ch1_systemenumeration

7/23/2019 ch1_systemenumeration

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1

Introduction

Systme dcimal

Systme binaire , octal et hexadcimalConversion dun systme de numration vers un

autre systme .

Oprations arithmtiques en binaire, octal ethexadcimal.

Chapitre 1 :Chapitre 1 :Systmes de numrationSystmes de numration


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2

ObjectifsObjectifs

Comprendre cest quoi un systme de numration .

Apprendre la mthode de conversion dun systme unautre .

Apprendre faire des oprations arithmtiques en

binaire.


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3

IntroductionIntroduction Nous avons pris l'habitude de reprsenter les nombres en utilisant

di symboles diffrents! " # $ # % # & # # ( # ) # * # + # , Ce systme est appel le systme dcimal-dci sinifie di/.

0l eiste cependant d'autres formes de numration qui fonctionnent

en utilisant un nombre de symboles distincts.

1 2emple !

systme binaire -bi! deu/#

le systme octal -oct! huit/#

le systme headcimal -hea! sei3e/.

2n fait# on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles

diffrents -pas ncessairement des chiffres/.

4ans un systme de numration ! le nombre de symboles distincts

est appel la basedu systme de numration.


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4

1 . Le systme dcimal1 . Le systme dcimal

5n utilise di symboles diffrents!

6 " # $ # % # & # # ( # ) # * # + # , 7

Nimporte quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , , ! , " , # , $ %nous

donne un nombre.

8artie fractionnelle

8artie entire

34 , !"

8oids fort8oids faible

%&&()*


5/31

5

&'elo((ement en (olyn)me d*un nombre&'elo((ement en (olyn)me d*un nombredans le systme dcimaldans le systme dcimal

Soit le nombre 1978, ce nombre peut tre crit sous la forme suivante :

1231!81!71!91!119781!81!71!91!11978

87911978

+++=

+++=

+++=

Cette forma sappelle la forme polynomiale

9n nombre relpeut :tre crit aussi sous la forme polynomiale

3211231!51!"1!21!81!71!91!12"5,1978

++++++=


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"

+om(tae en dcimal+om(tae en dcimal

;ur une seule position ! " #$#%##(#$

;ur trois positions """#""$#


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7

2 . -ystme binaire systme / base 2 2 . -ystme binaire systme / base 2

eem(le illustratifeem(le illustratif

;upposons quon a $ ?etons # si on forme des roupes de $" ?etons. 5n vaobtenir $ seul roupe et il reste ?etons.

$

@es units@es di3aines


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8

Nombre de ?etons qui restent en dehors des roupes ! "Nombre de roupes qui contiennent % ?etons ! $

Nombre de roupes qui contiennent % roupes de % ?etons ! $

Nombre de roupes qui contiennent des roupes de % roupes de ?etons ! $

-i on rerou(e les diffrents ciffres on obtient 1110

1110est la re(rsentation de 14 dans la base 2

.aintenant on va former des roupes de % ?etons - on obtient * roupes/

.8ar la suite on va rerouper les * roupes % % - on obtient & roupes /.

.5n va rerouper ces derniers aussi % % - on obtient $ seul roupe /

.@e schma illustre le principe!


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9

#ans le s$st%me binaire, pour e&primer n'importe (uelle

valeur on utilise uni(uement 2 s$mboles : ) , 1*

1

321123

2

1

123

2

+"25,142!12!2!12!2!12!12!1111,11+

+142!2!12!12!1111+

=++++++=

=+++=

.9n nombre dans la base % peut :tre crit aussi sous la forme polynomial

/$$"$-2@a base

9n bit

/$$"$-2@e bits du poids forts @e bits du poids faible


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1

+om(tae en binaire+om(tae en binaire

Sur un seul bit : , 1

-inaire #cimal

1

1

11

1

2

3

;ur & Bits

-inaire #cimal

11

11

1

11

11111

12

3

4

5

"7

.;ur % bits!

combinaisons= %%

+combinaisons= %&


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11

Le systme octal base # Le systme octal base #

8 s$mboles sont utiliss .ans ce s$st%me:

) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , " , 7 *

Exemple 1 :

2112

8

12

8

8!58!"8!78!28!1127,"5+

8!78!28!1127+

++++=

++=

2emple %!

@e nombre -$%+,/ neiste pas dans la base + puisque les symboles + et ,

nappartiennent pas la base.


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12

Le systme eadcimal base 1! Le systme eadcimal base 1!

/n utilise sei0e 1"+ s$mboles

.iffrents:

Dcimal Hexadcimal

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

" "

7 7

8 8

9 9

1

11 -

12

13 #

14 15

1!111"!11"!1"!-+

1"!71"!117+

11

1"

11"

+=+=

+=

BA


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13

sumsum

4ans une base # on utilise symboles distincts pour reprsenterles nombres.

@a valeur de chaque symbole doit :tre strictement infrieur labase .

Chaque nombre dans une base peut :tre crit sous sa formepolynomiale .


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14

3. +on'ersion d*une base3. +on'ersion d*une base 55/ la base 10/ la base 10

ette conversion est asse0 simple puis(ue il suffit .e faire le.veloppement enpol$nme.e ce nombre .ans la base 6, et.e faire la somme par la suite

1

11

5

1

321123

2

1

1212

1"

1

123

2

+4,234,325!25!35!4+2,43

+"25,132!12!2!12!12!2!12!1111,11+

+42371"25"1"!71"!11"!11"!71"!1"!117+

+132!12!2!12!1111+

=++=++=

=++++++=

=++=++=++=

=+++=

A

2emple!


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15

6ercice6ercice

2ffectuer les transformations suivantes la base $" D

1 -$%&/)=-D/$"

1 -(#*)/+ =-D/$"

1 -$$""#$$/% =-D/$"1 -$ABC/$) =-D/$"


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1"

+on'ersion de la base 10 / la base 2+on'ersion de la base 10 / la base 2

&( %

$*$ %

+$ %

" %

%" %

" $ %

$ "

2emple $ ! -&(/$"=-D/%

@e principe consiste faire des divisions successives du nombre sur% # et prendre le reste des divisions dans lordre inverse.

Aprs division!on obtient !-&(/$"=-$"""$$/%


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17

+on'ersion de la base 10 / la base 2 cas d*un+on'ersion de la base 10 / la base 2 cas d*un

nombre relnombre rel

9n nombre rel est constitu de deu parties ! la partie entire et lapartie fractionnelle.

@a partie entire est transforme en effectuant des divisionssuccessives.

@a partie fractionnelle est transforme en effectuant des

multiplications successives par % .

2emple ! &(#)%(=-D/%

8.2= &( = -$"""$$/%

8E= "#)%( = -D/%

/"#)%(/=-"#$"$-%

4onc &(#)%(=-$"""$$#$"$/%

"#)%(F%=$#%(

"#%(F%="#(

"#(F%=$#"


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18

6em(le 2 -"#)/$"=-D/%

"#) F % = $#%

"#% F % = "# "# F % = "#+

"#+ F % = $#)

/"#)/ =-"#$""$-%

emar7ue

@e nombre de bits aprs la virule va dterminer la prcision.

6ercice

2ffectuer les transformations suivantes!

/%)(- D/=-%

/$+#$,"-D/=-%


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19

+on'ersion du dcimal / une base 5+on'ersion du dcimal / une base 5

@a conversion se fait en prenant les restes des divisionssuccessives sur la base dans le sens inverse.

&( &

$$% &

&%

&

$" &

"$

2emple!

&(-D/ =&

&(/=$"%%-&

8uestion 2ffectuer les transformations suivantes !

-&/$"=-D/%=-D/( =-D/+ =-D/$)


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2

& %

%$$ %

$"$ %

(" %

%$ %

" $ %

$ "

& $)

%$$ $)

"%

& (

+& (

$& (

$$

/$"$"$$-%

/$&&-(

-%B/$)

+

(& +

"(

/(&-+

&


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21

+on'ersion d*une base b1 / une base b2+on'ersion d*une base b1 / une base b2

0l neiste pas de mthode pour passer dune base b$ une autrebase b%directement.

@ide est de convertir le nombre de la base b$ la base $" # en suitconvertir le rsultat de la base $" la base b%.

b$ b%

$"

4veloppement

en polynGme4ivisions successives

D


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22

2emple ! - &/(=-D/*

71

1

5 ,8++19,4155!45!3+34, ==+=+=

$, *

%( *

"%

/$,-$"/=%(-*/&-(/=%(-*

2ercice ! effectuer les transformations suivantes

/&-)-D/=(-D/=+-%A/$)=-D/,


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23

+on'ersion binaire+on'ersion binaire octaloctal

/ctal -inaire

1

2

3

45

"

7

1

1

11

111

11

111

.2n octal chaque# symbole de la base scrit sur &bits en binaire.

.@ide de base est de replacer chaque symbole

dans la base octal par sa valeur en binaire sur &

bits - faire des clatement sur & bits /.

6em(les

/&(-+/="$$$""$"$-%

/)(#*)-+

/=$$"$"$#$$$$$"-%

/&(#&-+/="$$$"$#"$$$""-%

emar7uele remplacement se fait de droit auche pour la partie entire

et de auche droite pour la partie fractionnelle.


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24

+on'ersion Octal+on'ersion Octal binairebinaire

.@ide de base est de faire des reroupementsde & bits partir dupoids faible.

.8ar la suite remplacerchaque reroupement par la valeur octalcorrespondante.

6em(le

/$$""$"$""$"$$"-%/="$$""$"$""$"$$"-%/=&$%%)-+

/$$""$"$"",$"$"$-%/ =$$""$"$"",$"$"$"-%/=)%#($-+

emar7uele reroupement se fait de droit auche pour la partie entire

et de auche droite pour la partie fractionnelle.


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25

+on'ersion eadcimal+on'ersion eadcimal binairebinaireDcimal Hexadcimal

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 A

11 B

12 C

13 D

14 E

15 F

.2n Hea chaque symbole de la base scrit sur bits..@ide de base est de replacer chaque symbole

par sa valeur en binaire sur bits - faire desclatement sur bits/.

6em(le

-&(B/$)=-""$$ "$"" "$"$ $"$$/%

-ABE)/$)= - $"$" $"$$ ""$$ # "$"" $$$$ "$$" / %


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2"

+on'ersion binaire+on'ersion binaire eadcimaleadcimal

.@ide de base est de faire des reroupements de bits partir du poids faible.

8ar la suite remplacer chaque reroupement par la valeur Ha correspondante.

6em(le

-$$""$"$"$""$$"/%=-""$$""$"$"$""$$"/%=-&%A)/$)

-$$""$"$""#$"$"$/%= -"""$$""$"$""#$"$"$"""/%=-$,#A+/$)


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27

4. O(rations aritmti7ues en binaire4. O(rations aritmti7ues en binaire

"

"I

"

"

$I

$

$

"I

$

$

$I

$"

$$"""$$

I $"""$"$$

"

$

$

$

$$"$$$


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28

O(rations aritmti7ues en octalO(rations aritmti7ues en octal

@e rsultat final ! -03!#

&)(

I

($

$$

2n octal $$ scrit $&

&

$

+

2n octal + scrit $""

$

( )


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29

O(rations aritmti7ues en eadcimalO(rations aritmti7ues en eadcimal

@e rsultat final ! -+29!1!

+)(I

*A ( $

$$

6n ea 11 s*crit 9

B

$+

2n hea $+ scrit $%

%

$

$%

C

)


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3

2ercice

2ffectuer les oprations suivantes et transformer lersultat au dcimal chaque fois!

-$$"$#$$$/%I-$$#$/%=-D/%

-&/+I-&/+=-D/+

-&/)I-&/)=-D/)

-AB$/$)I-%&*/+=-D/$)


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31

. 8uel est le systme utilis dans les. 8uel est le systme utilis dans lesdis(ositifs numri7ues :dis(ositifs numri7ues :

-inaire

loi(ue +

ension

;

1 5 ;

"v

"#+v

%#+v

(v

Binaire ! "

Binaire ! $

0nutilise

.@es machines numriques utilisent le systme binaire.

.4ans le systme binaire ! uniquement % symboles sont utiliss ! " et $.

.Cest facile de reprsenter ces deu symbolesdans les machines numriques.

.@e " et le $ sont reprsents par deu tensions.

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