ch vi) pourcentages et coefficients...

Cours CH VI Pourcentage et coefficient multiplicateur NII / 5

CH VI) Pourcentages et coefficients multiplicateurs :

Activité : Un commerçant fait une remise de 20,00 € sur le prix d’un article coûtant250,00 €. Quel serait le montant de la remise si l’article coûtait 100,00 € ?

Prix de l’article 250,00 € 100,00 €

Montant de la remise 20,00 €X k

Quel est le coefficient multiplicateur k qui permet de passer de la première ligne à ladeuxième ligne.

I) Définition :

Un pourcentage est défini par un rapport dont le dénominateur est 100. Ce rapportappelé taux de pourcentage est noté t %.La valeur décimale de ce pourcentage est le coefficient de proportionnalité entre lesdeux valeurs liées au pourcentage.

Exemple : Le bénéfice réalisé par un commerçant représente 15 % du prix de vente deses articles.

Ici le taux de pourcentage est 15, la valeur décimale obtenue 10015 = 0,15 est le

coefficient multiplicateur qu’il faudra utiliser pour obtenir le bénéfice en le multipliantpar le prix de vente.

II) Calcul autour d’un pourcentage :

1) Déterminer le taux de pourcentage :

Exemple : Quel pourcentage de 500,00 € représentent 120,00 €.

Méthode : On recherche le pourcentage que représentent 120,00 € par rapport à 500,00€ et non l’inverse. La première valeur nous donne le numérateur et la deuxième ledénominateur du rapport à calculer. Ce rapport nous donne le coefficient multiplicateurqui, multiplié par 100, nous donne le taux de pourcentage.

k = 500120 = 0,24 t = 0,24 x 100 = 24 le pourcentage est 24 %

Il est plus simple d’effectuer un tableau de proportionnalité.120500 100


Attention : Avant de calculer un rapport, il faut s’assurer que l’on dispose de toutes lesvaleurs.Exemple : Un article coûtant 500,00 € est vendu aujourd’hui 620,00 €. Quel est lepourcentage d’augmentation ?Le rapport à calculer nous permettant d’obtenir le pourcentage est le suivant :

initial Prixonaugmentatil' de Montant . Nous ne disposons pas du montant de l’augmentation, il faut

le calculer.

T = 00,500500,00 - 620,00 x 100 =

00,50000,120 x 100 = 24 le pourcentage est de 24 %

2) Calculer le résultat d’un pourcentage :

Calculer une réduction de 25 % sur un montant de 900,00 €.

Réduction = 900,00 x 10025 = 225,00 €

Pour calculer t % d’un nombre, on multiplie ce nombre par t et on divise le résultat par100.

3) Calculer la valeur sur laquelle porte le pourcentage.

Exemple : Une réduction de 25% sur le prix d’un article s’élève à 30,00 €. Quel est leprix P de l’article.

P x 10025 = 30,00 que l’on peut écrire P x 0,25 = 30,00 ⇔ P =

25,000,30 = 120,00 . L’article

coûtait 120,00 €.

Pour calculer la valeur sur la quelle porte le pourcentage, on divise le résultat dupourcentage par le coefficient multiplicateur de celui-ci.

4) Exercices :

Exercice 1 : Quel pourcentage :- de 640,00 € représentent 153,60 € ?- de 52 m représentent 39 m ?- de 820 m3 représentent 24,6 m3 ?

Exercice 2 : Compléter le tableau suivant :

Valeur initiale Tauxd’augmentation

Valeur del’augmentation

54,00 € 8 %160 m 20 m

35 % 105 g


III) Augmentation – Diminution – Coefficient multiplicateur :

1) Augmentation :

Lorsqu’une valeur augmente d’un pourcentage de taux égal à t, on multiplie cette valeur

par 1 + 100

t .

Exemple : Un salarié gagne 1 270,00 € par mois, il est augmenté de 2 %. Calculer sonnouveau salaire.

1 270,00 x (1 + 100

2 ) = 1 270,00 x 1,02 = 1 295,40 €

2) Diminution :

Lorsqu’une valeur diminue d’un pourcentage de taux égal à t, on multiplie cette valeur par

1 - 100

t .

Exemple : Le prix plein tarif à la SNCF est de 38,00 €. Un couple bénéficie d’uneréduction de 25 %. Quel est le prix du billet au tarif réduit ?

38,00 x (1 - 10025 ) = 38,00 x 0,75 = 28,50 €

3) Exercices :

Exercice 1 : Calculer le coefficient multiplicateur associé à :- une augmentation de 18 %.- une diminution de 27 %.- une diminution de 51 %.- une augmentation de 0,1 %

Exercice 2 : Trouver la variation en pourcentage correspondant au coefficient :- 0,85.- 1,22.- 1,375- 0,595

Pour obtenir le taux d’augmentation à partir du coefficient multiplicateur k, on calcule :t = (k – 1) x 100.Pour obtenir le taux de réduction à partir du coefficient multiplicateur k, on calcule :t = (1 – k) x 100.


IV) Pourcentages successifs :

Pour calculer des pourcentages successifs, on les calcule les uns à la suite des autres eten aucun cas sur la même valeur initiale.

Valeur initiale Valeur finale

x k1 x k2

x k = k1 x k2

Exemple : Un article de 52,00 € subit une première augmentation de 10 % puis unedeuxième de 5 %.Calculer le coefficient multiplicateur global associé au 2 augmentations.

k1 = 1 + 10010 = 1,1 k2 = 1 +

1005 = 1,05 k1.k2 = 1,1 x 1,05 = 1,155

En déduire le prix final de l ‘article.52 ,00 x 1,155 = 60,06 €

Calculer le pourcentage d’augmentation unique correspondant aux deux augmentationssuccessives.t = (1,155 – 1) x 100 = 0,155 x 100 = 15,5 %

Exercice : Pour calculer son revenu imposable, on effectue deux abattements successifsde 20 % et 10 % sur le revenu déclaré.Calculer le montant imposable pour un revenu de 30 230,00 €. L’ordre des abattementsest-il important ?Quel est le pourcentage unique d’abattement qu’il faut effectuer pour calculer sonrevenu imposable ?

V) Pourcentages additifs :

Les pourcentages sont additifs lorsqu’ils s’appliquent à une même grandeur. Les taux dansce cas s’additionnent.

Exemple : Sur un salaire mensuel brut de 1 452,00 €, un salarié cotise 6,05 % à lasécurité sociale, 7,85 % pour la retraite et 3,73 % pour différentes retenues sociales.Calculer le pourcentage global des retenues.Calculer le montant total des retenues.


VI) Pourcentages par tranches :

Dans un pourcentage par tranche, le taux est différent suivant les tranches de valeurauxquelles il s’applique.

Exemple : Une ristourne de fin d’année est calculée sur le montant des achats annuelssuivant le barème :

Montant des achats Taux de laristourne

Jusque 500,00 € 3 %De 500,00 € à 2 000,00 € 5 %

De 2 000,00 € à 5 000,00 € 8 %Au delà de 5 000,00 € 10 %

Déterminer la ristourne accordée à un client dont le montant annuel d’achat est 3 750,00€.Méthode : - Définir la tranche dans laquelle se trouve la valeur donnée.

De 2 000,00 € à 5 000,00 €- Calculer le montant de chaque tranche.

3 750,00 € = 500,00 € + 1 500,00 € + 1 750,00 €- Appliquer à chaque tranche le pourcentage correspondant.

500,00 x 100

3 = 15,00 €

1 500,00 x 100

5 = 75,00 €

1 750,00 x 100

8 = 140,00 €

- Additionner les résultats obtenus pour chacune des tranches.15,00 € + 75,00 € + 140,00 € = 230,00 €

La ristourne annuelle du client s’élève à 230,00 €.

Exercice : Le prix d’achat brut H.T. d’une console de jeux est de 103,50 €. Une remiseprogressive est accordée. Le calcul de la remise s’effectue de la façon suivante :

- jusqu’à la 5ème console : pas de remise.- de la 6ème à la 15ème console : 5 % de remise.- de la 16ème à la 30ème console : 10 % de remise.- au delà de la 30ème console : 15 % de remise.

Le commerçant désire acheter 24 consoles.Calculer la réduction accordée.Calculer le montant net de la facture ( montant après réduction).

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