Mécanique: chapitre 1

CinCinéématique du pointmatique du point

La cinématique est l’étude des mouvements, indépendamment des causes qui les produisent

1.SYSTÈME DE COORDONNÉES

−les coordonnées cartésiennes (cas général),−les coordonnées cylindriques (adaptées à la rotation autour d'un axe),−les coordonnées sphériques (adaptées à la rotation autour d'un point).

1.Coordonnées cartésiennes1.Définitions

Repère cartésien: défini par:• un point origine O• trois axes Ox, Oy, Oz perpendiculaires entre eux.

• 3 vecteurs unitairesxer,

yerzer

.

S'ils ont même module, le repère est dit orthonormé.

Disposition relative des axes Ox, Oy, Oztelle que le trièdre soit direct

M

O

zM

yM

xM

ez

ex

ey

x

y

z

H

Point M repéré par les 3 composantes du vecteur joignant O à M.

zMyMxMMMM ezeyexzyxrOMr

rrrr

r

++==

→

),,(

r

Pour repérer un point dans l’espace, on utilise un système de coordonnées

M

O

zM

yM

xM

ez

ex

ey

x

y

z

H

On dit indistinctement qu’un objet se trouve au point M ou en rr

Les composantes xM et yM sont celles de la projection du point M sur le plan xOy, H.La composante zM est obtenue en traçant la parallèle à OH passant par M.

− abscisse, x− ordonnée, y,− côte, z.

Vecteur positionOM

:zyx ezeyexOM ⋅+⋅+⋅=

Sous forme matricielle (matrice colonne)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

OM

r

2. Déplacements

O

zM

yM

xM

ez

ex

ey

y

z

M

Hx

zN

yN

xN

J

N

yN – yM

xN – xM

zN – zM

Déplacement du point M au point N : variation du vecteur position qui s'écrit

zMNyMNxMN ezzeyyexxOMONMN ⋅−+⋅−+⋅−=−= )()()(

Les composantes du vecteur déplacementsont les différences entre les coordonnéesdes points M et N

Trajectoire : ensemble des positions occupées par le point M au cours du temps.

Exemple 1: bille roulant sur un plan incliné

Equation de la trajectoire : relation liant les coordonnées indépendamment du temps.En coordonnées cartésiennes, on note

0),,( =zyxf

Equation horaire: l'expression des coordonnées du point M au cours du temps

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

)(

)()(

tfz

tfytfx

z

y

x

hxahy +−=

h y

xaO

M(x,y)

htg

my

tgh

amx

+−=

=

2

2

2

2

y

x

Equations horaires Trajectoire

O

x(t)

x(t)

a

a- a

- a

Mouvement plan: deux coordonnées suffisent.Généralement, on conserve les coordonnées x et y.

⎩⎨⎧

==

)()(tfytfx

y

x

Mouvement rectiligne: une seule coordonnée suffit.Généralement, on conserve la coordonnée x. )(tfx x=

)sin()()cos()(

tatytatx

ω=ω=

On peut éliminer le temps entre ces deux relations, ce qui fournit l'équation de la trajectoire:

222 ayx =+La trajectoire est un cercle

t

x(t)y(t)

0

- a

a

Exemple: soit les équations horaires:

Coordonnées cylindriques

Rϕ

z

x

y

z

O

M

Coordonnées sphériques

Un point M est repéré par:a) le rayon Rb) l’angle ϕc) la côte z

Ce type de coordonnées est adapté auxsystèmes à symétrie cylindrique

2. Les autres systèmes de coordonnées

⎪⎩

⎪⎨

⎧ϕ=ϕ=

zRyRx

sincos

r

ϕ

x

z

O

y

M

Un point M est repéré par:a) le rayon rb) l’angle ϕc) l’angle θ

θ

Ce type de coordonnées est adapté auxsystèmes à symétrie sphérique

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ=ϕθ=ϕθ=

cossinsincossin

rzryrx

2. VITESSE D'UN POINT2.1 DéfinitionsVitesse scalaire moyenne:

x

y

z

s

M1

M2

O12 tts−

=v

Distance parcourue le longde la trajectoire

Durée du parcours2tt =

1tt =

Vitesse scalaire instantanée: on fait tendre vers zéro l'intervalle de temps t2 – t1.Soit s(t) déplacement mesuré le long de la trajectoire à partir d'une origine quelconque, à l'instant t.A un instant ultérieur voisin t + Δt, cette valeur passe à s(t + Δt).La vitesse scalaire instantanée est égale à

ttstts

Δ−Δ+

=)()(

v

Si l'intervalle de temps Δt vers zéro,

ttstts

t Δ−Δ+

= →Δ)()(lim 0v

dtds

=v

x

y

z

M(t)

O

M(t + Δt)s(t)

s(t + Δt)

Exemple: parcours automobile entre 2 villest1 heure de départ, t2 heure d’arrivées distance kilométrique parcourue

Remarque: information sur le module de la vitesse ainsi quesur le sens de parcours le long de la trajectoirePas d’information sur la direction de la vitesse

s&=vts

t ΔΔ

= →Δ 0limv

Vecteur vitesse moyenne :

12

21

12

1221 tt

MMttOMOMV MM −

=−−

=

Vecteur vitesse instantanée :

Au lieu de repérer le point le long de la trajectoire, on repère le point par son vecteur position

x y

z

s

M1

M2

O

2tt =

1tt =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−−

=

12

12

12

12

12

12

21

ttzzttyyttxx

V MM

Information encore peu précise, que ce soitsur le module ou sur la direction

On fait tendre vers zéro l'intervalle de temps t2 – t1

x

y

z

M(t)

O

M(t + Δt)

2112lim)( MMtt VMV →=

ttOMttOMMV t Δ

−Δ+= →Δ

)()(lim)( 0

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ΔΔ+Δ

−Δ+Δ

−Δ+

=

→Δ

→Δ

→Δ

ttzttz

ttytty

ttxttx

MV

t

t

t

)(_)(lim

)()(lim

)()(lim

)(

0

0

0

zyx

zyx

ezeyex

edtdze

dtdye

dtdxMV

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

&&&

)(

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

MV&

&

&

)(

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

dtdzdtdydtdx

MV )(

On reconnaît la définition des dérivées des coordonnées par rapport au temps

Sous forme vectorielle, en introduisant les vecteurs de base

x

Sous forme matricielle

Les composantes du vecteur vitesse instantanée sont les dérivées parrapport au temps des composantes du vecteur position (dérivées deséquations du mouvement)

y

z

M(t)

O

z(t)

x(t)y(t)xe

zeye

s(t))(MV

L'unité légale de la vitesse est le mètre par seconde (m.s-1)

Comme pour tout vecteur, la norme de la vitesse correspond à la racine carrée de la somme des composantes de ce vecteur

222)( zyxMV &&& ++=

A tout instant, le vecteur vitesseinstantanée est tangent à la trajectoire

tarcMM

tMMMV tt Δ

=Δ

= →Δ→Δ'lim'lim)( 00

M

M’

M’

M’

)(MV

On fait tendre M’ vers M

M

)(MV

τ

s(t)

τ=τ=r&

r sdtdsMV )(

Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement.

τr

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

s abscisse curviligne le long de la trajectoire.

y

x

O

x(t)

x(t)

a

a

- a

- a

V

)sin()()cos()(

tatytatx

ω=ω=

)sin()(sin)sin()(

)sin()(cos)cos()(

tadt

tdadt

tadtV

tadt

tdadt

tadtV

y

x

ωω=ω

=ω

=

ωω−=ω

=ω

=

Soit un point M en rotation autour d'un axe Oz.r : rayonϕ: angle de rotation (radians), repéré par rapport à une origine quelconque

ϕ=ϕ

=ω &dtd

2.2 Mouvement de rotation autour d'un axe:

Longueur parcourue sur le cercle depuis l’origine(abscisse curviligne)

ϕ= rsVitesse sur le cercle

dtrd

dtdsV )( ϕ

==

Le rayon est constant:dtdrV ϕ

=

Vitesse angulaire de rotation

Exprimée en radians par seconde (rad/s)On utilise aussi: tours/s, tours/mn

Mϕ

ϕ = 0

O

z

s = r ϕ

rV

ω= rVVitesse le long de la trajectoire (m/s) Vitesse angulaire (rad/s)

Rayon (m)

Exemple: vitesse angulaire d'une roue de voitureUne automobile roule à la vitesse constante de 120 km/h. Ses roues ont un rayon de 30 cm. Calculer leur vitesse angulaire.

Vitesse d’un point du pneu en contact avec la route est km/h 120=V , soit:3600

102,1 5⋅=V -1m.s 333,33=V

Rv

=ω3,0

333,33=ω -1rad.s 111,111=ω

En tours/seconde:π

=ω2

111,111 -1 tr.s68,17=ω

• Porté par l'axe de rotation, • Sens déterminé par la règle de la main droite,• Module égal à la vitesse angulaire de rotation.

Vecteur vitesse angulaire de rotation

zz ee ω=ϕ=ω &v

ze

z

xe

yeϕ

y

x

r

M

O

zzz eeedtd

ω=ϕ=ϕ

=ω &r

Sous forme vectorielle:

VD’après la définition du produit vectoriel

OMV ∧ω=r

OAA ∧ω=r

v

Av

ωr

O

A

ω

Remarque : la relation OAA ∧ω=r

v

est valable quel que soit le point O de l’axe de rotation.

Distribution des vitesses dans le solide :chaque point du solide est soumis à une vitesse dont le module est proportionnel à la distance à l'axe de rotation

xe

ye

ze

ωϕ= cosrx

ϕ= sinry

V

M

ϕr

En coordonnées cartésiennes, le rayon r étant constant:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=ϕω

&

r 00

⎪⎩

⎪⎨

⎧ϕϕ

0sincos

rr

OM

Rappel: produit vectoriel

),( zyx AAAAv

),( zyx BBBBr

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−

=∧

xyyx

zxxz

yzzy

BABABABA

BABA

BArr

Vyx

dtdydtdx

dtrd

dtrd

rr

OM =⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ

=⎪⎩

⎪⎨

⎧ϕϕϕϕ−

=∧ω000

)sin(

)cos(

0cos

sin&

&

&

&r

3. ACCÉLÉRATION D'UN POINT

3.1 Accélération scalaire moyenneExemple 1:Une voiture qui roulait à 108 km/h s'arrête en 7,5 secondes. La trajectoire est supposée rectiligne.

360010108)(

30

×=tV 1-

0 m.s 30)( =tVkm/h 108)( 0 =tV , soit en m/s:A l’instant t0 = 0 la vitesse est égale à

A l’instant t1 la vitesse est nulle 1-1 m.s 0)( =tV

05,7300−

−=γ -2m.s 4−=γ Accélération négative = décélérationApplication numérique:

Remarque:2g

≅γ g accélération de la pesanteur (9,81 m.s-2)

01

01 )()(10 tt

tVtVtt

−

−=γOn peut définir une accélération scalaire moyenne : Unité: m.s-2

t = 0, V = 108 km/h t = 7,5 s, V = 0 km/h

ON SE LIMITE AU CAS DE TRAJECTOIRES RECTILIGNES

Exemple 2:Un avion amorce un piqué à 450 km/h. Après 6 secondes, la vitesse a atteint 900 km/h

t = 0, V = 450 km/h

t = 6 s, V = 900 km/h

km/h 450)( 0 =tV

360010450)(

30

×=tV 1-

0 m.s 125)( =tV

km/h 900)( 1 =tV

360010900)(

31

×=tV 1-

1 m.s 250)( =tV

01

01 )()(10 tt

tVtVtt

−

−=γaccélération scalaire moyenne :

83,2006125250

=−−

=γ -2m.s 83,20=γApplication numérique: g2≅γ

Remarque 1:

Cette définition n’est qu’une valeur moyenneL’accélération n’est pas nécessairement constante au cours du déplacementOn définit une accélération instantanée

dtdVt =γ )(

Relations de passage:

)(tx

Trajectoire Vitesse

dtdxtV =)(

Accélération

dtdVt =γ )(

2

2)(

dtxd

dtdx

dtdt =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=γ

Dérivée Dérivée

La vitesse est la dérivée première de la trajectoireL’accélération est la dérivée première de la vitesse, donc la dérivée seconde de la trajectoire

Remarque 2:

Quand on résout un problème de dynamique (mouvement d’un solide sous l’action de forces),on utilise ces relations en sens inverse (intégration):

La vitesse est la primitive de l’accélérationLa trajectoire est la primitive de la vitesse

Remarque 1:

Cette définition n’est qu’une valeur moyenneL’accélération n’est pas nécessairement constante au cours du déplacementOn définit une accélération instantanée

dtdVt =γ )(

Relations de passage:

La vitesse est la dérivée première de la trajectoireL’accélération est la dérivée première de la vitesse, donc la dérivée seconde de la trajectoire

Remarque 2:

Quand on résout un problème de dynamique (mouvement d’un solide sous l’action de forces),on utilise ces relations en sens inverse (intégration):

La vitesse est la primitive de l’accélérationLa trajectoire est la primitive de la vitesse

)(tx

Trajectoire Vitesse

dtdxtV =)(

Accélération

dtdVt =γ )(

2

2)(

dtxd

dtdx

dtdt =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=γ

Dérivée Dérivée

IntégraleIntégrale

3.3 Expressions vectorielles et cartésiennes de l’accélération:

Comme pour la vitesse on peut définir les vecteurs accélération moyenne et accélération instantanée.

Le vecteur accélération moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesse à des instants t et t'.

Remarque: la vitesse est un vecteur qui varie à la fois-) en module-) en direction

Remarque 3:A partir de l’instant t1 le pilote redresse l’appareil: la trajectoire n’est plus rectiligneQue devient l’accélération ?.

tttVtV

−−

=γ'

)()'(r

)(tV

)'(tV

M(t)

M(t’ )

)()'( tVtV −

y

O x

)(tV

ttVttVt t Δ

−Δ+=γ →Δ

)()(lim)( 0)( ttV Δ+

)()( tVttV −Δ+

y

O x

)(tV)(tV)( ttM Δ+

)(tMVecteur accélération instantanée: on fait tendre l’intervalle de temps vers zéro

Vecteur accélération instantanée: dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps

dttVdt )()( =γ

r

2

2)()(dtOMd

dttVdt ==γ

r

dtOMdtV =)(Or ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=γ

dttOMd

dtdt )()(r

L’accélération instantanée est la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=γ

=γ

=γ

2

2

2

2

2

2

dtzd

dtyd

dtxd

z

y

x

Composantes:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=γ

=γ

=γ

dtdV

dtdVdt

dV

zz

yy

xx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=γ

dtdz

dtd

dtdy

dtd

dtdx

dtd

z

y

x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=γ

=γ=γ

z

yx

z

y

x

&&

&&

&&

Remarque: la vitesse est un vecteurqui varie à la fois-) en module-) en direction

La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire

L’accélération est un vecteurqui varie à la fois-) en module-) en direction

A QUOI CORRESPOND L’ORIENTATION DE L’ACCELERATION PAR RAPPORTA LA TRAJECTOIRE ?

y

O x

)(tV

)(tM

dttVdt )()( =γ

r

3..4 Rotation autour d'un axe; Accélération angulaire : De même que nous avons défini une vitesse angulaire, nous pouvons définir une accélération angulaire:

ω=ω

=α &dtd

ϕ=ϕ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

=α &&2

2

dtd

dtd

dtd

Unité: rad/s2

Soit un point M en rotation autour d'un axe Oz .r : rayon (constant)ϕ: angle de rotation (radians)

Mϕ

ϕ = 0

O

z

s = r ϕ

rAccélération angulaire:

Vitesse angulaireV

ϕ=ϕ

=ω &dtd

ω

Vecteur accélération angulaire-) Porté par l’axe de rotation-) Module égal à l’accélération angulaire, α-) Sens: règle de la main droite

zexe

ye

ω

α

)(MV

x

z

M

Oϕ y

zz

zz

eedtd

eedtd

⋅ϕ=ϕ

=

⋅ω=ω

=α

&&

&r

2

2

3.5 Accélération tangentielle; accélération normale

ON SE LIMITE AU CAS DU MOUVEMENT CIRCULAIRE

A tout instant, la vitesse est tangente à la trajectoire.ω vitesse angulaire (rad/s),R rayon de la trajectoire, constant (m)

τ⋅ω⋅= vRVτr

vecteur unitaire, tangent au cercle, en M.

ϕ=ϕ

=ω= &RdtdRRV

dtVdt =γ )(

dtdR

dtRdt )()()( τω

=τω

=γ

ω varie au cours du temps (la vitesse angulaire augmente ou ralentit)

τr

varie aussi au cours du temps: son module reste constamment égal à 1, mais sa direction variele long de la trajectoire, avec le déplacement du point M.

M(t)

)(MV

τ

M(t’ )

R

O

)(tϕ

0=ϕ

τ

dtdR

dtdRt τ

ω+τω

=γ )(

On démontre que dtd τ est un vecteur perpendiculaire au vecteur donc dirigé suivant le rayonτ

rdtdR

dtdRt τ

ω+τω

=γ )(

Finalement on montre que l’accélération se décompose en deux parties

nR

VdtdVt rr

⋅+τ⋅=γ2

)(

Accélérationtangentielle

Accélérationnormale

M(t)

)(MV

τ

R

O

)(tϕ

0=ϕ n

γ

tγ

nγntt γ+γ=γ )(

τ⋅=γr

dtdV

t

nR

Vn

r⋅=γ

2

Variation du module dela vitesse

Variation de la directionde la vitesse

nRdtdRt rr

⋅ω+τ⋅ω

=γ 2)( n et τr

unitaires

τω= vr RvnR rr 2ω=γ

τr

nr

γr

τω=γr&

r Rt τr

τω+ω=γr&

rr RnR 2

nRnrr 2ω=γ

nr

τr

γr

Vr

R

ω

M

O

ω

O

M

ω

O

Vitesse Accélération Mouvementuniforme

M

0

Constante

=

==

dtdV

VV

0

constante

=ω=ω=ω

&dtd

3.6 Mouvement circulaire uniforme:Le module de la vitesse est constant,Seule subsiste la composante normale de l'accélération.