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Chapitre 12 Optimisation statique
Testez vos connaissances
Quelle diffrence y a-t-il entre un extremum libre etcontraint ? Donner un exemple.
Pourquoi utilise-t-on les dterminants dans le cadre de larecherche dextrema ?
Pour les conomistes, quapporte le thorme de Kuhn etTucker la recherche dextrema ?
Rsoudre le programme du consommateur classique et
du producteur.
La diffrence entre un extremum libre et un extremumcontraint rside dans lexistence ou pas des contraintesfonctionnelles. Par exemple, pour trouver une quation dunedroite qui passe par un nuage de points, la mthode desmoindres carrs en minimisant la somme des erreurs au carre
est un extremum libre ; et, le programme de maximisationclassique du consommateur est un extremum contraint. Par le biais de la matrice des drives secondes, lutilisation
des dterminants sert traiter la nature des extrema. Pour des contraintes qui prennent la forme dingalit, le
thorme de Kuhn et Tucker apporte une mthode dersolution ; mais, il apporte surtout un critre dcisionnel quiassure directement lexistence dun maximum (ou dunminimum) la lecture du signe du multiplicateur.
1
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Exercice dentranement
Rappel : pour optimiser une fonction on suppose que la
fonction admet au moins une drive premire pour appliquerles conditions de jugements.
1 Contraintes galitaires
1- ;2 2. . , , 2 1Opt x y s c x y x y++ = +
2- 2 22 4 2 . . 6 2Opt x y z s c x y z+ + = + +
1-.2 2Opt . . , 2 1x y s c x y x y ++ = +
La fonction objectif est de classe 2.
2 2 1x y+ = ( )2 2g x =La contrainte na pas de point stationnaire, alors la CQND estsatisfaite.
Remarque : la condition de qualification de la contrainte nestpas ncessaire vrifier dans le cas des contraintes galitaires.
Formons le lagrangien :2 2( , , ) ( 2 1)L x y x y x y = + + .
Dtermination des points candidats (CN)
22
12 2 0 2 (1 ) 02
1 01 2 02
12 1
2 1 0 2
Lx x x
x
Lx
y
x yL yx y
= = = = == = = + = = = + =
Le point candidat est1
(0, )2
M =
2
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Nature de lextremum (CS)
2 2 0 2
0 0 22 2 0
B
x
Hx
=
1 0 0
( ) 0 0 20 2 0
BH M
=
( ) 4 0BH M =
La fonction admet un minimum li.
2-2 2Opt 2 4 2 . . 6x y z s c x y z + + = + + 2
2
La fonction objectif est de classe 2.
2 26 x y z= + + ( )2 2 2g x y z =La contrainte na pas de point stationnaire si , et
alors la CQND est satisfaite.
0x 0y
0z
Formons le lagrangien :
2 2 2( , , ) 2 4 2 ( 6+ )L x y x y z x y z = + + + +
Dtermination des points candidats (CN)
2 2 2
2 2 2
2 2 01 2 14 2 0
62 2 0
6 0
L
xxL
yy x y zL x y zzz
Lx y z
= = = = = = =
+ + == = = + =
2 2x z = = y
Les points candidats sont avec et
avec0 (1,2,1)M = 1 =
1 ( 1, 2, 1)M = 1 =
3
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Nature des extrema
2 0 0 2
0 2 0 20 0 2 2
2 2 2 0
B
x
yHz
x y z
=
0
2 0 0 2
0 2 0 4( )
0 0 2 2
2 4 2 0
BH M
=
1
2 0 0 2
0 2 0 4( )
0 0 2 2
2 4 2 0
BH M
=
Mthode des mineurs
principauxMthode des pseudo-valeurs
propres
Pour le point 0MPour le point puisquil y a 3 variables (n) etune contrainte (p), n p =2 nous donne le nombrede dterminants calculer
0M
1 0( ) 40BH M =
2 0( ) 96BH M =
2 0 0
0 2 0 4( )0 0 2 2
2 4 2
P
2
0
=
le point candidat avec
est un maximumcontraint.
0M
1 = ( ) 0 2P = =
Pour le point1
M
Pour le point puisquil y a 3 variables (n) etune contrainte (p),
1M
2 0 0
0 2 0 4( )
0 0 2
2 4 2
P
2
2
0
=
( ) 0 2P = =
n p = 2 nous donne lenombre de dterminants calculer
1 1( ) 40BH M =
2 1( ) 96BH M =
le point candidat avecest un minimum
contraint.
1M1 =
4
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2 Contraintes ingalitaires2 2( , ) . . 2 2, 0, 0f x y x y s c x y x y= + +
2 2 2( , ) 2 . . 2 2 2, 0, 0g x y x y s c x y x y= + +
2 2
2 2
0, 0 1 2 0( , ) 2 . .
1 0 1 2
x y x yh x y x y s c
x y x y
+ = +
0 +
Remarque : la condition de qualification des contraintes prendtout son sens lorsquil y a plusieurs contraintes. Cette conditionnous informe dabord sur lindpendance des vecteurs-colonnes
des contraintes et enfin sur le nombre de contraintes saturesdans la rsolution du systme de Lagrange.
1-Soit 2 2( , ) . . 2 2, 0, 0f x y x y s c x y x y= + +
1f C sur et sur2 1ig C 2Choisissant le programme de maximisation
2 2
. . 2 2
x y
s c x y
+ +
avec 0, 0x y
2 2 x y+ ( )2 1g =Remarque : on peut raliser cette condition pour lensemble des
contraintes respecter ( )2 11 0
0 1
g
=
Le seul point stationnaire de la contrainte est lepoint (0,0), nimporte quel point candidat sera une solution dans ledomaine convexe (ensemble des contraintes). Formons le lagrangien :
1 2g x y + 2
2 2
1( , , ) ( 2 2)L x y x y x y = + + + .
5
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Point conseil : le thorme de Kuhn et Tucker exige dans sonapplication 2 conditions :
1- 1f C et (de classe 1.)1ig C2- que les contraintes soient convexes.
En consquence, la lecture des multiplicateurs deLagrange-Kuhn et Tucker indiquent directement lanature de lextremum. On peut aussi dans cetterecherche vrifier si la fonction objective et lescontraintes sont concaves ou convexes.
CNS
2 2 0
2 0
( 2 2) 0 ; 0
Lx
xL
yy
x y
= = = = + =
Si , ce qui sous-entend que . Ceci est unecontrainte sature, alors le systme rsoudre est :
0 1 2g x y + =2
2 2 0
2 0
2 2
x
y
x y
= = + =
42
5x y = = =
Ce systme a pour solution un point candidat acceptable
23
x y = = = .
( )4 2,5 5M = avec4
5 = Ce point est un maximum li.
2
Soit
2 2 2( , ) 2 . . 2 2 2, 0, 0g x y x y s c x y x y = + + 1g C sur et sur2 1ih C
2
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2
2 2
2
. .
x y
s c x y
+ +
avec 0, 0x y
2 22 2x y+ 2 y( )2 2h x =Remarque : on peut raliser cette condition pour lensemble des
conditions respecter ( )
22
1 0
0 1
yx
g
=
Le seul point stationnaire de la contrainte est lepoint (0,0), nimporte quel point candidat est solution dans ledomaine convexe. Formons le lagrangien :
2 21 1h x y +
2 2 2( , , ) 2 ( 1)L x y x y x y = + + + .
CNS
2 2
1 2 0
4 2 0
( 1) 0 ;
Lxx
Ly y
y
x y
= = = = + =
0
Si , ce qui sous-entend que est une contrainte
sature, alors le systme rsoudre est :
0 2 2 1x y+ =
2 2
1 2 0
2 (2 ) 0
1
x
y
x y
= = + =
2 2
12
21
xx y
= = + =
et
0
1
21
y
xx
= = =
1 15; ; 2
4 4
x y = = = 1
1; 0;
2
= = = x y
Ce systme a pour solution les points candidats acceptables
7
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01 15;
4 4M
=
avec et2 = ( )1 1;0M = avec
1
2 = qui sont des
points maxima lis.
3-
2 2( , ) 2h x y x y = +
2 21 0
. . 1 2 0
1 2 0
2 2
2 2
2
1
. . 2 1
2 1
x y
x y
s c x y
x y
+ + + +
x y
s c x y
x y
+
=
)2 1
Condition de qualification des contraintes
Lensemble des contraintes forment bien un ensemble convexe.Vrifions que les quations indpendantes.
2 2
1 2( ) 2
1 2
i
x y
J g Rg J
=
( ) ( ) (2 2 2 21 2 32 1 2 1L x y x y x y x y = + + + + + + +
CNS
1 2 3
1 2 3
2 21 1
2 2
3 3
2 2 0
4 2 2 2 0
( 1) 0 ; 0 (
( 2 1) 0 ; 0 ( 0)
( 2 1) 0 ; 0 ( 0
Lx x
xL
y yy
x y
x y
x y
= + = = =
+ = + = + =
1
2
3
0)
)
1
1- Si , ce qui sous-entend que
et sont des contraintes satures, alors lesystme rsoudre devient :
1 2 30, 0, 0 = > >
2 1x y + = 2x y+ =
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2 3
2 3
2 0
4 2 2 0
2 1
2 1
x
y
x y
x y
+ = = + = + =
2 31 1
0, ,2 2
x y = = = =
et doit tre vrifie par les rsultats obtenus2 2 1x y+ > 2 2 1x y+ =
2x y+ = 1
4 2 2
1
2 1
x x
y y
x y
x y
= =
+ = + =
1 31, 0, 1, 0x y = = = =
1 3
1 3
2 2
2 2 0
0
et doit tre vrifie par les rsultats obtenus2x y + < 1
Le point ( )1 1;0M = avec est non acceptable (la
contrainte n3 sannule en mme temps que ).1 31, 0 = =
3 0 =
3- Si , ce qui sous-entend que
et sont des contraintes satures, alors le systme
rsoudre devient :
3 1 20, 0, 0 = > > 2 2 1x y+ =
2x y + = 1
0
1 2
1 2
2 2
2 2 0
4 2 2
1
2 1
x x
y y
x y
x y
+ = = + = + =
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1 21, 0, 1 et 0x y = = = =
1 23 4 7, , et5 5 5x y = = = =1225
et doit tre vrifie par les rsultats obtenus2x y+ < 1
Le point ( )2 1;0M = avec est non
acceptable (la contrainte n2 sannule en mme tempsque ).
1 21 et 0 = =
2 0 =
Le point ( )3 3 4;5 5M = avec 1 27 1
et5 2
= = 2
5 est non
acceptable (la contrainte n 3 nest pas satisfaite).
3 Programmation linaire
Trouver les solutions des programmes suivants optimiser.
1-
( , ) 2 4
0, 0
2 14. .
12
3 18
Min C x y x y
x y
x ys c
x y
x y
= +
+
+ +
2-
( , , ) 14 12 18
4 0
. . 2 2 0
, , 0
Max x y z x y z
x y z
s c x y z
x y z
= + +
Solutions
1-
min ( , ) 2 4
0, 0
2 14s.c. 12
3 18
C x y x y
x y
x y
x y
x y
= +
+
+ +
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Passons la forme duale du programme pour une rsolution simple.
max 14 12 18
0, 0, 0
s.c. 2 2
3 4
P u w
u w z
u w z
u w z
= + +
+ + + +
z
u w z 1e 2e B TMS
1e 2 1 1 1 0 2 2
2e
1 1 3 0 1 4 4/3P 14 12 18 0 0 0
Solution de base et0 0 0P u w z = = = =0 1 22, 4e e= =
u w z 1e 2e B TMS
u 5/3 2/3 0 1 -1/3 2/3 2/5z 1/3 1/3 1 0 1/3 4/3 4
P 8 6 0 0 -6 -24
Solution et24 2/ 3 0 4/ 3P u w z = = = = 1 20, 0e e= =
u w z 1e 2e B TMS
u 1 2/5 0 3/5 -1/5 2/5 1z 0 1/5 1 -1/5 2/5 6/5 6P 0 14/5 0 24
5
22
5
136
5
Solution136 2 6
05 5 5
P u w z = = = = 1 20, 0e= =et e
u w z 1e 2e Bw 5/2 1 0 3/2 -1/2 1z -1/2 0 1 -1/2 1/5 1
P -7 0 0 -9 -3 -30
Solution finale et30 0 1P u w z = = = = 1 29, 3e e= =
Solution finale 30, 9, 3C x y= = =
11
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2-max 14 12 18
4 0
s.c. 2 2 0
, , 0
x y z
x y z
x y z
x y z
= + +
min 2 4
0, 02 1
s.c.12
18
C u w
u wu w
u w
u w
= +
+ + +
4
x y z 1e 2e B TMS
1e 2 1 1 1 0 2 2
2e 1 1 1 0 1 4 4
14 12 18 0 0
Solution de base et0 0 0P x y z = = = =0 1 22, 4e e= =
x y z 1e 2e B
z 2 1 1 1 0 2
2
e -1 0 0 -1 1 2 -22 -6 0 -18 0 -36
Solution finale 36 0 0 2P x y z = = = = et 1 20, 2e e= =
La contraintes n 2 est pleinement utiliss, il reste 18 de disponiblepour la contrainte n1.
Solution finale 36, 18, 0C u w= = =
Exercices appliqus lconomie
1 Programmation linaire
Une entreprise dsire fabriquer trois produits x, y et z quidgageront des marges sur cot variable respectivement gales 60 , 75 et 93 . Le temps demploi des machines est de 42heures pour chacune. Le temps de passage dans les ateliers dechaque article exprim en centime dheure est rsum par :
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chaque produit x ncessite 3 heures pour lassemblage (A), 5heures le polissage (P) et 3 heures pour la mise en caisse(C).Chaque y exige 6 heures pour lassemblage (A), 2 heures lepolissage (P) et 4 heures pour la mise en caisse(C). Chaqueproduit z exige 9 heures pour lassemblage (A), 3 heures lepolissage (P) et 6 heures pour la mise en caisse(C). Lentreprisedispose de 4 machines pour latelier A, 2 pour latelier B et C.Prsenter et donner la solution du programme de productionvisant maximiser la marge sur cot variable.
Solutions
Lentreprise maximise ses marges.
Tableau des valeursLe temps de passage est donn en centime dheure, il faut multiplierles capacits par 100 pour lhomognit du tableau.
x y z capacitsA 3 6 9 16 800P 5 2 3 8 400C 3 4 6 8 400
Marge 60 75 93
Programme
max 60 75 93
3 6 9 16800
5 2 3 8400s.c.
3 4 6 8400
, , 0
x y
x y z
x y z
x y z
x y z
= + +
+ +
+ + + +
z
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x y z 1e 2e 3e B TMS
1e 3 6 9 1 0 0 16800 1866,67
2e 5 2 3 0 1 0 8400 2800
3e 3 4 6 0 0 1 8400 1400
60 75 93 0 0 0 0
Solution de base et0 0 0x y z = = = =0
1 2 316800, 8400, 8400e e e= = =
x y z 1e 2e 3e B TMS1e -3/2 0 0 1 0 -3/2 4200 -2800
2e 7/2 0 0 0 1 -1/2 4200 1200z 1/2 2/3 1 0 0 1/6 1400 2800
27/2 13 0 0 0 -31/2 -130200
Solution et130200 0 0 1400x y z = = = =
1 2 34200, 4200, 0e e e= = =
x y z 1e 2e 3e B TMS
1e 0 0 0 1 3/7 -12/7 6000 x 1 0 0 0 2/7 -1/7 1200 z 0 2/3 1 0 -1/7 5/21 800 1200
0 13 0 0 -27/7 -95/7 -146400
Solution et146400 1200 0 800x y z = = = =
1 2 36000, 0, 0e e e= = =
x y z 1e 2e 3e B1e 0 0 0 1 3/7 -12/7 6000x 1 0 0 0 2/7 -1/7 1200y 0 1 3/2 0 -3/14 5/14 1200
0 0 -39/2 0 -15/14 -255/14 -162000
La solution finale de lalgorithme du simplexe est :
162000, 1200, 0x y z = = = = et 1 2 36000, 0e e a= = = .
14
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Lentreprise produira 1200 units de biens x , 1200 units debiens y, aucune unit du produit z, pour une marge de 162 000
. Les ateliers B et C sont pleinement utiliss, il reste 60 heuresdatelier A disponibles.
2 Extremum contraint
Les prfrences envers les quantits de biens x et y dunconsommateur sont traduites par la fonction dutilit
0,3 0,7( , )u x y x y= . Le revenu du consommateur slve 50 et les
prix des biens sont 2xp = et 5yp = 1. Trouver le panier qui maximise lutilit.2. Soit une transformation monotone croissante de
( , )u x y suivante : ( ) ln ( , )v u u x y= . Montrer que lon retrouve le
mme rsultat que dans la premire question.
Solutions
1-
Point conseil : Dans le programme traditionnel duconsommateur les conditions du premier ordre sont ncessaireset suffisantes. Ce rsultat permet de rduire ltude delextremum aux seules conditions ncessaires qui deviennentaussi suffisantes.
Formons le lagrangien0,3 0,7( , , ) ( 2 5 50)L x y x y x y = + +
CNS' 0,7 0,7
' 0,3 0,3
'
0,3 2 0
0,7 5 0
2 5 50 0
x
x
L x y
L x y
L x y
= = = + =
=
=
0,3 0,3 0,7 0,70,7 0, 3
5 22 5 50
x y x y
x y
= = + =
0,7 0,7
0,3 0,3
2 0, 7
5 0, 3
2 5 50
x y
x y
x y
= + =
15
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14
152 5 50
y
xx y
= + =
7,5x = et 7y = .
Le point (7,5;7M ) avec 0,143 = est un maximum li.
2-
( ) ln ( , )v u u x y = 0,3 0,7ln 0,3 ln 0,7 lnx y x y = = + alors
( , , ) 0, 3 ln 0,7 ln ( 2 5 50)L x y x y x y
= + + +
CN
0,32 0
0,75 0
2 5 50
L
x xL
y y
L
x y
= = = = = + = 0
0, 3 0, 7
2 5
2 5 50
x y
x y
= = + =
15
14
2 5 5
x
y
x y
= + =
0
0,02
7,5
7
x
y
= = =
Le point candidat est (7,5;7)M =
CS
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2
2
0,30 2
0,7
0 5
2 5 0
B
x
H y
=
et
2
2
0,30 2
7,5
0,7
( ) 0 57
2 5 0
BH M
=
( ) 0,19 0BH M = > cqfd
17