Cinématique du Point 1. Position par rapport à un référentiel

a) Repère cartésien (0, kji

, , ) (lié au référentiel) Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est rectiligne ou parabolique (tir oblique, ...)

La position du mobile M est repérée par son vecteur position : OM

x

OM y OM xi yj zkz

b) Repère de Frenet (M, T

, N

) (lié au mobile)

La trajectoire doit être connue d’avance !

Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est circulaire/elliptique (satellites, charges dans un champ magnétique, ...)

La trajectoire est munie d’une origine O. Elle est orientée (si possible dans le sens du mouvement).

La position du mobile M est repérée par son abscisse curviligne s.

1

Le repère de Frenet est lié au point M. Il comporte deux vecteurs unitaires T

et N

:

T

est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens de l’orientation de la trajectoire.

N

est perpendiculaire à T

et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

Si la trajectoire n'est pas plane on ajoute un troisième vecteur unitaire k

perpendiculaire à T

et N

.

2. Vitesse par rapport à un référentiel a) Définition

dtOMd

tOMlimv

0t

(1)

La vitesse instantanée v est la dérivée de la position

OM par rapport au temps.

La vitesse exprime la rapidité avec laquelle la position varie.

Le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire.

2

b) Coordonnées cartésiennes

kvjvivv vvv

v zyx

z

y

x (2)

kzjyixOM zyx

OM

(3)

(1) et (3) )kzjyix(dtdv

kdtdzj

dtdyi

dtdxv

(4)

(2) et (4) dtdxv x

dtdyv y

dtdzv z

c) Coordonnées de Frenet

NvTvv vv

v NTN

T

Comme v est tangent à la trajectoire vN = 0 Tv v T

Définition de la vitesse : 1 2t 0 t 0

OM M Mv lim limt t

avec t = t2 – t1

t 0 1 2M M sT

t 0

sv lim Tt

Finalement Tdtdsv

dtdsvT et vN = 0

3

d) Vitesse linéaire et vitesse angulaire dans le cas du mouvement circulaire uniforme

Un mobile M se déplace à vitesse constante v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

Origine des temps et des espaces: à t = 0, M se trouve à l'origine O de la trajectoire circulaire que l'on oriente dans le sens du mouvement.

La position du mobile peut être repérée soit par son abscisse curviligne s, soit par son abscisse angulaire qui mesure l'angle de la rotation depuis l'origine O sur le cercle.

A l'instant t1, son abscisse curviligne est s1, à l'instant t2, il est s2. Son déplacement pendant la durée t = t2 t1 est s = s2 s1.

A l'instant t1, son abscisse angulaire est 1. (C'est l'angle entre CO et CM1.) A l'instant t2, il est 2. Son angle de rotation pendant la durée t = t2 t1 est = 2 1.

La mesure de l'abscisse angulaire est positive si la trajectoire du point a été orientée dans le sens du mouvement ! Cette mesure s'exprime en radians (rad) dans le Système International d'unités.

Relation entre l’arc et l’angle :

s R , où est exprimé en rad

Le radian est donc l'angle pour lequel l'arc est égal au rayon.

Pour 1 tour complet, s = 2R. On a donc : 1 tour = 360° = 2 rad.

Vitesse linéaire v (instantanée) :

C'est la vitesse instantanée de M: dtdsvv T .

Dans le cas du mouvement uniforme svt

(formule vue en classe de 2e)

4

Vitesse angulaire (instantanée) :

C'est l'angle duquel M tourne par unité de temps: t 0

dlimt dt

Dans le cas du mouvement uniforme t

t (formule à retenir)

Unité S.I.: 1 rad/s.

Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point :

s Rv R Rt t t

Finalement: v R (formule à retenir)

Période de rotation T : C'est la durée d'1 tour : t T si 2

2T

Période 2T

(formule à retenir)

Fréquence de rotation f : C'est le nombre de tours par seconde.

En T secondes il y a 1 tour En 1 seconde il y a 1/T tours

Fréquence 1fT

exprimée en hertz (Hz) (formule à retenir)

5

3. Accélération par rapport à un référentiel a) Définition

dtvd

tvlima

0t

(1)

L’accélération a est la dérivée de la vitesse v par rapport au temps.

L'accélération exprime la rapidité avec laquelle la vitesse varie.

Comme 2

2

dtOMd

dtOMd

dtda ,

dtOMdv

L’accélération a est la dérivée seconde de la position

OM par rapport au temps. b) Coordonnées cartésiennes

kajaiaa aaa

a zyx

z

y

x (2)

kvjvivv vvv

v zyx

z

y

x (3)

(1) et (3) )kvjvi(vdtda zyx

kdt

dvj

dtdv

idtvd

a zyx

(4)

(2) et (4) dtvd

a xx ;

dtvd

a yy ;

dtvd

a zz

6

Or dtdxv x 2

2

x dtxda

De même pour ay et az 2

2

z2

2

y2

2

x dtzda ;

dtyda ;

dtxda

c) Coordonnées de Frenet

NaTaa aa

a NTN

T

L’accélération exprime la rapidité avec laquelle v varie en norme et en direction.

Accélération d’un mobile en mouvement rectiligne : a v Ta a T et aN = 0

Déterminons aT !

tvlima

0t

Ttvv

lima T1T2

0t

Tt

vlima T

0t

Tdt

dva T

Finalement : TT

dvadt

et aN = 0

La coordonnée tangentielle de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la norme de la vitesse varie.

v et a de même sens v augmente mvt de plus en plus rapide

v et a de sens opposé v diminue mvt de plus en plus lent (freinage)

7

Accélération d’un mobile en mouvement circulaire uniforme

Méthode 1

M effectue un mouvement uniforme de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

A l’instant t = 0, la position du mobile M0 est donnée par le vecteur position

0OM

et par l’abscisse angulaire 0 = 0.

Soit un repère cartésien (O, i

, j

) tel que l’axe Ox soit colinéaire à 0OM

.

A l’instant t, le vecteur position est OM

et l’abscisse angulaire .

La relation t du mouvement circulaire uniforme s’écrit ici : t .

Exprimons les coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération !

Vecteur position : x OM cos R cos( t)

OMy OM sin R sin( t)

(1)

Vecteur vitesse : dOMvdt

x

y

dxv R sin( t)dtvdyv R cos( t)dt

Vecteur accélération : dvadt

2 2xx

y 2 2y

dva R cos( t) xdta

dva R sin( t) y

dt

(2)

(1) et (2) 2a OM a est de même direction que OM

(colinéaire à N

)

Comme 2 0 , a est de sens contraire à celui de OM

a centripète

Norme de a : 2 2a OM R

Coordonnées de a : 2

2T N

va 0 et a R vR

(v = R)

La cordonnée normale de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la direction de la vitesse varie.

M(t=0)

0R

M (t)

O

vy

x

Na

i

j

T

8

Méthode 2

M effectue un mouvement uniforme de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

v constant TT

dva 0dt

et Na a N

Déterminons aN !

tvlima

0t

* Signe de aN :

t 0 0v

direction et sens de v direction et sens de N

Donc : a de même direction et de même sens que N

aN > 0 a

est centripète * Valeur de aN :

tv

limtvlimaa

0t0tN

t 0 0 corde AB arc AB

v AB v ou (v1 = v2 = v)

N t 0

t 0

va lim

t

v limt

v

( entre 1v et 2v = abscisse angulaire entre les vecteurs positions 1OM

et

2OM

!)

Comme v = R

vRRva 2

2

N

9

Conclusions: 1. Au cours d'un mouvement circulaire uniforme de rayon

R et de vitesse v (de vitesse angulaire ), l'accélération est centripète et de norme :

22va R

R

Coordonnées de a : 2

2N

va RR

; aT = 0

2. La coordonnée normale de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la direction de la vitesse varie.

d) Remarque : mouvement curviligne quelconque

Dans le cas général d'un mouvement circulaire non uniforme, l’accélération s’écrit : 2

TT N

d v va = a T + a N T + Ndt R

Cette expression reste même valable pour un mouvement curviligne quelconque. Le rayon R désigne alors le rayon de courbure de la trajectoire qui peut varier durant le mouvement. Ce n'est que pour un mouvement circulaire que le rayon de courbure est constant.

Exemples :

v a 0 angle entre v et a aiguv augmentemvt de plus en plus rapide

v a 0 angle entre v et a obtuv diminuemvt de plus en plus lent (freinage)

v a 0, si angle rectangle entre v et av constantmvt uniforme

v a 0, si a 0v constantmvt rectiligne et uniforme

10

4. Mouvements rectilignes

Nous les étudions dans un repère cartésien comportant un seul axe Ox parallèle au mouvement.

Nous établirons les formules vues en classe de 2e beaucoup plus aisément à l'aide des relations avec les dérivées.

a) Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

C'est un mouvement à vecteur accélération nul!

* Conditions initiales (C.I.)

t = 0 x = x0 (1)

vx = v0x (2)

* Accélération

0a 0a x t

* Vitesse

xx x

dva 0 v Kdt

(K = constante d'intégration) (3)

Déterminons K : t = 0 : (2) vx = v0x

(3) vx = K

D'où : K = v0x !

Finalement : x0x vv t

* Position

Or x 0x 0xdxv v x v t K 'dt

(K' = constante d'intégration) (4)

Déterminons K' : t = 0 (1) x = x0

(4) x = K’

D'où : K' = x0 !

Finalement : 0x0 xtvx t

11

b) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

C'est un mouvement à vecteur accélération constant!

* Conditions initiales (C.I.)

t = 0 x = x0 (1)

vx = v0x (2)

* Accélération

a constant ax constant t

* Vitesse

xx x x

dva constant v a t Kdt

(K = constante d'intégration) (3)

Déterminons K : t = 0 : (2) vx = v0x

(3) vx = K

D'où : K = v0x !

Finalement : x0xx vtav t (4)

* Position

Or 2x x 0x x 0x

dx 1v a t v x a t v t K 'dt 2

(K' = constante d'intégration) (5)

Déterminons K' : t = 0 (1) x = x0

(5) x = K'

D'où : K' = x0 !

Finalement : 0x02

x xtvta21x t (6)

En éliminant t entre (4) et (6) on obtient une relation entre les vitesses et les abscisses :

)xx(a2vv 0x2

x02x xa2v x

2x

12

Quantité de mouvement 1. Définitions

Point matériel Un point matériel est un corps réduit à un point et ayant une certaine masse. Un tel point est une pure abstraction et n’existe pas physiquement.

Mobile Un mobile est un point matériel qui se déplace.

Corps matériel Tout corps réel est un corps matériel constitué par un très grand nombre de points matériels. Il est caractérisé entre autre par sa masse. Un corps peut être rigide ou déformable.

Solide Un solide est un corps non-déformable.

Système matériel Un système matériel est un ensemble d’un ou plusieurs corps matériels. Il est délimité par celui qui étudie un phénomène mécanique.

Système isolé. Système pseudo-isolé Un système matériel est isolé si aucune force extérieure ne s’exerce sur lui. Il est pseudo-isolé si des forces extérieures de résultante nulle s’exercent sur lui.

Forces extérieures. Forces intérieures Toute force exercée par un corps extérieur au système matériel considéré est une force extérieure. Toute force exercée par une partie du système sur une autre partie du système est une force intérieure.

13

La résultante de toutes les forces intérieures est toujours nulle. (Pourquoi ?) Une même force peut être extérieure ou intérieure suivant selon qu’on délimite le système d’une ou d’une autre manière. (Trouver un exemple !) 2. Expérience : explosion d'un système isolé en 2 fragments

b) Description de l’expérience

On étudie un système composé de deux chariots de masses m1 et m2 sur un rail horizontal, dans le référentiel terrestre. Les deux chariots sont munis d’un dispositif de répulsion.

Initialement les chariots sont immobiles sur le rail. Les forces extérieures sur le système sont :

le poids des chariots : P

les réactions du rail sur les chariots : R

Comme P

et R

se compensent le système est initialement un système pseudo-isolé !

Au déclenchement du dispositif de répulsion, ils se repoussent brutalement (= explosion) l'un l'autre avec des forces égales en norme (principe des actions réciproques).

Nous évaluons (grossièrement) les vitesses v1 et v2 des chariots immédiatement après la répulsion. Bien que la force de frottement du rail sur les chariots ne soit pas négligeable, son action de freinage au cours des premiers instants du mouvement peut être négligée ! Le système peut toujours être considéré comme système pseudo-isolé !

m2m1

Rail

chariot 2chariot 1

m2m1

chariot 2chariot 1v1 v2

Système pseudo-isolé

P

R

Centre de gravité Gdu système

P

RSystème pseudo-isolé

Rail

L’expérience est répétée pour plusieurs valeurs différentes des masses m1 et m2.

14

b) Observations et mesures

Résumons les résultats de mesure dans un tableau de mesure !

Expérience No m1 (kg) m2 (kg) v1 (m/s) v2 (m/s)

1 m m v v

2 m 2m v v/2

3 m 3m v v/3

1) Le chariot de plus faible masse acquiert la plus grande vitesse Interprétation: faible masse → faible inertie

forte masse → forte inertie

2) Nous constatons que, aux incertitudes de mesure près, les produits m1v1 et m2v2 sont égaux.

m1v1 = m2v2

Vectoriellement: 1 1 2 2m v m v

1 1 2 2m v m v 0

c) Conclusion

Au cours d'une explosion d'un système isolé (ou pseudo-isolé) en deux fragments de masses m1 et m2, les fragments prennent des vitesses 1v et 2v d'après la relation 1 1 2 2m v m v 0

Dans cette relation, chaque fragment du système intervient par son produit mv !

15

3. Quantité de mouvement

a) Quantité de mouvement d'un solide

La quantité de mouvement d'un solide de masse m et de vitesse du centre d'inertie v est:

p mv

Point d'application: centre d'inertie G Direction: celle de v Sens: celui de v Norme: p = mv b) Unité S. I. de la quantité de mouvement

Si m = 1 kg et v = 1 m/s alors p = 1 kgm/s c) Quantité de mouvement d'un système constitué de plusieurs solides

La quantité de mouvement d'un système constitué de plusieurs solides est la somme vectorielle des quantités de mouvement des solides qui constituent le système.

Si le système est formé par n solides sa quantité de mouvement est:

1 2 np p p ... p

4. Conservation de la quantité de mouvement

a) Loi de conservation pour un système (pseudo)isolé

Pour un système (pseudo)isolé, la vitesse v du centre d'inertie ne varie pas (principe d'inertie). La masse du système est également invariable. Donc: p mv

ne varie pas!

La quantité de mouvement d'un système (pseudo)isolé est conservée (est constante, ne varie pas).

Cette loi de conservation est universelle : elle est vérifiée pour tous les systèmes (pseudo)isolés qu’on a pu trouver. C’est une loi fondamentale de la physique. Elle est équivalente au principe d’inertie.

Elle exprime, par exemple, que la quantité de mouvement d’un système (pseudo)isolé composé de deux mobiles n’est pas modifiée par un choc.

16

b) Application 1 : explosion d'un système en deux fragments

Système étudié : masses m1 et m2 sur un rail

Référentiel : Terre

Repère : axe Ox

Forces extérieures : poids P

et réaction du rail R

Ces forces se compensent : le système est pseudo-isolé

Conservation de p : i fp p

ip 0

f 1 1 2 2p m v m v (définition 2 c)

Projection sur l’axe Ox pix = pfx (coordonnées) pix = 0 pfx = –m1v1 + m2v2 Donc : 0 = –m1v1 + m2v2 Et : m1v1 = m2v2. On retrouve le résultat de l’expérience !

17

c) Application 2 : choc inélastique (avec perte d'énergie)

Un chariot 1 en mouvement avec la vitesse v1 heurte un chariot 2 au repos (v2 = 0). Au moment du choc les deux chariots restent accrochés l'un à l'autre et ont la vitesse v'.

Système étudié : les deux chariots de masses m1 et m2

Référentiel : Terre

Repère : axe Ox

Forces extérieures : poids P

et réaction R

Ces forces se compensent : le système est pseudo-isolé

Conservation de p : i fp p

i 1 2 1 1 1p p p p m v

f 1 2p p ' m m v '

Projection sur l’axe Ox pix = pfx (coordonnées) pix = m1v1 pfx = (m1+m2)v Donc : m1v1 = (m1+m2)v'

d) Application 3 : choc de deux mobiles sur un plan

Système étudié : 2 mobiles de masses m1 et m2

Référentiel : Terre

Repère : système d’axes Ox et Oy

Forces extérieures : poids des mobiles et réaction du plan Ces forces se compensent : le système est pseudo-isolé

18

Conservation de p : i fp p

Projection sur les axes : pix = pfx piy = pfy

Application numérique : p1 = 0,8 kgm/s ; p2 = 1,0 kgm/s ; l’angle entre 1p et 2p vaut 90° ; l’angle entre 2p et 1p ' est nul ; l’angle entre 1p ' et 2p ' vaut 60°.

m1

Situation initiale

m2

p1

p2

p=p +pi 1 2

m1

Situation finale

m2

p'1

choc

p =p' +p'f 1 2

p1

p2

p'1

p'2

p'2

O

y

x

O x

y

choc

pix = _________________________ piy = _________________________

pfx = _________________________ pfy = _________________________

(Résultats : p’1 = 0,924 kgm/s et p’2 = 0,538 kgm/s)

Calculer les vitesses sachant que m1 = 450 g et m2 = 600 g.

Calculer l’énergie cinétique avant et après le choc ! Conclusion !

(Résultats : Eci = 1,54 J ; Ecf = 1,03 J)

19

Petites questions de compréhension Q1 Une roche éclate en 2 fragments dont l'un est 3 fois plus lourd que l'autre. Que peux-

tu dire de leurs vitesses? Q2 Nous sommes en été. Il fait chaud et vous vous trouvez sur une barque au milieu d'un

lac. Pour vous rafraîchir vous sautez de la barque dans l'eau fraîche. Que se passe-t-il? Q3 Une voiture commandée à distance est immobile sur une planche en bois reposant sur

des tiges cylindriques placées perpendiculairement à la direction de déplacement de la voiture. Que se passe-t-il lorsque la voiture se met en mouvement?

Q4 Expliquer le principe de propulsion d'une fusée, d'une barque à rames, d'un avion à

hélice, d'un nageur, d'un plongeur muni de palmes, d'un poulpe

20

Les 3 principes de Newton

1. Rappels sur les forces

Rappel 1 : On appelle force toute cause capable de: modifier le mouvement d’un corps; de déformer un corps.

Rappel 2 : Une force est une grandeur vectorielle. Une force est donc représentée par son vecteur dont les caractéristiques sont :

direction : droite d’action de la force = droite sur laquelle la force agit; sens : sens dans lequel la force agit; norme : intensité de la force; point d’application : point du corps auquel la force s’exerce.

Rappel 3 : L’effet d’une force ne change pas si l’on fait glisser la force sur sa droite d’action.

Rappel 4 : Une force est toujours exercée par un corps sur un autre corps, ou bien par une partie d’un corps sur une autre partie d’un corps. On distingue des forces de contact et des forces à distance. On distingue également des forces localisées et des forces réparties.

Exemples :

Forces de contact : force de tension d’une corde, force de transmission d’une tige, force pressante d’un solide, d’un liquide ou d’un gaz, force de frottement d’un solide, d’un liquide ou d’un gaz.

Forces à distance : poids (force de gravitation), force électrique, force magnétique.

Forces localisées : force de tension d’un fil ou d’un ressort.

Forces réparties : poids, forces pressantes, forces de frottement.

Une force n’est jamais exercée par un corps sur soi-même ! D’après le rappel 1, un corps ne peut donc pas se mettre soi-même en mouvement ou se déformer soi-même.

Rappel 5 : On appelle résultante R

de plusieurs forces 1F

, 2F

, 3F

,.., s’exerçant sur un corps, la force R

qui, s’exerçant sur le même corps, a le même effet que les forces 1F

, 2F

, 3F

, ... ensembles.

i

i321 F...FFFR

21

Rappel 6 : Une force F

peut être décomposée en deux composantes 1F

et 2F

dont les directions sont données. Les deux forces 1F

et 2F

ensembles ont alors le même effet que leur résultante F

: 1 2F F F

.

Rappel 7 : Un corps ponctuel est en équilibre ( = au repos) si la résultante des forces s’exerçant sur lui est nulle. F 0

. Les forces se compensent mutuellement.

S’il n’y a que deux forces alors ces forces ont des directions confondues, des sens opposés et des intensités égales : 1 2F F F 0

1 2F F

F1 = F2

Dans le cas de 3 forces, en plus de la condition F 0

, les forces sont concourantes et coplanaires.

22

2. Rappel : énoncé du principe d’inertie (1er principe de Newton)

Si un système n’est soumis à aucune force ou s’il est soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle, alors le centre d’inertie G du système décrit un mouvement rectiligne et uniforme.

Remarques :

Le principe englobe le cas particulier du repos qui peut être considéré comme MRU avec vitesse nulle.

Dans la réalité, un corps soumis à aucune force n’existe pas. Le principe d’inertie s’appliquera donc toujours à des systèmes où les forces se compensent mutuellement pour donner une résultante nulle.

3. Rappel : énoncé du principe des actions réciproques (3e principe de Newton)

Si un corps A exerce une force F

A/B sur un corps B, alors le corps B exerce également une force F

B/A sur le corps A tel que F

A/B = F

B/A.

Exemples de forces réciproques :

L’attraction de la Terre sur la Lune et celle de la Lune sur la Terre

Force de propulsion du fusil sur la balle et force de la balle sur le fusil (recul du fusil)

La force de traction d’une voiture sur sa remorque et la force de freinage de la remorque sur la voiture

La force exercée par les pieds d’une personne sur le sol et celle du sol exercée sur les pieds (réaction du sol)

La force de frottement exercée par la route sur les pneus d’une voiture et la force de frottement des pneus sur la route (discuter l’effet de ces forces lors du freinage et lors du démarrage de la voiture)

Que penser de l’affirmation « il est impossible de créer une seule force » ? En fait, dès qu’une force survient, sa force réciproque survient en même temps !

23

4. Le principe fondamental de la dynamique (2e principe de Newton). Etude expérimentale

a) Dispositif expérimental

Le système composé d'un chariot de masse M1 et d'un corps descendant de masse M2 est accéléré sous l'action de la force constante

2F M g .

Le système de masse totale M = M1 + M2 prend donc une accélération a qu'il s'agit de déterminer.

b) Mesures et calculs

Le microprocesseur VELA effectue les mesures et calculs suivants :

1. Il déclenche son chronomètre à l’instant où le bord droit de C1 passe devant la cellule photoélectrique. Cet instant correspond donc à l'instant initial t0 = 0.

2. Il mesure la durée de passage t1 de C1 devant la cellule photoélectrique. Connaissant la largeur de C1 (= 5 cm) il calcule la vitesse moyenne de C1 au cours de l'intervalle t1. Comme t1 est très faible nous assimilons cette vitesse moyenne à la vitesse instantanée v1x du chariot à l'instant t1, milieu de l'intervalle de temps t1 :

2t

t 11

3. Il mesure la durée de passage t3 de l'espace entre C1 et C2 (= 5 cm) devant la cellule photoélectrique.

4. Il mesure la durée de passage t2 de C2 devant la cellule photoélectrique. Connaissant la largeur de C2 (= 5 cm) il calcule la vitesse moyenne de C2 au cours de l'intervalle t2.

24

Comme t2 est très faible nous assimilons cette vitesse moyenne à la vitesse instantanée v2x du chariot à l'instant t2, milieu de l'intervalle de temps t2 :

2t

ttt 2312

.

5. Il affiche les vitesses v1x et v2x ainsi que l'intervalle de temps entre ces 2 vitesses : t = t2 t1.

6. L'accélération du chariot est tvv

tv

aa x1x2xx

c) Résultats

1) M et F restent constants. Nous déterminons l’accélération à différentes positions du banc à coussin d’air.

Nous trouvons qu’elle a partout même valeur. Le mouvement du chariot est donc un mouvement rectiligne uniformément varié.

2) M reste constant. Nous déterminons l'accélération a pour plusieurs valeurs différentes de l'intensité de la force F

.

F v1x v2x t a F/a (N) (m/s) (m/s) (s) (m/s2) (Ns2/m)

Pour une masse constante, l'accélération prise par le mobile est proportionnelle à l'intensité de la force accélératrice.

25

3) F reste constant. Nous déterminons l'accélération pour plusieurs masses M1 différentes, donc pour des masses M différentes.

M v1x v2x t a Ma (kg) (m/s) (m/s) (s) (m/s2) (kgm/s2)

Pour une force accélératrice constante, l'accélération prise par le mobile est inversement proportionnelle à sa masse.

d) Conclusion

On a donc :

a ~

1m pour F = constant

a ~ F pour m = constant a ~

Fm

Fm

a = k (k = constante de proportionnalité)

F = kma

e) Unité S.I. : le newton (N)

Les unités kg, m et s (= unités qui interviennent dans celles de la masse et de l’accélération) sont parfaitement définies !

1 seconde = la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la

transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'étalon de Caesium 133.

1 kilogramme = la masse d'un objet dénommé kilogramme-étalon et conservé au

Pavillon de Breteuil à Sèvres.

26

1 mètre = la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant le

temps 1

299 792 458 s.

En établissant le Système International d'unités, les physiciens ont convenu de donner à la constante k une valeur égale à 1, ce qui définit l'unité pour la force :

1 newton = la force qui appliquée à un corps de masse 1 kg, provoque chez ce

corps une accélération de 1 m/s2. Ou bien :

1 newton = la force qui appliquée à un corps de masse 1 kg, provoque chez ce

corps une variation de la vitesse de 1 m/s chaque seconde. f) Force et quantité de mouvement

Or a: f iv mv mv pF ma mt t t

La force est égale à la variation de la quantité de mouvement par seconde.

27

5. Le principe fondamental (2e principe de Newton). Enoncé et applications a) Enoncé et relation vectorielle

F m a

ou bien pFt

Si un système de masse totale m est soumis à des forces extérieures de résultante F

alors le centre d'inertie G du système a une accélération a , tel que:

Ou bien : Si, au cours d’une durée t, un système est soumis à des forces extérieures de résultante F

, alors sa quantité de mouvement varie de p , tel que :

pF m at

Remarque importante : Le principe se lit aussi dans l’autre sens :

Si un système de masse totale m a une accélération a , alors il subit des forces extérieures de résultante F

, tel que :

Ou bien : Si, au cours d’une durée t, un système subit une variation de la quantité de mouvement de p , alors il est soumis à des forces extérieures de résultante F

, tel que :

pF m at

28

b) Remarque : forces extérieures, forces intérieures

Une force extérieure est une force exercée sur le système par un corps qui ne fait pas partie du système. Une force intérieure est une force exercée par une partie du système sur une autre partie du système.

c) Normes. Coordonnées

La norme de la résultante est reliée à la norme de l'accélération par la relation : F m a

Si on n’a qu’une seule force F

, F

= F, on a F ma

Si on a plusieurs forces, F

(norme de la somme) est en général différent de F (somme des normes) ! Dans ce cas, on projette les vecteurs F

et a sur les axes Ox et Oy du repère et on

applique les relations entre les coordonnées des vecteurs.

x xF ma , y yF ma

d) Exemple 1: accélération d'une voiture Une voiture, de masse 1 t, se trouve initialement au repos en haut d’une route de pente de 5% (5m de descente pour 100 m de parcours réel), longue de 200 m. Le chauffeur lâche le frein à main et débraye. Le frottement de la route vaut 100 N, la résistance de l’air 50 N. Déterminer la durée de la descente.

Solution :

* Système étudié : voiture

* Référentiel : route (Terre)

* Repère : indiqué sur la figure

* Forces extérieures : poids P

, réaction de la route R

, force totale de frottement totale F

* Principe fondamental : F m a

* Projection sur les axes : x x xF ma Psin F ma

y y yF ma R P cos ma

29

Exploitation des équations :

Le mouvement est rectiligne, le long de l’axe Ox. Donc ay = 0. On en déduit R si nécessaire !

L’accélération est parallèle à Ox et orientée dans le sens de Ox (sinon la voiture ne se mettrait pas en mouvement).

xPsin F mgsin F Fa gsin

m m m

Comme ay = 0 et ax > 0, a = ax ! (Norme de a = coordonnée selon Ox de a )

L’accélération a est constante au cours du temps : le mouvement est rectiligne et uniformément varié (MRUV) !

Supposons qu’à t = 0, la voiture se trouve à l’origine de l’axe Ox, et commence à descendre la route. A l’arrivée x = 200 m.

Déterminons la durée de la descente :

Relation entre x et t pour le MRUV : 0x02

x xtvta21x

vox = 0 : 2x

x

1 2xx a t t2 a

Application numérique : sin 0,05 ; ax = 0,34 m/s2 ; t = 34,3 s.

La méthode appliquée dans cet exercice est générale ! On l’appliquera dans les exercices, sauf cas triviaux.

30

e) Exemple 2: accélération d’un corps en chute libre

La seule force s’exerçant sur un corps en chute libre est le poids gmP

F ma

se réduit à ga amgm

Conclusion : L’accélération d’un corps en chute libre est égale à g !

En l’absence de frottement, tous les corps ont même mouvement de chute libre, indépendamment de leur masse et de leur forme !

f) Exemple 3 : Choc de deux corps

Considérons le choc d’un corps 1 de masse m1 avec un corps 2 de masse m2. Le système formé par les 2 corps est pseudo-isolé. Pour simplifier nous admettrons que les forces d’interaction (force du corps 1 sur le corps 2 1 2F

et celle du corps 2 sur le corps 1 2 1F

) sont

constantes durant la durée t de contact.

Les quantités de mouvement des 2 corps avant et après le choc sont indiquées sur la figure schématique.

Etat initial

Choc

Etat finalp '1

p1

p '2

p2

F2 1

F1 2

1 2

1 2

1 2

xO

O

O

x

x

Appliquons le principe fondamental pour chacun des 2 corps !

Corps 1 : '

1 1 12 1

p p pFt t

(1)

Corps 2 : '

2 2 21 2

p p pFt t

(2)

31

Appliquons le principe fondamental pour le système des 2 corps !

pF 0 p 0 p conservét

(principe d’inertie)

Or : 1 2 1 2p p p 0 p p (3)

(1), (2) et (3) 1 2 2 1F F

(principe des actions réciproques)

Application numérique : p1 = 1 kgm/s ; p2 = 3,5 kgm/s ; F12 = 200 N ; t = 0,015 s. Calculer p’1 et p’2 !

Solution :

Projetons (1) sur l’axe Ox : 1x 1x 1x

2 1x 1x 1x 2 1xp p ' p kgm kgmF p ' p F t (1 200 0,015) 2,0t t s s

Projetons (2) sur l’axe Ox : 2x 2x 2x

1 2x 2x 2x 1 2xp p ' p kgm kgmF p ' p F t ( 3,5 200 0,015) 0,5t t s s

g) Remarques importantes

1. Le principe d’inertie et le principe des actions réciproques se déduisent du principe fondamental. Si la résultante de toutes les forces sur un corps est nulle (système pseudo-isolé),

alors : F m a 0 a 0

et p conservé Gv conservé (la masse ne changeant

pas) Le centre d’inertie G du système décrit un mouvement rectiligne uniforme La quantité de mouvement du système est conservée.

Pour un système pseudo-isolé constitué de deux corps en interaction,

1 21 2 1 2 2 1 1 2

p p pF 0 p 0 p p p p 0 F Ft t t

La force exercée par le corps 1 sur le corps 2 est de même direction, de même norme et de sens opposée que la force exercée par le corps 2 sur le corps 1 Si un corps 1 exerce une force sur un corps 2, alors le corps 2 exerce aussi une force sur le corps 1, de même norme, de même direction mais de sens contraire.

2. Il est absolument nécessaire de préciser le système considéré !

32

6. Interprétation de la masse : inertie

Le principe fondamental met en évidence que :

Plus la masse d'un système est élevée, plus l'accélération prise par le système est petite, c'est-à-dire, plus le système a des difficultés à modifier son mouvement, c'est-à-dire, plus l'inertie du système est importante.

L'inertie d'un système est une propriété que possède le système, parce qu'il possède une masse, de résister aux modifications de mouvement, de conserver son mouvement en ligne droite et à vitesse constante si aucune force n’agit.

La masse est une mesure de l'inertie du système !

L'inertie du système ne dépend pas du poids mais uniquement de la masse. En effet, quelque part dans l'univers où le poids est nul, l'inertie d'un système est la même que sur la Terre !

Pourquoi confond-on souvent masse et poids ?

Parce qu’en un même lieu, le poids et la masse d’un corps sont proportionnels.

Effet d’inertie lorsque la vitesse varie (en direction et en norme)

Tout le monde sait qu’on est déporté vers la droite debout dans un bus en train de prendre un virage vers la gauche.

Ce phénomène n’est pas dû à une « mystérieuse force centrifuge », mais est une manifestation de l’inertie !

En fait, tout corps a tendance à poursuivre son mouvement en ligne droite à vitesse constante. Pour vous permettre de prendre, à l’intérieur du bus, votre virage vers la gauche, la résultante de toutes les forces extérieures vous tire vers la gauche. Pour cela vous devez vous tenir aux barres et aux mains courantes, qui, ensemble avec votre poids et la réaction du plancher sur vos chaussures, vous tireront vers la gauche. Ceci vous procure la sensation « d’être soumis à une force qui vous tire vers la droite, c. à d., vers l’extérieur du virage ».

Les non-scientifiques évoquent souvent la notion de « force centrifuge ». Or, celle-ci en tant que force exercée par un corps sur un autre corps, n’existe tout simplement pas ! (Qui l’exercerait ? Quelle serait sa force réciproque ?) On parle d’un effet centrifuge, ou mieux encore d’un effet d’inertie.

De même, il n’y a pas de force s’exerçant sur vous, lorsque vous êtes projetés vers l’avant dans un bus freinant vigoureusement, ou bien lorsque vous êtes pressés contre le siège dans un avion en train d’accélérer sur la piste d’envol. Ces manifestations sont également des effets d’inertie.

33

Exercices supplémentaires 1. Calculer la force motrice nécessaire pour accélérer en 30 s un avion de masse 10 t à partir

du repos jusqu'à la vitesse de 216 km/h. Tenir compte d'une résistance de l'air moyenne de 1000 N !

2. Une voiture de masse 1 t est garée en haut d’une côte faisant un angle de 10° avec

l’horizontale. Soudain le frein à main cède et la voiture commence à descendre la côte. On néglige les frottements dus au sol et à l’air.

a) Faire le bilan et un schéma des forces extérieures appliquées à la voiture.

b) Calculer l’accélération de la voiture.

c) Quelle est la vitesse de la voiture après 10 m ?

Reprendre l’exercice en tenant compte de la force de frottement (sol + air) dont l’intensité vaut 500 N.

3. Comment est-il possible qu'un moustique puisse battre des ailes plus de 1000 fois par

seconde alors que vous-même ne pouvez effectuer qu'à peine deux aller-retour avec votre bras pendant le même temps bien que vous soyez beaucoup plus fort ?

4. Une voiture de masse 800 kg monte à une vitesse constante de 60 km/h une côte de 10 %

(dénivellation 10 m pour 100 m de parcours).La force de frottement est constante et égale à 500 N.

a) Faire le bilan et un schéma des forces extérieures appliquées à la voiture.

b) Calculer l’intensité de la force motrice.

c) Le chauffeur retire son pied de la pédale de vitesse. Calculer l’accélération de la voiture. Après combien de mètres la voiture va-t-elle s’arrêter ?

34

Mouvement d'une particule soumise à une force centrale. Gravitation

1. Particule en mouvement circulaire uniforme

Il a été établi plus haut que :

Un corps de masse m, en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v (de

vitesse angulaire ), a une accélération centripète a de norme 2

2 va rr

.

D'après le principe fondamental de Newton, un corps de masse m, animé d'une accélération a est soumis à une seule force ou à un ensemble de forces de résultante F

, suivant la relation :

F ma

Conclusion :

La résultante de toutes les forces s'exerçant sur un corps en mouvement circulaire uniforme

est centripète et de norme 2

2 vF ma mr mr

Exemple :

Masse m suspendu à un fil en mouvement circulaire uniforme ; soumis à deux forces, la tension T

du fil et le poids P

. (Le fil fait un angle constant avec la verticale.) La résultante

de ces deux forces est constamment centripète, colinéaire à l'accélération de la masse m.

35

2. Loi de Newton de la gravitation

a) Force d’interaction gravitationnelle

En analysant les mouvements planétaires, Newton a pu montrer que la forme elliptique des trajectoires observées résulte d'une force

* dirigée vers le centre du soleil * d'intensité inversement proportionnelle au carré de la distance à ce centre.

Cette constatation l'a amené à généraliser cette conclusion et à formuler la loi d'attraction des masses qui est une propriété universelle de la matière :

Deux particules matérielles ponctuelles A et B de masses respectives mA et mB, situées

l'une de l'autre à la distance r, s'attirent mutuellement avec une force d'intensité

2BA

Asur BBsur A rmm

KFF

* F

A sur B est la force gravitationnelle que A exerce sur B. F

B sur A est la force gravitationnelle que B exerce sur A.

D'après le principe de l'action et de la réaction : Asur BBsur A FF

* K est la constante de gravitation universelle qui vaut K = 6,671011 Nm2/kg2

* Remarque : Cette formulation de la loi de Newton ne s’applique qu’à des masses ponctuelles ; cependant on démontre qu'une sphère homogène de masse m et de rayon R équivaut à un point matériel se trouvant au centre de la sphère et dont la masse est égale à m. Ceci est notamment le cas pour la plupart des corps célestes.

b) Forme vectorielle

Soit ABu un vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B. Les forces attractives

qui s’exercent entre les deux masses ponctuelles s’expriment par

AB2BA

Asur BBsur A urmm

KFF

36

3. Champ de gravitation

a) Qu’est-ce qu’on entend par champ de gravitation ?

Un champ de gravitation est une portion de l'espace où une masse m est soumise à une force de gravitation F

.

b) Définition du vecteur champ de gravitation

G

Le vecteur champ de gravitation en un point de l’espace est caractérisé par le vecteur G

égal à la force de gravitation par kg de masse placée en ce point. Unité S.I. de G : N/kg.

mFG

Norme : FGm

F=mG

m > 0, donc G a même direction et sens que

F .

Le vecteur champ G est une caractéristique du point considéré ; il est indépendant de la

masse m qui est placée en ce point. c) Champ de gravitation créé par une masse ponctuelle (ou par un corps sphérique

homogène)

Considérons une grande masse ponctuelle M située en un point A (ou bien un corps sphérique de rayon R, de masse M et de centre A). La masse M crée un champ de gravitation autour d’elle !

Plaçons (par la pensée) dans ce champ une petite masse m en un point B situé à la distance r du point A. La masse m se trouve dans le champ créé par la masse M et subit une force de gravitation F

:

AB2 ur

MmKF ( ABu un vecteur unitaire dirigé de A vers B)

G au point B :

mFG

AB2 urMKG

Norme : 2

MG Kr

37

d) Champ de gravitation de la Terre (supposée être une sphère homogène)

L’intensité du champ de gravitation de la Terre (ou de tout autre corps céleste) diminue lorsqu’on s’éloigne du centre C de la Terre. Soit R le rayon et M la masse de la Terre ; considérons un point P situé à l’altitude z au-dessus de la surface terrestre.

En P: r = R + z

G = K 2z + R

M (1)

A la surface de la Terre, z = 0 : 0 2

MG KR

(2)

(1) et (2) 2

2

0 z)(RRGG

e) Remarque : Champ de gravitation et champ de pesanteur

On ne fait généralement pas de distinction entre la force d'attraction de la Terre : F

= m G

(G : intensité du champ de gravitation)

et le poids : P

= m g (g : intensité du champ de pesanteur ou accélération de chute libre)

La détermination de g par la chute libre se fait dans un repère terrestre, qui, à cause de la rotation de la Terre, n'est pas galiléen ; il s’en suit qu’en toute rigueur G

g . Mais

comme la vitesse angulaire de la Terre est relativement faible, ces deux forces sont pratiquement identiques et on peut écrire en première approximation : g G

A la surface d’une Terre sphérique (masse terrestre = 5,9742 1024 kg, rayon terrestre moyen = 6371 km) G0 = 9,82 N/kg.

A cause de la rotation terrestre et de l’aplatissement de la Terre (rayon polaire = 6357 km, rayon équatorial = 6378 km), go varie avec la latitude du lieu : équateur : g0 = 9,78 m/s2 ; Luxembourg : g0 = 9,81 m/s2 ; aux pôles g0 = 9,83 m/s2 (Unités : m/s2 ou N/kg).

38

4. Mouvement des planètes et satellites : Lois de Kepler

Partisan du système de Copernic qu’il voulait démontrer en le confrontant à des observations précises, Kepler constata que les trajectoires des planètes ne sont pas circulaires mais elliptiques.

a) Première loi

Les trajectoires planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers. b) Deuxième loi

En des durées égales, les aires balayées par le segment qui joint le centre de la planète au centre du soleil sont égales.

2 1 4 3 1 2Si t t t t alors A A .

(On comprend aisément qu’à cause de la conservation de l’énergie mécanique totale du système « planète-Soleil », la vitesse de la planète est plus grande si sa distance au Soleil est plus petite !)

c) Troisième loi

Le carré de la période de révolution T d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de son orbite.

2 21 23 31 2

T T constantea a

39

(T1 : période d’une première planète de demi-grand axe a1 ; T2 : période d’une deuxième planète de demi-grand axe a2)

d) Remarque

Comme une trajectoire non rectiligne implique nécessairement la présence d’une force (principe d’inertie), Newton a pu déduire des lois de Kepler l’expression de la force d’interaction gravitationnelle. Il en déduisit d’ailleurs que sous certaines conditions des trajectoires paraboliques ou hyperboliques sont également possibles (ce qui est p.ex. le cas pour les certaines comètes).

5. Satellite en mouvement circulaire et uniforme

a) Données

Le cercle peut être considéré comme une ellipse particulière où les deux foyers sont confondus. Dans ce cas le grand axe et le petit axe sont égaux et correspondent au diamètre.

L’étude suivante se limite aux trajectoires circulaires, ce qui correspond en première approximation * aux orbites des satellites artificiels de

la Terre dans le référentiel géocentrique (constitué par le centre de la Terre et trois étoiles fixes bien déterminées) ;

* à la plupart des orbites planétaires dans le référentiel héliocentrique de Copernic (constitué par le centre du Soleil et les trois mêmes étoiles fixes).

On considère un satellite de masse m tournant autour d’un astre (Terre) de masse M sur un cercle de rayon r = R + z, avec R = rayon de l’astre et z = altitude.

Le centre de la trajectoire coïncide avec celui de l’astre.

40

b) Système. Référentiel. Repère

* Le système étudié est le satellite de masse m évoluant, avec une vitesse v, à la distance r par rapport au centre C de l'astre.

* Le référentiel dépend du cas qu'on étudie :

Cas d'un satellite artificiel de la Terre : référentiel géocentrique.

Cas d'une (petite) lune en mouvement autour d'une planète : référentiel constitué par le centre de la planète et les mêmes étoiles fixes que celles du référentiel géocentrique.

Cas d'une planète en mouvement autour du Soleil : référentiel héliocentrique de Copernic.

* Pour les mouvements circulaires on utilise de préférence le repère de Frenet (expressions mathématiques plus simples).

c) Forces extérieures

Uniquement la force gravitationnelle F

dirigée vers le centre de l'astre : ur

MmKF 2

d) Accélération

Principe fondamental : amF amu

rMmK 2

GurMKa 2

Projection sur l'axe tangentiel : 0a T (1)

Projection sur l'axe normal : 2N rMKa (2)

e) Vitesse

(1) 0dt

dvT vT = v = constant

Conclusion 1 : Le mouvement d'un satellite en orbite circulaire est uniforme.

Comme r

va2

N , (2) GrMK

rv

2

2

rGr

KMv

41

Or : 2

2

0 z)(RRGG

et : zRr

On obtient : zR

GR

zRKMv 0

Conclusion 2 :

La vitesse d'un satellite est indépendante de la masse du satellite. Elle dépend par contre de la masse de l'astre central et de la distance du satellite par rapport au centre de cet astre.

zRG

RzR

KMv 0

f) Période de révolution

La période de révolution est le temps que met le satellite pour effectuer un tour complet sur sa trajectoire ; la distance parcourue vaut : s = 2r = (R+z)

v

zR2v

r2T

Finalement :

0

33

G)zR(

R2

KMzR2T

g) Cas particulier : satellite géostationnaire

Pour un satellite terrestre tournant dans le plan de l'équateur, on peut calculer l'altitude z pour que T = 23 h 56 min 4 s (période de rotation terrestre = jour sidéral). Dans ce cas, la période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la Terre. Alors le satellite reste toujours à la verticale d’un point de l’équateur et paraît donc immobile dans le référentiel terrestre. Le satellite est dit géostationnaire.

2 2703

2

T R GR z 4, 22 10 m4

7 6 7z 4, 22 10 6,4 10 m 3,58 10 m

On trouve pour l'altitude z du satellite à peu près 36000 km.

Pourquoi n’y a-t-il pas de satellite géostationnaire placé à la verticale de Luxembourg ? (Quel doit être le centre de sa trajectoire circulaire ?)

42

h) La troisième loi de Kepler est valable pour les satellites

Elevons la relation précédente au carré :

KMr4

KMzR4T

32

322

KM4

rT 2

3

2 = constante

o2

32

o2

322

GRr4

GR)zR(4T

02

2

3

2

GR4

rT

= constante

Le carré de la période de révolution d'un satellite est proportionnel au cube du rayon de son orbite.

Cette formule s'utilise en astronomie pour déterminer la masse M d'un astre à partir de la période de révolution d'un satellite.

43

Mouvement dans un champ de force constant

1. Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

a) Données

Un projectile, de masse m est lancé dans le champ de pesanteur g avec une vitesse initiale de lancement 0v . Ce vecteur fait avec l'horizontale un angle aigu appelé angle de tir.

Dans la suite on n'étudiera que des mouvements de vitesse initiale faible. Les dimensions de la trajectoire restent alors négligeables par rapport au rayon de la Terre ce qui permet de considérer le champ de pesanteur comme uniforme : g est constant en direction, sens et intensité.

Caractéristiques du champ de pesanteur uniforme g : direction : verticale sens : vers le bas norme : g = 9,81 m/s2 = constant

(Pour des mouvements de longue portée il faudra tenir compte : - du changement de direction de g en raison de la courbure de la Terre - de la variation de l'intensité de g avec l'altitude.)

De plus, si la vitesse du projectile reste faible on pourra négliger le frottement de l'air par rapport au poids.

b) Système. Référentiel. Repère

* Le système est le projectile de masse m.

* Le référentiel est celui de la Terre.

* L’origine O du repère cartésien ne coïncide pas forcément avec le point de lancement du projectile. L’axe Ox (défini par i

) est horizontal et est contenu dans le plan vertical contenant 0v .

L’axe Oy (défini par j ) est vertical et dirigé vers le haut.

On verra dans la suite qu’on n’a pas besoin du troisième axe Oz (horizontal et perpendiculaire au plan Oxy) car le mouvement se déroule uniquement dans le plan Oxy.

44

c) Conditions initiales

* Position initiale : A t = 0 : 0OM

: x0 = 0 (par exemple)

y0 0 (le projectile part à une altitude quelconque) z0 = 0

* Vitesse initiale :

A t = 0 : 0v forme avec l'axe Ox un angle de tir tel que 0 < < 2

0v : 0x 0v v cos

0y 0v v sin

0zv 0 (à cause du choix des axes Ox et Oy !)

d) Forces extérieures

Seule force extérieure : poids P du projectile.

(Nous avons négligé le frottement !)

45

e) Accélération

Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :

amgmamP

amF

ga

Conclusion :

L’accélération est un vecteur constant dont la norme est indépendante de la masse du projectile. Sa norme est égale à l’intensité de la pesanteur.

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Ox : 0a x (1)

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Oy : ga y (2)

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Oz : za 0

Remarque :

Comme il n’y a ni accélération, ni vitesse initiale suivant Oz, il n’y aura pas de mouvement suivant cet axe. Il nous reste à étudier le mouvement suivant Ox et Oy !

f) Vitesse

Comme dt

dvaet

dtdva y

yx

x , les coordonnées de la vitesse sont les primitives des

coordonnées de l’accélération.

A partir de (1) on obtient : Cv x (3) Condition initiale : t = 0 cosvv 0x Remplaçons dans (3) cosvC 0 . Donc : cosvv 0x (4) Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Ox est un mouvement uniforme.

A partir de (2) on obtient : Cgtv y (5) Condition initiale : t = 0 vy = v0sin. Remplaçons dans (5) C = v0sin. Donc : sinvgtv 0y (6)

Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Oy est un mouvement uniformément varié.

46

g) Position (équations paramétriques du mouvement)

Comme dtdyet v

dtdxv yx , les coordonnées de la position sont les primitives des

coordonnées de la vitesse.

A partir de (4) on obtient : Ctcosvx 0 (7)

Condition initiale : t = 0 x = x0 = 0. Remplaçons dans (7) C = 0. Donc : tcosvx 0 (8)

A partir de (6) on obtient : Ctsinvgt21y 0

2 (9)

Condition initiale : t = 0 y = y0.

Remplaçons dans (9) C = y0. Donc : 20 0

1y gt v sin t y2

(10)

h) Equation cartésienne de la trajectoire

(8)

cosvxt

o

Dans (10) 202 2

o

gy x x tan y2v cos

(11)

C'est l'équation d'une parabole. i) Position du point d'impact P sur le sol

Pour P, y = 0. Remplaçons dans l'équation (11): 202 2

o

g x x tan y 02v cos

(12)

Cette équation du deuxième degré a en principe deux racines.

j) Position du point d'impact P au cas particulier où y0 = 0

L'équation (12) s'écrit maintenant : 0cossinx

cos2vgx 22

o

Il faut donc que : soit x = 0, soit 0cossinx

cos2vg

22o

47

1ére solution : x1 = 0 (point de lancement)

2e solution : 2 2o o

2 P2v sin cos v sin 2x x

g g

(13)

* Remarque 1

La relation (13) permet de calculer pour une valeur donnée de v0 !

2o

P

vxg2sin

Cette équation trigonométrique admet deux solutions 1 et 2 telles que : 2 = 21

ou bien : 2 = 2

1

Conclusion : Pour une valeur donnée de v0, une même portée xP est atteinte pour deux angles de tir différents (si est différent de 0o, 45o et 90o). Ces deux angles sont complémentaires.

* Remarque 2

xP dépend de l'angle de tir; pour une valeur donnée de v0 elle est maximale si :

sin 2 = 1 2 =

2

= 4

Conclusion : Pour une valeur donnée de v0, la portée xP est maximale pour = 45o.

k) Position du sommet S (altitude maximale atteinte)

En S, la coordonnée verticale du vecteur vitesse est nulle :

0y S 0 S

v sinv (S) 0 gt v sin 0 tg

Remplaçons dans (10): 2S S 0 S 0

1y gt v sin t y2

Lorsqu'on dispose de valeurs numériques, le calcul est en général simple !

48

l) Position du sommet S au cas particulier où y0 = 0

Dans ce cas : 0S

v sintg

gsinv

sinvgsinv

g21y 0

0

20

S

Finalement : 2gsinv

y22

oS

m) Tir réel

En présence du frottement de l’air, la trajectoire n’est plus symétrique et les valeurs yS' et de xP' sont nettement inférieures à celles qu’on vient de calculer.

49

2. Mouvement d'une charge dans un champ électrique uniforme

a) Données

A l’instant initial, une particule de masse m et de charge électrique q > 0 pénètre avec la vitesse 0v dans l'espace compris entre les armatures d’un condensateur plan, auxquelles on a appliqué une tension constante U = V V > 0.

La vitesse initiale 0v est contenue dans le plan perpendiculaire aux armatures.

Entre ces plaques s'établit un champ électrique uniforme E :

direction : perpendiculaire aux plaques sens : de la plaque + vers la plaque (vers les potentiels décroissants)

norme : constant dUE (d : distance entre les plaques)

Le mouvement a lieu dans le vide afin d’éviter les chocs avec d’autres particules. b) Système. Référentiel. Repère

* Le système étudié est la particule chargée.

* Le référentiel est celui du condensateur qui crée le champ électrique uniforme.

* Repère cartésien : L’origine O est le point par lequel la charge entre dans le champ. L’axe Oy (défini par

j ) est parallèle à E

(de même sens ou de sens contraire).

L’axe Ox (défini par i

), perpendiculaire à Oy, est tel que le plan Oxy contient 0v . On verra dans la suite qu’on n’a pas besoin du troisième axe Oz (perpendiculaire au plan Oxy) car le mouvement se déroule uniquement dans le plan Oxy.

50

c) Conditions initiales

* Position initiale : A t = 0 : Position : x0 = 0 y0 = 0 z0 = 0

* Vitesse initiale :

A t = 0 : 0v forme avec l'horizontale un angle tel que 0 < < 2

0v : cosvv 0x0

sinvv 0y0

0zv 0 (à cause du choix des axes Ox et Oy !) d) Forces extérieures

Force électrique EqF

Le poids est négligeable devant F . Il n’y a pas de frottement car le mouvement se fait dans le

vide. e) Accélération

Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :

amEq

amF

mEqa

Champ E

uniforme accélération a constante

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Ox : 0a x (1)

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Oy : yqa Em

(2)

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Oz : za 0

Remarque :

Comme il n’y a ni accélération, ni vitesse initiale suivant Oz, il n’y aura pas de mouvement suivant cet axe. Il nous reste à étudier le mouvement suivant Ox et Oy !

51

f) Vitesse

Comme dt

dvaet

dtdva y

yx

x , les coordonnées de la vitesse sont les primitives des

coordonnées de l’accélération.

A partir de (1) on obtient : Cv x (3) Condition initiale : t = 0 cosvv 0x Remplaçons dans (3) cosvC 0 . Donc : cosvv 0x (4)

Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Ox est un mouvement uniforme.

A partir de (2) on obtient : yqEv t Cm

(5)

Condition initiale : t = 0 vy = v0sin.

Remplaçons dans (5) C = v0sin. Donc : y 0qEv t v sinm

(6)

Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Oy est un mouvement uniformément varié. g) Position (équations paramétriques du mouvement)

Comme dtdyet v

dtdxv yx , les coordonnées de la position sont les primitives des

coordonnées de la vitesse.

A partir de (4) on obtient : Ctcosvx 0 (7)

Condition initiale : t = 0 x = x0 = 0. Remplaçons dans (7) C = 0. Donc : tcosvx 0 (8)

A partir de (6) on obtient : 20

1 qEy t v sin t C2 m

(9)

Condition initiale : t = 0 y = 0.

Remplaçons dans (9) C = 0. Donc : 20

1 qEy t v sin t2 m

(10)

52

h) Equation cartésienne de la trajectoire

(8)

cosvxt

o

Dans (10) 22 2o

qEy x x tan2mv cos

(11)

C'est l'équation d'une parabole. i) Particule au point de sortie S du champ : position, date, vitesse

* Abscisse du point S : sx (12)

(12) dans (11) 2

S 2 20

qEy tan2mv cos

* (12) dans (8) date tS de sortie du champ : S0

tv cos

(13)

* (13) dans (4) et (6) vitesse Sv de la charge à la sortie du champ :

Coordonnées : Sx 0v v cos

Sy 00

qEv v sinmv cos

Direction de Sv par rapport à l’axe Ox : Sy

Sx

vtan

v

j) Position du point le plus haut H

En H, la coordonnée verticale du vecteur vitesse est nulle :

0y H 0 H

v msinqEv (H) 0 t v sin 0 tm qE

Remplaçons dans (10) : 2H H 0 H

1 qEy t v sin t2 m

Lorsqu'on dispose de valeurs numériques, le calcul est en général simple !

53

3. Remarques importantes

1) Dans un champ de force constant, le mouvement d'un corps est en général parabolique. L'étude du mouvement se fait de la même manière aussi bien pour une masse m dans un champ de pesanteur g que pour une charge q dans un champ électrique E

.

2) Si la vitesse initiale est dirigée obliquement vers le bas, il faudra introduire un angle négatif dans toutes les formules ! Pour cos rien ne change, par contre sin deviendra négatif.

3) Dans le cas particulier où = 90°, le mouvement est rectiligne et uniformément varié suivant l'axe Oy. Etablir les formules à titre d'exercice !

4) Dans le cas d'une charge négative, toutes les formules restent valables. Il suffit de remplacer q par sa valeur négative. Dans ce cas l'accélération est dirigée vers le haut et la parabole est ouverte vers le haut.

54

Travail et puissance d'une force

1. Travail d’une force constante sur un chemin rectiligne

a) Force parallèle au déplacement

Déplacement rectiligne : s AB

Travail de F

= W( F

) : W(F) F pour s=constant W(F) s pour F=constant

W( F

) Fs

L’unité pour W( F

) est choisie tel que la constante de proportionnalité soit égale à 1! Le travail de la force F

s’écrit donc : W( F

) = Fs

b) Force perpendiculaire au déplacement

F

n’agit pas suivant le déplacement F

n’influence pas le mouvement Le travail de la force F

est nul : W( F

) = 0.

c) Force quelconque

= angle entre F

et s . On décompose F

en tF

(composante tangentielle au déplacement) et en nF

(composante

normale au déplacement). Donc : t nF F F

t nW(F) W(F ) W(F )

.

Or : W( tF

) = Fts = Fcoss et : W( nF

) = 0.

55

Finalement, le travail de la force F

au cours du déplacement s vaut : W( F

) = Fscos

On retrouve que si = 0, alors W = Fs, et si = 90°, alors W = 0 !

d) Définition du travail d’une force F

constante au cours d’un déplacement rectiligne s

W( F

) = Fscos = F s

Exemple : F = 3 N; s = 2 m; = 30°. Travail de F

: W( F

) = Fscos = 3 N2 mcos30° = 5,2 J.

e) Unité S.I. : le joule (J)

Pour = 0, si F = 1 N et s = 1 m, alors W( F

) = 1 Nm = 1 joule = 1 J.

f) Rappel : produit scalaire de deux vecteurs u et v

Soient u (ux, uy) et v (vx, vy), alors :

u v = uxvx + uyvy = uvcos ( = angle entre u

et v

)

g) Travail moteur et travail résistant

* 0° 90° cos 0 W 0 : travail moteur, car la force contribue au mouvement!

* = 90°

cos = 0 W = 0 : la force ne travaille pas!

56

* 90° 180° cos 0 W 0 : travail résistant, car la force s’oppose au mouvement!

2. Travail d’une force constante sur un chemin quelconque

Le corps se déplace de A vers B suivant 2 chemins différents : chemin rectiligne (1) et chemin curviligne quelconque (2). Il est soumis (entre autres) à la force constante F

.

Evaluons le travail de la force F

!

* suivant le chemin (1) : 1W F s

* suivant le chemin (2) : On subdivise le chemin en un très grand nombre n de très petits déplacements (déplacements élémentaires 1s

, 2s , 3s , ...,

ns ), et on calcule pour chacun de ces déplacements le travail. Le travail W2 de la force F

sur le chemin curviligne de A vers B

est égal à la somme de ces travaux élémentaires.

2 1 2 n

1 2 n

W F s F s ... F s

F ( s s ... s )

2W F s

On obtient cette même expression quelle que soit la trajectoire curviligne !

Conclusion Le travail d’une force F

constante est indépendant du chemin suivi entre le point de départ A et le point d’arrivée B :

ABW (F) F AB F AB cos

57

3. Exemple 1 : travail du poids d’un corps

a) Expression mathématique

* Corps transporté de A vers B vers le haut (par un opérateur, par exemple).

Considérons le repère d’axes Ox (axe horizontal) et Oz (axe vertical = axe des altitudes).

A = point initial = point de départ; B = point final = point d’arrivée.

Le poids P

est constant au cours du déplacement, donc son travail W( P

) est

indépendant du chemin suivi, et :

W(P) P AB

= PABcos. = PABcos() = PAC

Or AC = zB zA = zf zi = z > 0.

Donc : W( P

) = Pz = mgz < 0 (travail résistant) * Corps transporté de B vers A vers le bas.

W(P) P BA

= PBAcos = PBC

Or BC = zB zC = zi zf = z > 0.

Donc : W( P

) = Pz = mgz > 0 (travail moteur).

Conclusions

1. Quel que soit le déplacement, le travail du poids s’écrit :

W( P

) = Pz = mgz

2. W( P

) sur chemin AB = W( P

) sur chemin BA.

58

Remarque

La force nécessaire pour soulever, en ligne droite et à vitesse constante, un corps de poids P

est F

= P

(principe d’inertie!).

Cette force est exercée par un opérateur, par exemple. Ou bien elle est la résultante de plusieurs forces qui ont pour effet d’équilibrer le poids.

En tout cas : W( F

) = W( P

) = +mgz

4. Exemple 2 : travail de la tension d’un ressort a) Force nécessaire pour tendre un ressort

On définit un axe Ox des abscisses : Origine O : extrémité libre du ressort non tendu; Direction : parallèle à la direction de la tension T

;

Orientation tel que l’allongement x > 0. F

: force exercée par un opérateur sur le ressort, nécessaire pour tendre le ressort d’une longueur x.

T

: tension du ressort = force exercée par le ressort tendu sur l’opérateur = force de rappel qui tend à ramener le ressort dans son état non tendu.

Principe des actions réciproques : F

= T

Intensités : F = T Rappel de la loi de Hooke : T = kx où k est la raideur du ressort.

Unités S.I. : si F = 1 N et x = 1 m, alors k = 1 N/m.

Attention : Tconstant, T varie au cours du déplacement (T augmente si x augmente, T diminue si x diminue).

59

b) Expression mathématique du travail de la tension d’un ressort étiré à partir de son état non-déformé.

On tend le ressort de raideur k d’un point initial A d’abscisse xi = 0 (origine O = point A), jusqu’à un point final B d’abscisse xf > 0.

Afin de trouver le travail W T

utilisons la méthode graphique : Représentons l’intensité de la force de rappel du ressort T en fonction de l’abscisse x.

Comme la tension T

n’est pas une force constante sur le déplacement de A vers B, la relation

ABW (T) T AB

n’est pas valable.

On subdivise alors le déplacement de A vers B en un très grand nombre n de très petits déplacements élémentaires x1, x2, x3, ... xn, de longueur identiques. Sur chacun de ces déplacements élémentaires la force T peut être considérée comme constante, de sorte que la formule du travail d’une force constante peut être appliquée ( W(T) T s T s

) !

Ainsi sur le déplacement x1 de xi (= 0) vers x1, on considère que la tension reste constante de norme kxi (= 0). Sur ce premier déplacement élémentaire, le travail élémentaire effectué vaut donc W1 = kxi∙x1 (= 0) et 1W correspond à l’aire (1).

Sur le deuxième déplacement élémentaire x2 de x1 vers x2, la tension sera de nouveau constante de norme kx1 et le travail élémentaire effectué vaut donc W2 = kx1∙x2 et 2W correspond à l’aire du rectangle (2).

60

Sur le troisième déplacement élémentaire x3 de x2 vers x3, la tension sera de nouveau constante de norme kx2 et le travail élémentaire effectué vaut donc W3 = kx2∙x3 et 3W correspond à l’aire du rectangle (3).

On répète ceci pour les n déplacements.

Finalement sur le dernier déplacement élémentaire xn de xn-1 vers xn = xf, la tension sera de nouveau constante de norme kxf et le travail élémentaire effectué vaut donc Wn = kxn-1∙xn et nW et correspond à l’aire du rectangle (n).

Le travail total de la tension sur le déplacement de xi vers xf est égal à la somme de tous les travaux élémentaires: AB 1 2 nW (T) W W W3 W

. La valeur absolue de ce travail

correspond donc à la somme des aires des rectangles (1) jusqu’à (n).

Pourtant ce processus n’est valable que si le déplacement x est très petit et, à la limite, tend vers zéro, ce qui veut dire que n tend vers l’infini.

Dans ce cas, la somme des aires des rectangles tend vers l’aire du triangle ABC.

Ainsi on obtient ABW (T)

= aire du triangle ABC :

2f fAB f

kx x 1W T k x2 2

Comme nous additionnons des travaux élémentaires résistants, le travail total de la tension est résistant :

2AB f

1W T k x2

Remarque : La méthode est générale. La valeur absolue du travail d’une force correspond à l’aire en dessous de la courbe représentant l’intensité de la force en fonction du déplacement parallèlement à la force.

De même : représentation graphique du travail du poids P

:

On représente P = f(z)! Comme P est constant, la représentation de P = f(z) fournit une droite horizontale.

Le déplacement se fait de zi à zf.

W(P) mg z

correspond à l’aire en-dessous de la courbe P = f(z) et l’axe Oz, prise entre le point initial et le point final !

61

c) Expression mathématique générale du travail de la tension d’un ressort

* On tend le ressort d’un point initial d’abscisse xi = 0 (origine O), jusqu’à un point final d’abscisse xf > 0.

C’est la situation du paragraphe précédent !

L’aire entre la courbe T = f(x) et l’axe Ox pris entre xi et xf est égal à TW

!

2f

ff xk21

2xkx

TW

Or W( T

) résistant W( T

) < 0.

Donc : 2fxk

21TW

* On relâche le ressort d’un point initial d’abscisse xi 0, jusqu’à un point final d’abscisse

xf = 0 (origine O).

2i

ii xk21

2xkx

TW

Or W( T

) moteur W( T

) > 0, donc :

2ixk

21TW

* On tend le ressort d’un point initial d’abscisse xi 0, jusqu’à un point final d’abscisse

xf > xi.

2i

2f

iiff xxk21

2xkx

2xkx

TW

Or W( T

) résistant W( T

) < 0, donc :

2i

2f xxk

21TW

62

* On relâche le ressort d’un point initial d’abscisse xi 0, jusqu’à un point final d’abscisse xf < xi (xf 0).

2f

2i

ffii xxk21

2xkx

2xkx

TW

Or W( T

) moteur W( T

) > 0, donc :

2i

2f

2f

2i xxk

21xxk

21TW

Conclusion

Quel soit le déplacement de l’extrémité d’un ressort (et donc de sa tension), le travail de la tension du ressort s’écrit :

22i

2f xk

21xxk

21TW

c) Travail de la force nécessaire pour tendre le ressort

Cette force est la force F

= T

.

Donc : 22i

2f xk

21xxk

21TWFW

63

5. Puissance P d’une force constante a) Définition

* P = travail effectué par la force par seconde. Donc, si une force effectue un travail W pendant la durée t, sa puissance P vaut :

WΔt

P

* Si W < 0, alors P < 0; mais généralement on ne s’intéresse qu’à la valeur absolue de la puissance.

b) Unités S.I. : le watt (W)

Si W = 1 J et t = 1 s, alors P = 1 watt = 1 W.

c) Relation entre puissance et vitesse de déplacement du corps

Il faut que la force F

soit constante et que la vitesse v de déplacement soit constante (mouvement rectiligne uniforme) !

Dans ce cas : W( F

) = Fscos et : s = vt.

La puissance P de la force s’écrit alors : W F s cos F v t cosΔt t t

P

F v cosα F v P

d) Autre unité pour le travail : le kilowatt-heure (kWh)

On a : W = P t.

* Si P = 1 kW et t = 1 h, alors W = 1 kW1 h = 1 kWh.

* 1 kWh = 1000 W3600 s = 3,6106 J

kWh106,3

1J1 6

64

Energie mécanique d’un système 1. Concept général de l’énergie

Définition : L’énergie d’un système A caractérise sa capacité à modifier l’état d’un autre système B avec lequel il est en interaction.

On dit qu’au cours d’une telle modification il y a transfert d’énergie d’un système à l’autre.

L’énergie peut passer d’un système à l’autre par l’accomplissement d’un travail ; par échange de chaleur ; par échange de masse ; par rayonnement ; par un courant électrique.

Cela veut dire qu’une variation d’énergie d’un système se traduit par une modification de son état de mouvement ; une modification de sa forme ; une modification de sa masse ; une modification de son état thermique.

L’énergie, tout comme le travail, s’exprime en J.

65

2. Préliminaires pour l’étude de l’énergie mécanique

a) Choix du système

L'étude de l’énergie mécanique d'un corps de masse non négligeable se fera en définissant comme système : le corps de masse m dans le champ de pesanteur d'intensité g créé par la Terre. Ainsi les forces d’attraction réciproque P

et P

sont des forces intérieures !

On appelle champ de pesanteur la région proche d’une planète (d’une lune) où une masse m est soumise à un poids P

. Le vecteur champ de pesanteur g est défini par la relation :

Pgm

Remarque : Champ de pesanteur et champ de gravitation sont pratiquement synonymes.

De même, si le système comprend un corps de masse m (boule) attachée à un ressort, les forces d’interaction corps-ressort sont des forces intérieures.

66

b) Approximations

Normalement, on fait les approximations suivantes :

les corps matériels sont assimilés ou bien à des solides (véhicule, tige, bloc de bois, bille d’acier ne subissant pas de choc,...), ou bien à des corps parfaitement élastiques (ressort, balle super-élastique, fil tendu, bille d’acier subissant un choc avec une surface rigide, ...) ;

le poids des ressorts et des fils est négligé.

Souvent, nous supposerons que les forces de frottement sont négligeables. Au paragraphe 12, nous traiterons le cas avec frottement.

67

3. Travail des forces extérieures et variation de l’énergie mécanique

a) Cas du travail moteur

Si une force extérieure F

s’exerce sur un corps, et que le travail W de cette force est moteur (W > 0), la force F

contribue au mouvement et apporte donc de l’énergie mécanique au

corps! Cette augmentation de l’énergie mécanique E s’écrit E.

Quelle est la quantité d’énergie E apportée ?

Eh bien, E est égal au travail W de la force F

E = W > 0.

b) Cas du travail résistant

Si une force extérieure F

s’exerce sur un corps, et que le travail W de cette force est résistant (W < 0), la force F

s’oppose au mouvement et enlève donc de l’énergie mécanique au corps!

Cette diminution de l’énergie mécanique E s’écrit E.

Quelle est la quantité d’énergie E enlevée ?

E est égal au travail W de la force F

E = W < 0. c) Variation de l’énergie mécanique d’un système

En général un système est soumis à plusieurs forces extérieures. Si le système se déplace, certaines de ces forces effectuent un travail moteur: elles augmentent l’énergie mécanique du système. D’autres effectuent un travail résistant en diminuant l’énergie mécanique du système.

Finalement, la variation de l’énergie mécanique du système est égale à la somme de tous les travaux de toutes les forces extérieures s’exerçant sur le système.

forces extérieuresE W

Dans la suite, nous ne ferons qu’appliquer cette relation !

Nous donnerons des exemples qui illustrent que : * un système peut recevoir de l’énergie mécanique ; * un système peut posséder de l’énergie mécanique sous différentes formes ; * un système peut céder de l’énergie mécanique ; * l’énergie mécanique d’un système peut se transformer d’une forme en une autre ; * deux systèmes peuvent échanger de l’énergie mécanique.

68

4. Un système reçoit de l’énergie mécanique

S’il est soumis à une force extérieure effectuant un travail moteur !

a) Exemple 1 : un wagon est accéléré et reçoit de l’énergie cinétique

* Système : wagon (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : F

exercée par la locomotive, et R

exercée par les rails.

* Le wagon est accéléré sous l’action des forces F

et R

: W( F

) > 0 et W( R

) = 0 ( R

perpendiculaire au déplacement).

* L’énergie mécanique E du système a donc augmentée de E = W( F

). L’énergie acquise par le wagon (dans le champ de pesanteur) s’appelle énergie cinétique Ec (= énergie de mouvement).

b) Exemple 2 : un ressort est tendu et reçoit de l’énergie potentielle élastique

* Système : ressort (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : opF

exercée par un opérateur qui tend le ressort, et murF

exercée par le mur.

* Le ressort est tendu sous l’action des forces opF

et murF

:

W( opF

) > 0 et W( murF

) = 0 (pas de déplacement).

* L’énergie mécanique E du système a donc augmentée de E = W( opF

).

L’énergie acquise par le système s’appelle énergie potentielle élastique Ep élast. (Cette énergie est liée à la position relative de l’extrémité M du ressort par rapport à l’extrémité N).

69

c) Exemple 3 : un corps est soulevé et reçoit de l’énergie potentielle de pesanteur

* Système : corps de masse m (dans le champ de pesanteur).

* Force extérieures : opF

exercée par un opérateur (le poids P

est une force intérieure).

* Le corps est soulevé sous l’action de la force opF

: W( opF

) > 0.

* L’énergie mécanique E du système a donc augmentée de E = W( opF

).

L’énergie acquise par le système s’appelle énergie potentielle de pesanteur Ep pes. (Cette énergie est liée à la position relative du corps par rapport à la Terre, ou en d’autres termes, à la position du corps dans le champ de pesanteur de la Terre).

5. Un système possède de l’énergie mécanique

Un système possède de l’énergie mécanique

* s’il en a reçu (évident) ;

* s’il est capable de céder (de fournir) de l’énergie mécanique à un autre système ;

s’il est capable d’exercer sur un autre système une force dont le travail est moteur ;

s’il est capable de mettre un autre corps en mouvement ;

* s’il est capable d’échauffer un autre corps par l’accomplissement d’un travail de frottement.

Un corps peut posséder de l’énergie mécanique sous différentes formes :

* un corps en mouvement possède de l’énergie cinétique ;

* un ressort tendu ou comprimé, un fil tordu, possèdent de l’énergie potentielle élastique ;

* un corps situé dans le champ de pesanteur possède de l’énergie potentielle de pesanteur.

70

6. Un système cède de l’énergie mécanique

S’il est soumis à une force extérieure effectuant un travail résistant !

a) Exemple 1 : un wagon est freiné par une force F

* Système : wagon (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : F

(force de freinage) et R

(réaction des rails).

* W( R

) = 0 (force perpendiculaire au déplacement).

* Donc : E = W( F

) < 0.

b) Exemple 2 : un ressort initialement comprimé se détend en mettant un wagon en mouvement

* Système : ressort (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : wF

exercée par le wagon et murF

exercée par le mur. (Le ressort exerce la force wF

sur le wagon afin d’accélérer celui-ci !)

* W( murF

) = 0 (pas de déplacement).

* Donc : E = W( wF

) < 0.

71

c) Exemple 3 : un ascenseur de déplace à vitesse constante vers le bas

* Système : cabine de l’ascenseur (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : T

(tension du câble), R

et R

(réactions exercées par les murs).

* W( R

) = W(R

) = 0 (forces perpendiculaires au déplacement).

* Donc : E = W( T

) < 0.

72

7. L’énergie d’un système peut se transformer d’une forme en une autre a) Exemple 1 : une balle super-élastique tombe par terre et rebondit

* Système : balle (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : aucune, aussi longtemps que la balle n’est pas en contact avec le sol, sinon la réaction R

du sol.

* Pas de contact avec le sol : l’énergie mécanique E reste constante. Contact : R

provoque la transformation de Ec en Ep élast et inversement.

* Transformations d’énergie : la balle tombe et sa vitesse augmente: Ep pes Ec ; la balle est freinée par le sol et se déforme: Ec Ep élast ; la balle se détend et reprend de la vitesse: Ep élast Ec ; la balle remonte et sa vitesse diminue: Ec Ep pes.

b) Exemple 2 : un pendule pesant (corps attaché à un fil) oscille

* Système : corps (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : la tension T

du fil : W( T

) = 0.

* Donc : l’énergie mécanique E reste constante.

* Transformations d’énergie : Le corps descend et sa vitesse augmente : Ep pes Ec ; Le corps remonte et sa vitesse diminue : Ec Ep pes.

73

8. Deux systèmes peuvent échanger de l’énergie mécanique

Si les deux systèmes exercent une force l’un sur l’autre dont le travail n’est pas nul !

Exemple : système 1 : wagon (dans le champ de pesanteur) ; système 2 : ressort

* Initialement : 1 possède de l’énergie mécanique sous forme cinétique : E1i = Ec ; 2 ne possède pas d’énergie mécanique : E2i = 0.

* Pendant l’échange : 1 exerce sur 2 la force 2F

: W( 2F

) > 0 2 reçoit de l’énergie.

2 exerce sur 1 la force 1F

: W( 1F

) < 0 1 cède de l’énergie.

* Finalement : 1 ne possède plus d’énergie : E1f = 0 ; 2 possède de l’énergie potentielle élastique : E2f = Ep élast.

Variation de l’énergie mécanique : de 1 : E1 = E1f E1i = W( 1F

) = Ec < 0 ;

de 2 : E2 = E2f E2i = W( 2F

) = Ep élast > 0.

D’après le principe des actions réciproques 1F

= 2F

W( 1F

) = W( 2F

) et E1 =E2.

Il y a eu transfert (sans pertes) d’énergie mécanique de 1 vers 2 !

74

9. Conclusions : théorème de l’énergie mécanique a) Les différentes formes de l’énergie mécanique E

* L’énergie mécanique d’un système se présente sous plusieurs formes : énergie cinétique Ec; énergie potentielle de pesanteur Ep pes; énergie potentielle élastique Ep élast.

* Un système peut avoir de l’énergie mécanique sous toutes les formes en même temps. Dans ce cas :

E = Ec + Ep pes + Ep élast

* L’énergie mécanique d’un système peut se transformer d’une forme en une autre.

b) Variation de l’énergie mécanique d’un système : théorème de l’énergie mécanique

Si plusieurs forces extérieures, de résultante rF

, agissent sur un système, alors la variation de l’énergie mécanique du système est égale à la somme des travaux des forces extérieures :

ext rE W W(F )

Si ext f iW 0 E E E > 0 le système a reçu E.

Si ext f iW 0 E E E < 0 le système a cédé E (a reçu E < 0).

Si ext f iW 0 E E E = 0 l’énergie mécanique du système est conservée (système isolé).

c) Echange d’énergie mécanique entre deux systèmes

* Si deux systèmes interagissent l’un sur l’autre, ils échangent l’énergie mécanique égale à

force d'interactionW .

* L’énergie reçue par l’un est égale à l’énergie cédée par l’autre.

* Au cours de l’échange, l’énergie mécanique peut changer de forme.

d) Conservation de l’énergie mécanique d’un système isolé ( F

r = 0)

Le système isolé n’échange pas d’énergie mécanique avec l’extérieur. Son énergie mécanique est conservée.

Ce cas important se présentera dans de nombreuses applications numériques !

75

10. Expression mathématique de l’énergie potentielle de pesanteur

Un opérateur soulève, à vitesse constante, un corps de l’altitude z = 0 (niveau de référence où Ep pes = 0) à l’altitude z > 0.

* Système : corps de masse m (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : opF

exercée par l’opérateur (le poids P

est une force intérieure).

* v = constant opF P

Fop = P = mg.

* W( opF

) > 0 l’énergie mécanique du système augmente

de E = W( opF

) = W( P

) = mgz.

* Comme Ec ne varie pas et que Ep élast = 0, toute cette énergie se retrouve dans le système sous forme d’énergie potentielle de pesanteur Ep pes.

Conclusion :

1. L’énergie potentielle de pesanteur d’un corps de masse m situé à l’altitude z (repérée à partir du niveau de référence, et vers le haut) vaut :

Ep pes = mgz

Elle dépend du niveau de référence choisi ! 2. La variation de l’énergie potentielle de pesanteur d’un corps de masse m vaut :

Ep pes = mgz = W( P

)

Elle est indépendante du niveau de référence choisi. Remarques :

1. On choisit le niveau de référence z = 0 comme on veut.

2. z < 0 Ep pes < 0 : l’énergie potentielle de pesanteur est alors plus petite qu’au niveau de référence.

3. Pour un corps dont l’altitude initiale est égale à l’altitude finale, il n’y a pas de variation d’énergie potentielle.

4. L’énergie potentielle de pesanteur d’un système formée de plusieurs corps matériels est la somme des énergies potentielles des différents corps :

p pes totale p pesE E

76

11. Expression mathématique de l’énergie potentielle élastique Un opérateur tend à vitesse constante un ressort de la position x = 0 (ressort non tendu, niveau de référence) à la position x > 0 à l’aide des forces opF

et murF

.

* Système : Ressort de raideur k.

* Forces extérieures : opF

et murF

.

* v = constant opF T

Fop = T = kx.

* W( opF

) > 0 et W( murF

) = 0 l’énergie mécanique du système augmente de

E = W( opF

) = W( T

)= 21 kx2

.

* Comme Ec ne varie pas et que Ep pes = 0, toute cette énergie se retrouve dans le système sous forme d’énergie potentielle élastique Ep élast.

Conclusions :

1. L’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur k, tendu ou comprimé d’une longueur x (repérée à partir du niveau de référence correspondant au ressort non déformé) vaut :

2p élast

1E kx2

2. La variation de l’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur k (x repéré à partir du

niveau de référence correspondant au ressort non déformé) vaut :

2p élast

1E k x W(T)2

Remarques :

1. Le niveau de référence x = 0 est toujours choisi à l’extrémité libre du ressort non-déformé.

2. Pour un ressort dont la déformation initiale est égale à la déformation finale, il n’y a pas de variation d’énergie potentielle.

3. L’énergie potentielle élastique totale d’un système formée de plusieurs ressorts est la somme des énergies potentielles des différents ressorts :

p élast totale p élastE E

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12. Expression mathématique de l’énergie cinétique a) Energie cinétique d’un corps ponctuel

Un opérateur lâche un corps ponctuel de masse m à l’altitude z > 0 avec une vitesse initiale nulle. Le corps tombe en chute libre.

* Système : corps de masse m (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : aucune (le poids étant une force intérieure).

* L’énergie mécanique E du système est donc conservée!

* Etat initial : Corps lâché à la position d’abscisse z, sans vitesse initiale: vz = 0. Ep pes = mgz et Ec = 0 Ei = mgz.

* Etat final : Corps à la position z = 0, avec vitesse vz = v < 0. Ep pes = 0 et Ec 0 Ef = Ec.

* Comme Ei = Ef, on a Ec = mgz.

* Or pour le mouvement de chute libre, qui est un mouvement rectiligne uniformément varié, on a: za2v z

2z .

Dans notre cas, où az = -g: g2

vzgz2v)z0(g20v2

22z .

Finalement : 2c mv

21E .

Conclusion :

L’énergie cinétique d’un corps ponctuel de masse m animé d’une vitesse v vaut : 2

c mv21E

78

b) Energie cinétique d’un système de points matériels

Considérons un système à n points: 1, 2, ..., n. Les masses sont respectivement m1, m2, ..., mn, et les vitesses v1, v2, ..., vn. L’énergie cinétique du système est égale à la somme des énergies cinétiques de chacun des points.

2ii

iicic vm

21EE

c) Energie cinétique d’un système en translation

Translation tous les iv sont égaux = Gv (vitesse du centre d’inertie G). 2G

ii

2G

2Gi

i

2ii

ic mv

21mv

21vm

21vm

21E (m = masse totale du système)

2Gc mv

21E

13. Cas où les frottements ne sont pas négligeables

Exemple : un wagon est accéléré sous l’action d’une force F

* Système : wagon (dans le champ de pesanteur).

* Forces extérieures : F

(force accélératrice), R

(réaction du sol) et frottF

(force de frottement).

* Travaux des forces extérieures : W( F

) > 0, W( R

) = 0 et W( frottF

) < 0.

* Variation de l’énergie mécanique E du système : E = W( F

) + W( frottF

).

* Comme W( frottF

) < 0, le système reçoit moins d’énergie mécanique que dans le cas où il n’y aurait pas de frottements.

* Si la force F

cesse d’agir, E = W( frottF

) < 0 E diminue ! Par contre, le wagon et le sol s’échauffent : leur énergie interne U augmente !

Remarque : La force F

apporte l’énergie W( F

) au système. Une partie égale à frottW sert à échauffer le wagon et le sol, donc à augmenter l’énergie interne U de ces systèmes. Le reste sert à augmenter l’énergie mécanique E du wagon.

L'énergie interne U est constitué de l'énergie cinétique des particules en agitation thermique, et de l'énergie potentielle (de position) dû à l'arrangement des particules.

79

14. Théorème de l’énergie cinétique a) Etablissement à partir du théorème de l’énergie mécanique

Considérons le cas général où le système est formé par un solide de masse m attaché à un ressort de raideur k et placé dans le champ de pesanteur de la Terre. Supposons qu’il soit soumis à des forces extérieures: 1F

, 2F

, ..., nF

. Le poids P

et la tension T

du ressort sont des forces intérieures.

On a alors : ext 1 2 nE W F W F W F ... W F

c p pes p élast 1 2 nE E E W F W F ... W F

c p pes p élast 1 2 nE E E W F W F ... W F

avec : p pesE W P

et: p élastE W T

Finalement : c 1 2 nE W P W T W F W F ... W F

Si on choisit comme système le solide uniquement, les forces P

et T

sont des forces extérieures au même titre que 1F

, 2F

, ..., nF

.

Pour ce corps, la variation de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures.

b) Etablissement à partir du principe fondamental (niveau 1re BC)

Considérons un système formé par un solide de masse m, soumis aux forces extérieures 1F

,

2F

, ..., nF

. Parmi ces forces, il y a le poids, et éventuellement des forces élastiques exercées par des ressorts.

Le principe fondamental s’applique pour ce corps : amF .

Faisons le raisonnement mathématique suivant :

c

2

dEdW

mv21dsdF

vdvmdtvF

vdmdtFdtvdmF

amF

80

La variation élémentaire de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux élémentaires des forces extérieures.

c) Enoncé du théorème de l’énergie cinétique

La variation d’énergie cinétique d’un solide indéformable est égale la somme des travaux des forces extérieures qui s’exercent sur lui.

extc WE

Le théorème de l’énergie cinétique ne traduit pas une nouvelle loi de la nature : il est équivalent au principe fondamental de Newton. Seulement, le formalisme mathématique est différent.

d) Remarque importante : théorème de l’énergie mécanique et théorème de l’énergie cinétique

Les deux théorèmes sont équivalents. Dans les cas que nous traiterons, on pourra appliquer soit l’une, soit l’autre, selon l’humeur du jour.

Par contre, si dans une situation simple où il n’y a qu’un seul corps (de masse non négligeable) susceptible de se déplacer et donc de posséder de l’énergie cinétique, il peut paraître plus simple de choisir ce corps comme système et d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique.

Attention aux systèmes choisis, et donc aux forces extérieures à prendre en compte :

* théorème de l’énergie mécanique : système = corps matériels + ressorts, placés dans le champ de pesanteur de la Terre ; les forces P

et T

sont des forces intérieures ;

* théorème de l’énergie cinétique : système = corps matériels ; les forces P

et T

sont des forces extérieures.

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Exercices 1 Proton

Un proton (m = 1,6710-27 kg) dont la vitesse est de 5106 m/s traverse un film métallique d'une épaisseur de 0,01 mm et émerge avec une vitesse de 2106 m/s. Quelle est l'intensité moyenne de la force qui s'est opposée à la traversée du film ?

Rép. : 1,7510-9 N.

2 Pendule simple

Une bille de masse 20 g est suspendue à l'extrémité d'un fil de longueur L = 80 cm. On écarte le fil d'un angle = 40° de sa position d'équilibre et on abandonne la bille sans vitesse initiale. On suppose que tout frottement est négligeable. Calculer :

a) la vitesse v de la bille lorsqu'elle passe par sa position d'équilibre ;

b) la vitesse v’ de la bille lorsqu’elle passe par la position où le fil fait un angle de 20° par rapport à la verticale.

3 Parachutiste

Un parachutiste de masse 90 kg est en chute à la vitesse v0 = 190 km/h. Il ouvre son parachute et sur une distance verticale de 120 m sa vitesse est réduite à v1 par l'action d'une force de résistance d'intensité 1900 N. Représenter toutes les forces et calculer la vitesse v1 en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.

4 Perle

a) La figure montre une perle glissant sur un fil. Quelle doit être la hauteur hl si la perle, partant au repos de A, atteint une vitesse de 200 cm/s au point B? Ne pas tenir compte du frottement.

Rép. : 20,4 cm.

b) On suppose maintenant que hl = 50 cm, h2 = 30 cm et que la distance de A à C est de 400 cm. Une perle de 3,0 g est lâchée en A, glisse jusqu'en C et s'arrête. Quelle est l'intensité de la force de frottement qui s'oppose au mouvement ?

Rép. : 1,47 mN.

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5 Flipper

Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime un ressort de raideur 200 N/m de 10 cm. Quelle sera la vitesse de la boule lorsqu’elle aborde le virage au bout d’une course de 1,5 m après qu’elle ait quitté le ressort. Négliger tout frottement !

a) si le flipper est horizontal ?

b) s’il fait un angle de 5° avec l’horizontale ?

6 Un fusil de fléchettes

Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la fléchette de masse 25 g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.

a) Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d’un tir horizontal. Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre fléchette et fusil et (2) en tenant compte d’une force de frottement de 0,15 N.

b) Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d’un tir vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre fléchette et fusil ni de la résistance de l’air.

Rép. : a) (1) 8,00 m/s (2) 7,94 m/s b) 3,18 m.

7 Pendule élastique

Un solide de masse m = 100 g peut coulisser sans frottement sur une tige horizontale. Il est relié à un ressort de constante de raideur k.

A l’équilibre, son centre d’inertie est en O. Lorsqu’il oscille entre les points d’abscisses –a et +a (a valant 5,0 cm), sa vitesse de passage à la position d’équilibre est v0 = 2,0 m/s.

a) Calculez la constante de raideur k du ressort.

b) Calculez la vitesse de passage au point d’abscisse a/2.

c) En réalité, la vitesse de passage au point d’abscisse a/2 n’est que de 1,5 m/s lorsque le centre d’inertie du solide part (sans vitesse initiale) du point d’abscisse +a. Calculez l’intensité, supposée constante, de la force de frottement.

Rép.s : a) 160 N/m b) 1,73 m/s c) 1,5 N

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