1. Ecrire les équations, exprimées dans la base 0 0 0x , y ,z , traduisant la

fermeture géométrique de la chaîne 0-1-2-3-0.

Q2. Exprimer en fonction de a , d , h et .

On donne, sur la figure 4, la courbe de l’évolution de λ en fonction de pour un

débattement angulaire de 10 autour de la position d’équilibre 45 .

Figure 4 : loi f

Q3. En déduire la course du vérin.

Détermination de la loi entrée/sortie cinématique :

Q4. Tracer le graphe de structure du mécanisme.

Q5. Déterminer l’expression de ,1/ 0V A en fonction de a et .

Q6. Déterminer l’expression de , 2 / 0V A en fonction de , et .

Q7. Justifier que ,1/ 0 ,2 / 0V A V A .

Q8. Déterminer l’expression de en fonction a , d , h , et .

Q9. Donner, au regard de la figure 4, la valeur numérique de K en

(mm/rad) telle que .K .

Fin de l’exercice préliminaire



Partie I : Etude dynamique du système d’orientation

Q10. A l’aide du diagramme de blocs internes (figure 2, page 1), compléter

sur la figure R1 du document réponse DR1 les zones manquantes de la

chaîne fonctionnelle du système d’orientation de miroir.

1.1 Détermination de l’effort du vérin : (on garde le paramétrage du schéma

cinématique de la figure 3 page 2)

On définit les grandeurs cinétiques et géométriques suivantes :

J , moment d’inertie de l’ensemble miroir + support (1) par rapport à l’axe

0O,z ;

M , masse de l’ensemble miroir + support (1) ;

1 1. .G GOG x x y y , position du centre de gravité de l’ensemble miroir +

support (1) ;

Le vérin est de masse et inertie négligeables.

On note :

0.g g y , accélération de la pesanteur ;

2.F x , l’action mécanique de la tige du vérin (2) sur l’ensemble miroir +

support (1) est modélisés par un glisseur en A.

Hypothèses :

Le problème est supposé plan.

Le torseur des actions mécaniques transmissibles par une liaison

i/j pivot d’axe 0,P z s’écrit

0 0. .

0 0P

ij ij

P P

X x Y yR i jT i j

Q11. En isolant le vérin (tige (2) + corps (3)), justifier, par application du

théorème du moment dynamique en B, que l’effort exercé par ce vérin est

dirigé selon 2x . La masse du vérin et ses caractéristiques inertielles

seront supposées négligeables.

Q12. Isoler l’ensemble miroir + support (1) et appliquer le théorème

adéquat, issu du principe fondamental de la dynamique pour déterminer

l’équation de mouvement suivante :

. .sin .cos .sin .A F B C J .

Identifier les termes A, B et C en fonction des données.



1.2 Détermination de l’équation dynamique du moteur :

Le vérin électrique linéaire comprend :

un moteur à courant continu de vitesse de rotation m t , développe un

couple moteur mC t ;

un réducteur à engrenages de rapport de réduction k , de vitesse de rotation

r t et de rendement r ;

un système vis/écrou à hélice à droite, de pas normal vp et de rendement

v .

Hypothèses :

Seule l'inertie J de l’ensemble miroir + support (1) est prise en compte,

les quantités dynamiques des autres pièces ne sont pas prises en compte,

les liaisons sont supposées parfaites.

On considère que .K .

On pose .V mK .

Q13. Donner l’expression VK en fonction de vp et k .

On désigne par L’ensemble des solides mobiles tel que : = {corps de vérin, moteur, réducteur, tige de vérin,

support (1) + miroir}.

Q14. En isolant l’ensemble mobile , donner :

o l’énergie cinétique de l’ensemble dans son mouvement par

rapport à 0R .

o l’expression littérale des puissances des actions mécaniques

extérieures.

o l’expression de la puissance des actions mécaniques intérieures en

fonction de mC , v , r et m .

Q15. Montrer que l’équation dynamique de l’ensemble peut se mettre

sous la forme : . . .cos .sin .m méq

dC t M g D E J t

dt .

Exprimer éqJ , D et E.



Partie II : Asservissement du système d’orientation

On s’intéresse à l’asservissement en position angulaire du miroir

autour de sa position d’équilibre. On souhaite s’assurer que la chaîne

fonctionnelle d’asservissement permet de respecter les performances souhaitées

en termes de précision, rapidité et stabilité.

2.1 Modélisation de l’asservissement en position angulaire du miroir :

La figure 5 présente le schéma bloc fonctionnel de l’asservissement en position

angulaire du miroir.

Figure 5 : schéma bloc fonctionnel de l’asservissement

Modélisation du moteur à courant continu :

On donne les équations modélisant le fonctionnement du moteur à courant

continu :

Notations :

Résistance de l’induit : R

Inductance de l’induit : L

Constante de couple : k en 1. .N m A

Constante de force contre

électromotrice : k en V. /s rad

Tension d’alimentation de l’induit :

u t

Courant absorbé par l’induit : i t

Force contre électromotrice : e t

Couple moteur : mC t

Couple résistant : rC t

Vitesse angulaire du moteur :

m t

Equation électrique :

. . 1d

U t e t R i t L i tdt

Equation mécanique :

. 2m r méq

dC t C t J t

dt

Equation de de couplage électromécanique

. 3me t k t et . 4mC t k i t

+ -



On notera F p la transformée de Laplace de la grandeur physique f t .

Q16. Déterminer, en considérant des conditions initiales nulles, les

transformées de Laplace des équations (1) à (4) du moteur.

Le schéma bloc du moteur à courant continu est défini sur la figure 6, son

schéma bloc équivalent est donné figure 7 :

Figure 6 : Schéma-bloc du M.C.C.

Q17. Donner les expressions de fonctions de transfert 1B p , 2B p ,

3B p et 4B p .

Figure 7 : Schéma-bloc équivalent du M.C.C.

Q18. Donner les expressions de fonctions de transfert 1H p et 2H p en

fonction de 1B p , 2B p , 3B p et 4B p .

Q19. Déterminer l’expression de la fonction de transfert 2H p . Montrer

qu’elle peut se mettre sous la forme 2 . 1 .rH p K p où l’on précisera

les expressions de rK et .

Q20. Déterminer l’expression de la fonction de transfert 1H p . Montrer

qu’elle peut se mettre sous la forme 12

20 0

2. 11 . .

mKH p

p p

où l’on

précisera les expressions de mK , et 0 .



L’angle de rotation du moteur m t est mesuré par un codeur de gain capK .

L’image mesN t de cet angle est comparée à une grandeur conN t image de la

consigne de position c t . La conversion est réalisée par un adaptateur de gain

adapK . L’écart t est corrigé par un correcteur et modulé par un hacheur.

La fonction de transfert du correcteur est C p .

La fonction de transfert du hacheur est un gain h

K .

Le rapport de transmission sera noté trK .

t et c t position réelle et consigne angulaires de l’ensemble miroir + support

(1).

Le schéma bloc (figure 8) modélise l’asservissement en position :

Figure 8 : Schéma-bloc de l’asservissement en position

Q21. Étant donné le lien entre les grandeurs physiques d'entrée et de

sortie du bloc D p , donner sa fonction de transfert.

Q22. Déterminer l'expression de la fonction de transfert adap

K en fonction

de capK et trK permettant d'obtenir un asservissement de t sur la

consigne C t .

Q23. Montrer que le schéma-bloc de la figure 8, peut être mis sous la

forme suivante :

Figure 9 : Schéma-bloc à retour unitaire

Exprimer 1K et H p en fonction de capK , h

K , trK , mK , et 0 .



2.2 Réglage des performances de l’asservissement :

Les exigences imposées par le cahier des charges, figurent sur le tableau suivant :

Performance Critère Niveau

Précision angulaire Erreur en position en

régime permanent

Nulle pour une entrée en

échelon et un couple résistant

constant

Rapidité Temps de réponse à

5%

tr5% =0,03 (s) maximum

Stabilité Marge de gain

Marge de phase

MG=10 dB minimum

Mφ=30° minimum

Pour la suite, on considère 2

20 0

2. 1. 1 . .

KH p

p p p

, 2 . 1 .rH p K p

Q24. En supposant 0rC p , déterminer la fonction de transfert en

boucle ouverte non corrigée 1C p du système

BONC

pH p

p

.

Donner sa classe, son ordre et son gainBONCK .

On donne sur la figure R2 du document réponse DR2, le diagramme de Bode de

la FTBO non corrigée.

Q25. Justifier, sur votre copie, la forme de ce tracé puis donner les

valeurs numériques des paramètres canoniquesBONCK , et 0 .

Q26. Représenter, sur la figure R2 du document réponse DR2, la marge

de gain et la marge de phase. Conclure.

Q27. Exprimer p en fonction des deux entrées C p et rC p , du gain

1K et des fonctions de transfert H p et 2H p .

1 .C p

Q28. Déterminer l’erreur de position s en réponse à l’entrée consigne

C p , échelon d’amplitude 0 et à l’entrée perturbatrice rC p , échelon

de valeur 0C .

On donne sur la figure R3 du document réponse DR2, la réponse indicielle à un

échelon de position de 5°.



Q29. Déterminer la valeur de l’erreur de position s et celle du temps de

réponse à 5%. Faire apparaître sur la figure R3 du document réponse

DR2 les grandeurs mesurées. Conclure.

Q30. Quel est l’impact de l’utilisation d’un correcteur de fonction de

transfert 1

C pp

sur la précision et la stabilité du système.

Correction intégrale :

On suppose que 1 .

..

ii

i

T pC p K

T p

:

On donne sur la figure R4 du document réponse DR3, le diagramme de Bode de

la FTBO corrigée pour 1iK .

Q31. Déterminer la valeur de iK pour avoir une marge de phase de

30°.Que devient la marge de gain. Faire apparaître sur la figure R4 du

document réponse DR3 les grandeurs mesurées.

Conclure sur votre copie.

On donne sur la figure R5 du document réponse DR3, la réponse indicielle à un

échelon de position de 5° du système ainsi corrigé.

Q32. Déterminer graphiquement la valeur de l’erreur de position s et

celle du temps de réponse à 5%. Faire apparaître sur la figure R5 du

document réponse DR3 les grandeurs mesurées.

Conclure sur votre copie.

Fin de l’énoncé



NE RIEN ECRIRE DANS CE CADRE

Document réponse DR1

Q10.





Q26. Marge de gain : ……………………… Marge de phase : ………………………..

Figure R2 : Diagramme de Bode de la FTBO non corrigée.

Q29. Erreur de position : ……………… Temps de réponse à 5% : ……………………..

Figure R3 : réponse temporelle à un échelon de position de 5°





Q31. iK ……………………….. Marge de gain : ………………………..

Figure R4 : Diagramme de Bode de la FTBO corrigée pour 1iK .

Figure R5 : réponse indicielle à un échelon de position de 5°

Erreur de position :

………………………………

Temps de réponse à 5% :

………………………….…..

Q32.

cnc 2020 filière : mp psi sciences industrielles

Documents