chapitre 4elm

S.Boukaddid Elctromagntisme MP2

Force de Laplace

Table des matires

1 Force de Laplace 21.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Travail de la force de Laplace sur un circuit filiforme ferm . . . . . . . . . . 4

2 Diple magntique rgide dans un champ extrieur 52.1 Enrgie potentielle dinteraction dun diple magntique rgide dans un

champ magntostatique extrieur uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Action dun champ maghtostatique extrieur sur un diple magntique r-

gide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 / 6


1 Force de Laplace

1.1 Force de Lorentz

Une charge q ,anim dune vitesse v dans un rfrentiel R,dans un champ lectroma-gntique subit la force de Lorentz

F = q(E +v B )=F el +F m

F el = qE : force lectrique F m = qv B : force magntique

1.2 Effet Hall

Considrons un fil conducteur de longueur a selon Ox et de largeur b selon Oy et dpais-seur c selon Oz. Une tension U continue,applique entre les faces du conducteur ortho-gonales Ox,fait circuler un courant continue dintensit I et de densit de courant uni-

formej = I

bce x . Le conducteur est plac dans un champ magntique B =Be z .

+ + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -

1

2j

I

U

UH

B

v eE H

z

y

x

B

ev

F =ev B

Rgime transitoirePendant le rgime transitoire,tout lectron de conduction (q =e) subit :

une force lectriqueF el = qE 0 =eU

ae x qui tend le dplacer dans le sens

des x dcroissants

une force magntique F m = qv B = e(ve x) (Be z) = evBe y quitend dvier la trajectoire de llectron vers la face (1).

les lectrons de conduction se dirigent et saccumulent sur la face (1) qui secharge ngativement,la face (2) se charge positivement

les charges surfaciques qui apparaissent sur les deux faces crent un champmagntostatique appell Champ de Hall

E H dirig de la face (2) vers la face

(1)

les lectrons de conductions seront soumis une troisime forceF H = qE H,dirigselon Oy ,qui tend compenser la force magntique (voir figure)

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v

F =ev Bdviation de

la trajectoirede e

B

j

x

y (2)

(1) EH

v

F =ev B

eE H jUH

(1)

+ + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

B

rgime transitoire rgime permanent

y

x

(2)

Rgime permanent la force magntique est compense par la force cre par le champ Hall le champ de Hall est dtermin par

E H+v B =0

E H =v B =Bve y j = nqv = neve x E H = 1

neB je y

E H =RHB j avec RH = 1

neRH : constante de Hall

Tension de Hall E H =

gradUH EH =dUH

dyUH =RH jB

b/2b/2

dy

UH =RHB jb =RH BIc

Ordre de grandeur dans le cas de largent : n = 6.1028m3 pour c = 0,1mm,B = 1T,I = 5A on

obtient UH = 52V la tension UH est observable pour les semi-conducteurs (n 1022m3)

Remarque : la mesure de la tension UH en pratique permet de dterminer le champmagntique : cest le principe dune sonde de Hall

1.3 Force de Laplace

DfinitionDfinition : La force de Laplace est la force exerce par le champ lectromagntique(E ,B ) sur lensemble des charges dun conducteur.

F L =F m +F f

F m : force sexerant sur les porteur de charges mobiles F f : force sexerant sur les charges fixes

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pour les charges mobiles : dF m = nqd(E 0+E H+v B ) pour les charges fixes : dF f =nqd(E 0+E H) la force de Laplace appliqu sur llement de volume d dun conducteur

dF L = dF m +dF f = nqdv B =j dB

dF L =j dB

la densit volumique de la force de Laplacef L =j B

la force de Laplace sexerant sur un lement de surface dS dune nappe decourant

dF L =j sdSB

la force de Laplace sexerant sur un lment de longueur dl dun circuitfiliforme

dF L = I

dl B

Moment de force de Laplace sur un circuit filiforme (C) rsultante : F L =

(C)

Idl B

moment au point O : O =

C

OM (Idl B )

si B =B 0 : est uniforme on montre queO =M B 0

avecM = IS

1.4 Travail de la force de Laplace sur un circuit filiforme ferm

Considrons un circuit (C) filiforme fermparcouru par un courant lectrique I. Le cir-cuit se dplace entre les instant t et t+dt avecun vecteur

dr dans une zone de lespace o il

rgne un champ magntiqueB .On note par

2Sc : surface dcoupe par le dplace-ment de llment de circuit

dl

Sc : surface dcoupe par le dplace-ment du circuit (C)

dr

dl

2Sc

I

(C) t (C) t +dt Flux coup

le travail lementaire de la force de LaplaceWL =

(C)

(Idl B ).dr

(dl B ).dr = (dr dl ).B =2Sc .

B

on dfinit le flux lmentaire coup,cest--dire le flux du champ magn-tique

B travers la surface lmentaire coupe par llment de circuit dl ,

par

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2c =B .2Sc

le flux coupe par le circuit (C) lors dun dplacement lmentaire dr

c =

(C)2=

(c)

B .2SC

le travail de la force de Laplace lors du dplacement drW = Ic

le flux coupe est donne par

c =

SL

B .dS

avec SL = SC : la surface dcoupe par le dplacement du circuit Thorme de Maxwell

le flux de B travers le circuit t : (t )=

S(t ))

B .dS

le flux de B travers le circuit t +dt : (t +dt )=

S(t+dt )B .dS

= S(t )SS(t +dt )

B .dS = 0=(t )+c +(t +dt )

d= cEnonc : Le travail des forces de Laplace,agissant sur le circuit dplac dans un champmagntique extrieur permanent,est

WL = I.d

Energie potentielle de la force de Laplace WL =dEp = Id

Ep =I lvolution libre dun circuit tend minimiser lnergie potentielle,donc

augmenter le flux du champ magntique travers le circuit.

2 Diple magntique rgide dans un champ extrieur

2.1 Enrgie potentielle dinteraction dun diple magntique rgide dansun champ magntostatique extrieur uniforme

Diple magntique rgide : un diple magntique rgide est une boucle de courant ind-formable

M = I

(S)dSn = IS

W = I.d= d(I)= d(I

(S)

BdSn

)= d[

I.

((S)

dSn)

.B

]= d(M .B )

Ep =M .B

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Exemple : Energie dinteraction de deux diples magntiques rgides

Considrons deux diples magntiques r-

gides A1 et A2,de moments magntiquesM1

etM2.Le diple A1 cre un champ magn-

tique au point A2 tq

B 1(A2)= 0

4pi

[3(M1.

e 12)e 12M1r 3

]avec e 12 : vecteur unitaire dirige de A1 versA2

1

M1

2M2

A1

A2

r

lnergie du diple A2 dans le champ magntique produit par A1 est

Ep =M2.B 1(A2)= 04pi

[M1.

M23(M1.e 12)(M2.e 12)

r 3

] si 1 = 2 = 0,lnergie potentielle est minimale

Ep =04pi

2M1.M2r 3

siM1 =M2 =B = 9,27.1024A.m2 : magnton de Bohr et r = a = 0,2nm

Ep =04pi

22Ba3

=6,7.1012eV

2.2 Action dun champ maghtostatique extrieur sur un diple ma-gntique rgide

F L =grad

E p =

grad(

M .

B )

F L =

grad(

M .

B )

si B est uniforme : F L =0 le moment de la force de Laplace lorsque B est uniforme

L =M B

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Force de LaplaceForce de LorentzEffet HallForce de LaplaceTravail de la force de Laplace sur un circuit filiforme ferm

Diple magntique rgide dans un champ extrieurEnrgie potentielle d'interaction d'un diple magntique rgide dans un champ magntostatique extrieur uniformeAction d'un champ maghtostatique extrieur sur un diple magntique rgide

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