Séance 1 : 20/02/2020

Chapitre I : les suites numériques

I. Définition

Une suite numérique réelle est une application

𝑈:ℕ ⟶ ℝ

𝑛 ⟼ 𝑈 𝑛 = 𝑈𝑛

𝑈𝑛 est l’image de 𝑛 ∈ ℕ par 𝑈, et on l’appelle terme général de la suite notée 𝑈𝑛 𝑛∈ℕ.

Remarque

Le terme 𝑈𝑛 désigne un nombre alors que le terme (Un) désigne une suite.

Exemples de suites

1) Une suite peut être définie en donnant le terme général en fonction de n, c’est-à-dire :

𝑈𝑛 = 𝑓(𝑛)

Exemple : Soit 𝑈𝑛 𝑛∈ℕ la suite définie par

𝑈𝑛 =1 + 𝑛

𝑛² ∀𝑛 ≥ 1

Donc,

- Le premier terme de cette suite est :

𝑈1 =1 + 1

12 = 1

- Le deuxième terme est :

𝑈2 =1 + 2

2² =

3

4

2) Une suite peut également être définie par récurrence, en donnant

- le premier terme de la suite noté U0

- Un+1 en fonction de Un

Autrement dit, chaque terme Un de la suite se calcule à partir du terme précédent Un–1,

c’est-à-dire : 𝑈𝑛 = 𝑓(𝑈𝑛−1) ou encore 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛)

Exemple : Soit 𝑈𝑛 𝑛∈ℕ la suite définie par

𝑈0 = 2

𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 + 5

Donc,

- le terme U1 de cette suite est :

𝑈1 = 2𝑈0 + 5 = 2 × 2 + 5 = 3

- le terme U2 est :

𝑈2 = 2𝑈1 + 5 = 2 × 3 + 5 = 11

3) Une suite peut aussi être définie d’une autre manière, par exemple

𝑈0 = 3

𝑈𝑛+1 = −1 𝑛 + 𝑛𝑈𝑛

II. Suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des cas particuliers des suites

définies par récurrence : 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛).

II.1 Suite arithmétique

Une suite 𝑈𝑛 est dite suite arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant

toujours le même nombre réel r.

On définit une suite arithmétique par son 1er terme a et sa raison r comme suit :

𝑈0 = 𝑎 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 + 𝑟

Elle s’exprime en fonction de n par :

𝑈𝑛 = 𝑈0 + 𝑛𝑟

Exemple

La suite définie par :

U0 = 10 Un+1 = Un − 3

est une suite arithmétique de raison (−3).

Remarque

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de déterminer la différence entre le

terme 𝑈𝑛+1 et le terme 𝑈𝑛 , si le résultat trouvé est une constante, alors il s’agit bien d’une

suite arithmétique.

Exemples

1) Soit 𝑈𝑛 la suite définie par 𝑈𝑛 = 3𝑛 − 2

𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 3 𝑛 + 1 − 2 − 3𝑛 − 2

= 3𝑛 + 3 − 2 − 3𝑛 + 2

= 3

La suite 𝑈𝑛 est donc arithmétique de raison 3 et de premier terme 𝑈0 = −2

2) Soit 𝑉𝑛 la suite définie par 𝑉𝑛 = 𝑛2

𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛 = 𝑛 + 1 2 − 𝑛2

= 𝑛2 + 2𝑛 + 1 − 𝑛2

= 2𝑛 + 1

Le résultat dépend de n, la suite 𝑉𝑛 n’est donc pas arithmétique.

Proposition

Soit 𝑈𝑛 la suite arithmétique de 1er terme a et de raison r. Alors

𝑆𝑛 = 𝑈𝑘

𝑛

𝑘=0

= 𝑈0 + 𝑈1 + ⋯+ 𝑈𝑛 = 𝑛 + 1 𝑈0 + 𝑈𝑛

2

Autrement dit,

𝑆𝑛 = (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒)1𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 + 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒

2

Application :

Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme U1 =

2 et de raison 5.

Séance 2 : 27/02/2020

II.2 Suite géométrique

Définition

La suite géométrique de 1er terme a et de raison r est la suite définie par récurrence par

𝑈0 = 𝑎 𝑈𝑛+1 = 𝑞𝑈𝑛

Elle s’exprime en fonction de n par :

𝑈𝑛 = 𝑎𝑞𝑛

Remarque

Pour montrer qu’une suite 𝑈𝑛 est géométrique, il suffit de calculer le quotient 𝑈𝑛+1

𝑈𝑛, si ce

quotient est une constante, alors il s’agit d’une suite géométrique, de plus, la constante

trouvée est la raison de la suite.

Exemples

1) Soit 𝑈𝑛 la suite définie par

𝑈𝑛 = 5 × 3𝑛+2

𝑈𝑛 + 1

𝑈𝑛=

5 × 3𝑛+3

5 × 3𝑛+2= 3𝑛+3−𝑛−2 = 3

La suite est donc géométrique de raison 3 et de premier terme

𝑈0 = 5 × 32 = 45

2) Soit 𝑉𝑛 la suite définie par

𝑉𝑛 =3𝑛

4𝑛+1

𝑉𝑛+1𝑉𝑛

=

3𝑛+1

4𝑛+2

3𝑛

4𝑛+1

=3𝑛+1

4𝑛+2×

4𝑛+1

3𝑛=

3𝑛+1−𝑛

4𝑛+2−𝑛−1=

3

4

La suite est donc géométrique de raison 3

4 et de premier terme 𝑉0 =

30

41=

1

4

Proposition

Soit 𝑈𝑛 la suite géométrique de 1er terme a et de raison q 1. Alors

𝑆𝑛 = 𝑈𝑘

𝑛

𝑘=0

= 𝑈0 + 𝑈1 + ⋯+ 𝑈𝑛 = 𝑎1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

Autrement dit,

𝑆𝑛 = 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 ×1 − (𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛)𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛

Application

Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de premier terme U1 = 2

et de raison ½

III. Exercices d’application

Exercice 1 : Un artisan fabrique des vases en argile. Il décide de fabriquer 200 vases le mois

de janvier et augmenter sa production de 40 tous les mois. On note pn le nombre de vases

fabriqués le nème mois (n IN*). On a donc p1 = 200.

1) Calculer p2 et p3

2) Déterminer la relation entre pn + 1 et pn pour tout n IN *

3) Exprimer pn en fonction de n pour tout n IN *

4) Combien de vases l’artisan a-t-il fabriqués en décembre ?

5) Pourra-t-il fin décembre honorer une commande de 5000 vases ?

Exercice 2 : On suppose que chaque année, la production d’une usine subit une baisse de

4%. Au cours de l’année 2000, la production a été de 25 000 unités. On note Pn la

production prévue au cours de l’année 2000 + n.

1) Montrer que Pn est une suite géométrique dont on donnera la raison

2) Calculer P5

Si la production descend au dessous de 15 000 unités, l’usine sera en faillite, quand cela

risque-t-il d’arriver si la baisse de 4% par an persiste ?

Exercice 3 : La location annuelle d’une maison se monte à 70 000 Dh. Le locataire s’engage

à louer durant 7 années complètes. Le propriétaire lui propose deux contrats :

1) Contrat n°1 : le locataire accepte chaque année une augmentation de 5% du loyer de

l’année précédente

a. Si U1 est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer Un de la n

ième année en

fonction de n

b. Calculer le loyer de la 7ème année

c. Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d’occupation.

2) Contrat n°2 : le locataire accepte chaque année une augmentation forfaitaire de 4000

Dh

a. Si V1 est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer Vn de la n

ième année en

fonction de n

b. Calculer le loyer de la 7ème année

c. Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d’occupation.

Conclure : quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?

Séance 3 : 05/03/20200

Chapitre II : Mathématiques financières

I. Introduction

On appelle intérêt, la rémunération que génère une somme d’argent empruntée ou

placée auprès d’une banque ou un autre organisme financier. Cette rémunération est en

général sous forme d’un versement périodique de l’emprunteur au préteur.

En d’autres termes, l’intérêt peut être considéré comme étant le prix à payer par

l’emprunteur au préteur, pour avoir rémunérer le service rendu par la mise à disposition

d’une somme d’argent pendant une période de temps.

Le montant de l'intérêt est calculé en fonction de :

- La somme empruntée ou placée, qu’on appelle capital,

- La durée de l’opération

- Un pourcentage annuel appelé taux d’intérêt. Ce dernier peut être fixe ou variable.

Il existe deux types d’intérêt : les intérêts simples et les intérêts composés. Ces deux

derniers font appel aux notions de suites arithmétiques et suites géométriques.

II. Les intérêts simples

II.1 Définition

Les intérêts sont dits intérêts simples lorsqu’ils ne se rajoutent au capital à la fin de la

durée totale de l’opération (placement ou emprunt), c’est-à-dire qu’ils ne produisent pas

eux même des intérêts. En général, ils sont appliqués aux emprunts ou placement à court

terme, c’est-à-dire d’une durée inférieure à un an.

L‘intérêt est calculé proportionnellement au capital, au taux d’intérêt et à la durée

convenue de l’emprunt ou du placement. Il est versé à la fin de cette durée.

II.2 Formules de calcul de l’intérêt simple

Nous utilisons les notations suivantes :

C : Le capital emprunté ou placé en Dh (appelé valeur nominale)

n : La durée du placement ou de l‘emprunt

t : Le taux d‘intérêt annuel exprimé en %

I : L’intérêt simple à calculer en Dh

L’intérêt I est calculé selon que la durée soit exprimée en nombre de jours, de mois ou

d’années.

𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100× 𝑛 si 𝑛 désigne le nombre d′années

𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100×

𝑛

12 si 𝑛 désigne le nombre de mois

𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100×

𝑛

360 si 𝑛 désigne le nombre de jours

Au Maroc, l’année financière est fixée à 360 jours, et chaque mois à son nombre exact de

jours.

Exemples

1) Un capital de 15000 DH est prêté pendant deux ans à un taux annuel de 4,5% fournira

quel l‘intérêt ?

𝐼 = 15000 ×4,5

100× 2 = 1350 𝐷𝐻

L‘emprunteur, à l‘expiration du délai des deux ans, devra remettre à son prêteur la somme de 15000 + 1350 = 16350 DH.

2) Quel est l’intérêt fourni par un capital de 3 600 DH qui est placé à intérêt simple

pendant 9 mois à un taux de 6% ?

𝐼 = 3600 ×6

100×

9

12= 162 𝐷𝐻

Le capital à la fin de ces 9 mois, deviendra 3600 + 162 = 3762 DH

3) Soit un capital de 4 800 DH placé au taux annuel de 4,75% du 12 mars au 17 juillet.

Calculer l’intérêt produit.

Déterminons d’abord la durée du placement :

La somme d’argent est placée du 12 mars au 17 juillet, donc la durée sera :

- Mars : 31 – 12 = 19 jours

- Avril : 30 jours

- Mai : 31 jours

- Juin : 30 jours

- Juillet : 17 jours

Donc la durée totale est : 127 jours.

𝐼 = 4800 ×4,75

100×

127

360= 80,43 𝐷𝐻

A la date 18 juillet, le capital sera : 4 800 + 80,43 = 4880,43 DH.

II.3 Valeur acquise

On appelle valeur acquise par un capital C0, au bout de n périodes, qu’on note VA ou Cn, le

montant final récupéré par le prêteur à la fin de cette période. Il est calculé en rajoutant

l’intérêt produit au bout de la période n à la valeur du capital C0. C’est-à-dire :

𝑉𝐴 = 𝐶𝑛 = 𝐶0 + 𝐼

= 𝐶0 + 𝐶0 × 𝑡 × 𝑛

= 𝐶0 1 + 𝑛𝑡

On peut remarque alors, qu’on est dans le cadre de l'étude d'une suite arithmétique de

premier terme C0 (le capital emprunté ou placé) et de raison C0t.

Dans les exemples précédents, les valeurs acquises sont respectivement 16350 DH, 3762

DH et 4880,43 DH.

Exemple

Une somme de 10 000 Dh est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux d’intérêt

simple annuel de 7%.

1) Calculer le montant de l’intérêt produit à la fin de la fin de la durée

2) Calculer la valeur acquise par ce capital

3) Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 Dh

1) Calcul de l’intérêt :

Déterminons d’abord le nombre de périodes : le capital est placé du 23 Avril jusqu’au 9

Août, donc

- Avril = 30 – 23 = 7 jours

- Mai = 31 jours

- Juin = 30 jours

- Juillet = 31 jours

- Août = 9 jours

Le nombre total de jours est = 7 + 31 + 30 + 31 + 9 = 108 jours.

𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100×

𝑗

360= 10000 ×

7

100×

108

360= 210

2) La valeur acquise est 𝑉𝐴 = 𝐶 + 𝐼 = 10 000 + 210 = 10 210 𝐷ℎ

3) Calculons d’abord le nombre de jours de placement :

𝐼 =𝐶0 × 𝑡 × 𝑛

36000

Donc

𝑛 =𝐼 × 36000

𝐶0𝑡=

315 × 36000

10000 × 7= 162

Donc la date de remboursement pour un intérêt égal à 315 Dh est 162 jours après le 23

avril : 2 octobre.

Nombre de jours Date

162 23 avril

162 – 7 = 155 30 avril

155 – 31 = 124 31 mai

124 – 30 = 94 30 juin

94 – 31 = 63 31 juillet

63 – 31 = 32 31 août

32 – 30 = 2 30 septembre

2 2 octobre

Séance 4 : 12/03/2020

II.4 Valeur actuelle

De même que pour la valeur acquise, on définit la valeur actuelle Va, d’un capital qui a

atteint la valeur C après un placement, à un taux d’intérêt simple t, pendant n périodes, par

la formule simple :

𝑉𝑎 =𝐶

1 + 𝑛𝑡 si 𝑛 désigne le nombre d′années

𝑉𝑎 =12 × 𝐶

12 + 𝑛𝑡 si 𝑛 désigne le nombre d′années

𝑉𝑎 =360 × 𝐶

360 + 𝑛𝑡 si 𝑛 désigne le nombre de jours

Exemples

1) Un capital placé, pendant 5 mois, à un taux d’intérêt simple de 6%, atteint une valeur de

15 000 Dh, quelle est sa valeur actuelle ?

* * * * * * * * * * * * * *

La période de placement est exprimée en mois, donc

𝑉𝑎 =12 × 𝐶

12 + 𝑛𝑡=

12 × 15000

12 + 5 × 0,06= 14 634,15 Dh

2) Quel taux d’intérêt simple faut-il appliquer pour qu’un capital de 20 000 Dh prêté

pendant 60 jours ait une valeur actuelle, au début du prêt, égale à 19801,98 Dh ?

* * * * * * * * * * * * * *

On sait que

𝑉𝑎 =360 × 𝐶

360 + 𝑛𝑡

Donc,

360 + 𝑛𝑡 =360 × 𝐶

𝑉𝑎

D’où,

𝑛𝑡 =360 × 𝐶

𝑉𝑎− 360

Par suite,

𝑡 =360 × 𝐶 − 𝑉𝑎

𝑉𝑎 × 𝑛=

360 × 20000 − 19801,98

19801,98 × 60= 6%

II.5 Taux moyen de plusieurs placements

Considérons trois sommes d’argents C1, C2 et C3 placés à des taux annuels différents t1, t2 et

t3 avec des périodes différentes j1, j2 et j3.

L’intérêt global produit par ces trois capitaux est la somme des intérêts produits par chacun

des trois placements :

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3

𝐼 =𝐶1 × 𝑡1 × 𝑗1

36000+𝐶2 × 𝑡2 × 𝑗2

36000+𝐶3 × 𝑡3 × 𝑗3

36000=

𝐶1𝑡1𝑗1 + 𝐶2𝑡2𝑗2 + 𝐶3𝑡3𝑗336000

Définition

On appelle taux moyen de ces trois placements le taux unique noté tm qui, appliqué à

l’ensemble de ces trois capitaux avec leurs durées respectives, donnerait le même intérêt

global. C’est-à-dire,

𝐼 =𝐶1𝑡1𝑗1 + 𝐶2𝑡2𝑗2 + 𝐶3𝑡3𝑗3

36000=

𝐶1𝑡𝑚 𝑗1 + 𝐶2𝑡𝑚 𝑗2 + 𝐶3𝑡𝑚 𝑗336000

Donc

𝐶1𝑡1𝑗1 + 𝐶2𝑡2𝑗2 + 𝐶3𝑡3𝑗336000

=𝑡𝑚 𝐶1𝑗1 + 𝐶2𝑗2 + 𝐶3𝑗3

36000

Ce qui donne la formule :

𝑡𝑚 =

𝐶1𝑡1𝑗1 + 𝐶2𝑡2𝑗2 + 𝐶3𝑡3𝑗336000

𝐶1𝑗1 + 𝐶2𝑗2 + 𝐶3𝑗336000

=𝐶1𝑡1𝑗1 + 𝐶2𝑡2𝑗2 + 𝐶3𝑡3𝑗3

𝐶1𝑗1 + 𝐶2𝑗2 + 𝐶3𝑗3

D’une manière générale, si on place p capitaux C1, C2, …, Cp avec des durées j1, j2, …, jp et des

intérêts t1, t2, …, tp alors l’intérêt moyen est :

𝑡𝑚 = 𝐶𝑖𝑡𝑖𝑗𝑖

𝑝𝑖=1

𝐶𝑖𝑗𝑖𝑝𝑖=1

Exemple

Calculer le taux moyen des placements suivants :

- 2 000 Dh placés pendant 30 jours à 7%

- 7 000 Dh placés pendant 60 jours à 10%

- 10 000 Dh placés pendant 50 jours à 9%

Nous allons présenter les résultats dans le tableau suivant :

Capitaux

Ci

Périodes

ji

Taux (%)

ti

Nombres

𝐶𝑖 × 𝑗𝑖 𝐶𝑖 × 𝑡𝑖 × 𝑗𝑖

2 000

7 000

10 000

30

60

50

7

10

9

60 000

420 000

500 000

420 000

4 200 000

4 500 000

Total 980 000 9 120 000

D’après la formule,

𝑡𝑚 = 𝐶𝑖𝑡𝑖𝑗𝑖

𝑝𝑖=1

𝐶𝑖𝑗𝑖𝑝𝑖=1

=9120000

980000= 9,30%

II.6 Taux proportionnels

Les taux d’intérêt sont généralement exprimés en taux annuels. Mais, on peut considérer

une période plus courte que l’année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le

jour. Dans le cas des intérêts simples, on parle de taux proportionnels. Les relations de ces

taux avec le taux annuel sont présentées dans le tableau suivant :

Taux proportionnels correspondants

Taux semestriel Taux trimestriel Taux mensuel

Taux annuel (ta) 𝑡𝑠 =𝑡𝑎2

𝑡𝑡 =𝑡𝑎4

𝑡𝑚 =𝑡𝑎12

Exemple

A quel taux semestriel a été placé un capital de 5000 Dh qui, en 102 j, a rapporté 85 Dh

d'intérêts ?

* * * * * * * * * * * * * * *

Soit t le taux annuel de placement. On a un intérêt de 85 Dh, donc

𝐼 = 5 000 ×𝑡

100×

102

360= 85

⇒510 000

36000× 𝑡 = 85

⇒510

36× 𝑡 = 85

⇒ 𝑡 = 85 ×36

510= 6

Donc le taux annuel est de 6%, d'où le taux semestriel de placement

𝑡𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙 =𝑡

2= 3%

II.7 Exercices d’application

Exercice 1 : Soit un capital de 15.000 Dh placé à intérêt simple au taux annuel de 10%

pendant 90 jours.

1) Calculer l’intérêt produit 2) Calculer la valeur acquise

Exercice 2 : Quel est le capital qui, placé au taux annuel de 8%, rapporte 120 Dh d’intérêts

en 90 jours ?

Exercice 3 : Quelle est la somme à prêter, au taux annuel simple de 5 %, pour me faire

rembourser 10 000 DH dans 9 mois ?

Exercice 4 : A quel taux annuel est placé un capital de 7 650 Dh qui acquiert en 120 jours

une valeur acquise de 7 841,25 Dh ?

Exercice 5 : Au bout de combien de jours, un capital de 30 000 Dh, placé au taux annuel de

7,5%, rapporte-t-il 468,75 Dh d’intérêts ?

Exercice 6 : Trois capitaux de montants respectifs 6000 Dh, 9000 Dh et 4000 Dh ont été

placés aux taux d’intérêt simple annuels respectifs 5%, 9% et 8%, pendant les durées

respectives de 4 mois, 3 mois et n3 mois, pour le 3ème capital. Quelle est la durée n3 sachant

que le taux moyen annuel des trois capitaux est 7,5% ?

Séance 5 : 19/03/2020

Corrigé des exercices

Exercice 1 : Soit un capital de 15.000 Dh placé à intérêt simple au taux annuel de 10%

pendant 90 jours.

1) Calculer l’intérêt produit

2) Calculer la valeur acquise

1) 𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100×

𝑗

360=

15000 × 10 × 90

36000= 375

2) VA = 15000 + 375 = 15 375 Dh

Exercice 2 : Quel est le capital qui, placé au taux annuel de 8%, rapporte 120 Dh d’intérêts

en 90 jours ?

Posons C le capital à déterminer,

𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100×

𝑗

360

⇒ 𝐶 =36000 × 𝐼

𝑡 × 𝑗=

36000 × 120

8 × 90= 6000 𝐷ℎ

Exercice 3 : Quelle est la somme à prêter, au taux annuel simple de 5 %, pour me faire

rembourser 10 000 DH dans 9 mois ?

On a la relation

𝐶𝑛 = 𝐶 + 𝐼 = 𝐶 + 𝐶 ×𝑡

100×

𝑛

12= 𝐶 1 +

𝑡 × 𝑛

1200

⇒ 𝐶 =𝐶𝑛

1 +𝑡 × 𝑛1200

=10 000

1 +5 × 91200

= 9638,55 𝐷ℎ

Exercice 4 : A quel taux annuel est placé un capital de 7 650 Dh qui acquiert en 120 jours

une valeur acquise de 7 841,25 Dh ?

𝑉𝐴 = 𝐶 1 +𝑛𝑡

36000

Donc

1 +𝑛𝑡

36000=

𝑉𝐴

𝐶⇒ 𝑛𝑡 = 36000 ×

𝑉𝐴

𝐶− 1

D’où,

𝑡 =36000

𝑛×

𝑉𝐴

𝐶− 1 =

36000

120×

7841,25

7650− 1 = 7,5%

Exercice 5 : Au bout de combien de jours, un capital de 30 000 Dh, placé au taux annuel de

7,5%, rapporte-t-il 468,75 Dh d’intérêts ?

𝐼 = 𝐶 ×𝑡

100×

𝑗

360

⇒ 𝑗 =36000 × 𝐼

𝐶𝑡=

36000 × 468,75

30000 × 7,5= 75 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Exercice 6 : Trois capitaux de montants respectifs 6000 Dh, 9000 Dh et 4000 Dh ont été

placés aux taux d’intérêt simple annuels respectifs 5%, 9% et 8%, pendant les durées

respectives de 4 mois, 3 mois et n3 mois, pour le 3ème capital. Quelle est la durée n3 sachant

que le taux moyen annuel des trois capitaux est 7,5% ?

D’après la définition du taux moyen, on a

𝐶1𝑡1𝑛1 + 𝐶2𝑡2𝑛2 + 𝐶3𝑡3𝑛312 × 100

=𝐶1𝑡𝑚𝑛1 + 𝐶2𝑡𝑚𝑛2 + 𝐶3𝑡𝑚𝑛3

12 × 100

Donc,

𝐶1𝑡1𝑛1 + 𝐶2𝑡2𝑛2 + 𝐶3𝑡3𝑛3 = 𝐶1𝑡𝑚𝑛1 + 𝐶2𝑡𝑚𝑛2 + 𝐶3𝑡𝑚𝑛3

On cherche à déterminer n3,

𝐶3𝑡3𝑛3 − 𝐶3𝑡𝑚𝑛3 = 𝐶1𝑡𝑚𝑛1 + 𝐶2𝑡𝑚𝑛2 − 𝐶1𝑡1𝑛1 − 𝐶2𝑡2𝑛2

Donc,

𝑛3 𝐶3𝑡3 − 𝐶3𝑡𝑚 = 𝐶1𝑡𝑚𝑛1 + 𝐶2𝑡𝑚𝑛2 − 𝐶1𝑡1𝑛1 − 𝐶2𝑡2𝑛2

𝑛3 =𝐶1𝑡𝑚𝑛1 + 𝐶2𝑡𝑚𝑛2 − 𝐶1𝑡1𝑛1 − 𝐶2𝑡2𝑛2

𝐶3𝑡3 − 𝐶3𝑡𝑚

𝑛3 =𝑡𝑚(𝐶1𝑛1 + 𝐶2𝑛2) − 𝐶1𝑡1𝑛1 − 𝐶2𝑡2𝑛2

𝐶3(𝑡3 − 𝑡𝑚 )

𝑛3 =7,5(6000 × 4 + 9000 × 3) − 6000 × 4 × 5 − 9000 × 3 × 9

4000(8 − 7,5)

𝑛3 = 9,75 mois

III. Les intérêts composés

III.1 Définition

Les intérêts sont dits intérêts composés lorsqu’ils s’ajoutent en fin de chaque période au

capital, (et non à la fin de la durée totale de l’opération comme dans le cas des intérêts

simples) et qu’ils produisent eux même des intérêts au cours de la période suivante, on dit

dans ce cas, qu’ils sont capitalisés. Le montant de l’intérêt ainsi que la valeur du capital

changent donc d’une période à une autre.

III.2 Calcul des valeurs acquises

Exemple introductif

Supposons que l’on a placé un capital C0 de 100 000 Dh au taux d’intérêt annuel t = 10%

pour une période de 3 ans.

Période Capital au début de

la période Intérêt généré Capital en fin de la période

1 𝐶0 = 100 000 𝐷ℎ 𝐼1 = 𝐶0 ×

10

100

= 100 000 × 0,1 = 10 000 𝐷ℎ

𝐶1 = 𝐶0 + 𝐼1

= 100 000 + 10 000

= 110 000 𝐷ℎ

2 𝐶1 = 110 000 𝐷ℎ 𝐼2 = 𝐶1 ×

10

100= 110 000 × 0,1

= 11 000 𝐷ℎ

𝐶2 = 𝐶1 + 𝐼2= 110 000 + 11 000

= 121 000 𝐷ℎ

3 𝐶2 = 121 000 𝐷ℎ 𝐼3 = 𝐶2 ×

10

100= 121 000 × 0,1

= 12 100 𝐷ℎ

𝐶3 = 𝐶2 + 𝐼3= 121 000 + 12 100

= 133 100 𝐷ℎ

Donc, au bout de 3 ans, le capital C0 de 100 000 Dh produira un intérêt I :

𝑰 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 = 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟎 𝑫𝒉

Ou

𝑰 = 𝑪𝟑 − 𝑪𝟎 = 𝟑𝟑𝟏𝟎𝟎 𝑫𝒉

Formule générale : Considérons les notations suivantes :

C0 = C : le capital initial

n : Le nombre de périodes que va durer l’opération avec n ≥ 0

Cn : La valeur acquise par le capital à la fin de la période n

t : Le taux d‘intérêt par période

A la fin de la première période, le capital C1 sera :

𝑪𝟏 = 𝑪𝟎 + 𝑪𝟎 × 𝒕 = 𝑪(𝟏 + 𝒕)

A la fin de la deuxième période, le capital C2 sera calculé à partir de C1 :

𝑪𝟐 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟏 × 𝒕 = 𝑪𝟏 𝟏 + 𝒕 = 𝑪 𝟏 + 𝒕 𝟏 + 𝒕 = 𝑪 𝟏 + 𝒕 ²

De même, à la fin de la période 3, le capital C3 sera calculé à partir de C2

𝑪𝟑 = 𝑪𝟐 + 𝑪𝟐 × 𝒕 = 𝑪𝟐 𝟏 + 𝒕 = 𝑪 𝟏 + 𝒕 ² 𝟏 + 𝒕 = 𝑪 𝟏 + 𝒕 𝟑

De proche en proche, on peut conclure que pour une période n ≥ 0, la valeur du capital Cn

sera calculée par:

𝑪𝒏 = 𝑪 𝟏 + 𝒕 𝒏

On remarque ici, que la suite (Cn) est une suite géométrique de premier terme C0 = C et de

raison 1+t.

Exemples d’application

Exemple 1

Un capital de 95 000 Dh est placé à intérêts composés au taux annuel de 2,5%. Quelle sera

sa valeur acquise au bout de 5 ans ?

On a

𝑪𝒏 = 𝑪 𝟏 + 𝒕 𝒏

Donc,

𝑪𝟓 = 𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏 + 𝟎,𝟎𝟐𝟓 𝟓 = 𝟏𝟎𝟕𝟒𝟖𝟑,𝟕𝟖 𝑫𝒉

Exemple 2

Etant donné un capital de 12 000 Dh qui est placé pour une période de 5 ans et 3 mois à

intérêt composé de taux annuel de 7,5%.

𝑪𝟓+

𝟑𝟏𝟐

= 𝑪 𝟏 + 𝟎,𝟎𝟕𝟓 𝟓+𝟑𝟏𝟐 = 𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 × 𝟏,𝟎𝟕𝟓

𝟔𝟑𝟏𝟐 = 𝟏𝟕 𝟓𝟒𝟏,𝟖𝟔 𝑫𝒉

Séance 6 : 26/03/2020

III.3 Valeur actuelle

Lorsqu’on détermine la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés au bout

d’un certains temps de placement, alors cette opération est une capitalisation.

Valeur actuelle Capitalisation Valeur acquise

C0 Cn = C0(1+t)n

A l’inverse, lorsqu’on cherche à déterminer la somme initiale qu’il faut placer à intérêts

composés pour obtenir, après un certain temps de placement, un capital déterminé

(connu), alors cette opération est une actualisation.

Valeur actuelle Actualisation Valeur acquise

C0 = ? Cn

C0 = Cn(1+t)– n

Exemple

Quelle somme faut-il placer à intérêts composés au taux annuel de 7,5% pour obtenir avoir

au bout de trois ans un capital de 20000 DH ?

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

On a 𝑪𝟑 = 𝑪𝟎 𝟏 + 𝒕 𝟑 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

Donc, 𝑪𝟎 = 𝑪𝟑 𝟏 + 𝒕 −𝟑 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏,𝟎𝟕𝟓 −𝟑 = 𝟏𝟔𝟎𝟗𝟗,𝟐𝟎 𝐃𝐡

Exercice : Une somme de 10000 DH est placée pendant 5 ans au taux annuel de 10%.

1) Quelle somme obtient-on à l’issue de ce placement ?

2) Si au bout de cette période de placement on souhaite obtenir 20000 DH, quelle

somme doit-on placer aujourd’hui ?

3) Si la somme placée aujourd’hui est de 10000 DH, après combien de temps disposera-t-

on d’une somme égale à 23580 DH ?

4) Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de 17821 DH à quel taux le

placement a été effectué ?

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1) Valeur acquise

𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 𝟏 + 𝒕 𝒏

Donc, 𝑪𝟓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟏 + 𝟎,𝟏 𝟓 = 𝟏𝟔𝟏𝟎𝟓,𝟏𝟎𝟎 𝐃𝐡

2) Valeur actuelle correspondante à une valeur acquise de 20000 DH.

𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 𝟏 + 𝒕 𝒏

Donc, 𝑪𝟎 = 𝑪𝒏 𝟏 + 𝒕 −𝒏 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟏 + 𝟎,𝟏 −𝟓 = 𝟏𝟐𝟒𝟏𝟖,𝟒𝟐𝟔 𝐃𝐡

3) Durée de placement

𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 𝟏 + 𝒕 𝒏

𝐥𝐧 𝑪𝒏 = 𝐥𝐧 𝑪𝟎 + 𝒏 𝐥𝐧 𝟏 + 𝒕

Donc,

𝒏 =𝐥𝐧 𝑪𝒏 − 𝐥𝐧 𝑪𝟎

𝐥𝐧 𝟏 + 𝒕

Alors,

𝒏 =𝐥𝐧 𝟐𝟑𝟓𝟖𝟎 − 𝐥𝐧 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝐥𝐧 𝟏 + 𝟎,𝟏 = 𝟗 𝐚𝐧𝐬

4) Taux de placement

𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 𝟏 + 𝒕 𝒏

Donc

𝟏 + 𝒕 𝒏 =𝑪𝒏𝑪𝟎

⇔ 𝟏 + 𝒕 = 𝑪𝒏𝑪𝟎

𝒏

⇔ 𝒕 = 𝑪𝒏𝑪𝟎

𝒏

− 𝟏 = 𝑪𝒏𝑪𝟎

𝟏𝒏− 𝟏

⇒ 𝒕 = 𝟏𝟕𝟖𝟐𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓− 𝟏 = 𝟎,𝟏𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟐,𝟐𝟓%

III.4 Taux équivalents

La formule 𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 𝟏 + 𝒕 𝒏 n’est applicable que si le taux d’intérêt t et la durée n sont

homogènes, c’est à dire exprimés dans la même unité de temps.

Si par exemple, les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque mois, la formule ne sera

applicable que si le taux d’intérêt est mensuel, ainsi, le taux d’intérêt correspondant à cette

période devra être calculé. Pour cela, on utilise un taux équivalent.

Relations entre taux annuel et taux mensuel

On calcule le taux annuel à partir d’un taux mensuel et réciproquement par :

𝒕𝒂𝒏𝒏𝒖𝒆𝒍 = 𝟏 + 𝒕𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒆𝒍 𝟏𝟐 − 𝟏

Et

𝒕𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒆𝒍 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝒏𝒖𝒆𝒍𝟏𝟐 − 𝟏

Relation entre taux annuel et taux trimestriel

La relation entre le taux annuel et le taux trimestriel est :

𝒕𝒂𝒏𝒏𝒖𝒆𝒍 = 𝟏 + 𝒕𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒆𝒍 𝟒 − 𝟏

Et

𝒕𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒆𝒍 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝒏𝒖𝒆𝒍𝟒 − 𝟏

Relation entre taux annuel et taux semestriel

De même que dans les deux cas précédents, il existe une relation entre le taux annuel et le

taux semestriel est :

𝒕𝒂𝒏𝒏𝒖𝒆𝒍 = 𝟏 + 𝒕𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒆𝒍 𝟐 − 𝟏

Et

𝒕𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒆𝒍 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝒏𝒖𝒆𝒍𝟐 − 𝟏

Séance 7 : 02/04/2020

III.5 Exercices d’application

Exercice 1 : Nous plaçons la somme de 20000 DH à intérêt composé au taux annuel de

8,14%, après combien de temps disposera-t-on d’une somme égale à 29600 DH ?

Réponse : 5 ans

Exercice 2 : Une personne a emprunté, à intérêts composés au taux annuel de 6%, un

montant de X DH pour une durée de 10 ans. À l’échéance il devra rembourser 150 000

DH. Calculer X.

𝐶0 =? ;𝑛 = 10 𝑎𝑛𝑠 ; 𝑡 = 6%; 𝐶10 = 150 000 𝐷ℎ

𝐶10 = 𝐶0 1 + 𝑡 𝑛 ⇒ 𝐶0 =

𝐶10 1 + 𝑡 𝑛

=150000

1,0610= 83 759,21 Dh

Exercice 3 : Un capital de 120 000 Dh est placé à intérêts composés au taux semestriel

de 6%. Calculer sa valeur acquise au bout de 4 ans.

𝐶0 = 120000 𝐷ℎ ;𝑛 = 4 𝑎𝑛𝑠 ; 𝑡 = 6%; 𝐶𝑛 =?

Le taux est semestriel alors que la durée est exprimée en nombre d’années, donc soit :

- On garde le taux semestriel et exprimer la durée en nombre de semestres

- Ou on garde la durée exprimée en nombre d’années et calculer le taux annuel

équivalent au taux semestriel de 6%.

Exprimons la durée en nombre de semestres, c'est-à-dire n = 4 ans = 8 semestres

𝐶𝑛 = 𝐶0 1 + 𝑡 𝑛 = 120000 × 1,06 8 = 191261,76 Dh

Exercice 4 : Un capital de 9750 DH a acquis une valeur de 13 000 DH après 4 ans et 7

mois de placement à intérêts composés. Déterminer le taux annuel de ce placement.

𝐶0 = 9750 𝐷ℎ ; 𝑛 = 4 𝑎𝑛𝑠 𝑒𝑡 7 𝑚𝑜𝑖𝑠 = 4 +7

12=

55

12; 𝑡 = ? ; 𝐶𝑛 = 13000 𝐷ℎ

𝐶𝑛 = 𝐶0 1 + 𝑡 𝑛 ⇒ 1 + 𝑡 𝑛 =

𝐶𝑛𝐶0

⇒ 1 + 𝑡 = 𝐶𝑛𝐶0

1𝑛⇒ 𝑡 =

𝐶𝑛𝐶0

1𝑛− 1 =

13000

9750

1255

− 1

= 1,33 1255 − 1 = 6,47%

Exercice 5 : Une somme de 20 000 DH est placée à intérêts composés pendant 6 ans au

taux annuel de 10%.

Quelle somme obtient-on à l’issue de ce placement ?

Exercice 6 : Une somme de 100 000 Dh a été acquise au terme d’un placement de 10 ans, à

intérêt composé, avec un taux annuel de 3%. Quelle a été sa valeur actuelle ?

Exercice 7 : Nous plaçons la somme de 20000 DH à intérêt composé au taux annuel de

8,14%, après combien de temps disposera-t-on d’une somme égale à 29600 DH ?

IV. Les annuités

Exemples introductifs

Exemple 1 : Une personne veut acquérir une maison pour 600 000 DH, pour cela, elle place

annuellement à sa banque une somme de 50 000 DH.

But : Constituer un capital

Versements : annuels et constants

Période : année

Exemple 2 : la personne a un crédit de 600 000 DH. Pour rembourser ce crédit, elle verse

mensuellement une somme de 2000 DH.

But : Remboursement de crédit

Versements : mensuels constants

Période : mois

Définition

On appelle annuités, des versements réguliers effectués à des intervalles de temps

constants (périodes). Dans le but d’acquérir un capital ou de rembourser une dette.

On utilise le terme « annuité » pour des versements annuels, « semestrialité » pour les

versements qui se font par semestre, « trimestrialité » dans le cas des trimestres

et « mensualité » pour des versements mensuels.

Lorsque le montant de chaque versement périodique reste identique, l’annuité est dite

constante.

IV.1 Les annuités constantes

IV.1.1 Valeur acquise

On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme

des annuités (Vn) exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité.

Exemple : Une personne verse annuellement 1000 DH à la banque pendant 4 ans.

Quelle est la somme retirée au moment du dernier versement (taux 10%)

1000 1000 1000 1000 1000 annuités

0 1 2 3 4 5 périodes

Valeur acquise ?

A la fin de la première année :

V1 = 1000 (c’est le premier versement)

A la fin de la deuxième année :

V2 = 1000 + 1000 (1,1)

(le deuxième versement + le premier versement qui a généré un intérêt)

A la fin de la troisième année

V3 = 1000 + 1000 (1,1) + 1000 (1,1)2

A la fin de la quatrième période :

V4 = 1000 + 1000 (1,1) + 1000 (1,1)² + 1000 (1,1)3

V4 = 1000 (1,1)3 + 1000 (1,1)² + 1000 (1,1) + 1000

Dans le cas général,

Si on note par:

Vn : la valeur acquise par la suite des annuités

a : l’annuité constante de fin de période

n : le nombre de périodes (d’annuités)

t : le taux d’intérêt par période de capitalisation

On a alors,

Vn = a + a(1+t) + a(1+t)2 + …..+ a(1+t)n-2 + a(1+t)n-1

Vn = a [ 1 + (1+t) + (1+t)2 + …..+ (1+t)n-2 + (1+t)n-1 ]

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1 + t) et

comprenant n termes.

La formule devient donc:

Vn = a (1 + t)n − 1

1 + t − 1 = a

(1 + t)n − 1

t

Remarque : pour utiliser la formule ci-dessus, il faut que le taux considéré et la durée

correspondent au même type de versement. Si, par exemple, les versements sont

semestriels, il faut que le taux soit semestriel et la durée exprimée en nombre de

semestres.

Séance 8 : 16/04/2020

Applications

Recherche de la valeur acquise :

Nous plaçons, à intérêts composés au taux mensuel de 0,60%, chaque mois 1000 DH

pendant deux ans.

Quel est le montant du capital ainsi constitué au moment du dernier versement ?

La période est le mois : le taux utilisé est le taux mensuel.

𝑉8 = 1000 (1 + 0,006)24 − 1

0,006= 25731,21 𝐷𝐻

Recherche de l’annuité :

Quel doit être le montant de chacune des 20 annuités qui permettraient de constituer au

moment du dernier versement un capital de 100 000 DH au taux annuel de 11% ?

a=1557,56dh

Recherche de n

Combien d’annuités constantes de 10 000 Dh faut-il verser en fin de période, pour obtenir

un capital de 150 000 Dh au taux annuel de 7%?

N=10,60

IV.1.2 La valeur actuelle

On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes, la somme (V0) qu’on peut

emprunter pour que la suite des annuités puisse rembourser l’emprunt, intérêt compris.

La valeur actuelle d’une suite d’annuités est la somme V0 répondant à la question suivante :

« Quelle somme V0 puis-je emprunter si je veux le rembourser en versant n annuités de

valeur a en fin de période ?»

Si on note par:

V0 = la valeur actuelle par la suite des annuités

a = l’annuité constante de fin de période

n = le nombre de périodes (d’annuités)

t = le taux d’intérêt par période de capitalisation

Alors,

V0 = Vn (1+t)n

𝑉0 = a 1 − (1 + 𝑡)−𝑛

𝑡

Exemple

Quelle somme d’argent peut-on emprunter si on s’engage à le rembourser par le paiement

de dix « trimestrialités » égales à 5625 DH chacune, le premier remboursement ayant lieu

trois mois après la remise des fonds ? Taux trimestriel : 2,20%.

𝑉0 = 5625 1 − (1 + 0,022)−10

0,022= 5625

1 − 0,804435

0,022= 50002 𝐷𝐻

IV.1.3 La valeur acquise exprimée p périodes après le dernier versement

Exemple :

Une personne effectue un versement mensuel de 2000 Dh à son compte en banque

pendant 12 mois avec un taux mensuel de 0,4%. Après la 12ème mensualité, il arrête ses

versements et laisse le capital générer des intérêts composés pendant les 4 mois suivants.

Question : Quelle est la valeur acquise par ce capital à la fin de ces 4 mois ?

1) la valeur acquise par les 12 mensualités est :

…

2) le capital constitué (V12) est placé pendant 4 mois à intérêt composé, donc il deviendra :

…

D’une façon générale, notons Vn la valeur acquise de la suite des annuités constantes et

Vn+p la valeur acquise par Vn après p périodes du dernier versement.

2000 2000 2000 2000

4 2 1 11 2 1 0

V12+4 ?

12

V12

Alors :

𝑉𝑛 = 𝑎 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖

Et Vn+p = Vn (1+i)p

𝐷𝑜𝑛𝑐, 𝑣𝑛+𝑝 = 𝑎 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑝

Application

Nous constituons un capital par 15 versements semestriels consécutifs de 10000 DH

chacun.

Nous cessons nos versements, mais laissons le capital porter intérêts composés pendant 2

ans.

Calculer la valeur acquise 2 ans après le dernier versement. Taux annuel de capitalisation:

6%

𝑉15 = 10000 (1 + 𝑡)15 − 1

𝑡

t étant le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 6% :

𝑡 = 1 + 0,06 − 1 = 1,0295630 − 1 = 0,0295630

La valeur acquise au moment du 15ième et dernier versement porte intérêts composés

pendant 4 semestres.

V19 = V15 (1+t)4

𝑣19 = 10000 (1 + 𝑡)15 − 1

𝑡× (1 + 𝑡)4

Donc :

a a a a

p 2 1 n n-1 2 1 0

Vn Vn+P ?

𝑣19 = 10000 (1,0295630)15 − 1

0,0295630× (1,0295630)4 = 208309,25 𝐷𝐻

IV.1.4 La valeur actuelle exprimée p période avant la date d’origine

Une somme d’argent V a été placée à intérêt composé pendant p périodes, la valeur

acquise après cette période est de V0. à partir de la pème période, on commence à effectuer

des versements pendants n périodes. L’objectif est de calculer la valeur initiale V.

La valeur actuelle de la suite des versements est :

On a V0 = a 1−(1+i)−n

i

Et : V = V0 (1 + i)-p

Alors :

V = a 1−(1+i)−n

i × (1 + i)−p

Application

Nous faisons un placement de x DH à intérêts composés au taux annuel de 8,25%.

Quatre années après ce placement, nous retirons chaque année 16000 DH. Au cinquième

retrait, le compte est épuisé.

Quel est le montant de ce placement ?

𝑥 = 16000 1 − (1 + 0,0825)−5

0,0825 × (1 + 0,0825)−3 = 50032 DH

a a a a

p+0 p+n p+3 p+2 p+1 2 1 0

V ? V0

Séance 9 : 23/04/2020

IV.2 Les annuités variables

IV.2.1 La valeur acquise

Si on note par :

Vn : la valeur acquise par la suite des annuités

ap : l’annuité à la date p

n : le nombre de périodes (d’annuités)

t : le taux d’intérêt par période de capitalisation

Alors,

𝑉𝑛 = a𝑝

𝑛

𝑝=1

(1 + 𝑖)𝑛−𝑝

IV.2.2 La valeur actuelle

Si on note par :

V0 : la valeur actuelle

ap : l’annuité à la date p n : le nombre de périodes (d’annuités) t : le taux d’intérêt par période de capitalisation Alors,

𝑉0 = a𝑝

𝑛

𝑝=1

(1 + 𝑖)−𝑝

IV.3 Exercices d’application

Exercice 1

Calculer, dans chacun des cas suivants, la valeur acquise par une suite de versements

périodiques et constants, immédiatement après le dernier versement:

a) 18 annuités égales chacune à 12 500, taux annuel : 9,60%

b) 12 semestrialités égales chacune à 4500 Dh. Taux annuel : 7%

c) 16 trimestrialités égales chacune à 2800 Dh. Taux annuel 6 %

d) 36 mensualités de 1200 Dh. Taux mensuel 2,5 %

𝑎) 𝑉18 = 12500 1,096 18 − 1

0,096= 547 790,20 Dh

𝑏) 𝑉12 = 4500 1,04 12 − 1

0,04= 67 616,10 Dh

𝑐) 𝑉16 = 2800 1,0225 16 − 1

0,0225= 53 215,11 Dh

d) Le taux mensuel équivalent

(1,12)1/12 – 1 = 0,009488793

𝑉36 = 1200 1,009488793 36 − 1

1,009488793= 51 209,21 Dh

Exercice 2

Combien d’annuités constantes de 10 000 Dh faut-il verser en fin de période, pour obtenir

par capitalisation au taux de 7% un capital de 157836 Dh ?

***************************

𝑉 = 𝑎 (1 + 𝑡)𝑛 − 1

𝑡⇔ (1 + 𝑡)𝑛 − 1 =

𝑡𝑉

𝑎

⇔ (1 + 𝑡)𝑛 =𝑡𝑉

𝑎+ 1 ⇔ 𝑛𝑙𝑛(1 + 𝑡) = ln(

𝑡𝑉

𝑎+ 1) ⇔ 𝑛 =

𝑙𝑛 𝑡𝑉𝑎

+ 1

𝑙𝑛(1 + 𝑡)= 11

Exercice 3 : Un fond de commerce est acheté à 300 000 Dh payable par 12 annuités

constantes au taux de 10 %. Quel doit être le montant de chaque annuité ?

********************

𝑉0 = 𝑎 1 − (1 + 𝑡)−𝑛

𝑡⇔ 𝑎 =

𝑡𝑉01 − 1 + 𝑡 −𝑛

=0,1 × 300000

1 − 1,1 −12= 44028,99 Dh

Exercice 4 : Déterminer la valeur acquise par une suite de 10 annuités constantes de 3800

Dh chacune au taux annuel de 10,40 %

a) au moment du dernier versement ;

b) 2 ans après le dernier versement ;

c) 3 ans et 6 mois après le dernier versement ;

**********************

𝑎) 𝑉10 = 3800 (1,104)10 − 1

0,104= 61 736,07 Dh

𝑏) 𝑉12 = 𝑉10 1 + 𝑡 2 = 61 736 × 1,1042 = 75 244,90 Dh

𝑐) 𝑉13+

12

= 𝑉10 1 + 𝑡 3,5 = 61 736 × 1,1043,5 = 87 283,21 Dh

Exercice 5 : Combien faut-il payer par mois pour rembourser un emprunt de 400 000 Dh sur

15 ans au taux annuel de 5% ?

Réponse : 38536,91 Dh

Exercice 6 : Quelle somme d’argent peut-on emprunter si on s’engage à le rembourser par

le paiement de dix « mensualités » égales à 625 DH chacune, le premier remboursement

ayant lieu un mois après la remise des fonds ? Taux mensuel : 1,10%.

⧠ 5 887,93 Dh ⧠ 6253,21 Dh

⧠ 6 250,00 Dh ⧠ 5 625, 11 Dh

Exercice 7 : combien faut-il verser d’annuités de 1200 DH, capitalisés au taux annuel de 6%,

pour constituer un capital de 10 000DH au moment du dernier versement.

⧠ 7 ⧠ 5

⧠ 12 ⧠ 11

Exercice 8 : On emprunte 120 000 DH, s’engageant à rembourser cette somme en 36

versements mensuels consécutifs égaux, le premier versement ayant lieu un mois après la

réception des fonds.

Quel est le montant de la mensualité calculé au taux mensuel de 2 % ?

⧠ 4 707,94 Dh ⧠ 3 600,21 Dh

⧠ 1 250,00 Dh ⧠ 5 625, 11 Dh

Exercice 9 : Nous constituons un capital par 6 versements annuels consécutifs de 10 000 DH

chacun. Nous cessons nos versements, mais laissons le capital porter intérêts composés

pendant 2 ans.

Calculer la valeur acquise 2 ans après le dernier versement. Taux annuel de capitalisation:

6%

⧠ 78 374,67 Dh ⧠ 68 543,21 Dh

⧠ 62 500,20 Dh ⧠ 86 225, 11 Dh