chapitre_5_exercices

7/25/2019 chapitre_5_Exercices

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Chapitre 5 Rsolution des systmes dquations linaires

Testez vos connaissances

Quelles sont les grandes familles des systmes linairesrencontrs usuellement ?

Quelles sont les mthodes de rsolution de systmes linairesque vous connaissez ?

Donner la dfinition dune quation et dune inconnueprincipales et non principales.

Quelle est lutilit du thorme de Rouch et Fonten ?

Soit un modle IS-LM sans politique fiscale (G=0). Supposons

que la courbe LM ( 0 dM M= ) passe par lorigine tel que lesquilibres des marchs soient donns par les

quations : 0I S sY ar I= + = et 0L M mY hr M M= = .

Pour 0 3000M M = , ,0 1000I = 0, 2s= , 1500h= , 2000a= et

, crire le systme IS-LM explicite dquations.0,16m=

Rsoudre le systme pour le revenu y et le taux dintrt rdquilibre.

Solutions

Les systmes de Cramer et les systmes non cramriens sont

les deux grandes familles des systmes rencontrs usuellement,

mais ceux utiliss en conomie sont cramriens.

Ils existent trois mthodes classiques de rsolution dessystmes linaires : la mthode de Cramer (ou du

dterminant), la mthode de pivot de Gauss (mise sous la

forme triangulaire, mise sous la forme diagonale) et la

mthode dinversion (pivot inversion, mthode des mineurs).

Dans un systme non cramrien, une quation principale est

une quation qui est retenue pour rsoudre le systme libre

extrait du systme initial, linconnue principale est une variable

1


2/18

de lquation principale et linconnu non principal est la

variable non retenue.

Lutilit du thorme de Rouch et Fonten est de vrifier la

compatibilit dune quation non principale davec le systme

des quations principales.

=

=+

3000150016,0

100020002,0

rY

rY 0,71

12100

r

y

=

Exercices dentranement

1 Rsolution des systmes de Cramer

1- Mthode de Cramer

1. 2.

=

=+

=+

233

532

8

zyx

zyx

zyx

=

=+

=++

13

22

122

zx

zyx

zyx

Solutions

1.

8 1 1 1 8

2 3 5 1 2 3 5

3 3 2 3 3 1 2

x y z x

x y z y AX

zx y z

+ =

+ = = =

=

B

1 1 1

1 2 3 10 0

3 3 1

= =

Alors le systme admet une solution unique. Selon la mthode

8 1 1

5 2 3

2 3 1 707

10 10x

= = =

1 8 1

1 5 3

3 2 1 505

10 10

= = =

; y

1 1 8

1 2 5

3 3 2 404

10 10z

= =

= La solution du systme est .{ }7; 5; 4S =

2


3/18

2.

2 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2 2

3 1 3 0 1

x y z x

x y z y

zx z

+ + =

+ = =

=

1

1

2 1 2

1 1 2 9

3 0 1

= =

0

Alors le systme admet une solution unique. Selon la mthode

1 1 2

2 1 2

1 0 1 1 1

9 9 9=x

= =

;

2 1 2

1 2 2

3 1 1 5

9 9

= =

y

2 1 1

1 1 2

3 0 1 6 2

10 9 3z

= =

= La solution du systme est { }1 5 2; ;9 9 3S = .

2- La rgle du rectangle

1. 2. 3. 4.

=

=+

=+

233

532

8

zyx

zyx

zyx

=

=+

=++

13

22

122

zx

zyx

zyx

=+

=+

=

11423

11243

42

zyx

zyx

zyx

=++

=+

=++

23

0

12

zyx

zyx

zyx

Solutions

Point conseil : La forme pratique de rsolution du systme est :( )/A B

1.

8 1 1 1 8

2 3 5 1 2 3 5

53 3 2 3 3 1

x y z x

x y z y

zx y z

+ =

+ = =

=

3


4/18

Mise sous la forme triangulaire Mise sous la forme diagonale

1 1 1 8 1 1 1 8

1 2 3 5 0 1 2 33 3 1 2 0 6 2 22

1 1 1 8

0 1 2 3

0 0 10 40

10 40

2 3

8

z

y z

x y z

=

=

+ =

1 1 1 8

1 2 3 53 3 1 2

1 1 1 8

0 1 2 3

0 6 2 22

1 0 1 11

0 1 2 3

0 0 10 40

1 0 0 7

0 1 0 5

0 0 10 40

10 40

5

7

z

y

x

=

=

=

{ }7; 5; 4S x y z = = = = 2.

2 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2 2

3 1 3 0 1

x y z x

x y z y

zx z

+ + =

+ = =

=

1

1

2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1

3 3 3 31 1 2 2 0 1 0 1

2 2 2 23 0 1 1 3 1 0 0 3 20 2

2 2

3 2

3 3

2 21

2 23

z

y z

x y z

=

+ =

+ + =

. { }1 5; ;9 9S x y z = = = =2

3

3.

2 4 2 1 13 4 2 11 3 4 2 11

3 2 4 11 3 2 4 11

x y z xx y z y

zx y z

= + = =

+ =

4

4


5/18

Mise sous forme diagonale12 54 66

2 0 2 0 02 1 1 411 11 112 1 1 4

11 1 11 1 11 113 4 2 11 0 5 0 5 0 0

2 2 2 2 2 23 2 4 11 1 11 120 60 60 600 5 0 0 0 0

2 2 22 11 11 11

60 60

11 1111 11

2 266

211

z

y

x

=

=

=

. { }3; 1; 1S x y z = = = =

4.2 1 12 1

0 1 1 1 0

3 2 1 1 3 2

x y z x

x y z y

zx y z

+ + =

+ = =

+ + =

1

2 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1

3 1 1 3 1 11 1 1 0 0 02 2 2 2 2 21 1 3 2 1 5 3 8 4

0 0 02 2 2 3 3

8 4

3 33 1

2 22 1

z

y z

x y z

=

+ =

+ + =

1

2

{ }1 1

0; ;2 2S x y z = = = =

3- Par inversion : Gauss et mineurs

1. 2.

=

=+

=+

233

532

8

zyx

zyx

zyx

=

=+

=++

13

22

122

zx

zyx

zyx

Solutions

1.Utilisons la mthode dinversion de pivot de Gauss pour le calcul de

.1A

5


6/18

Point conseil : La forme pratique de cette inversion est de poser

. On dduit par la suite une fois trouv la matrice inverse

que la solution est donne par la relation .

( /A I)

1A

1X A B

= 8 1 1 1 8

2 3 5 1 2 3 5

53 3 2 3 3 1

x y z x

x y z y

zx y z

+ =

+ = =

=

Recherche de 1A

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0

1 2 3 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0

3 3 1 0 0 1 0 6 2 3 0 1 0 0 10 9 6 1

111 0 0

101 0 1 2 1 0

0 1 2 1 1 0

9 3 10 0 1

10 5 10

4 1

10 108 2 2

0 1 010 10 109 3 1

0 0 110 5 10

11 4 1

11 8 2 210

9 6 1

A

=

Rsolution du systme : 1X A B=

11 8 4 5 1 2 71011 4 1 8

1 8 8 28 2 2 5 5

10 109 6 1 2 9 8 6 5 1 2

410

xx

y y

zz

+ = =

+ + = =

+ +

= =

5 2 2

{ }7; 5; 4S x y z = = = =

6


7/18

2.Utilisons la mthode des mineurs pour le calcul de 1A

2 2 1 2 1 22 2 1 1 2 2

3 1 3 0 1

x y z xx y z y

zx z

+ + = + = =

=

1

1

0

Recherche de 1A

1) alors A admet une matrice inverse9 =

2)2 1 3

1 1 0

2 2 1

tA

=

3)

1 0 1 0 1 1

2 1 2 1 2 21 1 0

1 3 2 3 2 15 4 2

2 1 2 1 2 23 3 3

1 3 2 3 2 11 0 1 0 1 1

aA

= =

4)

1 1 011 5 4 29

3 3 3

aAA = =

Rsolution du systme :

1X A B=

1 1 1 2 4 ( 1) 1

9 91 1 4 11 5 1 4 2

5 4 2 29 9

3 3 3 1 3 1 3 2 3 ( 1) 2

9 3

xx

y y

zz

+ + = =

+

= =

= =

2 ( 1) 5

9

=

{ }5 2

; ;9 3

1

9S x y z = = = =

7


8/18

2 Rsolution des systmes non cramriens

1- Mthode de pivot de Gauss

1. 2. 3.

=++

=+

=+++

5253

122

432

zyx

tzyx

tzyx

=++

=++

=++

=++

1432

2523

6

82

tzyx

tzyx

tyx

tzyx 2 3

3 5

4 3

3 13 6

x y z

x y z

x y z

x y z

+ =

+ =

+ =

3

0

+ =

Solutions

Point conseil : utilisez le tableau des coefficients. Pour uneraison pratique utilisez la rgle du rectangle pour les calculs.

1.

2 3 4 2 3 4

2 2 1 2 1 2

3 5 2 5 3 5 2 5

2 3 1 4

1 21 2 1

3 5 2 5

x y z t x y z t

x y z t x y z t

x y z x y z

t

t

+ + + = + + =

+ = + = +

+ + = + + =

+

Permutons les lignes n1 et n2 pour obtenir au plus vite le 1 de lamatrice unit, ce qui donne

1 2 1 1 2

2 3 1 4

3 5 2 5

t

t

+

1 2 1 1 2

0 1 3 2 5

0 1 5 2 6

t

t

t

+

1 2 1 1 2

0 1 3 2 5

0 0 2

t

t

t

+

1 2 1 1 2

0 1 3 2 5

0 0 1 1

2

t

t

t

+

+

En consquence, par une rsolution successive on obtient unesolution paramtre en t.

1

21 7

3( ) 2 5 2

2 27 1 11

1 2 2( 2 ) 52 2 2

z t

y t t t

x t t t

=

= + = +

= + + = t

{ }7 15 ; 2 ;2 211

2S x y z t t= = = + = t

8


9/18

2.2 8 1 2 1 1

6 1 1 0 1

3 2 5 2 3 2 5 1 2

2 3 14 1 2 1 3 14

x y z t

x y t

x y z t

x y z t

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

8

6

1 2 1 1 8 1 2 1 1 8

0 1 1 0 2 0 1 1 0 2

0 8 8 2 22 0 0 0 2 6

0 0 0 2 6 0 0 0 2 6

Lquation n3 et n4 donnent le rsultat . En consquence, lesystme na pas une solution unique mais une solution paramtr(notons que le dterminant des coefficients du systme est gal zro).

3t =

{ }3 ; 2; 3S x y z y t = = = =

3.2 3 3

0

6

3 54 3

3 13

x y z

x y zx y z

x y z

+ =

+ = + =

+ =

2 1 3 3

3 1 5 04 1 1 3

1 3 13 6

Permutons la ligne n4 et la ligne n 1

1 3 13 6 1 3 13 6

3 1 5 0 0 8 34 18

4 1 1 3 0 13 53 272 1 3 3 0 7 29 15

2 4

1 3 13 6 1 3 13 6

0 1 5 3 0 1 5 3

0 13 53 27 0 0 12 12

0 7 29 15 0 0 6 6

l l

1 3 13 6

0 1 5 3

0 0 1 1

0 0 0 0

En consquence, la rsolution successive donne la solution suivante

{ }1; 2; 1S x y z = = = =

9


10/18

Le systme est de rang 3. Le rang de ce systme est infrieur aunombre dquations, il y a un risque dincompatibilit, mais ce nestpas le cas comme le montre la dernire quation.

2- Thorme de Rouch-Fonten

1. 2.

=++

=+

=+++

5253

122

432

zyx

tzyx

tzyx

=+++

=+

=++

=++

=+++

796641914

271078

32528

13

5432

wzyx

wzyx

wzyx

wzy

wzyx

Solutions

1.

2 3 4 2 3 1 1 4

2 2 1 1 2 1 2

53 5 2 5 3 5 2 0

xx y z t

yx y z t z

x y z t

+ + + =

+ = =

+ + =

1

La matrice A des coefficients est une matrice rectangle de format

(3,4).

Extrayons une matrice quelconque dordre 3 et calculons sondterminant.

2 3 1 2 3

1 2 1 1 2 2 0

3 5 2 3 5

=

Sa matrice inverse est9 1 5

11 5 1 32

1 1 1

A

=

avec .

2 1 3 9 1 5

3 2 5 ; 5 1 3

1 1 2 1 1 1

t aA A

= =

En faisant ce choix, les quations 1, 2 et 3 sont les quationsprincipales, les variables , ,x y z sont les inconnus principaux et la

variable t est la variable non principale.

10


11/18

Ainsi le systme rsoudre devient :

2 3 4

2 1

3 5 2 5

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ = +

+ + =

2

t

t 2 3 1 4 9 1 5 4

11 2 1 1 2 5 1 3 1 2

25 53 5 2 1 1 1

t tx x

y t y

z z

= + = +

t

{ }7 15 ; 2 ;2 211

2S x y z t t= = = + = t

2.52 3 4 5 2 1 3 4

13 1 0 1 3 1

38 2 5 2 3 8 2 5 2

28 7 10 7 2 8 7 10 7

7914 9 41 66 79 14 9 41 66

x y z w x

y z wy

x y z w z

x y z w w

x y z w

+ + + =

+ + =

+ + = =

+ =

+ + + =

La matrice A des coefficients est une matrice rectangle de format(5,4).

Extrayons dabord de la matrice A une matrice quelconque dordre4 et calculons son dterminant.

Aide aux calculs : Effectuer C2+C4, puis utiliser la proprit dudterminant, puis l2-l3.

4

2 1 3 4 2 5 3 40 3 1

0 1 3 1 0 0 3 15 8 5 2

8 2 5 2 8 0 5 28 10 7

8 7 10 7 8 0 10 7

0 3 1

5 8 1 5 2

1 10 7

= = =

=

Effectuer l2 l3

11


12/18

4

0 3 13 1

40 0 15 5 40 5 03 1

1 10 7

= = =

Extrayons ensuite de la matrice A une matrice quelconque dordre 3et calculons son dterminant.

3

2 1 3

0 1 3 2

8 2 5

= = 6 sa matrice inverse est11 1 6

11 24 14 626

8 4 2

A

=

.

En faisant ce choix, nous considrons que les quations n1, n2 etn3 sont les quations principales, les variables , ,x y z sont lesinconnus principaux, la variable west la variable non principale et lesquations n 4 et n 5 sont les quations non principales.

Ainsi donc, le systme rsoudre est :

2 1 3 5 4 11 1 6 5 41

0 1 3 1 24 14 6 126

8 2 5 3 2 8 4 2 3 2

w wx x

y w y

z zw w

= =

+ +

w

{ }74 31 152 94 42 40; ;26 26 26 26 26 26S x w y w z w = = + = =

Vrification de la compatibilit des quations n 4 et n 5

(cf. Thorme de Rouch et Fonten p.115)

Pour la 4equation non principale

Aide aux calculs : effectuer l3 l4, C1 est multiple de 2 et l3 unmultiple de 5, l2 et l 3 sont identiques.

12


13/18

2 1 3 5 2 1 3 5 1 1 3 5

0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 15 2 0

8 2 5 3 0 5 15 5 0 1 3 1

8 7 10 2 8 7 10 2 4 7 10 2

= =

Pour la 5equation non principale

Aide aux calculs : C1 est multiple de 2, C1 C4, C3 + 3C4.

( )

2 1 3 5 1 1 3 5 1 4 3 5

0 1 3 1 0 1 3 1 0 0 3 12 2

8 2 5 3 4 2 5 3 4 5 5 3

14 9 41 79 7 9 41 79 7 70 41 79

1 4 18 51 4 18

0 0 0 12 2 4 5 4 2 3538 3538 0

4 5 4 37 70 278

7 70 278 79

=

= = + =

En somme, le systme admet une solution car les quations

non principales n4 et n5 sont compatibles avec le systme desquations principales n1, n2 et n3.

Exercices appliqus lconomie

1 Soit le tableau entre-sortie dune conomie X lanne t

Branches

P rodu its B1 B2 B3 C F To ta lp1 300 200 300 200 1000

P2 300 100 100 100 600

p3 300 100 300 100 800

V .A . 100 200 100

To ta l 1000 600 800 P IB= 400

1. Ecrire la matrice des coefficients techniques T.

2. Calculer ( )I T 1 .

3. On prvoit une demande extra sectorielle de 100 pour chacun dusecteur, quelle doit tre la production correspondante.

13


14/18

4. On suppose un accroissement de 10 units pour la demande dusecteur s2aprs une baisse de la TVA, dterminer les accroissementsrespectifs de la production des secteurs 1, 2 et 3.

Solutions

Point conseil : le tableau TES donne le rsultat suivant en

conomie ferme iP C CF FBCF S D= + + + =

P= production,i

C = consommation intermdiaire,

CF= consommation finale, FBCF= formation brute de capital fixe,variation de stock,S = D= demande

1.Soit une conomie X lanne t. La matrice des coefficients techniques est :

3 1 3

10 3 83 1 1

10 6 83 1 3

10 6 8

T

=

2.

( )

1

1

7 1 3

10 3 8 120 65 853 5 1 1

54 78 4810 6 8 39

72 52 1163 1 5

10 6 8

I T

= =

3.

Sachant que la demande est de 100 pour chacun du secteur, lesproductions des produits des diffrents secteurs sont donnes par larelation : .( ) 1P I T = D

( )

1

12

3

100

100

100

P

P I T

P

=

120 65 85 100 2701 1

54 78 48 100 18039 39

72 52 116 100 240

= =

00

1

2

3

692

462

615

P

p

P

14


15/18

4.Les accroissements respectifs de la production des secteurs sont :

( )1

12

3

120 65 85 12010 101 10 54 78 48 0 54

39 390 072 52 116 70

P

P I T

P

= = =

0

1

2

3

31

14

18

P

P

P

2 Soit une conomie comprenant trois secteurs institutionnels : les

entreprises, les mnages et lEtat. Les entreprises investissent,produisent, versent la totalit du revenu national aux mnages et nepayent pas dimpts. Les mnages peroivent le revenu national,payent des impts et consomment. LEtat reoit les impts et ralisedes dpenses budgtaires. Les quations de comportement du modlesont :C = c.(Y -T) + C0T = t.Y + T0Les donnes sont :C0(consommation autonome) = 1000I(investissement) = 2000G (dpenses budgtaires) = 2000T0 (impts autonomes) = 300c (propension marginale consommer) = 0,8t (taux marginal dimposition) = 0,1

1. Ecrire lquation matricielle du modle conomique de cetteconomie et trouver les valeurs dquilibre du modle.

2. On suppose que lEtat augmente de 10% ses dpenses budgtaires.Mesurer limpact de cette mesure sur les variables dquilibre et lesolde budgtaire.3. Quel impact aurait-on constat si les impts avaient t exognes ?4. Evaluer alors leffet de stabilisation de la fiscalit.

Solutions

1.

Le modle comprend trois quations, une quation dquilibre et deuxquations de comportements :

15


16/18

0

. ( )

. 0

Y C I G

C c Y T C

T tY T

= + + = + = +

2000 2000

0, 8 ( ) 1000

0,1 . 300

Y C

C Y T

T Y

= + + = + = +

4000

0, 8 0, 8 1000

0,1 300

Y C

C Y T

T Y

= + = =

La structure matricielle du modle est :

1 1 04000

8 81 110 10

30010 1

10

Y

AX B C

T

= =

000

La matrice A des coefficients des variables Y, C et T est dordre 3

avec 28 0100

A = , ceci signifie que les quations du modle sont

linairement indpendantes. La consquence est que le modle admet

une solution unique dquilibre.

Comme

1

81 1

10100 72 8

128 100 10

1 1 2

10 10 10

A

=

alors la rsolution du modle donne :

1

81 1

10 4000100 72 8

1 100028 100 10

3001 1 2

10 10 10

Y

X A B C

T

= =

17000

13000

2000

Y

C

T

=

16


17/18

Y = 17 000 C = 13 000 T = 2000 et le budget est quilibr.

2.Linfluence sur les variables endognes Y, C, T de laugmentation desdpenses budgtaires G se calcule laide de la matrice desmultiplicateurs. Rcrivons le systme dquilibre en diffrenciant les

valeurs de linvestissement et des dpenses budgtaires de ceux desvaleurs autonomes de la consommation et des impts.

1 1 001 1 20008 8

1 0 0 100

200010 10 0 0 30010 1

10

Y

C

T

0 0=

Soit et 1 1

0 0

0 0

B

=

2000

2000D

=

1

1 1

100 72 72

28 100 1001 1

10 10

A B

=

0 0

200D

G

= = . 1

YC A B

T

D =

on a donc

1 1714

0100 72 72514

20028 100 10071, 4

1 110 10

Y

C

T

=

100714

2872

5142810

71, 428

Y G

C G

T G

= = = = = =

prsent, le compte courant de ltat devient dficitaire puisque.128,6T G =

17


18/18

3.Si les impts taient exognes, on aurait assist une relancebeaucoup plus amplifie comme le prouve la comparaison desmultiplicateurs classiques keynsiens avec impts ou sans impts

( 1 21 1

5 et 3,571 1 .

k kc c c t

= = = = +

).

En effet, le revenu dquilibre aurait augment de 1000 au lieu de 714.Cela tient au fait que la fiscalit, indpendante du revenu national, ne

vient pas amputer le supplment de pouvoir dachat provoqu parlaugmentation des dpenses publiques. Do une croissance plus

importante de la consommation 8001

cC G

c = =

au lieu de 514.

La consquence immdiate, en raison de la fixit des recettes fiscales,est que le dficit budgtaire se serait aggrav hauteur de -200 au lieude -128,6.

4.Lorsque les impts sont endognes, les recettes fiscales exercent uneffet de stabilisation automatique sur lactivit conomique. En effet,si on compare la situation avec impts exognes et imptsautonomes, lactivit conomique a t rduite de 286 units

(1000 - 714 = 286).

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chapitre_5_exercices

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