chapitre 2 détermination ultrasonore des constantes d...

CHAPITRE 2. DETERMINATION ULTRASONORE DES CONSTANTES DELASTICITE

37

Chapitre 2

Dtermination ultrasonore des constantes

dlasticit

2.1 Introduction ......................................................................................................................39

2.2 Ondes ultrasonores dans un milieu anisotrope..............................................................41

2.2.1 Equation de propagation..............................................................................................41

2.2.2 Solution de lquation de propagation.........................................................................41

2.2.3 Propagation suivant des directions particulires..........................................................43

2.2.4 Rsolution numrique du problme direct...................................................................45

2.3 Dtermination des constantes dlasticit : rsolution du problme inverse ..............47

2.3.1 Dtermination par mesure de vitesses particulires.....................................................47

2.3.2 Dtermination par optimisation ...................................................................................50

2.3.3 Calcul des incertitudes par la mthode de Monte-Carlo..............................................53

2.4 Dispositif exprimental.....................................................................................................57

2.4.1 Principe de la mesure de vitesses ultrasonores en incidence oblique..........................57

2.4.2 Banc ultrasonore en immersion ...................................................................................60

2.5 Conclusion .........................................................................................................................61


38


39

2.1 Introduction

En science des matriaux, les constantes dlasticit des solides anisotropes sont des

grandeurs physiques trs importantes. Dans le cadre de la mtallurgie physique, elles

dcrivent le potentiel interatomique et lanharmonicit de ce dernier. Elles peuvent

reprsenter une source dinformations considrables sur la plupart des processus

mtallurgiques ayant lieu au sein dun matriau (transitions de phase, prcipitation). Pour le

mcanicien, la connaissance des constantes dlasticit est indispensable pour le

dimensionnement et le calcul des structures, ainsi que pour la validation des modles

prdictifs. Enfin, la mesure de ces constantes peut constituer un moyen non destructif

performant de caractrisation des matriaux, notamment de leur endommagement anisotrope.

Les constantes dlasticit peuvent tre mesures par des mthodes mcaniques classiques

bases, par exemple, sur des mesures dextensomtrie. Dans le cas des matriaux anisotropes

labors sous forme de plaques minces, ce qui est gnralement le cas des matriaux

composites [DUCR, 2000a], ces mthodes destructives donnent des rsultats imprcis et

incomplets. Parmi les diffrentes mthodes de mesure des constantes dlasticit dveloppes

ce jour [EVER, 1994], [ACHE, 2000], la mtrologie non destructive ultrasonore de ces

proprits permet de saffranchir de ces inconvnients. Les ondes lastiques utilises en

caractrisation des matriaux sont des ondes ultrasonores de faible amplitude et de frquence

leve (f >200kHz). Les contraintes locales engendres lors du passage de londe ultrasonore

sont bien infrieures la limite dlasticit du milieu de propagation. Ainsi, ltude de la

propagation des ondes ultrasonores montre que la vitesse de propagation est directement lie

aux proprits dlasticit du matriau tudi [AULD, 1973], [ROYE, 1996]. Lide de base,

commune tous les dispositifs, consiste gnrer une onde ultrasonore de structure spatiale

connue et mesurer sa vitesse de propagation pour dterminer les constantes dlasticit.

Pour les matriaux faiblement dispersifs, la mesure des vitesses de propagation seffectue

soit en contact direct [PAPA, 1991], soit en immersion [MARK, 1970], [HOST, 1983b],

[ROUX, 1985], [HOST, 1987], [HOST, 1989], [ROKH, 1989], [ROKH, 1992], [CHU, 1992],

[DUBU, 1996a]. Les mthodes ultrasonores contact direct ncessitent, pour la

caractrisation des matriaux anisotropes, plusieurs prouvettes dcoupes dans diffrentes

directions [PAPA, 1991]. Ceci est en contradiction avec laspect non destructif recherch et

limite lutilisation de ces mthodes lorsque le but est de suivre les proprits dlasticit lors

dun endommagement. Les mthodes en immersion, bases sur ltude de la transmission

ultrasonore au travers dune lame faces parallles immerge dans de leau [MARK, 1970],


40

prsentent lavantage majeur de permettre de nombreuses mesures de vitesses pour un nombre

rduit de coupes orientes (une seule pour les matriaux orthotropes). En effet, linterface

liquide-solide permet en incidence variable la gnration dau moins deux modes de

propagation [AULD, 1973], [ROYE, 1996] et autorise un grand nombre de mesures de

vitesses. Cette configuration convient particulirement aux matriaux anisotropes et permet

par exemple la caractrisation sous charge [BAST, 1989b], [EL GU, 1989a], [AUDO, 1991b],

[BAST, 1992], [EL GU, 1992c], [EL GU, 1992d], [EL BO, 1994], et le suivi en temprature

[BAUD, 1997] des proprits dlasticit.

Depuis les travaux de Markham [MARK, 1970], les mthodes en immersion connaissent

un dveloppement soutenu tant au niveau mtrologique, en terme de mesure de vitesses, quau

niveau de la rsolution du problme inverse. En immersion, le nombre de vitesses de phase

des ondes ultrasonores mesures dans diffrents plans, est gnralement suprieur au nombre

de constantes dlasticit dterminer. Ce problme surdtermin, est gnralement rsolu

par optimisation. La premire procdure doptimisation, dveloppe par Hosten et Castagnde

pour les matriaux isotropes transverses [HOST, 1983a], puis tendue successivement par

Baste et Hosten [BAST, 1990] et Aristgui et Baste [ARIS, 1997a], [ARIS, 1997b], [ARIS,

1997c] ltude des matriaux orthotropes et de symtrie moins leve, consiste dterminer

les constantes dlasticit en minimisant la somme des carrs de lquation de Christoffel.

Une autre approche, utilise notamment par Rokhlin et Wang [ROKH, 1989], [ROKH, 1992]

et Dubuget [DUBU, 1996a], minimise la somme des carrs des carts entre les vitesses

thoriques et exprimentales. Enfin, la mesure de la vitesse et de lattnuation de modes

htrognes dans les milieux anisotropes viscolastiques, propose par Hosten et al. dans le

cas des matriaux isotropes transverses [HOST, 1987], puis tendue lorthotropie par

Hosten [HOST, 1991], [HOST, 1998] permet de dterminer les constantes dlasticit

viscolastiques et de suivre leur volution avec la temprature [BAUD, 1997].

Lobjectif de ce chapitre est de prsenter la mthode de mesure ultrasonore des constantes

dlasticit des matriaux, dveloppe initialement au laboratoire par Mouchtachi [MOUC,

1996] et Dubuget [DUBU, 1996a]. Le problme direct, abord dans un premier temps,

consiste calculer les vitesses de propagation des ondes ultrasonores, les constantes

dlasticit du milieu tant connues. Dans un deuxime temps, nous prsentons la mthode de

rsolution du problme inverse qui consiste dterminer les constantes dlasticit partir de

mesures de vitesses. Enfin, nous prsentons le dispositif de mesure des vitesses de

propagation.


41

2.2 Ondes ultrasonores dans un milieu anisotrope

Ltude de la propagation des ondes ultrasonores dans les solides ncessite la connaissance

de la structure de londe et des proprits du milieu de propagation [AULD, 1973], [ROYE,

1996]. Dans la suite de cette tude, londe suppose plane, progressive et monochromatique,

se propage dans un milieu lastique, anisotrope et homogne par rapport aux longueurs

dondes considres.

2.2.1 Equation de propagation

Lors du passage de londe ultrasonore, le tenseur des dformations kl , correspondant la

dformation lastique ultrasonore, scrit en fonction des petits dplacements Uu :

kl

k

l

l

k

u

x

u

x= +

12

(2.1)

Ce tenseur des dformations kl est li au tenseur des contraintes ij par la loi de

comportement lastique (1.3.1) du milieu de propagation :

ij ijkl klC= (2.2)

Cijkl est le tenseur des constantes dlasticit adiabatiques dordre 2 (1.3.1.1).

Compte tenu des relations 2.1 et 2.2 et des proprits de symtrie du tenseur Cijkl , la loi de

Hooke peut aussi scrire :

ij ijkl

l

k

Cu

x= (2.3)

Laction de la pesanteur tant nglige, la relation fondamentale de la dynamique,

applique un petit lment de volume de masse volumique , scrit :

2

2

u

t xi ij

j

= (2.4)

La substitution de lexpression 2.3 dans la relation fondamentale de la dynamique 2.4

permet dobtenir lquation de propagation pour les petits dplacements Uu [AULD, 1973] :

2

2

2u

tC

u

x xi

ijkll

j k

= (2.5)

2.2.2 Solution de lquation de propagation

Une solution de lquation de propagation 2.5 est recherche sous la forme dune onde

plane, progressive et monochromatique. Cette onde, de vecteur polarisation 0uU

, se propage


42

la vitesse de phase V dans la direction Un perpendiculaire au plan donde dquation

teCxn =UU. [ROYE, 1996] :

=

V

xntFuu ii

UU.0 (2.6)

La substitution de lexpression 2.6 dans lquation de propagation 2.5 conduit lquation

de Christoffel :

002lkjijkli unnCuV = (2.7)

En introduisant le tenseur de Christoffel du second ordre :

il ijkl j kC n n= (2.8)

lquation 2.7 devient :

020ilil uVu = (2.9)

Les vitesses de phase V et les polarisations des ondes planes, qui se propagent dans la

direction nU

, sobtiennent alors en calculant respectivement les valeurs propres et les vecteurs

propres du tenseur de Christoffel il . Les valeurs propres sont les racines de lquation

suivante :

il ilV = 2 0 (2.10)

il est le symbole de Kronecker.

Le tenseur du second ordre il tant symtrique, lquation de Christoffel admet trois

valeurs propres relles positives qui correspondent aux trois vitesses de propagation V des

trois modes susceptibles de se propager dans la direction Un. Les trois vecteurs propres

orthogonaux associs sont, quant eux, les polarisations 0uU

des modes correspondants. Ainsi,

il existe dans le cas gnral trois ondes planes se propageant dans une mme direction avec

des vitesses diffrentes et de polarisations orthogonales [ROYE, 1996]. Le vecteur

polarisation nest gnralement pas colinaire ou orthogonal la direction de propagation Un

et les trois modes gnrs ne sont pas purs . Londe dont le vecteur polarisation est le plus

proche de la direction de propagation est appele quasi longitudinale. La vitesse de londe

quasi longitudinale est gnralement suprieure celle des deux autres appeles quasi

transversales (figure 2.1).


43

Ondequasi longitudinale

Ondesquasi transversales

Un

Plan donde

x1

x2

x3

Direction de propagation

0)1(u

U

0)2(u

U

0)3(u

U

FIG. 2.1 Ondes planes susceptibles de se propager dans la direction Un

Dans le cas gnral o lon sintresse la propagation dune onde ultrasonore dans une

direction quelconque dun matriau, lquation 2.10 conduit un polynme caractristique du

3e degr en V 2 .

2.2.3 Propagation suivant des directions particulires

Nous nous limitons prsent aux matriaux de symtrie orthotrope (1.3.2). Cette symtrie

est en effet suffisamment gnrale pour dcrire lensemble des matriaux envisags par la

suite. Dans lhypothse o les axes principaux sont connus, ltude de la propagation dans des

directions lies aux lments de symtrie, conduit des expressions analytiques des vitesses

notablement simplifies [ROYE, 1996].

2.2.3.1 Propagation dans les directions principales

La propagation des ondes ultrasonores dans les directions principales met en jeu les

constantes dlasticit diagonales Cii . Le tenseur de Christoffel il prend une forme simple

dans chacune des directions principales :

[ ] [ ] [ ] il il il

C

C

C

C

C

C

C

C

C100

11

66

55

010

66

22

44

001

55

44

33

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0


44

On en dduit alors facilement les expressions des vitesses de propagation Vij en fonction

des constantes dlasticit Cii et de la masse volumique (figure 2.2).

1

2

3

5513

6612

1111

CV

CV

CV

=

=

=

4423

6621

2222

CV

CV

CV

=

=

=

4432

5531

3333

CV

CV

CV

=

=

=

FIG. 2.2 Expressions des vitesses dans les directions principales dun matriau orthotrope

Vij dsigne la vitesse de propagation dans la direction principale i de londe polarise selon

j. Dans le cas de la propagation dans les directions principales, les ondes longitudinales et

transversales sont pures (2.2.2).

2.2.3.2 Propagation dans les plans principaux

Le tenseur de Christoffel prend une forme relativement simple dans chacun des plans

principaux [BAST, 1990]. Dans le plan principal (001) par exemple, le tenseur il scrit :

( )( )

+++

++=

2244

2155

2222

2166216612

2166122266

2111

)001(00

0

0

nCnC

nCnCnnCC

nnCCnCnC

il

Dans ce cas, lquation caractristique se rduit un polynme du 3e degr en V 2 :

( ) ( ) ( ) 0][ 21222112221122233 =++ VVV (2.11)Lexpression 2.11 permet dobtenir aisment les vitesses de propagation des ondes

ultrasonores dans le plan (001). La propagation dune onde dans la direction [110] du plan

(001) donne par exemple, pour la vitesse quasi longitudinale, lexpression suivante :


45

[ ]

2666612

2222211

212

211662211

110

482422

1CCCCCCCCCCCVQL +++++++=

(2.12)

Dans ce cas, la propagation dans une direction non principale met en jeu la fois les

constantes dlasticit diagonales 11C , 22C , 66C et la constante dlasticit non diagonale 12C .

Les quations dans les deux autres plans principaux sont obtenues par permutation circulaire

des indices.

2.2.4 Rsolution numrique du problme direct

Au lieu dutiliser une solution analytique pour obtenir les racines relles positives de

lquation 2.10 [MOUC, 1996], nous employons une mthode numrique dite de Jacobi

[PRES, 1992] qui permet dobtenir simultanment les vitesses de phase et les polarisations

associes [DUBU, 1996a]. Dans une direction de propagation nU

donne, les valeurs propres

du tenseur de Christoffel (2.2.2) sont obtenues en diagonalisant il par approximations

successives. Lalgorithme construit simultanment la matrice de changement de repre,

constitue par les trois vecteurs propres associs [CIAR, 1988].

A titre dexemple, nous avons calcul numriquement les surfaces des vitesses de lacide

-iodique 3HIO (figure 2.3), matriau pizolectrique de symtrie orthotrope, dont nous

avons relev la masse volumique ( 3/4640 mKg= ) et la matrice des constantes dlasticit

du second ordre dans la littrature [ROYE, 1996] :

=

8,15

06,20.

009,16

0009,42

0000,80,58

0001,111,161,30

)(

Sym

GPaCij

Les surfaces des vitesses (figure 2.3) sont les lieux gomtriques des extrmits des

vecteurs vitesses de phase, reprsents dans un huitime despace. Ces surfaces peuvent tre

compltes par symtrie dans le reste de lespace. La plus grande surface correspond aux

vitesses quasi longitudinales et les deux autres aux vitesses quasi transversales. Lcart de ces

surfaces la sphricit traduit lanisotropie de ce matriau vis vis de la propagation

ultrasonore.


46

FIG. 2.3 Acide -iodique Surfaces des vitesses (m/s)

La figure 2.4 donne une reprsentation polaire de lvolution des vitesses quasi

longitudinales et quasi transversales dans les trois plans principaux de lacide -iodique.

1x

2x

plan (001)

3x

1x

plan (010)

3x

2x

plan (100)

1000

2000

3000

4000

1000 2000 3000 4000

1000

2000

3000

4000

1000

2000

3000

4000

1000 2000 3000 40001000 2000 3000 4000

FIG. 2.4 Acide -iodique Vitesses dans les plans (001), (010) et (100)


47

2.3 Dtermination des constantes dlasticit : rsolution du

problme inverse

Nous prsentons maintenant la rsolution du problme inverse, qui consiste dterminer

les constantes dlasticit dun matriau donn partir de vitesses de propagation dondes

ultrasonores mesures. Dans un premier temps, on peut simplifier le problme en effectuant

ces mesures de vitesses selon des directions de propagation particulires, lies aux lments

de symtrie du matriau. Cependant, cette mthode na pas t envisage car elle ncessite

plusieurs coupes orientes de lchantillon. Lutilisation dune procdure doptimisation,

prsente dans un deuxime temps, permet quant elle de caractriser lensemble des

constantes dlasticit des matriaux orthotropes, sur une seule prouvette labore sous

forme de plaque mince. Enfin, un calcul statistique des incertitudes par mthode Monte-Carlo

permet de rendre compte des incertitudes exprimentales.

2.3.1 Dtermination par mesure de vitesses particulires

Une manire simple de dterminer les constantes dlasticit dun matriau, consiste

considrer des directions particulires, pour lesquelles les expressions des vitesses ne font

intervenir quun nombre limit de constantes dlasticit [PAPA, 1991]. Comme nous lavons

montr lors de la rsolution du problme direct (2.2.3.1), six mesures de vitesses dans les

trois directions principales suffisent pour dterminer les six constantes dlasticit diagonales

Cii (figure 2.5).

1

2

3

23155

23333

VC

VC

=

=

22344

22222

VC

VC

=

=

21266

21111

VC

VC

=

=

3

1

2[110]

[ ]( )12C,,,, 662211

110

CCCfVQL =

FIG. 2.5 Dtermination des constantes dlasticit dun matriau orthotrope par mesure devitesses dans des directions particulires


48

La dtermination des constantes non diagonales 12C , 13C et 23C peut se faire partir de la

mesure de vitesse quasi longitudinale selon les trois directions respectives [110], [101] et

[011] appartenant aux plans principaux [BASTE, 1990]. Dans le plan principal (001) par

exemple, la constante 12C est obtenue partir de la mesure de vitesse quasi longitudinale dans

la direction [110] (figure 2.5). Connaissant les constantes diagonales 11C , 22C et 66C

dtermines prcdemment, la constante 12C est alors dduite de lquation 2.12. Il suffit

donc thoriquement de neuf mesures de vitesses dans six directions particulires (tableau 2.1),

pour valuer lensemble des neuf constantes indpendantes de la matrice dlasticit dun

matriau orthotrope.

TAB. 2.1 Dtermination des constantes dlasticit dun matriau orthotrope par mesure devitesses dans des directions particulires

Echantillon Direction de propagation Polarisation Vitesse Constante d'lasticit

[100] [100] V11 C11[010] V12 C66

1 [010] [010] V22 C22[001] V23 C44

[001] [001] V33 C33[100] V31 C55

2 [110] [110] VQL C12 [110]

3 [011] [011] VQL C23 [011]

4 [101] [101] VQL C13 [101]

2.3.1.1 Mthode de mesure au contact

Ces mesures de vitesses particulires peuvent tre envisages par lutilisation dune

mthode au contact [PAPA, 1991]. Cependant, les problmes lis aux conditions de couplage

entre le palpeur ultrasonore et lchantillon tudi, rendent cette mthode peu prcise et

difficilement reproductible [VINC, 1987]. De plus, la dtermination de lensemble des

constantes dlasticit ncessite de tailler quatre prouvettes dorientation diffrente (tableau

2.1), ce qui exclut tout suivi des proprits dlasticit sur le mme chantillon. Enfin, dans le

cas dun chantillon de faible paisseur (figure 2.6), comme les matriaux composites

labors sous forme de plaque mince qui nous intresserons par la suite, seules deux faces

opposes de lprouvette sont accessibles la mesure.


49

21266

21355

21111

VC

VC

VC

=

=

=1

2

3

FIG. 2.6 Matriaux orthotropes de faible paisseur : dtermination partielle des constantesdlasticit par mesure au contact

Cette gomtrie ne permet plus alors denvisager la taille dprouvettes selon des

orientations particulires, ce qui rduit notablement le nombre de constantes identifiables par

cette mthode. Ainsi, cette technique est habituellement rserve pour la caractrisation des

matriaux anisotropes dpaisseur importante (e>>1cm) [PAPA, 1991].

2.3.1.2 Mthode de mesure en immersion

Lutilisation dune mthode de mesure des vitesses de propagation en immersion rsout le

problme du couplage des mthodes au contact et permet dacqurir un grand nombre de

vitesses en incidence variable au sein de matriaux de faible paisseur [MARK, 1970].

Cependant, les conditions aux limites linterface liquide de couplage/matriau [ROYE,

1996], ne permettent pas de dterminer les constantes dlasticit dune manire aussi directe

que lon pouvait lenvisager par une mthode au contact. Tout dabord, les ondes quasi

transversales polarises perpendiculairement au plan dincidence ne sont pas gnres dans

les plans principaux. De plus, lors du balayage angulaire dun plan, le coefficient de

transmission de chaque mode dpend de lincidence de londe. Certains modes sont alors

gnrs sur des plages angulaires de faible ouverture et il arrive que deux modes se mlangent

[AUDO, 1990], [CAST, 1989a]. Enfin, il est difficile de choisir une direction de propagation

par avance, car cette dernire dpend justement de la vitesse que lon cherche mesurer.

Aussi, nous avons vu quil suffirait thoriquement de neuf mesures de vitesses pour

caractriser compltement un matriau orthotrope (tableau 2.1), mais ces diffrentes

limitations rendent cette mthode difficilement exploitable.

Pour rsoudre ce problme, nous avons adopt une mthode initialement dveloppe par

Hosten et Castagnde [HOST, 1983a]. Cette mthode, qui tient compte de lensemble des


50

vitesses exprimentales mesures en immersion, effectue une optimisation sur les constantes

dlasticits plutt que de considrer des directions de propagation particulires.

2.3.2 Dtermination par optimisation

2.3.2.1 Principe de la procdure doptimisation

Le principe de la dtermination ultrasonore des constantes dlasticit par optimisation

[HOST, 1983a] consiste considrer un grand nombre N de vitesses exprimentales expmV

dans les directions expmnU

. Pour une direction expmnU

, la vitesse expmV correspondante est solution

de lquation de Christoffel 2.7 lorsque le tenseur dlasticit ijklC correspond effectivement

celui du matriau considr. Ainsi, la fonctionnelle )( ijklCf , pour plusieurs directions de

propagation expmnU

pour lesquelles les vitesses expmV ont t mesures, scrit :

=

=N

milmkjijklijkl VnnCCf

1

2expexpexp )()( (2.13)

Lvaluation des constantes dlasticit peut alors se faire en recherchant les zros de la

fonctionnelle )( ijklCf par approximation successive des ijklC en utilisant par exemple une

mthode numrique de type Newton-Raphson [PRES, 1992].

Dans cette premire approche, lquation de Christoffel sannule pour chacune des trois

vitesses possibles (quasi longitudinale, quasi transversale lente et rapide) dans une direction

donne. La polarisation de chaque mode est alors perdue car elle na pas lieu dtre spcifie

dans la relation 2.13. Ainsi, la fonctionnelle )( ijklCf admet un grand nombre de minima

locaux et la convergence est alors plus sensible aux valeurs dinitialisation 0ijklC fournies

lalgorithme [BAST, 1989a].

En ce qui nous concerne, nous avons choisi une autre approche [ROKH, 1992] qui consiste

minimiser lcart quadratique entre les vitesses exprimentales expmV et thoriques thV

laide dun algorithme de calcul numrique. Pour estimer laccord entre les vitesses thoriques

thV donnes par la rsolution du problme direct (2.2.4) et les vitesses exprimentales

mesures expmV , nous utilisons le test du 2 en supposant que les vitesses exprimentales

suivent une loi normale, centre sur la vitesse thorique :

( )

=

=

N

m m

mijklith VCnV

12

2exp2

),,(

(2.14)


51

),,( ijklith CnV est la vitesse thorique calcule partir du tenseur des constantes dlasticit

ijklC et de la masse volumique , dans la em direction de propagation mn

U considre. m est

lincertitude associe la em mesure de vitesse expmV [DUBU, 1996a]. La procdure

doptimisation des constantes dlasticit consiste alors minimiser lcart entre les vitesses

exprimentales expmV et thoriques thV pris au sens des moindres carrs (figure 2.7). Pour

rsoudre ce problme nous utilisons lalgorithme de Levenberg-Marquart [PRES, 1992]

parfaitement adapt au cas des fonctions non linaires et multidimensionnelles.

Oui

Non

Vitesses exprimentales

mmV ,exp Nouveau tenseur

ijklC

Initialisation0ijklC

Constantes dlasticit optimisesijklC

Calcul des vitesses thoriques),,( ijkli

th CnV

Test du2

Ecart minimum?

Calcul de lcart des vitesses

FIG. 2.7 Principe de la procdure doptimisation

Le tenseur dinitialisation 0ijklC est construit partir de donnes ralistes puis affin afin

dobtenir des temps de calcul raisonnables. Par ailleurs, il a t montr que des valeurs mme

assez lointaines convenaient [DUBU, 1996a]. La convergence de lalgorithme de

minimisation dpend alors principalement du choix des vitesses exprimentales.

2.3.2.2 Optimisation plan par plan et optimisation globale

Un moyen de simplifier ltape doptimisation est de considrer la propagation dans les

trois plans principaux pour lesquels les expressions des vitesses ne font intervenir quun

nombre limit de constantes dlasticit (2.2.3.2). Cependant, dans le cas dun chantillon de


52

faible paisseur, comme les matriaux composites labors sous forme de plaque mince, la

propagation dans une direction appartenant au plan de la plaque nest pas possible en onde de

volume. Aussi, il faut envisager des mesures de vitesses de propagation dans un plan

supplmentaire non principal [BAST, 1990]. La figure 2.8 indique les plans de propagation

considrs pour obtenir les neuf constantes dlasticit indpendantes dun matriau

orthotrope, avec laxe 3 pris comme normale lpaisseur de lchantillon.

1

2

3

P13

P45 P23

45

33C

55133311 ,,, CCCC

Plan (1,3)

44233322 ,,, CCCC

Plan (2,3)

6612 CC ,,, 2211 CC

Plan (1,2)

FIG. 2.8 Evaluation des constantes dlasticit dun matriau orthotrope par optimisation.Dfinition des plans de propagation considrs et des constantes dlasticit associes

Optimisation plan par p lan

Dans un premier temps, il est possible deffectuer des optimisations successives plan par

plan . Ceci permet dvaluer un nombre rduit de constantes dlasticit dans chacun des

plans considrs. La mesure de la vitesse longitudinale dans la direction principale 3, permet

tout dabord dobtenir directement la constante 33C . Deux optimisations utilisant les vitesses

de propagation dans les plans principaux (1,3) et (2,3) permettent ensuite dobtenir

respectivement 11C , 13C , 55C et 22C , 23C , 44C [HOST, 1987], [CHU, 1994a]. Enfin, le plan

(1,2) ntant pas accessible la mesure, les constantes 12C et 66C sont obtenues partir des

contantes dj identifies et dune dernire optimisation exploitant les vitesses de propagation

dans un plan non principal situ 45 des plans (1,3) et (2,3) [BAST, 1990], [HOST, 1991],


53

[ROKH, 1992], [CHU, 1994b]. Cette optimisation plan par plan permet donc dvaluer en

plusieurs tapes lensemble des constantes dlasticit dun matriau orthotrope. Cependant,

lincertitude associe aux constantes obtenues dans les premires tapes, se rpercute lorsque

ces dernires interviennent dans loptimisation des constantes suivantes. Lvaluation des

constantes 12C et 66C , notamment, tient compte de lensemble des incertitudes associes aux

six autres constantes prcdemment optimises. Enfin, lvaluation indpendante de 33C ,

attribue de ce fait un poids nul aux autres vitesses mesures, faisant intervenir 33C dans les

plans (1,3) et (2,3) pour la dtermination de cette constante.

Optimisation globale

Nous utiliserons par la suite une mthode doptimisation globale qui tient compte de

lensemble des vitesses exprimentales en une seule fois [CAST, 1990], [CAST, 1992]. De

plus, dans lexpression du 2 (quation 2.14), chaque vitesse exprimentale expmV est

pondre par le carr de lincertitude 2m qui lui est associ. Ainsi, les vitesses pour lesquelles

lincertitude de mesure est plus importante, ont moins de poids que les autres dans le calcul du

2 [DUBU, 1996a].

Choix des vitesses expr i mentales

Diffrents auteurs ont tudi le problme du choix des vitesses exprimentales (direction

de propagation, mode, nombre de points de mesure, ouverture angulaire) soit de faon

numrique [CAST, 1989b], [CAST, 1992], [ROKH, 1992] soit de manire analytique [CHU,

1994a], [CHU, 1994b], [EVER, 1992]. Ces auteurs ont mis en vidence les vitesses de

propagation (polarisation et direction de propagation) les plus sensibles la variation dune

constante dlasticit donne. Il apparat que dans les deux types doptimisation ( plan par

plan ou globale ) et quel que soit lalgorithme numrique utilis, le nombre de mesures

de vitesse doit tre dautant plus important que la dispersion sur ces mesures est grande.

Enfin, une large ouverture angulaire de la zone explore permet un meilleur ajustement entre

les vitesses recalcules partir des constantes optimises et les mesures exprimentales.

2.3.3 Calcul des incertitudes par la mthode de Monte-Carlo

La dtermination ultrasonore des constantes dlasticit par optimisation, est base sur la

mesure dun grand nombre N de vitesses de propagation expV qui, comme toutes mesures,

comporte une part derreur. Notre premier objectif tant de disposer dune mthode fiable de


54

mesure de ces constantes, il apparat primordial dvaluer aussi les incertitudes associes

chacune des constantes dlasticit obtenues par optimisation. Cependant, le caractre itratif

de loptimisation ne permet pas un calcul classique derreurs sur les constantes dlasticit

partir des erreurs sur les vitesses exprimentales.

Une premire approche consiste tudier la distribution statistique de vitesses

exprimentales bruites autour des vitesses ( )0V , recalcules partir des constantes optimises

( )0ijklC [AUDO, 1991a]. Ces mthodes utilisent gnralement un bruitage arbitraire des vitesses

mesures. Nous utiliserons par la suite une mthode Monte-Carlo qui permet de simuler un

ensemble dexpriences, par bruitage raliste des vitesses expV . Ce bruitage raliste est obtenu

partir des rsultats dune tude dtaille des diffrentes sources dincertitudes

exprimentales, susceptibles de perturber les mesures de vitesses [DUBU, 1996a]. Une

analyse statistique du rsultat de ces simulations permet alors dattribuer une incertitude( )0ijklC

chacune des constantes dlasticit ( )0ijklC .

Avant de prsenter le principe de la simulation Monte-Carlo, nous allons dfinir la notion

dincertitude associe au processus de mesure des constantes dlasticit qui comporte une

tape doptimisation (2.3.2).

2.3.3.1 Incertitude associe au p rocessus de mesure par optimisation

Pour un matriau rel donn, il existe un jeu de constantes dlasticit relles )(rijklC et un jeu

de vitesses relles )(rV associ, auxquels nous navons pas accs (figure 2.9). Nous obtenons

exprimentalement un jeu de vitesses mesures )0(V qui comporte une part derreur et qui

nous permet par optimisation de dterminer un jeu de constantes dlasticit )0(ijklC . Le jeu de

vitesses exprimentales )0(V comprenant une composante alatoire, il existe une infinit de

jeux de vitesses ),...,( )()1( nVV qui auraient permis de dterminer par optimisation des jeux de

constantes diffrents ),...,( )()1( nijklijkl CC obissant une certaine loi de distribution. Les

incertitudes ( )0ijklC sur le jeu de constantes dlasticit )0(

ijklC , dcoulent de la distribution des

jeux de constantes mesurables )(nijklC autour du jeu de constantes dlasticit relles )(r

ijklC . Notre

but est donc de dterminer la distribution des carts )()( rijkln

ijkl CC sans connatre le jeu de

constantes relles )(rijklC et sans pouvoir effectuer un nombre infini de mesures de jeux de


55

vitesses )(nijklC . Ces deux limitations ont motiv la mise en uvre dun calcul des incertitudes

par mthode Monte-Carlo.

Exprienceralise

...

...Jeu de vitessesmesures )0(V

Optimisation

( )0ijklC

1er jeu de vitesses)1(V

Optimisation

( )1ijklC

ne jeu de vitesses)(nV

Optimisation

( )nijklC

.

Distribution statistique des ijklC

Matriau rel

inconnues

( ) )(rrijkl VC

n expriencesralisables

FIG. 2.9 Notion dincertitude associe la dtermination des constantes dlasticit par uneprocdure doptimisation

2.3.3.2 Principe du calcul des incertitudes par mthode Monte-Carlo

Lhypothse de base de la simulation de Monte-Carlo est que le jeu de constantes

dtermin exprimentalement ( )0ijklC est proche du jeu rel )(r

ijklC et donc que la distribution des

carts )0()( ijkln

ijkl CC est peu diffrente de celle des carts )()( r

ijkln

ijkl CC .

)()0( rijklijkl CC (2.15)

)0()()()(ijkl

nijkl

rijkl

nijkl CCCC (2.16)

A partir de cette hypothse, il est possible de calculer la distribution des carts )0()( ijkln

ijkl CC

en simulant un grand nombre de jeux de vitesses synthtiques ( )( )nsV les plus proches possibles

de ceux qui auraient pu tre obtenus exprimentalement )(nV [PRES, 1992].

La figure 2.10 prsente les diffrentes tapes de la mthode Monte-Carlo. La rsolution du

problme direct permet tout dabord de recalculer le jeu de vitesses ( )0V associes aux


56

constantes dlasticit optimises ( )0ijklC . A partir de ce jeu de vitesses ( )0V , plusieurs tirages

Monte-Carlo permettent de gnrer un ensemble de jeux de vitesses simules ( )( )nsV . Les jeux

de vitesses simules ( )( )nsV sont en fait obtenus par bruitage raliste, selon une distribution

normale du jeu de vitesses ( )0V ; cest dire en utilisant le rsultat dune tude dtaille des

diffrentes sources dincertitudes exprimentales (temprature du liquide de couplage, temps

de vol, angle dincidence) susceptibles de perturber les mesures de vitesses [CHU, 1994c],

[DUBU, 1996a].

Simulation dexpriences(Monte-Carlo)

Incertitudes ( )0ijklC

Analyse statistique

...

... 1er jeu de vitesses

simules ( )( )1sV

Optimisation

( )( )sijklC

1

2e jeu de vitessessimules ( )

( )2sV

Optimisation

( )( )sijklC

2

ne jeu de vitessessimules ( )

( )nsV

Optimisation

( )( )s

nijklC

.

Constantes dlasticitoptimises ( )0ijklC

Jeu de vitessesassocies ( )0V

FIG. 2.10 Calcul des incertitudes associes aux constantes dlasticit optimises. Principedu tirage Monte-Carlo

Chaque jeu de vitesses ( )( )nsV permet par optimisation de calculer un jeu de constantes

simules ( ))(s

nijklC . Aprs un nombre de simulation statistiquement suffisant (1000 dans notre

cas), ltape finale consiste calculer les carts-types des distributions normales pour chacune

des constantes qui correspondent alors aux incertitudes( )0ijklC .


57

2.4 Dispositif exprimental

La dtermination ultrasonore des constantes dlasticit dun matriau donn, repose avant

tout sur la qualit des mesures de vitesses de propagation. Nous prsentons prsent le

principe de la mesure des vitesses de propagation des ondes ultrasonores en incidence oblique

et lappareillage dont nous disposons pour raliser ces mesures.

2.4.1 Principe de la mesure de vitesses ultrasonores en incidence oblique

2.4.1.1 Mthode de mesure en s imple transmission

La technique exprimentale, utilise pour la mesure des vitesses de propagation des ondes

ultrasonores de volume en incidence oblique, est une technique impulsionnelle en immersion.

La premire mise en uvre de cette mthode ralise par Markham [MARK, 1970] a t,

depuis, largement utilise et amliore par diffrentes quipes [HOST, 1983b], [ROUX,

1985], [HOST, 1987], [HOST, 1989], [ROKH, 1989], [ROKH, 1992], [CHU, 1992], [DUBU,

1996a].

Lprouvette, sous forme de lame faces parallles de surfaces rgulires et dpaisseur e,

est place dans un liquide de couplage (dans notre cas de leau) entre un metteur E et un

rcepteur R dont les faces sont planes et parallles. Cette configuration permet de faire varier

langle dincidence i de londe plane gnre par lmetteur E , par rapport la normale la

face de lchantillon. Dans le cas le plus gnral, trois ondes de volume peuvent tre gnres

au sein du matriau par conversion de mode linterface eau/matriau : une onde quasi

longitudinale et deux ondes quasi transversales [ROYE, 1996]. La figure 2.11 prsente les

diffrents parcours ultrasonores considrs par la suite.

Signal de rfrence Signaux de mesure

E Rrt

E

R

e

mt

ri

B

D

C

'R

FIG. 2.11 Principe de la mesure de vitesses en incidence oblique


58

La mesure de vitesses commence par lacquisition dun signal dit de rfrence qui

correspond au trajet ( )ER dune impulsion ultrasonore entre lmetteur E et le rcepteur Rdans leau. Une fois lprouvette place entre lmetteur E et le rcepteur R , le signal dit de

mesure, correspondant au trajet ( )'EBDR dune impulsion ultrasonore, est son tourenregistr. La vitesse de propagation, correspondant au trajet ( )BD dans lprouvette, estalors dduite de lcart rm tt =1 des temps de propagation des signaux de mesure et de

rfrence :

eaueaueaurm V

BC

V

BD

V

ER

V

BD

V

DREBtt =

++== '1 (2.17)

V et eauV sont respectivement la vitesse recherche au sein du matriau et la vitesse dans

leau. A partir de considrations gomtriques simples lexpression de 1 devient :

rV

ire

rV

e

eau cos

)cos(

cos1= (2.18)

Langle de rfraction r est dduit de la loi de Snell-Descartes linterface

eau/chantillon :

= i

V

Vr

eau

sinarcsin (2.19)

La substitution de lexpression 2.19 dans lquation 2.18 conduit aprs simplification la

vitesse de propagation V de londe ultrasonore dans le matriau :

iVeVe

eVV

eaueau

eau

cos2 122

12 ++

= (2.20)

Ainsi, la mesure de vitesse de propagation V dune onde ultrasonore en incidence variable

dans un matriau donn, fait intervenir la vitesse de propagation dans leau eauV , lpaisseur

e de lprouvette, langle dincidence i du faisceau ultrasonore et la diffrence de temps de

vol 1 obtenue, dans notre cas, par intercorrlation des signaux de mesure et de rfrence.

A partir de diffrents temps de vol (figure 2.12) et de la vitesse des ultrasons dans leau

eauV , il est possible de dterminer simultanment lpaisseur e et la vitesse longitudinale en

incidence normale V [HSU, 1992] :

+

= )(2

)(mr

avareau tt

ttVe (2.21)


59

+= )(

)(21

avar

mreau tt

ttVV (2.22)

La vitesse de propagation des ultrasons dans leau est dduite dune mesure de

temprature, laide dune relation empirique qui donne la vitesse eauV en fonction de la

temprature [DEL G, 1972].

rtE R E R

e

mtRE/ M

e

avt

art

FIG. 2.12 Mesure de lpaisseur e et de la vitesse longitudinale en incidence normale V

Dans le cas dchantillons trs attnuants, le contenu spectral des signaux de mesure mt et

du signal de rfrence dans leau rt devient trs diffrent. Il est alors prfrable de considrer

le trajet en incidence normale mt comme signal de rfrence [CHU, 1992], [CHU, 1994c],

[CHU, 1994d].

2.4.1.2 Mthode de mesure en double transmission

Lors dune mesure en double transmission le rcepteur ultrasonore R (figure 2.11) est

remplac par un miroir M (figure 2.13) [HOST, 1989], [ROKH, 1992]. Aprs un premier

trajet au sein du matriau, londe ultrasonore se rflchit sur le miroir M et effectue le trajet

inverse pour revenir sur lmetteur qui joue alors galement le rle de rcepteur (RE / ).

Lquation 2.20 reste donc valable lpaisseur e prs qui doit tre multiplie par deux.

RE /

M

e

FIG. 2.13 Principe de la mesure de vitesses en double transmission


60

Lorsque lpaisseur de lchantillon est voisine de la longueur donde utilise, cet

allongement du trajet de londe ultrasonore au sein du matriau est mis profit pour mieux

sparer les signaux des diffrents modes [HOST, 1989]. Ce mme allongement de trajet

devient un inconvnient lorsquil sagit de matriaux attnuants dpaisseur plus importante

[EL GU, 1992a]. Il est alors prfrable dutiliser la mthode de mesure en simple transmission

qui limite, de plus, le nombre dinterfaces franchir. Lorsque lpaisseur de lchantillon est

infrieure la longueur donde utilise, la dtermination des proprits dlasticit fait

intervenir des ondes guides [ROKH, 1993].

Enfin, lutilisation de la mthode en double transmission permet, par rapport la mthode

en simple transmission, le retour du faisceau ultrasonore sur la zone dmission du capteur

metteur. Dans le cas de la mthode en simple transmission, il est possible de rattraper le

dcalage induit par la rfraction au sein du matriau, en utilisant par exemple un capteur de

grandes dimensions [CAWL, 1997] ou en translatant le rcepteur [HOST, 1987], [HOST,

1991], [ROKH, 1992].

2.4.2 Banc ultrasonore en immersion

Pour effectuer des mesures ultrasonores en incidence oblique, lincidence i du faisceau

ultrasonore est obtenue par la composition de deux rotations et daxes orthogonaux

(figure 2.14). En incidence normale, le plan form par ces deux axes de rotation est parallle

aux faces de lchantillon, qui se prsente sous la forme dune lame faces parallles. Cette

prouvette, monte sur un mors fixe, est place entre un metteur et un rcepteur ultrasonores,

supports par un trier porte-transducteurs. Cet trier est reli un plateau tournant, fix sur

un ct de la cuve, qui permet une rotation daxe horizontal. La cuve contenant le liquide

de couplage est solidaire dun deuxime plateau tournant qui permet une rotation daxe

vertical. Finalement, langle dincidence i du faisceau ultrasonore par rapport la normale

la face de lchantillon, prise pour origine des angles, est donn par :

)cosarccos(cos =i (2.23)

Lensemble du dispositif est pilot par un micro-ordinateur qui gre la rotation des

plateaux tournants entrans par des moteurs pas pas, lacquisition de la temprature du

liquide de couplage, lacquisition et le stockage des signaux chantillonns par un

oscilloscope [DUBU, 1996a]. La stabilit de la temprature du liquide de couplage est assure

par une rgulation de type proportionnel-intgral-driv (PID).


61

Gnrateurdimpulsions

Oscilloscope

Rgulation de temprature

Eprouvette

Etrier portetransducteur

Pilotage desrotationsi = f(,)

Pilotage StockageTraitement

FIG. 2.14 Vue clate du montage exprimental

Ce banc ultrasonore en immersion peut sadapter sur une machine de traction

conventionnelle pour effectuer des mesures ultrasonores sous charge en incidence oblique

[AUDO, 1991b], [DUBU, 1996a]. Une autre approche consiste immerger une machine de

traction miniaturise dans un bac quip dun systme de mesures ultrasonores en incidence

oblique [EL GU, 1989a]. Ces diffrentes versions permettent notamment de dterminer les

constantes dlasticit du troisime ordre [EL GU, 1989a], [DUBU, 1996a], en considrant les

interactions entre les ondes ultrasonores et la dformation lastique statique [EL GU, 1992b].

Ces constantes traduisent le comportement lastique non linaire de certains matriaux

[DUBU, 1996b]. La mesure ultrasonore de lendommagement sous charge, envisage dans un

premier temps par une mesure au contact des vitesses ultrasonores selon certaines directions

de propagation [GERA, 1982], [BERT, 1983], [BERT, 1988], peut stendre, grce ces

dispositifs, la mesure de lendommagement anisotrope de matriaux sous charge [BAST,

1989b], [AUDO, 1991b], [BAST, 1992], [EL GU, 1992c], [EL GU, 1992d], [EL BO, 1994].

2.5 Conclusion

Aprs avoir dcrit la rsolution du problme direct de la propagation des ondes

ultrasonores de volume dans un milieu anisotrope, nous avons prsent la mthode de

dtermination des constantes dlasticit par optimisation. Le calcul statistique des

incertitudes par mthode Monte-Carlo a t dcrit. Enfin, nous avons dtaill le principe de la

mesure de vitesses ultrasonores en immersion en incidence oblique, ainsi que le montage

exprimental correspondant.

Pont d'embarquementPage de titreAvant-proposSommaireIntroduction gnraleChapitre 1 - Matriaux composites : lasticit et endommagementChapitre 2 - Dtermination ultrasonore des constantes d'lasticitChapitre 3 - Modlisation du comportement lastique des matriaux compositesChapitre 4 - Etude du comportement lastique anisotrope de composites matrice mtalliqueChapitre 5 - Comportement lastique et vieillissement hygrothermique de composites verre-poxyConclusion gnraleRfrences bibliographiquesFolio administratif

chapitre 2 détermination ultrasonore des constantes d...

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