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CHAPITRE 4 :Integrales doubles et triples

19 janvier 2017

() CHAPITRE 4 : Integrales doubles et triples 19 janvier 2017 1 / 70

4.0 Introduction

Dans ce chapitre, nous n’allons pas developper la theorie generale del’integrale d’une fonction de n variables sur une partie bornee de Rn,n ≥ 1. Nous nous contenterons de donner des methodes de calcul desintegrales doubles et triples (cad n = 2, n = 3) sur des compactsparticuliers, ceux dont on peut delimiter leur frontiere par des fonctionscontinues.

() CHAPITRE 4 : Integrales doubles et triples 2 / 70

4.1 Integrales doubles4.1.1 Theoreme et definition.

Theoreme 1.1 (Theoreme et definition.)

Soit ∆ le compact de R2 defini par :

∆ ={(x, y) ∈ R2/x ∈ [a, b] , α(x) ≤ y ≤ β(x)

}, (1)

• a, b sont des reels (a < b),

• α et β des fonctions numeriques continues sur [a, b] et verifiantα(x) ≤ β(x) pour tout x ∈ [a, b] .

Soit f une fonction continue sur ∆. On appelle integrale double de f sur∆, le nombre,

I =∫

∆f (x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ β(x)

α(x)f (x, y)dy

)dx.


Figure : Compact de R2 delimite verticalement par deux fonctions continues


4.1.2 Remarques

1 Le theoreme transforme l’integrale double en deux integrales simplesemboitees.

2 Si ∆ = [a, b]× [c, d] , cad ∆ est un rectangle de R2, alors∫∆

f (x, y)dxdy =∫ b

a

(∫ d

cf (x, y)dy

)dx.

3 En echangeant les roles de x et y, on peut calculer l’integrale doublede f sur le compact ∆ de R2 defini par :

∆ ={(x, y) ∈ R2/y ∈ [c, d] , γ(y) ≤ x ≤ δ(y)

}, (2)

ou c, d sont des reels (c < d), γ et δ sont deux fonctions continuessur [c, d] et verifiant γ(y) ≤ δ(y) ∀y ∈ [c, d] . On aura dans ce cas,∫

∆f (x, y)dxdy =

∫ d

c

(∫ δ(y)

γ(y))f (x, y)dx

)dy.


Figure : Compact de R2 delimite horizontalement par deux fonctions continues


4.1.3 Exemples

1 Calcul de∫

∆ xydxdy ou∆ =

{(x, y) ∈ R2/x ≥ 0, y ≥ 0 et x + y ≤ 1

}.


Cherchons d’abord une description hierarchique du compact ∆. On peutrepresenter ∆ de deux manieres differentes

∆ ={(x, y) ∈ R2/x ∈ [0, 1] , 0 ≤ y ≤ 1− x

}, (3)

∆ ={(x, y) ∈ R2/y ∈ [0, 1] , 0 ≤ x ≤ 1− y

}. (4)

X Si ∆ est de la forme (3), on obtient,∫∆

xydxdy =∫ x=1

x=0

(∫ y=1−x

y=0xydy

)dx

=∫ x=1

x=0x(∫ y=1−x

y=0ydy)

dx

=∫ 1

0x(1− x)2

2dx =

124

.


Exemples [suite]

X Si ∆ est de la forme (4), on obtient,∫∆

xydxdy =∫ y=1

y=0

(∫ x=1−y

x=0xydx

)dy

=∫ y=1

y=0y(∫ x=1−y

x=0xdx)

dy

=∫ 1

0y(1− y)2

2dy =

124

.

Notons que∫ 1

0

(∫ 1−x

0xydy

)dx =

∫ 1

0

(∫ 1−y

0xydx

)dy.


Exemples [suite]

2 Calcul de I =∫

∆ y2dxdy ou ∆ ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ r2, r > 0

}.


Une description hierarchique de ∆ est donne par :

∆ =

{(x, y) ∈ R2/y ∈ [−r, r] , x ∈

[−√

r2 − y2,√

r2 − y2

]}.

D’ou,

I =∫

∆y2dxdy

=∫ y=r

y=−ry2

(∫ x=√

r2−y2

x=−√

r2−y2dx

)dy

=∫ r

−r2y2√

r2 − y2dy

= 4∫ r

0y2√

r2 − y2dy.


Exemples [suite]

En faisant le changement de variable y = r sin θ, on obtient

I = 4∫ π

2

0r4 sin2 θ cos2 θdθ = r4

∫ π2

0sin2 2θdθ

= r4∫ π

2

0

(1− cos 4θ

2

)dθ =

πr4

4.

Notons qu’on peut representer le compact ∆ sous la forme

∆ ={(x, y) ∈ R2/x ∈ [−r, r] , y ∈

[−√

r2 − x2,√

r2 − x2]}

.


Exemples [suite]

3 Calcul de I =∫

∆2

(1+x+y)3 dxdy ou ∆ = [0, 1]× [0, 1].

Ici, ∆ est un rectangle de R2.


Donc,

I =∫

∆

2

(1 + x + y)3 dxdy

=∫ y=1

y=0

(∫ x=1

x=0

2

(1 + x + y)3 dx

)dy

=∫ y=1

y=0

[−1

(1 + x + y)2

]x=1

x=0

dy

=∫ 1

0

(1

(1 + y)2 −1

(2 + y)2

)dy =

13

.


4.1.4 Theoreme de Fubini : Inversion des bornes

Proposition 1.1

Soit ∆ un compact de R2 admettant deux representations de la forme (1)et (2). Soit f une fonction continue sur ∆. Alors,∫

∆f (x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ β(x)

α(x)f (x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ δ(y)

γ(y)f (x, y)dx

)dy.

Remarque 1.1

Le theoreme signifie qu’on peut changer l’ordre d’integration sans changerla valeur de l’integrale.


Corollaire 1.1

Soit ∆ = [a, b]× [c, d] un rectangle de R2 et f une fonction continue sur∆. Alors,∫

∆f (x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ d

cf (x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

af (x, y)dx

)dy.

En particulier, si f (x) = g(x)h(y) sur ∆, alors,∫∆

f (x, y)dxdy =∫ b

a

(∫ d

cg(x)h(y)dxdy

)=

∫ d

c

(∫ b

ag(x)h(y)dxdy

)

=

(∫ b

ag(x)dx

)(∫ d

ch(y)dy

).


Exemple 1

Calculer∫[0,1]×[0,2]

2yex

1+y2 dxdy. D’apres le corollaire 1.1, nous avons,

∫[0,1]×[0,2]

2yex

1 + y2 dxdy =

(∫ x=1

x=0exdx

)(∫ y=2

y=0

2y1 + y2 dy

)= [ex]x=1

x=0[ln(1 + y2)]y=2

y=0

= (e− 1) ln 5.


4.2 Integrales triples

Soit ∆ un compact de R3 admettant la representation hierarchiquesuivante :

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/x ∈ [a, b] , u(x) ≤ y ≤ v(x), α (x, y) ≤ z ≤ β (x, y)

},

(5)

• a et b sont des reels (a < b),• u et v des fonctions continues sur [a, b] et verifiant

u(x) ≤ v(x) ∀x ∈ [a, b] ,• α et β des fonctions numeriques continues sur le compact

K ={(x, y) ∈ R2/x ∈ [a, b] , u(x) ≤ y ≤ v(x)

},

α(x, y) ≤ β(x, y) ∀ (x, y) ∈ K.


Figure : Compact de R2 delimite horizontalement par deux fonctions continues


4.2.1 Theoreme et definition.

Theoreme 2.1 (Theoreme et definition)

Soit f une fonction continue sur le compact ∆ defini par (5).On appelle integrale triple de f sur ∆, le nombre

I =∫

∆f (x, y, z)dxdydz =

∫ b

a

[∫ v(x)

u(x)

(∫ β(x,y)

α(x,y)f (x, y, z)dz

)dy]

dx.


4.2.2 Exemples

1 Calculer I =∫[0,π]3

cos(x + y− z)dxdydz. On a

I =∫ x=π

x=0

[∫ y=π

y=0

(∫ z=π

z=0cos(x + y− z)dz

)dy]

dx

=∫ x=π

x=0

(∫ y=π

y=0[− sin(x + y− z)]z=π

z=0 dy)

dx

=∫ x=π

x=0

(∫ y=π

y=0[sin(x + y)− sin(x + y− π)] dy

)dx

=∫ x=π

x=0

([cos(x + y− π)− cos(x + y)]y=π

y=0

)dx

=∫ π

0[2 cos x− cos(x + π)− cos (x− π)] dx

= [2 sin x− sin(x + π)− sin (x− π)]π0 = 0.


Exemples [suite]

2 Calculer I =∫

∆1

(1+x+y+z)3 dxdydz ou

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 et x + y + z ≤ 1

}.

Une description hierarchique du compact ∆ est donne par :

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1− x] , et z ∈ [0, 1− x− y]

}.

D’ou,

I =∫ x=1

x=0

[∫ y=1−x

y=0

(∫ z=1−x−y

z=0

1

(1 + x + y + z)3 dz

)dy

]dx

=12

∫ x=1

x=0

∫ y=1−x

y=0

[−1

(1 + x + y + z)2

]z=1−x−y

z=0

dy

dx

=12

∫ x=1

x=0

(∫ y=1−x

y=0

(1

(1 + x + y)2 −14

)dy

)dx


Exemples [suite]

I =12

∫ x=1

x=0

[−1

(1 + x + y)− y

4

]y=1−x

y=0dx

=12

∫ 1

0

(−1

2− 1− x

4+

11 + x

)dx =

ln 22− 5

16.

3 Calculer I =∫

∆ ydxdydz ou

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ z ≤ 1

}.

Une description hierarchique du compact ∆ est donne par :

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

√1− x2, x2 + y2 ≤ z ≤ 1

}.


Donc, I =∫ x=1

x=0

[∫ y=√

1−x2

y=0y(∫ z=1

z=x2+y2dz)

dy

]dx

=∫ x=1

x=0

[∫ y=√

1−x2

y=0y([z]z=1

z=x2+y2

)dy

]dx

=∫ x=1

x=0

[∫ y=√

1−x2

y=0y(1− x2 − y2) dy

]dx

=∫ x=1

x=0

[∫ y=√

1−x2

y=0

[(1− x2) y− y3] dy

]dx

=∫ x=1

x=0

[(1− x2) y2

2− y4

4

]y=√

1−x2

y=0

dx

=∫ 1

0

[(1− x2)2

2−(1− x2)2

4

]dx =

215

.


Proprietes des integrales multiples

Soit ∆ un compact de Rn, n = 2 ou n = 3, f et g deux fonctionsnumeriques continues sur ∆. Par la suite, pour simplifier les notations, onnote x = (x1, x2, . . . , xn) et dx = dx1dx2 . . . dxn.4.3.1 Linearite

Proposition 3.1

Pour tous reels λ et µ, on a∫∆[λf (x) + µg(x)] dx = λ

∫∆

f (x)dx + µ∫

∆g(x)dx.

4.3.2 Positivite

Proposition 3.2

Si pour tout y ∈ ∆, f (x) ≥ 0, alors∫

∆ f (x)dx ≥ 0.


4.3.3 Monotonie

Proposition 3.3

Si pour tout x ∈ ∆, f (x) ≤ g(x), alors∫

∆ f (x)dx ≤∫

∆ g(x)dx.En particulier,

∣∣∫∆ f (x)dx

∣∣ ≤ ∫∆ |f (x)| dx.

4.3.4 Inegalite de Cauchy-Schwarz

Proposition 3.4(∫∆

f (x)g(x)dx)2

≤(∫

∆[f (x)]2 dx

)(∫∆[g(x)]2 dx

).

4.3.5 Aires et volumes

Proposition 3.5

Si f est une constante egale a 1 sur ∆, alors

• Pour n = 2,∫

∆dxdy = Aire (∆) .

• Pour n = 3,∫

∆dxdydz = Volume (∆) .


4.3.6 Additivite selon les domaines

Proposition 3.6

Soit ∆1 et ∆2 deux compacts de R2 tel que :Aire(∆1 ∩ ∆2) = 0 et f une fonction continue sur ∆1 ∪ ∆2. Alors,∫

∆1∪∆2

f (x, y)dxdy =∫

∆1

f (x, y)dxdy +∫

∆2

f (x, y)dxdy.

Exemple 2

Calculer ∫∆

xy2dxdy

ou ∆ est la partie bornee par l’axe des x positifs et les droites d’equationsy = 2x, y = −2x et x = 1.


Exemple (suite)

• Si on represente le compact ∆ sous la forme

∆ = {(x, y) ∈ R2/x ∈ [0, 1],−2x ≤ y ≤ 2x},


Exemple (suite)

alors,∫

∆xy2dxdy =

∫ x=1

x=0x(∫ y=2x

y=−2xy2dy

)dx

=∫ 1

0x[

y3

3

]y=2x

y=−2xdx

=163

∫ 1

0x4dx =

1615

.

• Si l’on considere ∆ comme reunion de deux compacts,∆ = ∆1 ∪ ∆2 avec

∆1 ={(x, y) ∈ R2/y ∈ [0, 2],

y2≤ x ≤ 1

},

∆2 =

{(x, y) ∈ R2/y ∈ [−2, 0],

−y2≤ x ≤ 1

},


Exemple (suite)

alors, ∫∆

xy2dxdy =∫

∆1

xy2dxdy +∫

∆2

xy2dxdy

=∫ 2

0y2(∫ 1

y2

xdx)

dy +∫ 0

−2y2(∫ 1

− y2

xdx)

dy.

Dans ce cas, on a deux integrales a calculer au lieu d’une seule integrale.


4.4 Changement de variables4.4.1 Theoreme de changement de variables et exemples

Definition 4.1

Soit U et V deux ouverts de Rn et ϕ : U −→ V une applicationdifferentiable sur U telle que∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ U, ϕ (x) = (ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , . . . , ϕn (x)).

On appelle matrice jacobienne de ϕ sur U, la matrice carreed’ordre n definie par :

Jϕ (x) =

∂ϕ1∂x1

(x) · · · ∂ϕ1∂xn

(x)...

. . ....

∂ϕn∂x1

(x) · · · ∂ϕn∂xn

(x)

, x ∈ U.

On appelle jacobien de ϕ sur U, le determinant de la matricejacobienne de ϕ et on le note det

[Jϕ (x)

].


Definition 4.2

Soit U et V deux ouverts de Rn et ϕ : U −→ V une application. On ditque ϕ est un diffeomorphisme de U sur V si ϕ verifie les trois conditionssuivantes :

(i) ϕ est bijective ;

(ii) ϕ est de classe C1 ;

(iii) ϕ−1 est de classe C1.

Proposition 4.1

Soit U et V deux ouverts de Rn et ϕ : U −→ V une application. Pourque ϕ soit un diffeomorphisme de U sur V, il faut et il suffit que ϕ soitbijective, de classe C1 et que son jacobien ne s’annule pas sur U.


Exemple 3

Soit U ={(r, θ) ∈ R2/r ∈ ]0, 1[ , θ ∈ ]0, 2π[

}et ϕ l’application definie

sur U par :

ϕ (r, θ) = (ϕ1 (r, θ) , ϕ2 (r, θ)) = (r cos θ, r sin θ) .

Montrons que ϕ est un diffeomorphisme de U sur ϕ(U).• Montrons que ϕ est de classe C1.

Les fonctions, ϕ1 et ϕ2 sont de classe C∞ sur U.Donc ϕ est une fonction de classe C∞ sur U.D’ou ϕ est de classe C1.


Exemple (suite)

• Montrons que ϕ est bijective.Soit (x, y) ∈ ϕ (U) .

(x, y) = ϕ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) ⇔

x = r cos θ

y = r sin θ.

D’ou, x2 + y2 = r2.Comme r ∈ ]0, 1[ , on deduit que

r =√

x2 + y2; cos θ =x√

x2 + y2; sin θ =

y√x2 + y2

.

Connaissant cos θ et sin θ, l’angle θ est defini a 2π pres.Or, dans U, θ ∈ ]0, 2π[ .Donc, ∀ (x, y) ∈ ϕ (U) , ∃! (r, θ) ∈ U tel que(x, y) = ϕ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) . Donc, l’application ϕ estune bijection de U dans ϕ (U) .


Exemple (suite)

• Montrons que le jacobien de ϕ ne s’annule pas sur U. Lamatrice jacobienne de ϕ est donnee par :

Jϕ (r, θ) =

∂ϕ1∂r

∂ϕ1∂θ

∂ϕ2∂r

∂ϕ2∂θ

=

∂x∂r

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

=

cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

.

Donc, det[Jϕ (r, θ)

]=

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

∣∣∣∣∣∣ = r.

Ce jacobien ne s’annule pas sur U. En vertu de la proposition(4.1), ϕ est un diffeomorphisme de U sur ϕ (U).


Theoreme 4.1 (theoreme de changement de variables)

Soient :

X K un compact de Rn,

X ϕ un diffeomorphisme deoK sur ϕ

(oK)

(oK designe

l’interieur de K),

X f une fonction continue sur ϕ (K) = ∆.

Alors, on a∫

∆f (x) dx =

∫K(foϕ) (y)

∣∣det[Jϕ (y)

]∣∣ dy. (6)

Remarque 4.1

1 On utilise le changement de variables soit pour s’implifier lescompacts, soit pour s’implifier les calculs.

2 Si n = 1 (c.a.d on se place dans R), la formule de changement devariables pour les integrales simples est un cas particulier de laformule enoncee dans le theoreme 4.1.


Remarque 4.2

En effet, soit ϕ : [α, β] −→ ϕ ([α, β]) une fonction bijective de classe C1

sur [α, β].Cette notion correspond a celle de ϕ diffeomorphisme de ]α, β[ surϕ (]α, β[).Soit f une fonction continue sur ϕ ([α, β])et posons a = ϕ(α), b = ϕ(β).Considerons le changement de variable x = ϕ(t). On a∫ b

af (x)dx =

∫ ϕ(β)

ϕ(α)f (x)dx

=∫ ϕ(β)

ϕ(α)f [ϕ(t)] ϕ′(t)dt

=∫ ϕ(β)

ϕ(α)f [ϕ(t)]det

[Jϕ (t)

]dt,

car pour une fonction ϕ de R −→ R, Jϕ(t) = ϕ′(t)et det

[Jϕ (t)

]= ϕ′(t).


Exemple 4

1 Calculer∫

∆ (x + y) dxdy ou ∆ est le compact delimite par deuxparaboles et deux hyperboles.

∆ =

{(x, y) ∈ R2/

x2

2≤ y ≤ x2,

12x≤ y ≤ 1

x

}.

Faisons le changement de variables suivant :(u, v) = φ (x, y) =

( yx2 , xy

).


Exemple (suite)

Pour pouvoir appliquer la formule de changement de variables, nousdevons calculer ϕ = φ−1, K = φ (∆) et le jacobien de ϕ.

Calcul de ϕ = φ−1. Pour cela, on resoud le systemeu = y

x2

v = xy⇔

x = u−1/3v1/3

y = u1/3v2/3.

D’ou,

(x, y) = ϕ (u, v) = (ϕ1 (u, v) , ϕ2 (u, v)) =(

u−1/3v1/3, u1/3v2/3)

.

Calcul de K = ϕ−1(∆) = φ (∆) . Pour cela, on remplace x et y parleur expression en fonction de u et v dans les inegalites qui definissentle compact ∆.


Exemple (suite)

D’ou, K =

{(u, v) ∈ R2/

(u−1/3v1/3)2

2≤ u1/3v2/3 ≤

(u−1/3v1/3

)2,

12u−1/3v1/3 ≤ u1/3v2/3 ≤ 1

u−1/3v1/3

}

=

{(u, v) ∈ R2/

12≤ u ≤ 1,

12≤ v ≤ 1

}=

[12

, 1]×[

12

, 1]

.

Calcul du jacobien de ϕ. On a

det[Jϕ (u, v)

]=

∣∣∣∣∣(

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

)∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ −

u−43 v

13

3u−

13 v−23

3u−

23 v

23

32u

13 v−13

3

∣∣∣∣∣∣ = − 13u6= 0.

ϕ est bijective, de classe C1 sur] 1

2 , 1[×] 1

2 , 1[

et det[Jϕ (u, v)

]6= 0.


Exemple (suite)

Donc, d’apres la proposition 4.1, ϕ est un diffeomorphisme de] 12 , 1[×] 1

2 , 1[

sur ϕ(] 1

2 , 1[×] 1

2 , 1[)

.Calculons maintenant la valeur de

∫∆ (x + y) dxdy.∫

∆(x + y) dxdy =

∫K

(u−

13 v

13 + u

13 v

23

) ∣∣det[Jϕ (u, v)

]∣∣ dudv

=∫

K

(u−

13 v

13 + u

13 v

23

) 13u

dudv

=13

∫ 1

12

[∫ 1

12

(u−

43 v

13 + u

−23 v

23

)du]

dv

=13

(∫ 1

12

u−43 du)(∫ 1

12

v13 dv)

+13

(∫ 1

12

u−23 du)(∫ 1

12

v23 dv)

=34

(−1 + 2

13

) (1− 2−

43

)+

35

(1− 2−

13

) (1− 2−

53

).


Exemple (suite)

2 Calculer le volume interieur a l’ellipsoıde d’equation

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1,

Figure : Ellipsoide avec a=4, b=2 et c=1


Exemple (suite)

ou a, b et c sont des reels strictement positifs. Notons E cette ellipsoıde.On a

E =

{(x, y, z) ∈ R3/

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1}

.

Effectuons le changement de variables suivant :

(x, y, z) = ϕ (u, v, w) = (ϕ1 (u, v, w) , ϕ2 (u, v, w) , ϕ3 (u, v, w)) ,

avecϕ1 (u, v, w) = au, ϕ2 (u, v, w) = bv, ϕ3 (u, v, w) = cw,

(x, y, z) ∈ E ⇔ (u, v, w) ∈ B ={(u, v, w) ∈ R3/u2 + v2 + w2 = 1

}.

On verifie que ϕ est une bijection de classe C1 suroB. Comme

det[Jϕ (u, v, w)

]=

∣∣∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

a 0 00 b 00 0 c

∣∣∣∣∣∣ = abc 6= 0,


Exemple (suite)

alors, ϕ definit un diffeomorphisme deoB vers ϕ

(oB)=

oE. La formule (6)

de changement de variables donne∫E

dxdydz = abc∫

Bdudvdw = abc× volume de la boule unite

=4abcπ

3.


Exemple (suite)

3 Calculer∫

∆z3

(y+z)(x+y+z)dxdydz ou,

∆ = {(x, y, z) ∈ R3/x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}.

Posonsx + y + z = u, v = y + z, z = w

⇔

(x, y, z) = ϕ (u, v, w) = (u− v, v−w, w).

Le jacobien de ϕ est donne par :∣∣∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

1 −1 00 1 −10 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 1.

On verifie facilement que ϕ est une bijection de classe C1


Exemple (suite)

Donc, d’apres la proposition 4.1, ϕ est un diffeomorphisme deoK sur

ϕ

(oK)=

o∆ ou K = {(u, v, w) ∈ R3/ u ∈ [0, 1] , v ∈ [0, u] , w ∈ [0, v]}.

Par application de la formule (6) de changement de variables, on deduitque∫

∆

z3

(y + z) (x + y + z)dxdydz =

∫K

w3

uvdudvdw

=

(∫ 1

0

1u

∫ u

0

(1v

∫ v

0w3dw

)dv)

du

=14

∫ 1

0

1u

(∫ u

0

(v3) dv

)du

=1

16

∫ 1

0u3du

=1

64.


4.4.2 Changement de variables en coordonnees polaires(integrale double)

Soit K le compact de R2 defini par :

K = [r1, r2]× [0, 2π] , 0 ≤ r1 < r2.

Posons

(x, y) = ϕ (r, θ) = (ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ)) = (r cos θ, r sin θ) .

Nous avons,(r, θ) ∈ [r1, r2]× [0, 2π]

⇔(x, y) ∈ ∆ =

{(x, y) ∈ R2/ r2

1 ≤ x2 + y2 ≤ r22}

.

En vertu de l’exemple 3, ϕ est un diffeomorphisme deoK = ]r1, r2[× ]0, 2π[

sur la couronne ϕ

(oK)=

o∆ =

{(x, y) ∈ R2/r2

1 < x2 + y2 < r22}

.


La formule (6) de changement de variables s’ecrit dans ce cas,∫∆

f (x, y)dxdy =∫

Kf (r cos θ, r sin θ)rdrdθ.


La figure ci-dessous explicite les coordonnees polaires.


Remarque 4.3

Le changement de variables en coordonnees polaires s’impose lorsque lecompact ∆R est un disque de centre 0 et de rayon R.

∆R ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ R2} .

Le changement de variables en coordonnees polaires envoie le compact ∆sur le compact rectangulaire

KR ={(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π

}.

(x, y) = ϕ (r, θ)

(r, θ) = ϕ−1 (x, y)


Exemple 5

1 Calcul de∫

∆Rxydxdy ou

∆R ={(x, y) ∈

(R+)2 /x2 + y2 ≤ R2

}.


Exemple (suite)

Posons le changement de variables

(x, y) = ϕ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) ,

Nous avons,

(x, y) ∈ ∆R ⇔ (r, θ) ∈ K ={(r, θ) ∈ R2/r ∈ [0, R] , θ ∈

[0,

π

2

]}.

ϕ est bijective, de classe C1 suroK = ]0, R[×

]0, π

2

[et

det[Jϕ (r, θ)

]= r 6= 0 sur

oK. Donc, d’apres la proposition 4.4.1.3, ϕ est

un diffeomorphisme deoK = ]0, R[×

]0, π

2

[sur

o∆ =

{(x, y) ∈ (R+)

2 /x2 + y2 < R2}

.


Exemple (suite)

La formule (6) de changement de variable donne∫∆

xydxdy =∫

Kr3 cos θ sin θdrdθ =

∫ π2

0

[cos θ sin θ

(∫ R

0r3)

dr]

dθ

=

(∫ π2

0cos θ sin θdθ

)×(∫ R

0r3dr

)=

[−cos 2θ

4

] π2

0

[r4

4

]R

0=

R4

8.

2 Calcul de∫

∆Re−(x2+y2)dxdy ou

∆R ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ R2} .


(x, y) = ϕ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) ,

(x, y) ∈ ∆⇔ (r, θ) ∈ K ={(r, θ) ∈ R2/r ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π]

}.() CHAPITRE 4 : Integrales doubles et triples 53 / 70

Exemple (suite)

ϕ est une bijection de classe C1 suroK = ]0, R[× ]0, 2π[ et

det[Jϕ (r, θ)

]= r 6= 0 sur

oK. Donc, d’apres la proposition 4.4.1.3, ϕ est

un diffeomorphisme deoK = ]0, R[× ]0, 2π[ sur

o∆ =

{(x, y) ∈ (R+)

2 /x2 + y2 < R2}

. Par application de la formule (6)

de changement de variables, nous deduisons∫∆

e−(x2+y2)dxdy =∫

Kre−r2

drdθ =∫ 2π

0

(∫ R

0re−r2

dr)

dθ

=

(∫ 2π

0dθ

)×(∫ R

0re−r2

dr)= π

(1− e−R2

).


4.4.3 Changement de variables en coordonnees cylindriques(integrale triple)

Considerons l’application

ϕ : R3 −→ R3

(r, θ, z) ϕ (r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) .

ϕ est de classe C1 sur R3 et le jacobien de ϕ est donne par :

det[Jϕ (r, θ, z)

]=

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ = r.



K ={(r, θ, z) ∈ R3/θ ∈ [0, 2π] ; 0 ≤ r ≤ g (z) ; z ∈ [z1, z2]

},

ou g est une fonction numerique continue sur [z1, z2] .


On verifie facilement que ϕ est un diffeomorphisme deoK sur ϕ

(oK)=

o∆.

(r, θ, z) ∈ K

⇔

(x, y, z) = ϕ (r, θ, z) = (ϕ1(r, θ, z), ϕ2(r, θ, z), ϕ3(r, θ, z)) ∈ ∆ = ϕ (K) .

avec,

ϕ1(r, θ, z) = r cos θ, ϕ2(r, θ, z) = r sin θ, ϕ3(r, θ, z) = z.


f (x, y)dxdydz =∫

Kf (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz

=∫ 2π

0

∫ g(z)

0

∫ z2

z1

f (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz (7)


La figure ci-dessous explicite les coordonnees cylindriques.

les coordonnees cylindriques sont definies par :r =

∥∥∥−→OH∥∥∥ =

√x2 + y2, r ∈ [0,+∞[ ,

θ =(ex,−→OH

)= arctan

( yx

), θ ∈ [0, 2π] ,

z = z z ∈ R,

et definissent de maniere unique la position du point M (x, y, z) .() CHAPITRE 4 : Integrales doubles et triples 58 / 70

4.4.3.1. Exemples

1 Calculer∫

∆

(x2 + y2 + z

)dxdydz ou,

∆ = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 ≤ 9,−5 ≤ z ≤ 5}.


(x, y, z) = ϕ (r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) .

Nous avons,(x, y, z) ∈ ∆

⇔(r, θ, z) ∈ K =

{(r, θ, z) ∈ R2/r ∈ [0, 3] , θ ∈ [0, 2π] , z ∈ [−5, 5]

}.

On verifie que ϕ est un diffeomorphisme deoK = ]0, 3[× ]0, 2π[× ]−5, 5[suro∆ = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 < 9,−5 < z < 5}.


La formule (7) donne∫∆

(x2 + y2 + z

)dxdydz =

∫K

(r2 + z

)rdrdθdz

=

(∫ θ=2π

θ=0dθ

) [∫ z=5

z=−5

(∫ r=3

r=0r3 + rzdr

)dz]

= 2π∫ 5

−5

[r4

4+

zr2

2

]3

0dz

= 2π∫ 5

−5

(9z2+

814

)dz

= 2π

[9z2

4+

814

z]5

−5= 405π.


2 Calculer le volume du cylindre

∆ = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 ≤ R2, z ∈ [0, h]}.Le volume du cylindre ∆ est donne par : V(∆) =

∫∆ dxdydz.

En passant aux coordonnees cylindriques, on obtient

V(∆) =(∫ 2π

0dθ

)(∫ R

0rdr)(∫ h

0dz)= πhR2,

ce qui correspond bien a la formuleVolume = (aire de base)× (hauteur) = πhR2


4.4.4 Changement de variables en coordonnees spheriques ,(integrale triple)

Considerons l’application

ϕ : R3 −→ R3

(r, θ, φ) ϕ (r, θ, φ) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) .

ϕ est de classe C1 sur R3 et le jacobien de ϕ est donne par :

det[Jϕ (r, θ, φ)

]=

∣∣∣∣∣∣sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φsin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ

cos θ −r sin θ 0

∣∣∣∣∣∣= r2 sin θ.



K ={(r, θ, φ) ∈ R3/r ∈ [0, R] ; θ ∈ [0, π] ; φ ∈ [0, 2π]

}.

L’image du compact K par l’application ϕ est la boule fermee de R3 decentre (0, 0, 0) et de rayon R, cad,

ϕ (K) = ∆ ={(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ R2} .

On verifie facilement que ϕ est un diffeomorphisme deoK = ]0, R[× ]0, π[× ]0, 2π[ sur

ϕ

(oK)=

o∆ =

{(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 < R2} . Nous avons,

(r, θ, φ) ∈ K ⇔ (x, y, z) ∈ ∆,

ou,

(x, y, z) = ϕ (r, θ, φ) = (ϕ1(r, θ, φ), ϕ2(r, θ, φ), ϕ3(r, θ, φ)) ,


avec,

ϕ1(r, θ, φ) = r sin θ cos φ; ϕ2(r, θ, φ) = r sin θ sin φ; ϕ3(r, θ, z) = r cos θ.

Notons aussi que

(r, θ, φ) ∈ K⇔

r =

√x2 + y2 + z2,

θ = arccos(

z√x2+y2+z2

),

φ = arccos(

x√x2+y2

).



f (x, y, z)dxdydz =∫

Kf (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)r2 sin θdrdθdφ.

(8)La figure ci-dessous explicite les coordonnees spheriques.


Sur la figure, les coordonnees spheriques sont definies par :

r =∥∥∥−→OM

∥∥∥ , avec r ∈ [0,+∞[ ,

θ =(ez,−→OM

), avec θ ∈ [0, π] ,

φ =(ex,−→OH

), avec φ ∈ [0, 2π] ,

et definissent de maniere unique la position du point M (x, y, z)

Exemples 6

1 Caculer∫

∆1√

x2+y2+z2dxdydz ou

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/R2

1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ R22, 0 ≤ R1 < R2

}.


(x, y, z) = ϕ (r, θ, φ) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)


Exemples (suite)

(x, y, z) ∈ ∆

⇔ (r, θ, φ) ∈ K ={(r, θ, φ) ∈ R2/r ∈ [R1, R2] , θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π]

}.

Par application de la formule (8), on obtient∫∆

1√x2 + y2 + z2

dxdydz =∫

K

r2

rsin θdθdrdφ

=∫ R2

R1

∫ π

0

∫ 2π

0

r2

rsin θdθdrdφ

= 2π(R2

2 − R21)

.


Exemples (suite)

2 Caculer∫

∆

(x2 + y2) dxdydz ou

∆ ={(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 1

}.


(x, y, z) = ϕ (r, θ, φ) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)

(x, y, z) ∈ ∆

⇔

⇔ (r, θ, φ) ∈ K ={(r, θ, φ) ∈ R2/r ∈ [0, 1] , θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π]

}.


Exemples (suite)

La formule (8) donne∫∆

(x2 + y2) dxdydz =

∫K

r4 sin3 θdθdrdφ

=∫ 1

0

∫ π

0

∫ 2π

0r4 sin3 θdθdrdφ

=

(∫ 1

0r4dr

)(∫ π

0sin3 θdθ

)(∫ 2π

0dφ

)=

2π

5

∫ π

0sin3 θdθ =

2π

5

∫ π

0

[1− cos2 θ

]sin θdθ

=2π

5

∫ π

0sin θdθ − 2π

5

∫ π

0cos2 θ sin θdθ

=2π

5[− cos θ]π0 +

2π

513[cos3 θ

]π

0

=4π

5− 4π

15=

8π

15.


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