cnam - automatisme b3 - rappels mathématiques

5/28/2018 Cnam - Automatisme b3 - Rappels Mathmatiques

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Introduction a la

commande des

systemes asservis

1/ Introduction

2/ tape de Modlisation

3/ tape d'identification

4/ tape de Commande

5/ tape d'amlioration (Correcteurs)

Cours CNAM Automatismes B3 Anne 2003/2004


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RRRRRRRRRRAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSAPPELSMMMMMMMMMMATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUESATHEMATIQUES

1.DCOMPOSITIONDESFONCTIONSRATIONNELLESENLMENTSSIMPLES

But:Exprimer la fonction de transfert d'un systme sous la forme d'une somme d'lments simples

rpertoris dans un tableau (voir cours -> transformes de Laplace)

1 POLYNMES

Soit x l'ensemble des polynmes coefficients rels.

Soit P x x

Forme gnrale du polynme:

P x = A n xnA n 1 x

n 1A 1A 0 avec n ou n

Polynme unitaire:

A n =1 P x = xnA n1 x

n 1A 1A 0

Polynme Unitaire Irrductible:

Binme unitaire du premier degr: x a

Trinme unitaire du second degr: x bx c avec 0 avec= b 4ac

Thorme:

Tout polynme P(x) non constant (An non tous nuls) coefficients rels s'crit de manire unique sous la

forme:

P x = P1 1 P n

n

avec * coefficient dominant de P x

i =1 n P iest un polynme unitaire irrductiblesur .

i *

Exemple:

P x = 2x4 x

3 x 1

P x = x1 x1 2x x1 = 7

P x = 2 x 1 x1 x1

2x

1

2 polynme unitaire , = 2, 1= 2= 3= 1


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On ne peut utiliser cette mthode pour le calcul de (Division par zro), on choisit donc une valeur

arbitrairement de faon supprimer cette division par zro.

Lorsqu'il ne reste qu'une ou deux inconnues on donne une valeur arbitraire x: en gnral 0 ou 1 ou -1.

FI R4

0 =1

4

FD R4

0 =

4

2=

1

18

1

2

1

12

2

Donc

2=

17

36

1

4 =

4

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Autre mthode de calcul de en utilisant les limites:

On utilisera le comportement l'infini des fonctions rationnelles (thorme de la valeur finale)

limx

xR 4 x

FI : limx

xR 4 x = limx

x

x1 x1 x 2 lim

x

x

x3= 0

FD: limx

xR 4 x = limx

x

x1

x

x1

x

x 2

x

x 2

limx

xR4

x = limx

x

x

x

x

x

x

x

x=

Donc

= 0

=

2. Deuxime Cas: La dcomposition n'inclut que des lments de premire espce

x apavec p 3

On utilisera la division de deux polynmes (division Euclidienne) mais nous ne traiterons pas ce cas dans

le cours car il est rarement utilis.

3. Troisime cas: La dcomposition inclut des lments des deux espces et tous les exposants sont

infrieurs ou gaux 2.

La mthode de rsolution utilise les racines complexes des trinmes irrductibles.

Rappels sur les complexes :

Soit = j , avec 0

Soit a et b , alors a b= 0 a= 0

b= 0

Soit a ' et b ' , si a b= a ' b 'a= a '

b= b '

Exemple :

Soit FI R 2 x =x

x 3 x 1

FDR 2 x =

x 1 u

1 x v1

x 3 u

2 x v2

x 3

Calcul de : Soit x 1 R 2 x


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