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CHAPITRE 4

FONCTION DE TRANSFERT DISCRETE

4.1. REPRESENTATION SYMBOLIQUE D'UN SYSTEME A TEMPS DISCRET

Dans un système à temps discret, se trouvent rassemblés pour composer une

chaîne de commande (en chaîne ouverte ou en boucle fermée) des éléments de type

analogique (continu) et de type numérique (discret), associés à des convertisseurs CAN

et CNA pour passer des uns aux autres. Cette chaîne peut être symbolisée par le schéma

suivant :

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Extérieurement le système est discret, puisqu'à une entrée discrète uk = u(kT)

correspond un signal discret yk = y(kT). Bien que le processus physique à commander

soit de type analogique, la vision qu'en a le calculateur (qui assure la commande) à

travers les convertisseurs est de type discret ; en effet, les signaux analogiques u(t) et

y(t) n'interviennent dans l'algorithme qu'aux instants d'échantillonnage délivrés par

l'horloge de l'ordinateur. On peut donc définir une fonction de transfertéchantillonnée, qui modélise le système et qui lie le signal discret d'entrée uk au signal

de sortie échantillonné yk.

Remarque : D'aucuns voient dans ceci que l'horloge joue en fait le rôle d'un

stroboscope ; d'où le nom de fonction de transfert stroboscopique

donnée parfois à la transmittance échantillonnée.

* En réalité, on peut représenter le processus de commande par calculateur numérique

par le schéma suivant :


Après avoir été soumise à un algorithme de commande (détecteur d'écart,

régulateur,...), la grandeur de commande e(t) désirée par l'opérateur est mise en

mémoire sous forme de valeurs numériques quantifiées uk. A chaque période T, le

registre de sortie est chargé sous forme d'octets et le Convertisseur Numérique-

Analogique délivre un signal um(t), constant entre deux prises d'information.

Si l'on suppose que la quantification du signal est suffisamment fine pour

pouvoir en négliger ses effets (c.f. chapitre 2, § 2.1.3. ), on peut symboliser ce processus par

le dispositif suivant, où tout se passe comme si le signal uk, que l'on peut noter

également u*(t), résultait de l'échantillonnage d'une grandeur analogique u(t) :

u(t) u*(t) I I um(t)-^ »» B0(p) *-

uk I

* Toujours en négligeant volontairement les effets de la quantification, la conversion

analogique-numérique pourra être représentée par un simple échantillonneur.

* A partir de ces différentes considérations, on peut proposer de symboliser la chaîne de

commande à temps discret par le schéma suivant, où tout se passe comme si le signal de

commande analogique u(t) était échantillonné, éventuellement traité (régulateur), puis

soumis à un bloqueur d'ordre zéro avant d'attaquer le processus analogique. La sortie de

celui-ci est exploitée sous forme analogique y(t) et/ou sous forme échantillonnée pour

être traitée par le calculateur.

Automatique - S.A.E. chapitre 4 : Fonction de transfert discrète

NOTES PERSONNELLES


F(p) représente la fonction de transfert classique du système (analogique) à commander

par ordinateur.

Remarque : D'une façon générale, on appellera H(p) la fonction de transfert de tous

les éléments compris entre deux échantillonneurs.

4.2. NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT ECHANTILLONNEE

4.2.1. Convolution discrète

Comme la sortie d'un système linéaire continu résulte d'un produit de

convolution :

y(t) = h(t) * u(t)

la relation entrée-sortie d'un système à temps discret s'appuie sur la notion de

convolution discrète.

Soit le système linéaire à temps discret (ou système échantillonné) ci-dessous :


NOTES PERSONNELLES


u(t) u*(t) y(t) y*(t)^ *" H(p) <^—*~

U(p) U*(p)| I Y(p) Y*(p)

On peut écrire :

y(t) = h(t)*u*(t)

+00

y(t) = h(t)*5>(nT).ô(t-nT)n=o

+00

y(t)=£u(nT).h(t)*ô(t-nT)n=o

+00

alors y(t) = ]£ u(nT).h(t - nT)n=0

Notons que le terme : u(nT). h(t-nT) n'existe qu'à partir de l'instant t = nT.

La relation ci-dessus, qui donne la convolution discrète qui lie la sortie à l'entrée,

permet de calculer ce qui se passe à tout instant. En particulier, si on s'intéresse à la

(n+l)e période, on peut écrire qu'entre les instants nT et (n+l)T, la sortie du système

sera un signal continu, répondant à :


NOTES PERSONNELLES


y(t) = X u(mT). h(t-mT)m=o

qui donne l'évolution de la réponse du système sur la période considérée.

En fait, cette réponse du système est la somme de ses réponses impulsionnelles

successives comme indiqué sur le schéma ci-dessous :

Si l'on désire connaître la valeur de la réponse à l'instant t = nT, il suffit

d'écrire:

yn = y(nT) = JT u(mT). h[(n-m)T]m=o

4.2.2. Fonction de transfert échantillonnée

On sait que :


NOTES PERSONNELLES


+00

Y*(p) = Xyne-nTPn=o

alors :

+~ r nY*(p) = £ Z u(mT). h[(n-m)T] e^P

n=o Lm=o

posons : n - m = k d'où :n = k + m S i n = 0, alors k = -m

+00 +00

Y*(p) = ]T 2 u(mT) . h (kT). e-kTP . e-mTPk=-m m=°

+00 +00

Y*(p) = X h(kT) • e"kTp • Z u(mT) • e"mTp

k=-m m=0

Du fait de la causalité de la réponse impulsionnelle, on peut écrire :

+00 +00

Y*(p) = X h (kT) • e"kTp • S u(mT) • e"mTp

k=o m=o

On voit que l'expression :

+00

2 h(kT).e-kTPk=o


NOTES PERSONNELLES


est en fait la fonction de transfert échantillonnée H*(p) du système considéré.

On constate que la sortie échantillonnée a alors pour transformée de Laplace :

Y*(p) = H*(p).U*(p)

On peut donc représenter simplement un système échantillonné par un bloc-

diagramme élémentaire :

U*(P)| l I Y*(p)

II est évident que la relation entrée-sortie peut aussi s'exprimer par les

transformées en z :

Y(z) = H(z).U(z)

4.3. FONCTIONS DE TRANSFERT DES SYSTEMES COMPLEXES

// s'agit de calculer la fonction de transfert échantillonnée équivalente d'un

système résultant de l'association de systèmes élémentaires regroupés pour former, soit

des commandes en chaîne ouverte, soit des systèmes asservis ; ces ensembles étant

modélisés comme indiqués au paragraphe précédent. La présence d'échantillonnées

répartis dans la chaîne, ainsi définie, modifie les règles de calcul des transmittances.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES4.3.1. Systèmes de commande en chaîne ouverte

Cas 1 : système encadré par deux échantillonneurs

u(t) u*(t) I I y(t) y*(t)-^ *" H(p) ^—*-

U(p) U*(p)| I Y(p) Y*(p)

H(p) peut ici représenter un système élémentaire ou la fonction de transfert

globale d'un système plus complexe :

- éléments en cascade : H(p) = Gj(p). G2(p)

- éléments en parallèle : H(p) = Gj(p) + G2(p)

Y(p) = H(p).U*(p)

Y*(p) = H*(p).U*(p)

ou : Y(z) = H(z). U(z)

Cas 2 : avec un échantillonneur intermédiaire dans la chaîne

u(t) u*(t) F | x(t) x*(t) I I y(t) y*(t)

U(p) U*(P)L_JX(p) X*(p)| 2 IYCP) Y*(p)



Sachant que :

X*(p) = H*(p). U*(p)

Y*(p) = Hjp). X*(p)

on obtient :

Y*(p) = Hj(p). Hjp). U*(p)

La fonction de transfert globale est :

H*(P)=HÎ(P) . H;(P)H(z) = H^z) . H2(z)

Cas 3 : système continu précédé d'un bloqueur d'ordre zéro

NOTES PERSONNELLES


H(Z) = £[M]_& [«,!>.*£>]

H(z) = ^fM_z-i^M]v ' [ P P J

soit :

H(z) = (1-^)35 [M"

4.3.2. Systèmes bouclés

Détecteur d'écart (comparateur)

On peut voir immédiatement l'équivalence des deux schémas ci-dessous :

^L^<^\^L^^1^ e(t) ̂ e^t^/Qs £*(t) _^—^^ ^ ^^ ^scS'

Lit} r*^ ̂8* = (e-m)* = 8 * = e* - m*


NOTES PERSONNELLES


Cas 1 : Système asservi avec échantillonnage de l'erreur

^"Ut^V^d D(p) hji^j^F m(t) I 1I R(p) -* '

H^(p)=^=[D(P).R(P)rH* M _ S*(p) _ D*(p) Hf , _ D(z)HbfvP) ~~ÏE*r~\ ~ ~* H W ~ "i TJ / \E*(P) 1 + H;o(p) ! + Hbo(z)

e*(p) = 1 E*(p) e(z) = -—J-TT E(z)l + H;o(P) l+Hb o(Z)

Cas 2 : Système asservi avec un échantillonnage supplémentaire dans la

chaîne directe

^^^^X^p^l^V X*ffpwp7| s(t)^ s*(t)^

Tm(t) I 1I R(p) ^ 1


NOTES PERSONNELLES


HL(p) = DÎ(p). [D2(p). R(p)]* Hbo(z) = Di(z). & [D2(p). R(p)]

H* ,nï _ Di(p) • Dl(p) H , , _ DI(Z) . D2(z)Hbf\PJ ~ ; Wbf{Z] - „ , ,1 + Hbo(p) 1 + Hbo(z)

Remarque 1 : Ce type de configuration est très intéressant car il représente le cas

typique d'un asservissement dont le correcteur (régulateur) est

programmé dans le calculateur de commande. Ainsi, on pourrait avoir :

Dj*(p) = C*(p), fonction de transfert du correcteur numérique, et D2(p),

fonction de transfert des éléments analogiques de la chaîne de

commande.

Remarque 2 : Le capteur R(p) est supposé ici analogique. S'il est de type numérique,

la prise d'information s'effectue alors après l'échantillonneur de sortie.

4.4. LIEUX DE TRANSFERT

De même que pour les systèmes asservis linéaires continus, Vétude des

performances d'un système asservi échantillonné passe bien souvent par certaines

méthodes graphiques et nécessite donc le tracé de son lieu de transfert échantillonné.

4.4.1. Incidence de l'échantillonnage sur le lieu de transfert d'un système

Le lieu de transfert H*(jco) d'un système à temps discret se déduit de laconnaissance du lieu de transfert H(jco) du système continu associé par la relation :



+00

H*(jœ) = | £ H[j(o)+kn)]k=-oo

avec : £1 = 2ZL pulsation d'échantillonnage

En pratique, on trace plutôt le lieu TH*(j(o), tel que :

+00

TH*(jco)=]T H[j(co+kQ)]k=-oo

Le lieu échantillonné résulte donc d'une addition vectorielle dans le plan

complexe comme indiqué ci-dessous :



Cette construction, qui peut paraître bien fastidieuse, est facilitée par :

* le fait que la double sommation sur k se réduit bien souvent à quelques termes autour

de zéro. En effet, le module de H(jco) tend rapidement vers zéro dès que la pulsation

prend des valeurs élevées. Or dans bien des cas, la pulsation d'échantillonnage est elle-

même élevée, ce qui fait que :

lim JH[j(co + kQ)| -* 0 dès que k -3, 4, 5,...CQ—>+oo

* le fait que la fonction TH*(jco) soit périodique (c.f. § 2.2.2.) ; ce qui confère au lieu

TH*(jco) quelques propriétés intéressantes.

En effet, on peut constater très facilement que pour :

co = 0 TH*(jO) est réel ou infini, selon que H(jO) est lui-même réel ou

infini.

0) = — = — TH * (j —) est toujours réel, quelque soit H(jco)

G) = Q TH * (jQ) = T H * (jO)

Si TH*(jO) est réel, ces deux points sont confondus. Le lieu de transfert

est cyclique et présente une périodicité de £2.



NOTES PERSONNELLESSi TH*(jO) est infini, TH*(jQ) est infini et lui est symétrique par rapport

à l'axe réel ; le lieu se boucle alors à l'infini par un cercle de rayon

infiniment grand.

Ainsi compte-tenu des règles ci-dessus, les lieux de transfert échantillonnés se

présentent comme indiqué dans la figure suivante :


Remarque 1 : Comme pour les systèmes continus, il est assez rare que l'on soit amené à

travailler dans le plan de Nyquist (ou plan complexe). L'intérêt de ce

paragraphe se situe dans la mise en évidence des propriétés liées aux

lieux de transfert des systèmes à temps discret par rapport aux lieux des

systèmes continus correspondants.

Remarque 2 : Les logiciels d'étude des systèmes, tels que MATLAB et SIMULINK,

permettent d'obtenir ces tracés sans difficulté.

4.4.2. Lieux d'EVANS (ou lieu des racines)

La fonction de transfert d'un système asservi échantillonné peut s'exprimer par :

H M- D(Z)ttbf(Z) —t ,TJ / \l+Hbo(z)

Sa fonction de transfert en boucle ouverte pourra se mettre sous la forme :

Hbo(z) = K.G(z)

Les pôles de Hbf(z), donc les racines de l'équation caractéristique (sensibilité

Z(z) de l'asservissement) :

2(z) = l + Hbo(z) = 0

dépendent du gain statique en boucle ouverte K, des pôles et des zéros de la fonction

G(z).


NOTES PERSONNELLES


On peut donc tracer dans le plan des z le lieu géométrique décrit par les racines

de l'équation caractéristique £(z) = 0, lorsque le gain statique en boucle ouverte K

varie de zéro à l'infini. Ce lieu des racines en fonction du paramètre K est appelé lieu

d'EVANS.

Remarque 1 : Le principe du lieu d'EVANS, ses règles de construction ainsi que les

propriétés qui en découlent, ont été développés dans le cours de Systèmes

Asservis Linéaires Continus (chapitre 3. §3.4.4) ; s'y reporter pour

l'utilisation de ce lieu dans le contexte de la transformée en z.

Remarque 2 : Le tracé du lieu d'EVANS dans le plan des z est tout à fait approprié à

l'étude de la stabilité des systèmes à temps discret (c.f. chapitre suivant).


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