chap7_s2

7/17/2019 Chap7_S2

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IUT Lannion – Optique instrumentale

Plan du cours

– Notions de base et définitions

– Photométrie / Sources de lumière

– Les bases de l’optique géométrique

– Généralités sur les systèmes optiques

– Eléments à faces planes

– Dioptres sphériques

– Les lentilles

– Propriétés de quelques instruments d’optique

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Chapitre 7 – Les lentilles

I – Définitions

Ajoutons que le milieu dans lequel est placé la lentille sera l’air

dans tous nos développements. Nous étudierons ces lentilles

dans le cadre de l’approximation de GAUSS.

En toute généralité, une lentille est un système optique composé

de deux dioptres.

Nous nous limiterons dans ce cours aux lentilles sphériques

minces et homogènes. Ceci implique plusieurs hypothèses :

- Le milieu situé entre les deux dioptres est homogène.

- Le terme « mince » indique que les sommets sont très proches

l’un de l’autre.

- Les dioptres considérés sont sphériques.

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× × ×

n1

2C 2S 1S

1

face ou dioptre

d’entrée D1

face ou dioptre

de sortie D2

222

111

C S R

C S R

=

=

e

( ) L

×1C

De manière plus précise on considère qu’une lentille

est « mince » quand l’épaisseur e est faible devant les

rayons de courbure des deux dioptres :

1

Re << 2

Re <<et

Figure 7.1

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II – Relation de conjugaison avec origine au centre –

distances focales

Nous allons établir la relation mathématique qui lie la position d’un

objet A à celle de son image obtenue à travers la lentille L. A′

Pour cela nous allons positionner l’image intermédiaire obtenue

à travers le dioptre D1, puis nous calculerons l’image de par

rapport au dioptre D2, on obtiendra alors l’image finale .

i A

i A

A′

a) Relation de conjugaison avec origine au centre

A A A D

i D ′ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ 21

En résumé :

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est l’image de A par rapport au dioptre D1 :i A

111

11

R

n

AS AS

n

i

−=−

est l’image de par rapport au dioptre D2 : A′ i A

222

11

R

n

AS

n

AS i

−=−

′

× × ×

n

2C 2

S

1S

( ) L

×1

C

A

B

i A

i B

A′

B′

2 D1 D

1 1

Figure 7.2

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1

11

R

n

OAOA

n

i

−=−

On reprend les expressions précédentes avec : S 1=S 2=O :

2

11

R

n

OA

n

AO i

−=−

′

+

21

1111

R

n

R

n

OA AO

−+

−=−

′

Et finalement : on obtient la relation de conjugaison au centre ou relation

de DESCARTES :

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−

′ 21

111

11

R Rn

OA AO

La lentille est mince, c’est-à-dire que les sommets S 1 et S 2 sont confondus en

un point que nous appellerons désormais le centre O.

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b) Distances focales

- L’image du foyer objet F est rejetée à l’infini :

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−

21

1111 R R

nOF

⎪⎩

⎪⎨⎧

±∞=′

=

AO

F A

01

→′ AO

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−=

′ 21

111

1

R Rn

F O

⎪⎩

⎪⎨⎧

±∞=

′=′

OA

F A

01

→OA

- L’image d’un objet à l’infini sur l’axe optique se forme au foyer image :F ′

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−

′ 21

111

11

R Rn

OA AORelation de conjugaison :

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×O

×F

×F ′

Les foyers sont symétriques l’un de l’autre par rapport au centre O de la

lentille :OF F O −=′

On appelle distance focale image la distance : f ′ F O ′

On appelle distance focale objet la distance : f OF f f ′−=

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

′21

111

1

R Rn

f

Avec :

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On obtient alors les relations de conjugaison de la lentille avecorigine au centre ou « relation de DESCARTES » :

f OA AO ′=−

′

111

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−=

′=

21

111

11

R Rn

f f V

Avec pour la vergence :

En conclusion :

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III – Lien entre forme géométrique et focale pour une

lentille mince

Remarque : La valeur de la focale de la lentille est indépendante dusens dans laquelle on l’utilise. Une lentille convergente reste

convergente quel que soit le sens d’utilisation.

a) Lentilles convergentes

Symbole :

Biconvexe

00 21 <> R; R

Ménisque

210 R R <<

( ) 0

11

1

1

21 >⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−−=′ R Rn f

Plan convexe

∞=> 21 0 R; RFigure 7.3

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b) Lentilles divergentes

Biconcave

00 21 >< R; R

Ménisque

120 R R <<

En conclusion : une lentille plus épaisse au centre qu’au bord

est convergente, une lentille plus épaisse au bord qu’au centre

est divergente.

Symbole :

( ) 011

11

21

<⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

′ R Rn

f

Plan concave

021 >∞= R; R

Figure 7.4

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IV – Constructions – grandissement transverse

a) Rayons particuliers

××

OF ′

F

Lentille divergente

1/ Le rayon qui passe par O n’est pas dévié

2/ Le rayon qui passe par F émerge parallèle à l’axe (image à l’infini)

3/ Le rayon incident parallèle à l’axe émerge en passant par F’

× ×O F ′F

Lentille convergente Figure 7.5

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××OF ′ F

Ex: Lentille divergente – Image virtuelle

b) Objet réel à l’infini vu sous un angle

θ

B′

=′ A θ

(La lentille est aplanétique dans l’approximation de GAUSS) l’image seforme dans le plan focal image.

=′ A

B′

× ×O

F ′

F

Ex: Lentille convergente – Image réelle

Figure 7.6

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c) Objet dans le plan focal objet

θθ

θ

Lentille divergente – Objet virtuel

××OF ′ AF =

B

××O

F ′

AF =

Lentille convergente – Objet réel

B

Figure 7.7

L’image se forme à l’infini sous un angle avec :

f

AB

′−≈θ≈θtan

θ

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d) Objet AB à distance finie : grandissement transverse

B′

A′××

O

F ′

F A

B

Objet virtuel – image virtuelle

B′

A′

Ces constructions nous permettent d’écrire le

grandissement transverse pour la lentille mince : OA

AO

AB

B Ag y

′=

′′=

× ×O

F ′

F

Objet réel – image virtuelle

A

B

Figure 7.8

Le système est aplanétique : ( ) ( ) B A AB ′′//

Si est orthogonal à l ’axe optique, est le projeté de sur l ’axeoptique.

( ) AB A′ B′

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Rq : le grandissement angulaire est l’inverse du grandissement (relation

de LAGRANGE-HELMHOLTZ :

1

1

=αgg y AO

OAg′=α


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V – Relations de NEWTON

××O

F ′

F A

B

B′

A′

I

J

f

AF

FA

f g

f f f f AF FA

y ′

′′−=−=

′−=−=′=′′ 22 AB

B Ag

y

′′=

AB

B Ag y

′′=

OI

B A ′′=

OF

AF

′

′′=

f

AF

′

′′−=

AB

OJ =

FA

FO=

FA

f −=

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VI – Associations de deux lentilles

Problème : On cherche la focale du système complet connaissant la

focale des deux lentilles formant le système.

1O 2O

( ) 111 /1; f V L ′=

21OOe =

( ) 222 /1; f V L ′=

Remarque : deux lentilles minces accolées : 21 V V V +=


La focale image est alors donnéepar la formule de GULLSTRAND :

21211 V eV V V

f V −+=

′= f ′

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