Mécanique: chapitre 1
CinCinéématique du pointmatique du point
La cinématique est l’étude des mouvements, indépendamment des causes qui les produisent
1.SYSTÈME DE COORDONNÉES
−les coordonnées cartésiennes (cas général),−les coordonnées cylindriques (adaptées à la rotation autour d'un axe),−les coordonnées sphériques (adaptées à la rotation autour d'un point).
1.Coordonnées cartésiennes1.Définitions
Repère cartésien: défini par:• un point origine O• trois axes Ox, Oy, Oz perpendiculaires entre eux.
• 3 vecteurs unitairesxer,
yerzer
.
S'ils ont même module, le repère est dit orthonormé.
Disposition relative des axes Ox, Oy, Oztelle que le trièdre soit direct
M
O
zM
yM
xM
ez
ex
ey
x
y
z
H
Point M repéré par les 3 composantes du vecteur joignant O à M.
zMyMxMMMM ezeyexzyxrOMr
rrrr
r
++==
→
),,(
r
Pour repérer un point dans l’espace, on utilise un système de coordonnées
M
O
zM
yM
xM
ez
ex
ey
x
y
z
H
On dit indistinctement qu’un objet se trouve au point M ou en rr
Les composantes xM et yM sont celles de la projection du point M sur le plan xOy, H.La composante zM est obtenue en traçant la parallèle à OH passant par M.
− abscisse, x− ordonnée, y,− côte, z.
Vecteur positionOM
:zyx ezeyexOM ⋅+⋅+⋅=
Sous forme matricielle (matrice colonne)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
OM
r
2. Déplacements
O
zM
yM
xM
ez
ex
ey
y
z
M
Hx
zN
yN
xN
J
N
yN – yM
xN – xM
zN – zM
Déplacement du point M au point N : variation du vecteur position qui s'écrit
zMNyMNxMN ezzeyyexxOMONMN ⋅−+⋅−+⋅−=−= )()()(
Les composantes du vecteur déplacementsont les différences entre les coordonnéesdes points M et N
Trajectoire : ensemble des positions occupées par le point M au cours du temps.
Exemple 1: bille roulant sur un plan incliné
Equation de la trajectoire : relation liant les coordonnées indépendamment du temps.En coordonnées cartésiennes, on note
0),,( =zyxf
Equation horaire: l'expression des coordonnées du point M au cours du temps
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
)(
)()(
tfz
tfytfx
z
y
x
hxahy +−=
h y
xaO
M(x,y)
htg
my
tgh
amx
+−=
=
2
2
2
2
y
x
Equations horaires Trajectoire
O
x(t)
x(t)
a
a- a
- a
Mouvement plan: deux coordonnées suffisent.Généralement, on conserve les coordonnées x et y.
⎩⎨⎧
==
)()(tfytfx
y
x
Mouvement rectiligne: une seule coordonnée suffit.Généralement, on conserve la coordonnée x. )(tfx x=
)sin()()cos()(
tatytatx
ω=ω=
On peut éliminer le temps entre ces deux relations, ce qui fournit l'équation de la trajectoire:
222 ayx =+La trajectoire est un cercle
t
x(t)y(t)
0
- a
a
Exemple: soit les équations horaires:
Coordonnées cylindriques
Rϕ
z
x
y
z
O
M
Coordonnées sphériques
Un point M est repéré par:a) le rayon Rb) l’angle ϕc) la côte z
Ce type de coordonnées est adapté auxsystèmes à symétrie cylindrique
2. Les autres systèmes de coordonnées
⎪⎩
⎪⎨
⎧ϕ=ϕ=
zRyRx
sincos
r
ϕ
x
z
O
y
M
Un point M est repéré par:a) le rayon rb) l’angle ϕc) l’angle θ
θ
Ce type de coordonnées est adapté auxsystèmes à symétrie sphérique
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θ=ϕθ=ϕθ=
cossinsincossin
rzryrx
2. VITESSE D'UN POINT2.1 DéfinitionsVitesse scalaire moyenne:
x
y
z
s
M1
M2
O12 tts−
=v
Distance parcourue le longde la trajectoire
Durée du parcours2tt =
1tt =
Vitesse scalaire instantanée: on fait tendre vers zéro l'intervalle de temps t2 – t1.Soit s(t) déplacement mesuré le long de la trajectoire à partir d'une origine quelconque, à l'instant t.A un instant ultérieur voisin t + Δt, cette valeur passe à s(t + Δt).La vitesse scalaire instantanée est égale à
ttstts
Δ−Δ+
=)()(
v
Si l'intervalle de temps Δt vers zéro,
ttstts
t Δ−Δ+
= →Δ)()(lim 0v
dtds
=v
x
y
z
M(t)
O
M(t + Δt)s(t)
s(t + Δt)
Exemple: parcours automobile entre 2 villest1 heure de départ, t2 heure d’arrivées distance kilométrique parcourue
Remarque: information sur le module de la vitesse ainsi quesur le sens de parcours le long de la trajectoirePas d’information sur la direction de la vitesse
s&=vts
t ΔΔ
= →Δ 0limv
Vecteur vitesse moyenne :
12
21
12
1221 tt
MMttOMOMV MM −
=−−
=
Vecteur vitesse instantanée :
Au lieu de repérer le point le long de la trajectoire, on repère le point par son vecteur position
x y
z
s
M1
M2
O
2tt =
1tt =
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−−−−
=
12
12
12
12
12
12
21
ttzzttyyttxx
V MM
Information encore peu précise, que ce soitsur le module ou sur la direction
On fait tendre vers zéro l'intervalle de temps t2 – t1
x
y
z
M(t)
O
M(t + Δt)
2112lim)( MMtt VMV →=
ttOMttOMMV t Δ
−Δ+= →Δ
)()(lim)( 0
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ΔΔ+Δ
−Δ+Δ
−Δ+
=
→Δ
→Δ
→Δ
ttzttz
ttytty
ttxttx
MV
t
t
t
)(_)(lim
)()(lim
)()(lim
)(
0
0
0
zyx
zyx
ezeyex
edtdze
dtdye
dtdxMV
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
&&&
)(
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
MV&
&
&
)(
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
dtdzdtdydtdx
MV )(
On reconnaît la définition des dérivées des coordonnées par rapport au temps
Sous forme vectorielle, en introduisant les vecteurs de base
x
Sous forme matricielle
Les composantes du vecteur vitesse instantanée sont les dérivées parrapport au temps des composantes du vecteur position (dérivées deséquations du mouvement)
y
z
M(t)
O
z(t)
x(t)y(t)xe
zeye
s(t))(MV
L'unité légale de la vitesse est le mètre par seconde (m.s-1)
Comme pour tout vecteur, la norme de la vitesse correspond à la racine carrée de la somme des composantes de ce vecteur
222)( zyxMV &&& ++=
A tout instant, le vecteur vitesseinstantanée est tangent à la trajectoire
tarcMM
tMMMV tt Δ
=Δ
= →Δ→Δ'lim'lim)( 00
M
M’
M’
M’
)(MV
On fait tendre M’ vers M
M
)(MV
τ
s(t)
τ=τ=r&
r sdtdsMV )(
Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement.
τr
vecteur unitaire tangent à la trajectoire.
s abscisse curviligne le long de la trajectoire.
y
x
O
x(t)
x(t)
a
a
- a
- a
V
)sin()()cos()(
tatytatx
ω=ω=
)sin()(sin)sin()(
)sin()(cos)cos()(
tadt
tdadt
tadtV
tadt
tdadt
tadtV
y
x
ωω=ω
=ω
=
ωω−=ω
=ω
=
Soit un point M en rotation autour d'un axe Oz.r : rayonϕ: angle de rotation (radians), repéré par rapport à une origine quelconque
ϕ=ϕ
=ω &dtd
2.2 Mouvement de rotation autour d'un axe:
Longueur parcourue sur le cercle depuis l’origine(abscisse curviligne)
ϕ= rsVitesse sur le cercle
dtrd
dtdsV )( ϕ
==
Le rayon est constant:dtdrV ϕ
=
Vitesse angulaire de rotation
Exprimée en radians par seconde (rad/s)On utilise aussi: tours/s, tours/mn
Mϕ
ϕ = 0
O
z
s = r ϕ
rV
ω= rVVitesse le long de la trajectoire (m/s) Vitesse angulaire (rad/s)
Rayon (m)
Exemple: vitesse angulaire d'une roue de voitureUne automobile roule à la vitesse constante de 120 km/h. Ses roues ont un rayon de 30 cm. Calculer leur vitesse angulaire.
Vitesse d’un point du pneu en contact avec la route est km/h 120=V , soit:3600
102,1 5⋅=V -1m.s 333,33=V
Rv
=ω3,0
333,33=ω -1rad.s 111,111=ω
En tours/seconde:π
=ω2
111,111 -1 tr.s68,17=ω
• Porté par l'axe de rotation, • Sens déterminé par la règle de la main droite,• Module égal à la vitesse angulaire de rotation.
Vecteur vitesse angulaire de rotation
zz ee ω=ϕ=ω &v
ze
z
xe
yeϕ
y
x
r
M
O
zzz eeedtd
ω=ϕ=ϕ
=ω &r
Sous forme vectorielle:
VD’après la définition du produit vectoriel
OMV ∧ω=r
OAA ∧ω=r
v
Av
ωr
O
A
ω
Remarque : la relation OAA ∧ω=r
v
est valable quel que soit le point O de l’axe de rotation.
Distribution des vitesses dans le solide :chaque point du solide est soumis à une vitesse dont le module est proportionnel à la distance à l'axe de rotation
xe
ye
ze
ωϕ= cosrx
ϕ= sinry
V
M
ϕr
En coordonnées cartésiennes, le rayon r étant constant:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω=ϕω
&
r 00
⎪⎩
⎪⎨
⎧ϕϕ
0sincos
rr
OM
Rappel: produit vectoriel
),( zyx AAAAv
),( zyx BBBBr
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
−
=∧
xyyx
zxxz
yzzy
BABABABA
BABA
BArr
Vyx
dtdydtdx
dtrd
dtrd
rr
OM =⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ϕ
ϕ
=⎪⎩
⎪⎨
⎧ϕϕϕϕ−
=∧ω000
)sin(
)cos(
0cos
sin&
&
&
&r
3. ACCÉLÉRATION D'UN POINT
3.1 Accélération scalaire moyenneExemple 1:Une voiture qui roulait à 108 km/h s'arrête en 7,5 secondes. La trajectoire est supposée rectiligne.
360010108)(
30
×=tV 1-
0 m.s 30)( =tVkm/h 108)( 0 =tV , soit en m/s:A l’instant t0 = 0 la vitesse est égale à
A l’instant t1 la vitesse est nulle 1-1 m.s 0)( =tV
05,7300−
−=γ -2m.s 4−=γ Accélération négative = décélérationApplication numérique:
Remarque:2g
≅γ g accélération de la pesanteur (9,81 m.s-2)
01
01 )()(10 tt
tVtVtt
−
−=γOn peut définir une accélération scalaire moyenne : Unité: m.s-2
t = 0, V = 108 km/h t = 7,5 s, V = 0 km/h
ON SE LIMITE AU CAS DE TRAJECTOIRES RECTILIGNES
Exemple 2:Un avion amorce un piqué à 450 km/h. Après 6 secondes, la vitesse a atteint 900 km/h
t = 0, V = 450 km/h
t = 6 s, V = 900 km/h
km/h 450)( 0 =tV
360010450)(
30
×=tV 1-
0 m.s 125)( =tV
km/h 900)( 1 =tV
360010900)(
31
×=tV 1-
1 m.s 250)( =tV
01
01 )()(10 tt
tVtVtt
−
−=γaccélération scalaire moyenne :
83,2006125250
=−−
=γ -2m.s 83,20=γApplication numérique: g2≅γ
Remarque 1:
Cette définition n’est qu’une valeur moyenneL’accélération n’est pas nécessairement constante au cours du déplacementOn définit une accélération instantanée
dtdVt =γ )(
Relations de passage:
)(tx
Trajectoire Vitesse
dtdxtV =)(
Accélération
dtdVt =γ )(
2
2)(
dtxd
dtdx
dtdt =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=γ
Dérivée Dérivée
La vitesse est la dérivée première de la trajectoireL’accélération est la dérivée première de la vitesse, donc la dérivée seconde de la trajectoire
Remarque 2:
Quand on résout un problème de dynamique (mouvement d’un solide sous l’action de forces),on utilise ces relations en sens inverse (intégration):
La vitesse est la primitive de l’accélérationLa trajectoire est la primitive de la vitesse
Remarque 1:
Cette définition n’est qu’une valeur moyenneL’accélération n’est pas nécessairement constante au cours du déplacementOn définit une accélération instantanée
dtdVt =γ )(
Relations de passage:
La vitesse est la dérivée première de la trajectoireL’accélération est la dérivée première de la vitesse, donc la dérivée seconde de la trajectoire
Remarque 2:
Quand on résout un problème de dynamique (mouvement d’un solide sous l’action de forces),on utilise ces relations en sens inverse (intégration):
La vitesse est la primitive de l’accélérationLa trajectoire est la primitive de la vitesse
)(tx
Trajectoire Vitesse
dtdxtV =)(
Accélération
dtdVt =γ )(
2
2)(
dtxd
dtdx
dtdt =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=γ
Dérivée Dérivée
IntégraleIntégrale
3.3 Expressions vectorielles et cartésiennes de l’accélération:
Comme pour la vitesse on peut définir les vecteurs accélération moyenne et accélération instantanée.
Le vecteur accélération moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesse à des instants t et t'.
Remarque: la vitesse est un vecteur qui varie à la fois-) en module-) en direction
Remarque 3:A partir de l’instant t1 le pilote redresse l’appareil: la trajectoire n’est plus rectiligneQue devient l’accélération ?.
tttVtV
−−
=γ'
)()'(r
)(tV
)'(tV
M(t)
M(t’ )
)()'( tVtV −
y
O x
)(tV
ttVttVt t Δ
−Δ+=γ →Δ
)()(lim)( 0)( ttV Δ+
)()( tVttV −Δ+
y
O x
)(tV)(tV)( ttM Δ+
)(tMVecteur accélération instantanée: on fait tendre l’intervalle de temps vers zéro
Vecteur accélération instantanée: dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps
dttVdt )()( =γ
r
2
2)()(dtOMd
dttVdt ==γ
r
dtOMdtV =)(Or ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=γ
dttOMd
dtdt )()(r
L’accélération instantanée est la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=γ
=γ
=γ
2
2
2
2
2
2
dtzd
dtyd
dtxd
z
y
x
Composantes:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=γ
=γ
=γ
dtdV
dtdVdt
dV
zz
yy
xx
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=γ
dtdz
dtd
dtdy
dtd
dtdx
dtd
z
y
x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=γ
=γ=γ
z
yx
z
y
x
&&
&&
&&
Remarque: la vitesse est un vecteurqui varie à la fois-) en module-) en direction
La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire
L’accélération est un vecteurqui varie à la fois-) en module-) en direction
A QUOI CORRESPOND L’ORIENTATION DE L’ACCELERATION PAR RAPPORTA LA TRAJECTOIRE ?
y
O x
)(tV
)(tM
dttVdt )()( =γ
r
3..4 Rotation autour d'un axe; Accélération angulaire : De même que nous avons défini une vitesse angulaire, nous pouvons définir une accélération angulaire:
ω=ω
=α &dtd
ϕ=ϕ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ϕ
=α &&2
2
dtd
dtd
dtd
Unité: rad/s2
Soit un point M en rotation autour d'un axe Oz .r : rayon (constant)ϕ: angle de rotation (radians)
Mϕ
ϕ = 0
O
z
s = r ϕ
rAccélération angulaire:
Vitesse angulaireV
ϕ=ϕ
=ω &dtd
ω
Vecteur accélération angulaire-) Porté par l’axe de rotation-) Module égal à l’accélération angulaire, α-) Sens: règle de la main droite
zexe
ye
ω
α
)(MV
x
z
M
Oϕ y
zz
zz
eedtd
eedtd
⋅ϕ=ϕ
=
⋅ω=ω
=α
&&
&r
2
2
3.5 Accélération tangentielle; accélération normale
ON SE LIMITE AU CAS DU MOUVEMENT CIRCULAIRE
A tout instant, la vitesse est tangente à la trajectoire.ω vitesse angulaire (rad/s),R rayon de la trajectoire, constant (m)
τ⋅ω⋅= vRVτr
vecteur unitaire, tangent au cercle, en M.
ϕ=ϕ
=ω= &RdtdRRV
dtVdt =γ )(
dtdR
dtRdt )()()( τω
=τω
=γ
ω varie au cours du temps (la vitesse angulaire augmente ou ralentit)
τr
varie aussi au cours du temps: son module reste constamment égal à 1, mais sa direction variele long de la trajectoire, avec le déplacement du point M.
M(t)
)(MV
τ
M(t’ )
R
O
)(tϕ
0=ϕ
τ
dtdR
dtdRt τ
ω+τω
=γ )(
On démontre que dtd τ est un vecteur perpendiculaire au vecteur donc dirigé suivant le rayonτ
rdtdR
dtdRt τ
ω+τω
=γ )(
Finalement on montre que l’accélération se décompose en deux parties
nR
VdtdVt rr
⋅+τ⋅=γ2
)(
Accélérationtangentielle
Accélérationnormale
M(t)
)(MV
τ
R
O
)(tϕ
0=ϕ n
γ
tγ
nγntt γ+γ=γ )(
τ⋅=γr
dtdV
t
nR
Vn
r⋅=γ
2
Variation du module dela vitesse
Variation de la directionde la vitesse
nRdtdRt rr
⋅ω+τ⋅ω
=γ 2)( n et τr
unitaires
τω= vr RvnR rr 2ω=γ
τr
nr
γr
τω=γr&
r Rt τr
τω+ω=γr&
rr RnR 2
nRnrr 2ω=γ
nr
τr
γr
Vr
R
ω
M
O
ω
O
M
ω
O
Vitesse Accélération Mouvementuniforme
M
0
Constante
=
==
dtdV
VV
0
constante
=ω=ω=ω
&dtd
3.6 Mouvement circulaire uniforme:Le module de la vitesse est constant,Seule subsiste la composante normale de l'accélération.