CHAPITRE III. Systèmes linéaires libres amortis à un degré de liberté.

3.1 Force d�amortissementUn système soumis à un frottement est dit amorti. Le frottement le plus simple est lefrottement visqueux. Les frottements visqueux sont de la forme

f = ��v: (3.1)

� est une constante positive appelée coe¢ cient de frottement et v est la vitesse du corps

en mouvement. En mécanique, l�amortisseur est schématisé par:α

: La vitesse v est

dans ce cas la vitesse relative des deux bras de l�amortisseur.

3.2 Équation de Lagrange des systèmes amortisS�il existe un frottement f = �� �q, l�équation de Lagrange devient: d

dt

�@L@�q

�� @L

@q = ���q:

En introduisant la fonction de dissipation D = 12�

�2q ; nous pouvons écrire: f = �� �q = �@D

@�q:

(En translation D = 12�v

2= 12�

�2x : En rotation D = 1

2�v2= 1

2�(l��)2: En électricité D = 1

2Ri2= 1

2R�2q :)

L�équation de Lagrange des systèmes amortis s�écrit alors (où q = x ; y ; z ; q ; � : : :)

d

dt

@L@�q

!� @L@q

= �@D@�q: (3.2)

3.3 Équation dumouvement des systèmes amortisL�équation du mouvement des systèmes linéaires amortis par f = �� �q est de la forme

��q + 2�

�q + !20q = 0: (3.3)

� est appelé facteur (ou coe¢ cient, ou constante) d�amortissement. !0 est la pulsation propre.!02�= Q est appelé facteur de qualité. (Parfois, l�équation 3.3 est écrite sous la forme

��q+

�q+!20q = 0:)

3.4 Résolution de l�équation dumouvementLa solution de l�équation (3:3) est de la forme q (t) = Aert: En injectant ceci dans (3:3) onobtient r2Aert + 2�rAert + !20Aert = 0 ) r2 + 2�r + !20 = 0 appelée l�équation caractéris-tique. On distingue alors trois cas suivant le signe du discriminant réduit �0 = �2 � !20.

� �2 � !20 > 0 : (amortissement important: Q < 0; 5)Deux solutions réelles pour l�équation caractéristique:r1 = ���

q�2 � !20: r2 = ��+

q�2 � !20:

Le mouvement résultant est q (t) = A1er1t +A2er2t; soit: t

)(tq)0(q

q(t) = e��t�A1e

�p�2�!20t +A2e

p�2�!20t

�: (3.4)

Le mouvement est dit apériodique.� �2 � !20 = 0 : (amortissement critique: Q = 0; 5)Une solution double pour l�équation caractéristique :r1 = r2 = r = ��:Le mouvement résultant est q (t) = (A1 +A2t) ert; soit:

q (t) = e��t (A1 +A2t) : (3:5)t

)(tq)0(q

Le mouvement est dit en régime critique:

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� �2 � !20 < 0 : (amortissement faible: Q > 0; 5)Deux solutions complexes pour l�équation caractéristique:r1 = ��� j

q!20 � �

2: r2 = ��+ jq!20 � �

2:

Le mouvement résultant est q (t) = A1er1t +A2er2t; soit:t

( )tq

T

( )0q

q (t) = Ae��t cos (!t+ �) : (3.6)

Le mouvement est dit pseudo-périodique. ! =q!20 � �

2 est appelée pseudo-pulsation.

T =2�

!=

2�q!20 � �

2est appelée pseudo-période.

3.5 Décrément logarithmiquePour évaluer la diminution exponentielle de l�amplitude du mouvement pseudo-périodique,nous utilisons le logarithme. Le rapport � = ln q(t)

q(t+T ) (ou encore1n ln

q(t)q(t+nT ) ): est appelé le

décrément logarithmique. En utilisant (3:6) ; on trouve � = ln Ae��t

Ae��(t+T )=) � = �T: (3:7)

3.6 Exemples

a) Soit le système masse-ressort ci-contre. Trouver l�équation dumouvement d�abord avec le Lagrangien puis avec le PFD.

Solution: � À l�aide du Lagrangien :Le Lagrangien est L =T � U = 1

2m�2x � 1

2kx2:

D = 12�

�2x : L�équation de Lagrange s�écrit alors

ddt

�@L@��

�� @L

@� = �@D@��) m

��x+ kx = �� �x) ��

x+�

m

�x+

k

mx = 0:

k αm

x

k αRr

gmrfr

Tr

irj

r

� À l�aide du PFD :P�!F = m�!a ) �!

T +m�!g +�!R +�!f = m�!a ) �kx�!i �mg�!j +R�!j � � �x�!i = m��x�!i

Par projection sur x0Ox: �kx� � �x = m��x =) ��

x+�

m

�x+

k

mx = 0:

b) Soit le système disque-ressort ci-contre. � � 1: Trouver l�équationdu mouvement à l�aide du Lagrangien puis à l�aide du TMC. Trouver lanature du mouvement si M=1kg, k=2N/m, R=10cm, r=5cm, �=8Ns/m.

� À l�aide du Lagrangien :

L =T � U: T = 12I=O

��2

= 12

�12MR

2� ��2

: U = 12k (R�)

2 .

L = 12 (12MR

2)�2� � 1

2kR2�2: D = 1

2�v2B =

12�(r

��)2:

L�équation de Lagrange nous donne alors l�équation du mouvement:

ddt

�@L@��

�� @L

@� = �@D@��=) 1

2MR2��� + kR2� = ��r2

�� =)

��� +

2�r2

MR2

�� +

2k

M� = 0:

k

θ

MR

α

O r

A

B

� A l�aide du TMC :P�!M=O =

d�!L =O

dt

=) ��!OO ^M�!g +��!OO ^ �!R +�!OA ^ �!T +��!OB ^ �!f = d

dt (I=O

�!�� )

=) R�!j ^ kR��!i + r(��!j ) ^ �r

��(��!i ) = d

dt (12MR

2���!k )

=) �kR2��!k � �r2���!k = 1

2MR2����!k : En simpli�ant par

�!k on obtient:

12MR

2��� + �r2

�� + kR2� = 0 =)

��� + 2�r2

MR2

�� + 2k

M � = 0:

k

M

α

O

A

B

Tr

fr

Rr

gM r

ir

jr

kr

A.N: �= �r2

MR2=2s�1; !0=q

2kM=2rad/s: Comme �2 � !20 = 0; le mouvement est en régime critique.

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