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Licence Science de la Mer et de l’Environnement

Physique Générale

Chapitre 4 :Optique Ondulatoire

1 – IntroductionNous avons v que la lumière est à la foi onde et particule. Dans ce chapitre, nous allons

étudier plus particulièrement son aspect ondulatoire. Les ondes lumineuses visibles ne sontqu’une très petite portion du spectre électromagnétique. Le tableau suivant donne leslongueurs d’ondes correspondant à certaines couleurs :

0,364µm UV invisible0,407µm violet0,488µm bleu0,514µm vert0,530µm vert0,574µm jaune0,590µm jaune0,620µm orange0,790µm rouge

2 – La propagation des ondesUne onde se déplace dans l’espace et dans le temps. Elle s’écrit sous la forme :

( ).2cosλπω xtA −=Ψ

Courbe à t=0

x

Ψλ

2

Courbe à x=0

On appelle λπ2=k le vecteur d’onde. L’équation de l’onde s’écrit : ( )kxtA −=Ψ ωcos

3 – InterférencesUne source S éclaire avec une lumière monochromatique de longueur d’onde λ deux

trous S1 et S2 séparés de la distance e sur une plaque non transparente. Les rayons issus de S1et S2 atteignent l’écran situé à une distance D. Le point M est à la distance x de l’axe entre lesdeux trous. On souhaite déterminer l’intensité lumineuse en M.

L’amplitude en M est la somme des amplitudes des rayons provenant de S1 et S2.Sachant que la distance D est beaucoup plus grande que la distance e entre les deux sources,les vecteurs d’onde provenant de S1 et S2 sont quasiment parallèles et valent k

.

On a donc :( ) ( )[ ]2121 .cos.cos rktrktA

−+−=Ψ+Ψ=Ψ ωω

t

Ψωπ2=T

0

M

xS1

S2

1r

D

e

2r

3

En appliquant la relation : 2cos2cos2coscos qpqpqp −+=+ on obtient :

( ) ( )..2.cos..2

.cos2 1221

−

+−=Ψ rrkrrktA

ω

Le premier terme est une fonction du temps, dont la moyenne du carré sur une périodeest égal à 2

1 Car ( )∫ ==T

dttTt0

2221cos1cos ωω

Le vecteur d’onde k

est colinéaire avec les vecteurs 1r et 2r , car comme vu plus haut,la distance D est beaucoup plus grande que la distance entre les deux sources S1 et S2.

On a donc : ( ) δ..... 12 krrk =−

Où 12 rr −=δ

Calcul de δ

( )2...221 2

exDr ++= et ( )2..222 2

exDr −+=

( ) ( )2..22..

212 22

exDexDrr −+−++=−=δ

( ) ( )22 2/12/1 DexDD

exD −+−++=δ

( ) ( )Dex

DDex

D22 2/

.212/

.21 −

−−+

+=δ

−−−+−= 442

1 22

22

exex

exexDδ

D’où Dex=δ

Donc ( )2cos222 δkAI −=Ψ= or λπ2=k

D’où finalement : ( )DexAIλπ.cos22=

L’intensité I est maximale si πλπ nDex= e

Dnx λ=

L’intensité est nulle quand πλπ )2

1( += nDex

eDn

xλ)2

1( +=

4 - Diffraction

On envoie une lumière de longueur d’onde λ sur une fente de largeur a. Cette lumièreatteins un écran situé à une distance D de la fente beaucoup plus grande que la largeur de lafente, on la considère en pratique placé à l’infini. On cherche à calculer l’intensité de lalumière qui atteins l’écran en fonction de sa distance à l’axe. On va calculer l’intensité enfonction de l’angle θ .

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Un rayon part du centre de la fente avec un angle θ , un autre rayon part du pointd’abscisse x, et parallèle au premier rayon. Nous calculons la valeur de la différence de trajetentre ces deux rayons :

θδ sinx−=

Le déphasage entre les deux rayons est : ( )λπδ2cos0Ψ=Ψd

( ) ( )dxxdxa

a

a

a ∫∫+

−

+

−Ψ−=Ψ=Ψ

2/

2/02/

2/0sin2cos2cosλ

θπλπδ

[ ]θ

λπλ

θπ

sin2

sin2sin2/

2/0

a

a

x +

−Ψ

=Ψ

θλπ

λθπ

θλπ

λθπ

λθπ

sin

sinsin

sin2

sinsinsinsin00

aaaΨ=

+Ψ=Ψ

λθπλθπ

sin

sinsin0 a

aaΨ=Ψ

( )2..2

220

2

sin

sinsin

λθπλθπ

a

aaI Ψ=Ψ=

Si on pose λθπ sinau=

Alors, 2

2

0sinuu

II= avec λθπ sinau=

a

xdx

δθ

5

Recherche des minimaLe minimum de ( )θI est obtenu quand 0sin =u avec 0≠uDonc πku= avec 0≠k

Recherche des maximaLes maxima sont obtenus quand 0=du

dI

302

22

0sincossin2

sin2cos.sin2u

uuuuIuuuuuu

IdudI −=

−=

0=dudI si 0sin =u avec 0≠u Ce sont les minima

D’autre part : 0sincos =− uuu

Que l’on peut réécrire utgu=Cette équation peut être résolue de manière graphique en traçant la courbe tguy= d’une partet uy= d’autre part.

0

2π

π

23ππ−

23π−

6

Si on trace la courbe 0II en fonction de θ , on obtient la courbe suivante :

Les maxima ont lieu pour ππ ktgu +≈ 2Soit : ππ

λθπ ka += 2

sin Donc ( )21sin += kaλθ

On peut ainsi calculer les valeurs des maxima :

0=θ d’où 0=u donc 1sin

2

2

=uu

0II=

1=k aλθ 3sin = d’où 2

323. πλλπ == a

au ( ) 047,0

2323sin2..

2

0==

π

π

II

0II

θsinaλ

aλ2

aλ3

aλ3

aλ3−

aλ2−

aλ− 0

1

0,0470,016 0,008