chap7_s3

1

Optique Ondulatoire

Plan du cours

[1] Aspect ondulatoire de la lumière

[2] Interférences à deux ondes

[3] Division du front d’onde

[4] Division d’amplitude

[5] Diffraction

[6] Polarisation

[7] Interférences à ondes multiples

2

Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples

1 – Interféromètre de FABRY-PEROT

1.1) Présentation de l’interféromètre

ne

×S

rr

31052 −×.2T

31032 −×.22TR

i

r

31002 −×.24TR

0I

i

31081 −×.26TR

Faces traitées

I

L

K

J

2 3

Milieu 1

Milieu 2

Milieu 1

Réflexion en intensité :

Transmission en intensité :

En transmission toutes les ondes ont une amplitude comparable

Rq : comme pour la lame, les interférences sont localisées à l’infini

3


1.2) Différence de marche entre deux rayons successifs

ne

×S

rr

i

r

0I

i

I

L

K

J

2 3

Différence de marche entre

les rayons 3 et 2 :

Si :

Si on obtient le même résultat à 2π près.


1.3) Calcul de l’intensité de l’onde transmise

Onde incidente :

Déphasage initial :

Suite des ondes transmises :

Calcul du champ transmis :

4

5


Onde résultante :

or

On obtient finalement :

6


Interprétation graphique :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0=ϕ

1.0=ϕ

5.0=ϕ

2.1=ϕ

2=ϕ

( )aIm

( )aRe

7

Calcul de l’intensité transmise :


8


En utilisant la conservation de l’énergie :

En posant :

On a :

On obtient l’expression de l’intensité :

Remarque : la fonction est appelée fonction d’AIRY

9


1.4) Etude de la fonction d’AIRY

Etude de la visibilité des franges :

Le maximum d’intensité est obtenu lorsque le dénominateur est minimal :

Le minimum d’intensité est obtenu lorsque le dénominateur est maximal

On calcule alors la visibilité des franges par :

Soit encore :

10


avec :

On obtient :

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

V

R

11


Représentation graphique de la fonction d’AIRY :

0 5 10 15

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

R=0.04 R=0.2 R=0.4 R=0.85

I/I 0

-ϕ

12


Largeur des pics de la fonction d’AIRY :

Dans ce paragraphe, on se limite aux valeurs de réflectivité élevées

Les maxima d’intensité sont obtenus pour :

On appelle la largeur des pics de la fonction d’AIRY

L’intensité transmise vaut pour :

13


Le dénominateur de la fonction d’AIRY fait intervenir la quantité :

ainsi :

14


On obtient finalement l’expression de la largeur des pics de la fonction

d’AIRY :

Remarque : plus la réflectivité est élevée, plus les pics de la fonction

d’AIRY sont fins.

15


1.5) Figure d’interférences

Expression de l’intensité en fonction des paramètres géométriques du

système :

On obtient alors une intensité qui dépend de l’angle d’incidence par

l’intermédiaire de .

On observe alors des franges d’égales inclinaisons sous forme d’anneaux

concentriques.

Ces anneaux sont localisés à l’infini, on les observe au foyer d’une lentille de

focale .

Rayon du mième anneau :

16


==

20.0

1.0

V

R

==

38.0

2.0

V

R

==

690

40

.V

.R

==

970

850

.V

.Rmm6

mm6

Illustration :

17


Supposons maintenant que l’on éclaire l’interféromètre avec une onde plane

monochromatique en incidence normale par exemple.

Σ Onde plane , λ0

Photodiode

La question que l’on se pose est à quelle condition l’onde incidente est transmise par

le filtre FABRY-PEROT. C’est-à-dire pour quelle longueur d’onde l’anneau centrale (seul

anneau observé) est il brillant?

1.6) Filtre FABRY-PEROT

18


Fonction de transfert du filtre :

La fonction de transfert du filtre est périodique. La période est appelée

intervalle spectral libre (ISL) :

19


fδ

ISL

1 2 3 4 50,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

I/I

0

f/ISL

Représentation de la fonction de transfert normalisée :

20


On obtient donc un filtre de largeur :

En utilisant les résultats précédents :

On définit alors la finesse du résonateur :

On peut alors calculer la largeur des résonances par :

21


Comme en électronique, on définit le facteur de qualité du filtre par :

Ainsi :

D’où

Exemple :


0a+a a

−ara

x0=x ex =

A partir de l’expression du champ transmis on peut écrire :

Remarque : on se limite au cas

de l’incidence normale et d’un

interféromètre vide.

� ϕ1=ϕ/2

22

1.7) Résonateur FABRY-PEROT

23


Le champ total interne est donné par :

La densité d ’énergie interne est proportionnelle à la finesse.

Temps de stockage de

l’énergie :

0,0 0,5 1,0 1,5 2,01E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

10

100

ϕ = 0 [2π] et F = 100 ϕ = π/4 [2π] et F = 100 ϕ = 0 [2π] et F = 20

I int/I

0

x en µm

24


Illustration du « stockage d’énergie »

Miroir 1 Miroir 2

0a

ra

aina

x

Microcavité FABRY-PEROT :

25


Exemple 1 : Spectrométrie (exemple traité en TP S3)

Principe : balayage des fréquences de résonances d’une cavité FABRY-PEROT

Si on fait varier très faiblement la longueur de la cavité FABRY-PEROT :

avec et

Les fréquences de résonances s’écrivent maintenant :

1.8) Applications

R=65% :

26


Oscilloscope

Laser à

analyser

Photodiode U(t)

e(t) PZT

Fabry-Pérot d’analyse d’ISL connu

Générateur HT

V(t)f

Spectre

du Laser :

Signal transmis par la cavité U(t) :

Longueur de la cavité e(t) :

LASER

RésonancesRésonancesRésonancesRésonances

∆∆∆∆f?

R=95% :


27

28


t

Spectre mesuré dans le domaine temporel :

ISL

∆∆∆∆f

La connaissance de ISL nous permet de calculer ∆∆∆∆f par une simple règle de trois

La résolution δδδδf est donnée par la finesse des pics de résonance du Fabry-pérot

d’analyse

Exemple : pour un ISL de 7.5 GHz et une finesse de 100 on obtient :

δδδδf=7.5 GHz/100=75 MHz

Si l’on suppose que la fréquence optique vaut f0=5×1014 Hz, on a :

δδδδf/f0=1.5×10-7!!

29


Vs

Energie

Gain

Rétroaction

Oscillateur Electronique

Energie

Oscillateur Optique

Gain

Rmax Rmin

Is

Exemple 2 : LE LASER

LASER

2 – Réseaux de Diffraction

2.1) Description d’un réseau de diffraction

x

y

motifsNpériodiqueMotif

a

Définition : pupille diffractante présentant une périodicité spatiale

(de période a) dans une seule direction (ici x). 30


2.2) Calcul de l’intensité diffractée par le réseau

iθ

iθa

x

z

θθ

∞→θ,M

P

O

P′

P ′′

∞→θiS,

�� Déphasage ∆∆∆∆ϕϕϕϕ entre deux

rayons successifs

Les points O et P’ sont sur le même

plan d’onde :

Les points O et P’’ sont sur le

même plan d’onde :

Donc

31


Ainsi :

iθ

iθa

x

z

θθ

∞→θ,M

P

O

P′

P ′′

∞→θiS,

32


33

Réseau

12

p

N

Onde incidente dans la

direction θθθθi

1a2a

pa

Na

Onde diffractée dans

la direction θθθθ

�� Amplitude diffractée totale

Expression de la p-ième onde

partielle diffractée :

Amplitude totale : somme des

N ondes interférant à l’infini :

33


Finalement :

L’amplitude est la somme des termes d’une suite géométrique de

raison :

34


�� Intensité diffractée totale

Intensité lumineuse due aux interférences à N ondes :

Soit :

Et en tenant compte de la largeur de chaque fente :

35


2.3) Figure de diffraction

-75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

I/I 0

θ en degrés

La figure de diffraction présente des maxima d’autant plus fins que N est grand.

Diffraction par le réseau

Diffraction par une fente

Image géométrique :

36


Les maxima de la figure de diffraction sont obtenus pour :

a0λ

iθ θ

Rayon unité

Les directions de diffraction

dépendent de la longueur d’onde.

Le réseau est dispersif.

Construction graphique

permettant d’obtenir les

directions des maxima de

diffraction.

37


321 ,, λλλ

Faisceau

incident iθ

1+=k

0=k

1−=k

2−=k

321 ,, λλλ

1λ

1λ

a1λ

1λ2λ

2λ

a2λ

3λ

3λ

a3λ

Dispersion d’un faisceau polychromatique par un réseau : λλλλ1<λλλλ2<λλλλ3

réseau

2.4) Application à la spectroscopie

38


3+=k

0=k

1+=k

2+=k

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 rouge λ3 = 633nm vert λ2 = 514nm bleu λ1 = 440nm

I/I 0

θ en degrés

Illustration

39


Exemple : Doublet du sodium : λλλλ1=589nm et λλλλ2=589.6nm

17.08 17.10 17.12 17.14 17.16 17.18 17.200.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 λ=589nm λ=589.6nm

I/I 0

θ en degrés

N=300

17.08 17.10 17.12 17.14 17.16 17.18 17.200.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 λ=589nm λ=589.6nm

I/I 0

θ en degrés

N=3000

Pouvoir de résolution d’un spectromètre à réseau :

plus petit écart spectral discernable

ordre de diffraction considéré

40


Valeur typique du pouvoir de résolution :

�� Nombre de fentes par mm :

�� Longueur totale du réseau :

�� D’où une pouvoir de résolution à l’ordre 1 :

�� Ce qui conduit à un écart spectral minimal pour une longueur d'onde :

41


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