christophebailly - ec-lyon.fr · 2020. 3. 22. · sante de ce vecteur dans la direction ... a...

ECL 2A S8-ELC-F5

Ordre, chaos et fractales

Christophe Bailly

Ecole Centrale de Lyon • LMFA UMR 5509

http://acoustique.ec-lyon.fr

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Contrôle du chaos

20 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos

x Contrôle du chaos q

Philosophie

De façon a priori surprenante, il est relativement aisé de ramener un système au

comportement chaotique vers un système au comportement régulier, à l’aide de

faibles variations d’un paramètre de contrôle.

Ceci n’est possible qu’à cause des caractéristiques fondamentales des systèmes

chaotiques, c’est-à-dire la sensibilité aux conditions initiales et le caractère

« récurrent » de l’attracteur dont tous les points sont visités irrégulièrement au

cours du temps.

La première étape est l’identification d’orbites périodiques instables qui sont no-

yées dans l’attracteur chaotique. L’objectif est ensuite de stabiliser cette trajec-

toire en pilotant un des paramètres de contrôle du système autour de sa valeur

nominale.



Quelques dates clefs

• Lorenz (1963) : premier attracteur étrange.

• Takens & Ruelle (1971) : 3 degrés de liberté + non linéarité, comportement

chaotique possible.

• Takens (1981) : reconstruction d’un attracteur topologiquement équivalent

à partir d’une série temporelle.

• Ott, Grebogi & Yorke (1990) : algorithme de contrôle pour des systèmes non

linéaires chaotiques.

• Ditto, Rauso & Spano (1990) : contrôle expérimental d’une lame soumise à

un champ magnétique oscillant.

• Autres applications : cavité laser (Roy et al., 1992), réaction chimique (Petrov

et al., 1993), rythme cardiaque d’une souris (Garfinkel et al., 1992), cerveau

de rat (Schiff et al., 1994), ...


Quelques algorithmes de contrôles


x Contrôle des systèmes chaotiques q

Ott, Grebogi & Yorke (1990)

Système à contrôler :

x = F (x,p) x ∈ IR3 p ∈ IR (paramètre de contrôle)

section de Poincaré : xn+1 = f (xn)

point fixe x0 = f (x0), p0 valeur nominale du paramètre p

Linéarisation autour du point fixe x0 = x0(pn)

xn+1 = f (xn)

≃ f (x0 (pn)) +A [x0 (pn)] (xn − x0 (pn))

≃ x0 (pn) +A [x0 (pn)] (xn − x0 (pn))

matrice jacobienne A =∂f

∂xA [x0 (pn)] ≃ A [x0 (p0)]

Ott, E., Grebori, C. & Yorke, J.A., 1990, « Controlling chaos », Phys. Rev. Lett., 64(11), 1196-1199.




linéarisation de x0 (pn) autour de x0 = x0 (p0)

x0 (pn) ≃ x0 + (pn − p0)∂x0∂p

∣

∣

∣

∣

∣

p=p0

= x0 + δpng

g ≡∂x0∂p

∣

∣

∣

∣

∣

p=p0

δpn ≡ pn − p0

On retient au final :

xn+1 = x0 + δpng +A (xn − x0 − δpng)

soit encore, en posant δx ≡ x − x0 (vecteur erreur) :

δxn+1 = δpng +A (δxn − δpng)




✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✿

✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✾

instable

❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈

❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈

❈❈❈❲

❈❈❈❖

stable

✈

x0 (p0)

✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✿

✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✾

❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈

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❈❈❈❲

❈❈❈❖

✈

x0 (p0 + δpn)

✓✓✓✴

✉

xn

✉

xn+1

vecteur erreur δxn+1 = αses +αueu

(es,eu) vecteurs propres de A dans la

direction stable et instable

On chercher à annuler la compo-

sante de ce vecteur dans la direction

instable eu en choisissant judicieuse-

ment δpn+1

Comment perturber le paramètre p à

l’itération n pour avoir δxn+1 dans la

direction stable?

Attention, a priori, es et eu ne sont pas orthogonaux




vecteurs propres (es,eu), vecteurs contravariants (fs,fu)

A = λueufu +λsesfs fu · es = fs · eu = 0 fu · eu = fs · es = 1

On souhaite que le vecteur δxn+1 soit orienté dans la direction stable associée

au point fixe x0, soit encore δxn+1.eu = 0.

δxn+1 = αses +αueu { δxn+1 · fu = αu

δxn+1 · fu = 0

δpng · fu + [λueufu +λsesfs] (δxn − δpng) · fu = 0

δpngifui +[

λueuifuj +λsesifsj] (

δxnj − δpngj)

fui = 0

δpng · fu +λufu · δxn −λuδpnfu · g = 0

Loi de contrôle (OGY90) δpn =λu

λu − 1

δxn · fug · fu




Pour les systèmes fortement dissipatifs, la section de Poincaré se présente comme

une courbe yn = h (xn) autour du point fixe x0. En considérant les courbes de pre-

mier retour xn+1 = f (xn), on écrit :

xn ≃ x0 +dx

dp

∣

∣

∣

∣

∣

p0

(p − p0) soit encore δxn =dx

dp

∣

∣

∣

∣

∣

p0

δpn

Connaissant l’écart entre le point xn et le point fixe x0, on en déduit la pertur-

bation à appliquer au paramètre p pour ramener xn en x0. La loi de contrôle est

alors simplement donnée par :

δpn =δxng

avec g =dx

dp

∣

∣

∣

∣

∣

p0



Nitsche & Dressler (1992)

Linéarisation plus générale en suivant le même objectif, δxn+1 doit être aligné surla direction stable en x0.

xn+1 = f (xn,pn) = f (x0 + δxn,p0 + δpn)

≃ f (x0,p0) +Aδxn +bδpn

δxn+1 ≡ xn+1 − x0 = Aδxn +bδpn

δxn+1 · fu = 0

(λueufu +λsesfs)δxn · fu + δpnb · fu = 0

λuδxn · fu + δpnb · fu = 0

Loi de contrôle δpn = −λuδxn · fub · fu

Nitsche, G. & Dressler, U., 1992, « Controlling chaotic dynamical systems using time delay coordinates », Physica D,

58, 153-164.



Stabilisation par placement des pôles

- technique très générale pour la commande des systèmes dynamiques

- application aux systèmes non linéaires chaotiques :

Romeiras, Grebogi, Ott & Dayawansa (1992)

linéarisation : δxn+1 = Aδxn +bδpn

boucle linéaire : δpn = −kTδxn

{ loi de contrôle δxn+1 =(

A−bkT)

δxn

On doit alors résoudre un problème de contrôle « classique », à savoir comment

choisir le vecteur k pour avoir toutes les valeurs propres deA−bkT dans le cercle

unité, et avoir ainsi : limn→∞δxn = 0. (en pratique, placement des pôles avec la

formulation d’Ackermann)

µi valeurs propres de A−bkT , si |µi | ≥ 1, alors µi→ 1/µi (µi = 0 avec OGY90)


Quelques exemples de contrôle

de systèmes chaotiques


xModèle de Peng, Petrov & Showalter q

Modèle de Peng, Petrov & Showalter (1991) (réaction chimique)

x = µ (κ + z)− x − xy2

σy = x + xy2 − yδz = y − z

κ = 65 σ = 5× 10−3 δ = 2× 10−2

µ = 0.154

−4−3

−2−1

0

0.00.5

1.01.5

2.0

0.2

0.6

1.0

1.4

log10

xlog10

y

log

10 z On conserve µ comme

paramètre de contrôle

(concentration d’un des

réactifs)

Peng, B., Petrov, V. & Showalter, K., 1991, « Controlling chemical chaos », J. Phys. Chem., 95, 4957-4959.



Section de poincaré z = 15 et z > 0

0 0.02 0.04 0.06 0.0820

30

40

50

60

70

80

90

100

110

xn

yn

20 40 60 80 100 12020

40

60

80

100

120

yn

yn

+1

section de Poincaré carte de premier retour pour y



Carte de premier retour pour y(section de Poincaré z = 15 & z > 0)

30 35 40 45 5030

35

40

45

50

yn

yn

+1

∆y

× µ = 0.1536◦ µ = 0.154+ µ = 0.1544

• point fixe y0 ≈ 40.6790

gain g ≈∆y

∆µ



Contrôle d’un cycle d’ordre un

−4−3

−2−1

0

0.00.5

1.01.5

2.0

0.2

0.6

1.0

1.4

log10

xlog10

y

log

10 z

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

0

1

2

temps

log

10 y



Contrôle d’un cycle d’ordre un

0 5 10 15 20 25 30

0.1540

0.1544

0.1548

0.1552

nbre de cycles

µ



Contrôle d’un cycle d’ordre deux

20 40 60 80 100 12020

40

60

80

100

120

yn

yn

+2

−4−3

−2−1

0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.2

0.6

1.0

1.4

log10

xlog10

y

log

10 z

(point fixe y0 ≈ 75.35)


x Pendule de Moon q

Pendule de Moon (Duffing-Holmes)

✲

aimantsx1

✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄

lame (γ)✲✛

acosωt

x1 = x2x2 = −γx2 +0.5x1

(

1− x21)

− acos(ωx3)

x3 = 1

a = 0.9 ω = 2π/10 γ = 0.08

• Section de Poincaré : ϕ = ωx3 = 0modulo 2π, avec x3 croissant.

• On souhaite contrôler le système en pilotant l’amplitude a de l’excitation au-

tour de sa valeur nominale a0.

(autre paramètre de contrôle possible : la fréquence angulaire ω)

Moon, F.C. & Holmes, P.J., 1979, A magnetoelastic strange attractor, J. Sound Vib., 65(2), 275-296.

Moon, F.C., 1980, « Experiments on chaotic motions of a forced nonlinear oscillator : strange attractors », Transac-

tions of the ASME, 47, 638-644.


x Pendule de Moon q


−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

dx/d

t

−1 0 1 2 3−2

−1

0

1

2

xn

yn


x Pendule de Moon q


−1 0 1 2 3−1

0

1

2

3

xn

xn

+1

−2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2

yn

yn

+1


x Pendule de Moon q


−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

dx/d

t


x Attracteur de Lorenz q

Edward Lorenz (1963)

Système différentiel autonome d’ordre 3 dissipatif

x = f (x), V (t) = V0e(∇·f )t

x = σ(y − x)y = −xz + rx − yz = xy − bz

∇.f = −(σ +1+ b) = −41/3 (e−41/3 ≈ 1.210−6)

(σ = 10, b = 8/3, r = 28)

exposants de Liapunov :

λ1 ≈ 0.87 λ2 = 0. λ3 ≈ −14.53 (∇ · f =∑

iλi)

conjecture de Kaplan & Yorke (1979) :

dl = j +

j∑

i=1

λi

∣

∣

∣λj+1

∣

∣

∣

≈ 2.06 avec

j∑

i=1

λi > 0 et

j+1∑

i=1

λi < 0

dl→ 2 pour Lorenz, système fortement dissipatif


x Attracteur de Lorenz q

Contrôle : algorithme OGY90 sur le paramètre r

30 32 34 36 38 40 42 44 4630

32

34

36

38

40

42

44

46

Zmax(n)

Zm

ax(n

+1

)

−20

−10

0

10

20 −20−10

010

2030

10

20

30

40

50

xy

section de Poincaréxy − bz = 0 pour z = zmax

point fixe z⋆max ≃ 39.8, r = 27 et r = 28

contrôle cycle d’ordre 1

Bailly, C. & Comte Bellot, G., 1997, Contrôle des systèmes chaotiques : quelques exemples de simulation, Algo-

rithmes de contrôle, GDR de Mécanique des fluides active, 1-5.

Ott, E., Grebori, C. & Yorke, J.A., 1990, Controlling chaos, Phys. Rev. Lett., 64(11), 1196-1199.


Quelques applications en biologie


x Quelques applications en biologie q

Applications plus pratiques du contrôle de systèmes chaotiques

Plus demodélisation (expression flot) disponible, comme en biologie par exemple :

- identification du régime chaotique et reconstruction de l’attracteur - système

dynamique - à partir de signaux mesurés

- influence du bruit pour l’identification et le contrôle

- développer un contrôle fiable et robuste

+ −

cœur périodique chaotique

cerveau chaotique périodique



Conclusion

Des systèmes dynamiques déterministes, mais non linéaires et chaotiques,

peuvent être contrôlés et deviennent prévisibles.

On ne supprime pas le chaos, et l’on conserve les paramètres nominaux pour

la stabilisation.

Le contrôle n’est pas continu, nécessite peu d’énergie, et possède une certaine

robustesse au bruit.

Il existe d’autres techniques et stratégies de contrôle pour les systèmes dyna-

miques.

Autres applications : synchronisation de deux systèmes chaotiques, modifica-

tion des exposants de Liapunov, ...

Parmi les difficultés de mise en œuvre : influence du bruit, reconstruction de

l’attracteur, ...


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