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Principes de communications II

MIC42401

Chapitre 2. Modulation numérique dans un canal AWGN


MIC42402

Sujet du chapitre

• Signaux et types de modulation pour transmettre l’information numérique binaire à travers un canal analogique

• Représentation géométrique des signaux

• Démodulation dans le cas d’un canal corrompu par du bruit AWGN (bruit additif, blanc et gaussien)

• Performance de la transmission– Transmission en bande de base

– Transmission en bande passante (par onde porteuse)

• L’étude porte sur la transmission d’un seul message (one-shot); le cas de messages multiples sera traité plus loin.

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MIC42403

Contenu• Modulation numérique binaire et M-aire

– Signaux orthogonaux et procéedure de Gram-Shmidt

– Représentation géométrique des signaux

• Schémas de modulation binaire– Polaire

– Quadrature

• Démodulation dans un canal AWGN

• Performance

• Cas M-aire


MIC424045.4

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MIC42405

Modulation numérique• Associe un signal analogique à chaque valeur de bit ou groupe de

bits pour l’adapter au canal de communication (qui est analogique)

• Peut se faire de deux façons :

• Modulation binaire : permet la transmission bit par bit en utilisant un signal pour 0 et un signal pour 1

• Modulation M-aire : permet de transmettre k bits à la fois, en utilisant 2 signaux notés , 1 .

– Les signaux sont typiquement des combinaisons linéaires de signaux orthonormaux , 1. . :

1 0

– La contrainte d’orthonormalité permet de traiter les fonctions comme vecteurs dans un espace pour les représenter par leurs coordonnées


MIC42406

Procédure de Gram-Schmidt• Permet de construire une base de fonctions orthonormales à

partir d’un ensemble arbitraire de fonctions• Partant d’un ensemble de signaux .. , On crée un

ensemble orthogonal .. , N M, comme suit:

1. On pose , où est l’énergie de

2. On construit chaque nouveau en soustrayant du correspondant ses projections dans les déjà définis :

, 2. .

avec ∑

• Si les s(t) sont linéairement dépendants, on aura = 0 pour certaines valeurs de n, ce qui donnera N < M; sinon N = M

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MIC42407

Exemple d’application

1. , où

2. Itération :

Pour 2. . :∑

où :

• Partant de M=4, on aboutit à N=3


MIC42408

Représentation géométrique des signaux de modulation

• L’ensemble 1 formant une base dans l’espace des signaux de modulation, on peut écrire chaque signal :

∑ ,

où est la projection de sur :

,

• Alternativement, on peut faire abstraction des fonctions de base et voir chaque comme un point dont les cordonnées sont les projections de sur chacun des axes :

, , … ,

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MIC42409

Techniques de modulation binaire• Basées sur un déplacement de valeur d’attribut(s)

(shift keying)

• Deux types fondamentaux:– Modulation polaire (dite aussi antipodale)

– Modulation orthogonale

• On peut en déduire la plupart des modulations courantes : – Modulation par Amplitude d’Impulsion (MAI; Pulse amplitude modulation ou

PAM)

– Modulation par déplacement d‘amplitude (MDA; Amplitude Shift Keying ou ASK)

– Modulation par déplacement de fréquence (MDF; Frequency Shift Keying ou FSK)

– Modulation par déplacement de phase (MDP; Phase Shift Keying ou PSK)

– Modulation d’amplitude en quadrature (MAQ; Quadrature Amplitude modulation ou QAM)


MIC424010

Modulation binaire polaire• Le plus simple type de modulation binaire; multiplie

un signal p(t) par ±1 en fonction de la valeur de bit– 1 et 0 – Durée de p(t) = durée de bit (T = ) ; débit 1⁄

– Ex. : Modulation d’amplitude d’impulsion binaire (MAI binaire ou binary PAM)

, 0 , 1 11 2

• est une impulsion d’amplitude A, donnant pour

l’énergie de et :

E

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MIC424011

Représentation géométrique de PAM

Fonction de base à énergie unitaire

Représentation géométrique des signaux PAM

E 1

• E donne E

• Un à énergie unitaires aura une amplitude 1/ , d’où :

– ± E pour un signal d’énergie E


MIC424012

Modulation ASK• Variation de PAM où ±p(t) est multiplié par cos 2 :

cos 2 , 0

cos 2 , 0

• Si est une pulsation rectangulaire d’amplitude 1 et durée Tb, la

fonction de base à énergie unitaire est cos 2

• La représentation géométrique est similaire au PAM

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MIC424013

Amplitude Shift Keying/On-off keying (ASK/OOK):

– Pros: simple, efficace en consommation d’énergie

– Cons: bruit de transition à large spectre, susceptible au bruit

– Usage commun: systèmes sans fil anciens

Signal Space Diagram• Each axis represents a ‘symbol’

• OOK has two basis functions: sinusoid & no sinusoid

• OOK has two symbols: carrier & no carrier

• Distance between symbols predicts BER

10

carr

ier

dig

ital

dat

aO

OK

mod

ula

tion

OOK

10

ASK

10 10 10 10 10

Modulation ASK


MIC424014

Modulation binaire orthogonale• et sont de même énergieEb, mais

orthogonaux– Trouver la base orthonormale revient simplement à normer et :

, 1,2

• Ex. : Modulation binaire par positionnement d’impulsion (MPI binaire ou binary PPM binaire)

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MIC424015

Modulation BFSK• La modulation binaire par déplacement de fréquence est un autre

exemple. Dans ce cas, une impulsion p(t) est multipliée par deux porteuses orthogonales pour former et :

cos 2 , 0cos 2 , 0

2⁄ , 2⁄

et sont des entiers positifs distincts


MIC424016

Binary Frequency Shift Keying (FSK):

– Pros: Moins sensible au bruit

– Cons: demande un bande passante plus large que ASK en théorie

– Populaire dans le systèmes récentsFSK modulation

FrequencyfcFc-df Fc+df

DIO=low DIO=high

Frequency deviation

Frequency separation= 2 x df

1

0

Signal Space Diagram / Signal Constellation

• Each axis represents a ‘symbol’

• Each basis function is ‘orthogonal’


freq

1ca

rrie

rd

igit

ald

ata

FS

Km

odfr

eq2

carr

ier

Modulation BFSK

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MIC424017

Représentation spectrale

• La modulation PPM est en bande de base

• La modulation BFSK est en bande passante


MIC424018

Modulation BPSKBinary Phase Shift Keying (PSK):

– Pros: • Moins sensible au bruit• Demande moins de bande passante que FSK

– Cons: • L’exigence de synchroniser la fréquence et la phase complique émetteurs et

récepteurs

10

Signal Space Diagram / Signal Constellation

• Each axis represents a ‘symbol’

• Each basis function is ‘orthogonal’


freq

1ca

rrie

r

dig

ital

dat

aP

SK

mod

freq

2ca

rrie

r

10


MIC424019

MPSK

)(1 t

2s1s

bE

“0” “1”

bE

)(2 t

3s

7s

“110”)(1 t

4s 2ssE

“000”

)(2 t

6s 8s

1s

5s

“001”“011”

“010”

“101”

“111” “100”

)(1 t

2s 1s

sE

“00”

“11”

)(2 t

3s 4s“10”

“01”

QPSK (M=4)

BPSK (M=2)

8PSK (M=8)


MIC424020

Récepteur optimal

• Modèle de canal : – Hypothèse de bruit:

• Spectre de fréquences à large bande

• Additif

• Pas de corrélation avec le signal

• Loi de probabilité gaussienne

• Récepteur : – Le démodulateur estime les

coordonnées du signal reçu, le détecteur décide du correspondant

Densité spectrale 2⁄

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MIC424021

Démodulateur optimal• Deux types :

– Par corrélation

– Par filtrage adapté (Matched filter)


MIC424022

Démodulateur par corrélation

• La sortie du corrélateur à est :

• étant une variable aléatoire

gaussienne avec 0 et ,

l’ajout de ne fait que décaler la moyenne de de n vers cette valeur

Démodulateur pour signaux binaires antipodaux

Démodulateur pour signaux binaires orthogonaux

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MIC424023

Démodulateur par corrélation II

• La densité de probabilité conditionnelle à la sortie du corrélateur est, pour transmis :

| • Le détecteur pourrait décider

lequel de et a été transmis en comparant

| et |



MIC424024

• Pour les signaux binaires orthogonaux, le corrélateur génère deux sorties possibles :

, ,

– et sont des variables gaussiennes non corrélées, donc indépendantes, due aux fonctions de base orthogonales

• On obtient alors :

, |

ou , |


Démodulateur par corrélation III

Exploitation de , | = | |

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MIC424025

Démodulation par filtre adapté

• Le corrélateur est remplacé par un filtre linéaire invariant dans le temps, avec :

, 0

• Signaux binaires antipodaux. – On utilise

• Signaux binaires orthogonaux. – On remplace les corrélateurs par deux

filtres adaptés

, 0

, 0 .




MIC424026

Démodulation par filtre adapté II

• La sortie du filtre à est :

= (parce que )

Même sortie que pour le démodulateur par corrélation!

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MIC424027

Démodulation par filtre adapté III• En fait, l’usage de maximise le rapport signal-

sur-bruit à la sortie du démodulateurOn a :

Le rapport signal-sur-bruit à est :

Pour le terme de bruit :

Pour le terme de signal :

Finalement, de l’inégalité de Schwarz, on tire :

E


MIC424028

Détecteur binaire optimal• Doit décider pour chaque valeur de sortie du démodulateur si

elle correspond à s1 ou s2

• Pour un signal de modulation polaire, la probabilité de prendre la mauvaise décision est:

Zones deprobabilité demauvaise décision

xα

• Il faut trouver le seuil qui minimise

En posant 0, on obtient :

Eln

0 )

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MIC424029

Performance de transmission binaire


MIC424030

Modulation M-aire• La séquence à transmettre est divisée en blocs de même

taille (k bits) et même durée ( ), dits symboles

• Chacun des 2 symboles possibles est représenté par un signal de modulation différent

• Le taux de transmission de symboles est

• Le récepteur comprend toujours un démodulateur et un détecteur

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MIC424031

Le démodulateur M-aire

Démodulation par corrélation Démodulation par filtre adapté

• Puisque ∑ , il faut N démodulateurs, un pour chaque


MIC424032

Signal M-aire avec bruit AWGN• À l’entrée du récepteur:

, 1, … , ; 0

∑ AWGN de moyenne 0 et 2⁄

• À la sortie des corrélateurs :

Sous forme vectorielle : ,

• Les étant non corrélés, ∏ /

∑

• L’ajout de déplace la moyenne de de 0 vers

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MIC424033

Signal M-aire avec bruit AWGN• La densité de probabilité conditionnelle du

corrélateur pour transmis est

| | , 1,2, … ,

où | ⁄ , 1,2, … ,

Fonction de densité de probabilité conditionnelle pour PAM avec M=4 (k=1 dans ce cas)


MIC424034

Signal M-aire avec bruit AWGN• Pour un signal reçu dont seul un composant

est non nul :

|1

/;

/

∑ ;

, 1,2, … ,

Fonction de densité de probabilité conditionnelle marginale pour dans un système de modulation orthogonale avec M=4 et 0 pour

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MIC424035

Le détecteur optimal

Exemple de vecteur d’observation et de vecteur de bruit, N = 3, M = 4, s1 est transmis

• La vecteur de sortie du démodulateur comprend le signal transmis, mais aussi du bruit gaussien– Nuage sphérique autour du signal

dont 2=N0/2 détermine l’étalement (écart-type petit ou large)

• Pour détecter le signal transmis, on peut se fier à la vraisemblance

| que le vecteur observé correspond bien à


MIC424036

Le détecteur MAP

• Un mécanisme de détection relativement simple est obtenu en appliquant le théorème de Bayes à :

||

On choisit le message qui maximize la probabilité a

postériori (détection MAP)

– ne dépend pas de et est ignoré

• Pour des signaux équiprobables, on peut ignorer , ce qui revient à évaluer

– La détection MAP devient une détection par vraisemblance(détection ML)

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MIC424037

Détecteur ML dans un canal AWGN

• Repose sur la maximisation de

• L’usage d’une notation logarithmique permet de simplifier les calculs, en posant :

log

log ∑

– est maximum lorsque ∑ est minimum

• Maximiser revient à minimiser


MIC424038

ML dans un canal AWGN• On choisit le message dont le point est le plus proche de

celui du message démodulé y (détection par minimum de distance)

• On a aussi :

∑ ∑ 2∑ ∑

∑ 2∑ Ed’où une manière alternative de choisir :

– On choisit le message qui maximise ∑ E

(détection par corrélation)

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MIC424039

Régions de décision ML• L’imputation de au y observé introduit une probabilité

d’erreur de décision :

1

• En partitionnant l’espace des vecteurs y en M régions disjointes, on peut minimiser par un choix judicieux des frontières des régions– Un vecteur d’observation y sera alors dans la région Rm si

est maximum pour m

– Permet de décider partout sauf si y correspond à la frontière entre deux régions; on tranche au hasard dans ce cas.


MIC424040

Probabilité d’erreur • Il y a erreur lorsque le vecteur d’observation est dans

une région de décision différente de celle associée au signal émis.

• La probabilité d’erreur moyenne est:

– 1 ∑ pour ML

– 1 ∑ pour MAP

• Pour des signaux polaires, on a vu que ,

qu’en est-il pour des signaux M-aires?

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MIC424041

La borne union sur la probabilité d’erreur

• Méthode simple de borner la probabilité d’erreur dans un système M-aire à messages équiprobables– Exploite la propriété Prob{A ∪ B} = Prob{A}+Prob{B}−Prob{A ∩ B}

≤ Prob{A} + Prob{B}

• Soit l’événement que le détecteur choisisse lorsque est transmis ( ), la probabilité d’erreur est :

= Prob{∪ , excluant }

≤ ∑

– En prenant , la distance minimum entre deux messages, alors

et 1


MIC424042

Modulation PAM M-aire

• Généralisation de la modulation PAM binaire où :

, 1, 2, … ,• , de durée T, et peut être une pulsation rectangulaire

avec / E , d’où E

• Comme les ne diffèrent que par leurs amplitudes, ils appartiennent à un espace de signaux à 1 dimension; par contre, ils sont d’énergies différentes :

E E

L’énergie moyenne par message est EE∑

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MIC424043

Modulation PAM M-aire• Pour éviter la composante DC, on répartit

symétriquement les composantes d’amplitude :

2 1 , 1, … ,(A est un facteur de valeur arbitraire)

• L’énergie moyenne est alors :

EE∑ 2 1 2 2E 2 1 /3

• On définit la distance E pour représenter la modulation PAM géométriquement.


MIC424044

Modulation ASK M-aire• Pour transmettre le signal PAM

dans un canal à bande passante, onle multiplie par un signal sinusoïdal:

cos 2 , 1,…

• ASK M-aire: cos 2 , 1, …

• Le cosinus divise l’énergie du signal par 2 et les

fonctions de base sont E cos 2

• La démodulation peut se faire par corrélateur ou filtre adapté, et la détection par PAM ou ML– Le bruit est dans ce cas cos 2 2

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MIC424045

Probabilité d’erreur du PAM M-aire

• On obtient une erreur lorsque l’amplitude du bruit dépasse d

• On a, pour la probabilité d’erreur moyenne

/

• En terme d’énergie E


MIC424046

2 1 6E2 1

E

Probabilité d’erreur du PAM M-aire

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MIC424047

Modulation PSK M-aire• Modulation par déplacement de phase (PSK)

cos 2 , 0, 1… 1

• peut être une pulsation rectangulaire en bande de base

• Les signaux ont la même énergie E et ,

d’où

E cos 2 , 0

0

0, 1, … 1


MIC424048

Exemple de 4 PSK

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MIC424049

Modulateur MPSK

• Utiliser l’identité trigonométrique cos cos cos sin sin


MIC424050

Représentation géométrique• E cos , E sin

• Les fonctions de base auront pour amplitude 1/ E

• L’affectation des bits à transmettre aux symboles suit souvent un code de Gray– Minimise le taux d’erreur par bit car deux symboles voisins

auront au plus un bit de différence.

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MIC424051

Constellation MPSK

• Distance entre symboles :

2E 1 cos

• La distance minimale correspond à deux symboles adjacents : 2 E sin

E cos2

, E sin2


MIC424052

Démodulation et détection MPSK

• À la réception, on utilise deux corrélateurs pour obtenir :

E cos2

, E sin2

• Le détecteur affecte y au symbole le plus proche en termes

de distance ou de phase

– Problème potentiel si les phases des porteuses changent!

• La probabilité d’erreur est

1⁄⁄

Expression difficile à évaluer analytiquement, estimée numériquement

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MIC424053

Probabilité d’erreur pour PSK

pour différentes valeurs de s/b


MIC424054

Modulation QAM• Modulation MPSK avec la contrainte de même énergie

pour les signaux retirée– Permet de créer des constellations dont les points

peuvent être situés ailleurs que le long d’un cercle

• Permet une distribution plus uniforme des distances entre symboles

Constellation QAM avec M = 16

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MIC424055

Modulation QAM

chapitre 2. modulation numérique dans un canal awgnboukadoum_m/mic4240/notes/ch8... · 1 principes...

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