Chapitre 9 : Equation de la chaleur

0. Préambule

• Dans ce chapitre, on s’intéressera aux aspects microscopiques de l’agitation thermique.

• Il existe un lien entre la diffusion et la conductivité thermique.

1. Loi de Fourier

• Flux de chaleur : énergie par unité de temps traversant une surface unitaire

- similaire à la loi de Fick

- inégalité :

- chaleur se propage du plus chaud au plus froid

- unités de la conductivité thermique :

!J = !" !"T

T1 T2

!J

T1 > T2

• Origine microscopique : diffusion de molécules chaudes dans les froides

!W/m2

"| !J | =

!Q

!T

! [W/mK]

- mouvement important des particules chaudes

- bons conducteurs : électrons libres

loi de Fourier

• Equation de la chaleur : bilan d’énergie sur une tranche d’épaisseur dx

!J

x x+

dx

SP = J(x)S ! J(x + dx)S

P = !!J

!xSdx

P = cm!T

!t

puissance :

Joule : avec m = !Sdx

au total : !c"T

"t= !"J

"x

avec la loi de Fourier, on obtient!T

!t=

"

#c

!2T

!x2équation de la chaleur

elle est mathématiquement identique à l’équation de diffusion !

• Equation généralisée : !T

!t=

"

#c!2T

• Valeurs typiques des coefficients :

- les gaz sont de bons isolants. - les métaux sont de bons conducteurs de chaleur (électrons libres)- dans les solides, la glace est mauvais conducteur de chaleur

2. Solutions stationnaires

T (x, t) = T (x)

• Solution stationnaire :

• Gradients de température :

!T

!t= 0

!2T

!x2= 0 T (x) = ax + b

conditions aux limites : T (0) = T1

T (L) = T2

T (x) = T1 +!

T2 ! T1

L

"x

x

T

0 L

T1

T2

• Température à une distance d’un filament : symétrie cylindrique

!2T = 0

T (!,", z) = T (!)

1!

"

"!

!!"T

"!

"+

1!2

"2T

"#2+

"2T

"z2= 0

dT

d!=

a

!! T2

T1

dT = a

! !2

!1

d!

!

T2 ! T1 = !T = a ln!2

!1

3. Solutions non-stationnaires

• Solution oscillante : on chauffe un point périodiquement

T (0, t) = T0 exp(!i!t)

T (x, t) = T0f(x) exp(!i!t)

on recherche habituellement une solution du type

(séparation des variables)

d2f

dx2+ i

!"c

#f = 0dans Fourier :

f(x) = exp(!kx) k =!

!"c

2#(1! i)solution pour f : avec

solution réelle du problème :

T (x, t) = T0 exp!!

"!"c

2#x

#sin

!!t!

"!"c

2#x

#

• Application : températures diurnes

4. Coefficients de transport

• Analogies entre phénomènes physiques :

!J = !D!""diffusion de matière (loi de Fick)

!JQ = !"!"Tflux de chaleur (loi de Fourier)

transfert d’impulsion !Jp = !"!"v (viscosité des fluides)

courant électrique !Je = !"!"V (loi d’Ohm)

- le “moteur” de chaque phénomène de transport est un gradient

- chaque matière sera caractérisée par ses coefficients de transport

• Retour sur la diffusion : comment unifier flux macro et description micro ?

Jx =12!(x! "x)vx !

12!(x + "x)vx

Jx = !vx!x"#

"x

tranche de fluide d’épaisseur : dx = 2!x

bilan :

Jx = !v2x!

"#

"x

v2 = v2x + v2

y + v2z = 3v2

xfluide isotrope :

Jx = !13v2!

"#

"xD =

v2!

3=

v"

3Fick

le coefficient de diffusion est lié au libre parcours moyen et à la vitesse des particules

Jx

!x

• Flux d’énergie thermique :

(JQ)x =12n!(x! "x)vx !

12n!(x + "x)vx

(JQ)x = !vx!xn"#

"x= !vx!xn

"#

"T

"T

"x

!x

(JQ)x

la conductivité thermique est liée à la diffusion de matière et à la chaleur spécifique

! =nc̃v"v

3= nc̃vD

!"

!T=

cv

N=

c̃v

NA

remarque : c̃v chaleur spécifique / mole

chaleur spécifique / particule

• Conductivité électrique :

loi d’Ohm :

v = µF = µeE

Je = µe2nE

! = µe2n =ne2"

mv

densité de courant :

(vitesse des porteurs de charge)avec

au total :

!Je = " !E = !"!"V

| !Je| = env

µ =!

m=

"

mvcar

• Loi de Wiedemann-Franz : lier les conductivités thermique et électrique des métaux

gaz d’électrons libres participe aux conductivités thermique et électrique

c̃v

NA=

32kB ! =

n"vkB

2

!

"=

n!vkB2

ne2!mv

!v" =!

8kBT

!mavec

!

"= LT

petite correction quantique L =!2k2

B

3e2= 2.45 10!8 W!/K2

remarquablement indépendant de la densitéet de la nature de la matière métallique !