cea finance i

Modele d’actualisation sous EuriborDefaut et notation

Spreads de titre obligataireCredit default swap

Un modele de defaut

CEA Finance ICours IV - 14/09/2017

Vincent GAUGE

CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 / 68



Un modele de defaut

IntroductionPrix theorique vs prix de marche

I prix theorique d’une obligation ⇔ prix calcule a partir d’unmodele

I prix de marche d’une obligation ⇔ prix auquel elle estechangee sur le marche.




Un modele de defaut

Obligation a taux fixeObligation a taux variableDecomposition pair+swap

Obligation a taux fixeValeur actuelle des flux

I On considere une obligation de notionnel 100, de coupon Cannuel, de prix P et de maturite n.

I Le prix de cette obligation est suppose egal a la valeur actuelledes flux actualises au taux sans risque, comme le prix desautres obligations a taux fixe.

I ZC(i) represente le prix de 1 en i et est deduit de la courbe deswaps Euribor

I Sous les hypotheses precedentes

P =n∑

i=1

C × ZC (i) + 100× ZC (n)




Un modele de defaut


Obligation a taux variableNotations et flux - flux constates en cours de vie - cf swaps slide 56 cours III

I dates et constatations

Dates 0A | 1A | 2A | 3A | 4A | 5A

Nb jours Nbj1 | Nbj2 | Nbj3 | Nbj4 | Nbj5

Eur12M L0 | L1 | L2 | L3 | L4 |

I flux des obligations par maturite (notionnel 1)

Dates 0A 1A 2A 3A 4A 5A

Oblig 1 an L0×Nbj1360

+1

Oblig 2 ans L0 × Nbj1360

L1×Nbj2360

+1

... ... ... ...


L1 × Nbj2360

L2 × Nbj3360

L3 × Nbj4360

L4×Nbj5360

+1




Un modele de defaut


Obligation a taux variable 5 ans - valorisation en t=0Ce qui est connu en t=0 - ce qui n’est pas connu en t=0 - cf swaps slide 58 cours III

I flux attendus des obligations par maturite (notionnel 1)

Dates 0A 1A 2A 3A 4A 5A

Oblig 1 an L0×Nbj1360

+1


L1×Nbj2360

+1

... ... ... ...


L1 × Nbj2360

L2 × Nbj3360

L3 × Nbj4360

L4×Nbj5360

+1

I valeurs actuelles (notionnel 1) - en utilisant le meme raisonnement que pour lavaleur actuelle de la jambe variable du swap (cours III), la valeur actuelle desflux de l’obligation vaut 1

Flux variable Li−1 × Nbji360

⇒ Obligation

VA en t=0 ZC(i − 1)− ZC(i) 1




Un modele de defaut


Obligation taux variablePrix pied de coupon a une tombee de coupon

I Autre formulation en utilisant les taux forwards L(i-1,i)I les taux forwards sont donnes par la relation

1 + ∆iL(i − 1, i) =ZC (i − 1)

ZC (i)

I la valeur actuelle des flux de l’obligation a taux variable quiverse ∆iLi−1 en i peut etre calculee en prenant au numerateurle taux forward L(i-1,i) (∗) (avec L(0, 1) = L0 connu)

100 =n∑

i=1

∆iL(i − 1, i)× 100× ZC (i) + 100× ZC (n)

(∗) on dit que L(i-1,i) est l’esperance de Li sous la mesure de paiementZC(i) et on l’a demontre par relation d’arbitrage (cf cours III pages 8 et 9)




Un modele de defaut


Obligation taux variablePrix pied de coupon a une date quelconque

I a la prochaine date de coupon, le prix pied de coupon de l’obligationest de 100 (cf slide precedent)⇒ la valeur actuelle des flux de l’obligation jusqu’a maturite peutetre calculee comme la valeur actuelle du flux 100+coupon fixetombant a la prochaine date de coupon

I En notantI d le nombre de jours jusqu’au prochain couponI nbc le nombre de jours de la periode du coupon en coursI L0 le taux Euribor fixe en debut de periodeI Ld le taux Euribor pour une periode de d jours

on a

P =100×

(1 + L0 × nbc

360

)1 + Ld × d

360︸︷︷︸Prix plein coupon

− nbc − d

nbc× nbc

360× L0 × 100︸︷︷︸

Coupon couru




Un modele de defaut


Decomposition pair+swapObligation taux fixe

I Prix de l’obligation

P =n∑

i=1

C × ZC (i) + 100× ZC (n)

I le prix de l’obligation vaut le pair plus la valeur du swapreceveur du coupon et payeur Euribor.

P = 100 +n∑

i=1

(C/100−∆iL(i − 1, i))× 100× ZC (i)




Un modele de defaut


Exercice XXIIDecomposition pair+swap

On considere une obligation de notionnel 100, de coupon 1 annuel et dematurite 5 ans.Les donnees de marche sont les suivantes (hypotheses)

Courbe swapEcheance Taux swap

1 A 0,80 %2 A 1,10 %3 A 1,20 %4 A 1,30 %5 A 1,40 %

I calculer les ZCs annuels entre 1 an et 5 ans

I calculer pour le swap 5 ans receveur taux fixe 1% notionnel 100I la valeur de la jambe receveuse 1%I la valeur de la jambe variable payeuse

I calculer le prix de l’obligation a partir de la valeur du swapCEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 / 68



Un modele de defaut


Solution exercice XXIIDecomposition pair+swap

Courbe swapEcheance Taux swap ZC Somme ZCs

1 A 0,80 % 99,21 % 99,21 %2 A 1,10 % 97,84 % 197,04 %3 A 1,20 % 96,48 % 293,52 %4 A 1,30 % 94,95 % 388,47 %5 A 1,40 % 93,26 % 481,72 %

I valeur jambe receveuse 1%

1%× 100×∑5

i=1 ZC (i) = 4.81

I valeur jambe payeuse Euribor

−100× (1− ZC (5)) = −6.74

I prix obligation en s’appuyant sur swap

P = 100 + 4.81− 6.74 = 98.07




Un modele de defaut

Risque de defaut d’un titreNotation des titres

Evenement de defautTitre obligataire

L’emetteur d’un titre a taux fixe ou variable s’engage a verser audetenteur de l’obligation un certain nombre de coupons et leprincipal a echeance (notionnel).Le risque de defaut est le risque que l’emetteur ne puisse honorer:

I le paiement d’un coupon (et des suivants et du principal)

I ou le paiement du principal a echeance

Les evenements de defaut les plus courants:

I faillite de l’emetteur

I paiement partiel d’un interet

I restructuration de la dette




Un modele de defaut


Perte en cas de defaut

Taux de recouvrement

I En cas de d’impossibilite de faire face a ses engagements, ledetenteur de l’obligation recouvre une fraction de la sommedue, eventuellement nulle.

I Usuellement, on exprime cette somme en pourcentage dunotionnel

I Le taux de recouvrement depend entre autres :

I du taux de subordination de la dette (dette senior ousubordonnee), c’est-a-dire du degre de priorite dans leremboursement des dettes de l’emetteur en cas de defaillance

I des eventuelles garanties attachees a la dette en cas de defautde paiement




Un modele de defaut


NotationAgences et echelles

Des entreprises, telles Standard and Poors, Moody’s, Fitch, notentles emetteurs avec des echelles proprietaires; par exemple,

I Standard and Poors: AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC

I Moody’s: Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Ca

avec des categories plus fines (+/- pour S&P, 1 a 3 pour Moody’s).




Un modele de defaut


Echelles de notation

I Ces notes traduisent la vision qu’ont les agences de lacapacite de l’emetteur a rembourser les interets et le capitalsur sa dette.

I Pour un meme emetteur, les notes de titres peuvent etredifferentes en fonction du niveau de garantie des titres.

I Usuellement, dans les echelles S&P et Moody’s -

I de AAA jusqu’a BBB, les titres sont dits en categorieinvestissement

I a partir de BB, les titres sont dits en categorie speculative




Un modele de defaut


Exemple de classesEchelle AAA ↔ D

Classe Correspondance Categorie

AAA Prime - Premiere qualite

InvestissementAA Haute qualite

AA Qualite moyenne

BBB Qualite moyenne inferieure

BB Speculatif

SpeculatifB Hautement speculatif

CCC/C Extremement speculatif, voire en defaut

D Defaut




Un modele de defaut


Probabilites de defautpar classe

Les agences publient periodiquement par categories d’emetteur desstatistiques sur les probabilites cumulees de defaut constatees surhistorique.Par exemple, en 2011, Standard and Poor’s publie les chiffres suivants




Un modele de defaut


Matrice de transitionpar classe

De meme, les agences publient des matrices de taux de transitionentre classes de rating a 1 an et a des horizons plus eloignes




Un modele de defaut


Relation entre TRI et rating

I Plus le rating est bas, plus le taux de rendement (TRI)demande sur l’obligation est haut, plus le prix de l’obligationest bas.

I En supposant que toutes les obligations sont emises au pair, lecoupon d’une obligation a faible rating est superieur aucoupon d’une obligation a bon rating.

I Quand une obligation est degradee, son TRI augmente et sonprix baisse.




Un modele de defaut

Le spread par rapport a la reference sans risqueLes differents types de spreadSpreads obligations taux fixeSpreads obligations taux variable

Rentabilite de reference

La rentabilite de reference est generalement la rentabilite attenduehors risque de defaut.

Deux grandes sources de rentabilite sans risque :

I les rentabilites des obligations supposees les moins risquees(ex : rating AAA)

I les taux de swap du marche interbancaire




Un modele de defaut


Les composantes du spread

Le prix d’une obligation risquee est generalement inferieur au prixd’une obligation de reference de memes caracteristiques (prix d’uneobligation AAA ou calcule en actualisant sur courbe Euribor), acause des 2 facteurs suivants :

I le risque de defaut (vu precedemment)

I la liquidite

Le spread est une traduction de cette difference de prix, plus aiseea utiliser.




Un modele de defaut


Liquidite

La liquidite d’un titre est liee au fait qu’il y a un desequilibre sur lemarche entre vendeurs et acheteurs

I spread de liquidite positif: c’est le cas le plus courant

I il y a beaucoup de vendeurs et tres peu d’acheteurs del’obligation

I une part importante des detenteurs est obligee de ceder lestitres (meme a un prix inferieur au prix qu’ils considerentrisque)

I peu d’acheteurs pour des titres tres risques

I spread de liquidite negatif: ce cas est plus rare

I titres consideres comme peu risques - obligations valeursrefuges (Etat allemand et francais)

I peut aussi survenir en cas de squeeze (tension sur positionsacheteuses sur un titre)




Un modele de defaut


Spreads presentes

I Titres a taux fixe

I spread de taux actuarielI spread ZCI spread d’asset swap

I Titres a taux variable Euribor

I marge a l’emissionI marge courante




Un modele de defaut


Spread de taux actuarielObligation taux fixe

I Le spread de taux actuariel est la difference entre le TRI du titre etle taux sans risque de reference pour la maturite du titre

I TRI obligataireI taux de swap

I Le taux sans risque est lu ou interpole sur la courbe dereference.




Un modele de defaut


Exercice XXIIICalcul de spread de taux actuariel

I Le 6 mai 2013, on considere une obligation AI de coupon 5 annuel, tombant tous les 6 maiI de maturite 06/05/2023I de prix pied de coupon 90 (base 100)

I Les donnees de marche sont les suivantes (hypotheses)Courbe swap Courbe obligataire

Echeance Taux swap Maturite Taux oblig.8 A 1,40 % 06/02/2021 2,10%9 A 1,50 % 06/04/2022 2,15%

10 A 1,60 % 01/07/2023 2,20%11 A 1,65 % 01/08/2024 2,22%12 A 1,70 % 15/06/2025 2,24%

I Donner le spread de l’obligation, en bps, par rapportI a la courbe swapI a la courbe obligataire




Un modele de defaut


Solution exercice XXIIICalcul de spread de taux actuariel

I le TRI de l’obligation est de 6,38%

Date Flux Facteur actu Flux actualise

1 5 0,940 4,700

2 5 0,884 4,418

...

9 5 0,573 2,865

10 105 0,539 56,552

Total 90,00

I spread par rapport la courbe swap: 6,38%-1,60%=4,78%

I spread courbe obligataire interpole:06/05/2023−06/04/202201/07/2023−06/04/2022

× (2, 20%− 2, 15%) + 2, 15% = 2, 19%

spread par rapport a la courbe obligataire: 6,38%-2,19%=4,19%




Un modele de defaut


Spread Zero couponObligation taux fixe

I Le spread Zero coupon est le spread a ajouter aux taux Zerocoupon sans risque pour obtenir le prix de l’obligation

I en notantI ZC (Ti ) le ZC sans risque de maturite Ti (prix de 1 en Ti )I r(Ti ) le taux ZC sans risque

ZC (Ti ) =1

(1 + r(Ti ))Ti

I s le spread ZC

P =n∑

i=1

C

(1 + r(Ti ) + s)Ti+

100

(1 + r(Tn) + s)Tn




Un modele de defaut


Exercice XXIVCalcul de spread ZC

On donne la courbe de taux actuariels ZC suivante

Echeance Taux ZC echeance Taux ZC1 A 0,60 % 6 A 1,20 %2 A 0,80 % 7 A 1,30 %3 A 0,90 % 8 A 1,40 %4 A 1,00 % 9 A 1,50 %5 A 1,10 % 10 A 1,63 %

Calculer le spread ZC pour l’obligation A

I coupon annuel 5

I maturite 10 ans

I prix pied de coupon 90




Un modele de defaut


Solution exercice XXIVCalcul de spread ZC

Date Flux Taux actuariel Spread Facteur actu. Flux actualise1 5 0,60% 4,85% 0,948 4,7422 5 0,80% 4,85% 0,896 4,4803 5 0,90% 4,85% 0,846 4,2284 5 1,00% 4,85% 0,797 3,9835 5 1,10% 4,85% 0,749 3,7466 5 1,20% 4,85% 0,703 3,5167 5 1,30% 4,85% 0,659 3,2938 5 1,40% 4,85% 0,616 3,0799 5 1,50% 4,85% 0,575 2,874

10 105 1,63% 4,85% 0,534 56,059Total 90,000




Un modele de defaut


Spread d’asset swap au pairObligation taux fixe

I L’asset swap une operation de swap initiee par l’acheteur del’obligation.

I On suppose que l’obligation a:

I un nominal de 100I un prix P

I flux sur l’obligation :

I en t=0, l’acheteur de l’obligation paie le prix PI il recoit ensuite une sequence de coupons fixes C et le

notionnel 100 sujets au risque de defaut de l’emetteur del’obligation




Un modele de defaut


Spread d’asset swap au pair (II)Obligation taux fixe

I flux sur le swap:

I en t=0, l’acheteur paie 100 – P a la contrepartie du swap (il recoitP – 100 si le titre est au-dessus du pair) – on dit alors que l’assetswap est au pair

I l’acheteur paie ensuite les coupons certains CI l’acheteur recoit des flux (Euribor + spread)× 100 et le

remboursement de 100

I Le spread de l’asset swap au pair est tel que le montage assetswap+obligation a une valeur 100.

I Elements essentiels :

I les flux de l’obligation sont risques a cause du risque de defaut del’emetteur

I sur le swap, les deux contreparties sont supposees sans risque dedefaut ou avec un risque de defaut tres faible




Un modele de defaut


Obligation + asset swapFlux

Flux pour l’acheteur de l’obligation

Obligation Asset swap

t=0 - P - (100 - P)

t1 C1 −C1 ∆1(L0 + δ)× 100

t2 C2 −C2 ∆2(L1 + δ)× 100

...

tn Cn + 100 −100− Cn ∆n(Ln−1 + δ)× 100 + 100

Risque de credit

Emetteur Contreparties du swap




Un modele de defaut


Obligation + asset swapValeur actuelle des flux - ce qui n’est pas connu en t=0

Valeur actuelle des flux en t=0

Obligation Asset swap

t1 C1 −C1 ∆1(L0 + δ)× 100

t2 C2 −C2 ∆2(L1 + δ)× 100

...

tn Cn + 100 −100− Cn ∆n(Ln−1 + δ)× 100 + 100

(1) (2) (3)

I (1): valeur de l’obligation avec flux risques: prix de marche

I (2): - valeur actuelle des flux de l’obligation au taux sans risque

I (3): obligation a taux variable au pair +valeur actuelle de la jambe de spread

100× δ ×∆i au taux sans risque




Un modele de defaut


Spread d’asset swap au pairFormule

En notantI P le prix de l’obligation (prix de marche risque)I Psr le prix de l’obligation sans risque (valeur actuelle des flux actualises au taux

sans risque)

δ =Psr − P

100×n∑

i=1

(ZC (i)×∆i )

I Le denominateurn∑

i=1

(ZC (i)×∆i ) correspond a la valeur

actuelle des versements de (1×∆i ) aux dates de versementde la jambe variable




Un modele de defaut


Exercice XXVCalcul de spread d’asset swap au pair

On donne la courbe de taux actuariels suivante

Echeance Taux ZC echeance taux ZC1 A 0,60 % 6 A 1,20 %2 A 0,80 % 7 A 1,30 %3 A 0,90 % 8 A 1,40 %4 A 1,00 % 9 A 1,50 %5 A 1,10 % 10 A 1,63 %

Calculer le spread d’asset swap au pair pour l’obligation A (on supposera∆i = 1)

I coupon annuel 5

I maturite 10 ans

I prix pied de coupon 90




Un modele de defaut


Solution exercice XXVCalcul de spread d’asset swap au pair

Date Flux Taux actuariel Facteur actu. Flux actualisesans risque au taux sans risque

1 5 0,60% 0,994 4,9702 5 0,80% 0,984 4,9213 5 0,90% 0,973 4,8614 5 1,00% 0,961 4,8055 5 1,10% 0,947 4,7346 5 1,20% 0,931 4,6557 5 1,30% 0,914 4,5688 5 1,40% 0,895 4,4749 5 1,50% 0,875 4,373

10 105 1,63% 0,851 89,324Total 9,324 131,691

Spread d’asset swap au pair:

1100 ×

131,691−909,324 = 4, 47%




Un modele de defaut


Marge d’emissionObligation taux variable

I Cette marge s’applique aux emissions sur Euribor avec

I Euribor fixe en debut de periode et paye en fin de periodeI terme de l’Euribor correspondant a la periode de l’Euribor

I Exemple: emission a coupons trimestriels versant en fin deperiode Eur3M fixe en debut de periode

I La marge m est telle que l’obligation versant Eur3M + m etremboursant le pair est au pair a l’emission

I Le prix de marche de cette emission peut devier du pair encours de vie (m′ spread d’emission pour la maturite residuellepeut etre different de m lors de l’emission)




Un modele de defaut


Marge courante (discount margin) - IConstruction des zeros coupons a partir des taux forwards

En notantI d le nombre de jours jusqu’au prochain paiement de coupon

I Ld le taux Euribor de maturite d jours

I T1, ...Tn les dates de prochain paiement

I ∆i la fraction de periode entre Ti−1 et Ti en base monetaire

I L(i − 1, i) les taux forwards entre Ti−1 et Ti

On a

I ZC (0,T1) =1

1 + Ld × d/360

I pour i entre 2 et n

ZC (0,Ti ) = ZC (0,T1)×i∏

k=2

1

1 + L(k − 1, k)×∆k




Un modele de defaut


Marge courante (discount margin) - IIObligation taux variable avec marge - valorisation en t - ce qui n’est pas connu en t

I a la date t, d jours avant la prochaine date de paiement de coupon

Obligation taux variable

Date Flux d jours avant T1

T1 (L0 + m)×∆1 Connu, L0 fixe

T2 (L1 + m)×∆2 Non connu

....

Tn (Ln−1 + m)×∆n + 1 Non connu

I valeur actuelle des flux avec actualisation sur courbe Euribor destaux forwards (cf slide 7)

ZC (T1)×(L0+m)×∆1+n∑

i=2

ZC (Ti )×(L(i−1, i)+m)×∆i +ZC (Tn)




Un modele de defaut


Marge courante (discount margin) - IIIPrix obligation taux variable vs prix actualise

I la valeur actuelle des flux actualises sur courbe Euribor ne donnepas le prix constate sur le marche

I la marge courante (discount margin notee DM) est la marge qu’ilfaut ajouter a la courbe Euribor pour

I construire une nouvelle courbe d’actualisationI retrouver le prix de marche avec cette courbe d’actualisation




Un modele de defaut


Marge courante (discount margin) - IVConstruction d’une courbe ZC a partir des forwards + marge

I On a

I ZCDM(0,T1) =1

1 + (Ld + DM)× d/360I pour i entre 2 et n

ZCDM(0,Ti ) = ZCDM(0,T1)×i∏

k=2

1

1 + (L(k − 1, k) + DM)×∆k

I valeur actuelle des flux avec actualisation sur courbe Euribor +marge courante

ZCDM(T1)× (L0 +m)∆1 +n∑

i=2

ZCDM(Ti )(L(i − 1, i) +m)∆i +ZCDM(Tn)

I la marge courante est determinee en rendant egale cette expressionau prix de marche




Un modele de defaut


Marge courante (discount margin) - VSchema des etapes de calcul

Instruments de marche avec prix

1 Calcul des Zeros coupons

2 Calcul des taux forwards aux dates de l’obligation

3 Ajout d’une marge aux taux forwards

4 Calcul des Zeros coupons forwards a partir de la courbe forwards avec marge

5 Calcul des ZCs comptants a partir des ZCs forwards precedents

6 Calcul du prix de l’obligation avec marge courante

7 Determination de la marge courante qui egalise prix calcule et prix de marche




Un modele de defaut


Exercice XXVICalcul de marge courante

On donne une obligation a taux variable qui verse annuellementEur12M + 50bp pendant 4 ans.On suppose que la courbe des taux ZC (actuariels) est la suivante

1Y 1% 3Y 1,8%

2Y 1,5% 4Y 2,0%

Calculer, en supposant ∆i = 1 pour i=1,...4

I les taux forwards 1 an dans 1 an, 1 an dans 2 ans et 1 an dans 3 ans

I la marge courante dans les 2 cas suivants

I prix de l’obligation P = 100I prix de l’obligation P = 98




Un modele de defaut


Solution exercice XXVICalcul de marge courante

I flux de l’obligationDate Taux ZC Forward 1Y Forward+50 bp Flux base 100

1 1,00% 1,00% 1,50% 1,50

2 1,50% 2,00% 2,50% 2,50

3 1,80% 2,40% 2,90% 2,90

4 2,00% 2,60% 3,10% 103,10

I determination des DMs pour P=100 puis P=98Date Fwd+DM=50 bp ZCDM fwd ZCDM Flux actualises

1 1,50% 0,985 0,985 1,48

2 2,50% 0,976 0,961 2,41

3 2,90% 0,972 0,934 2,71

4 3,10% 0,970 0,906 93,41

VA des flux pour DM=50 100

Date Fwd+DM=103,5 bp ZCDM fwd ZCDM Flux actualises

1 2,035% 0,980 0,980 1,47

2 3,037% 0,971 0,951 2,38

3 3,438% 0,967 0,920 2,67

4 3,637% 0,965 0,887 91,48

VA des flux pour DM=103,5 98




Un modele de defaut

DescriptionModelisationSpread d’emission vs CDS

DescriptionCaracteristiques

Le credit defaut swap (CDS) fonctionne comme un contratd’assurance sur le risque de defaut d’un emetteur.Il se caracterise :

I par l’emetteur sous-jacent

I par un titre ou un gisement de titres de reference

I par la duree de vie du contrat

I par la periodicite de versement de la prime

I par le mode de compensation en cas d’evenement de defaut




Un modele de defaut


DescriptionJambe de prime et de defaut

Pendant la vie du contrat :

I l’acheteur paie periodiquement une prime (marge) ⇔ jambe deprime:

I jusqu’a l’echeance du contrat si l’emetteur ne fait pas defautI jusqu’a la date de defaut de l’emetteur sinon : la prime a

verser est alors calculee pro rata temporis sur la periode

I l’acheteur recoit un dedommagement des pertes liees au defaut del’emetteur en cas de defaut de celui-ci (mecanisme decompensation) ⇔ jambe de defaut

I Les evenements de defaut sont prevus au contrat :

I faillite de l’emetteurI defaut sur le paiement d’un coupon ou le remboursementI restructuration de la dette. . .




Un modele de defaut


DescriptionParties du CDS

Acheteur du CDS Vendeur du CDS

m m

Acheteur de la protection Vendeur de la protection

m m

Verse jambe de prime Recoit jambe de prime

m m

Recoit jambe de defaut Verse jambe de defaut




Un modele de defaut


Modelisation simplifieeTemps discret

I R est le taux de recouvrement estime en cas de defaut

I Notionnel 100

I Jambe de prime:

I annuelleI versee uniquement en cas de survie en fin d’annee

I Jambe de defaut: la compensation de (1− R)× 100 estversee en fin d’annee




Un modele de defaut


Modelisation simplifieeSchema des flux CDS 5Y

En notant τ le temps de defaut

Defaut Survie Defaut Survie

t τ ≤ t − 1 t − 1 < τ ≤ t t < τ τ ≤ t − 1 t − 1 < τ ≤ t t < τ

Jambe de prime Jambe de defaut

1 ns 0 −SCDS × 100 ns (1 − R) × 100 0

2 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

3 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

4 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

5 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0




Un modele de defaut


Replication d’une obligation sans risqueMontage

On considere le montage suivant (notionnel 1):I achat au pair d’une obligation:

I de maturite 5 ansI coupons annuels Euribor + spread m (∆=1)

I achat d’un CDSI avec comme titre de reference l’obligation acheteeI de marge sCDS versee annuellement pendant 5 ans tant que le

titre n’a pas fait defaut




Un modele de defaut


Replication d’une obligation sans risqueFlux du montage

Les flux de ce montage sont les suivants :

I en cas de non defaut avant t,

I versement de sCDS

I reception de Euribor + mI flux net Euribor + m − sCDS

I en cas de defaut entre t-1 et t, flux en t

I reception de 1− RI versement de RI flux net de 1




Un modele de defaut


Flux du montageMontage

Survie Defaut

t t < τ t − 1 < τ ≤ t

Obligation CDS Obligation CDS

1 L0 + m −SCDS R 1− R

2 L1 + m −SCDS R 1− R

3 L2 + m −SCDS R 1− R

4 L3 + m −SCDS R 1− R

5 L4 + m + 1 −SCDS R 1− R




Un modele de defaut


ReplicationMontage vs obligation sans risque

I Ce montage peut etre replique par une obligation sans risque :

I que l’on conserve jusqu’a maturite si pas de defautI que l’on revend en fin de periode de defaut sinon

I La replication serait parfaite si l’obligation sans risque valait 1en fin de periode ou le defaut a lieu,mais l’obligation sans risque vaut en fait le pair + coupon.




Un modele de defaut


ReplicationMontage vs obligation sans risque

Survie Defaut

t t < τ t − 1 < τ ≤ t

Obligation CDS Obl. sans r. Obligation CDS Obl. sans r.

1 L0 + m −SCDS L0 R 1− R L0 + 1

2 L1 + m −SCDS L1 R 1− R L1 + 1

3 L2 + m −SCDS L2 R 1− R L2 + 1

4 L3 + m −SCDS L3 R 1− R L3 + 1

5 L4 + m + 1 −SCDS L4 + 1 R 1− R L4 + 1

Au coupon residuel pres en cas de defaut, m ≈ SCDS




Un modele de defaut


Replication d’une obligationMontage vs obligation sans risque

I Application numerique pour ordre de grandeur

I Euribor fixe de l’ordre de 2%I probabilite de defaut sur 10 ans 10%I l’ecart entre la valeur de l’obligation a la revente et le pair est

au maximum de 2% chaque annee (coupon)I cet ecart maximum multiplie par la probabilite de defaut de

10% est de 20 bp

I La difference10∑i=1

(m − sCDS)× ZC (i) est inferieure a 20 bp

I En supposant10∑i=1

ZC (i) de l’ordre de 8,

Abs(m − sCDS) < 2, 5 bp




Un modele de defaut


ReplicationModele alternatif

I prise en compte du defaut en cours de periode ⇒ defaut moyen enmilieu de periode

I prise en compte du versement de la marge jusqu’au defaut ⇒coupon couru moyen en milieu de periode

⇒ ordre de grandeur conserve

Survie Defaut

t t < τ t − 1 < τ ≤ t

Obligation CDS Obl. sans r. Obligation CDS Obl. sans r.

1 L0 + m −SCDS L0 R 1 − R − SCDS/2 L0/2 + 1

2 L1 + m −SCDS L1 R 1 − R − SCDS/2 L1/2 + 1

3 L2 + m −SCDS L2 R 1 − R − SCDS/2 L2/2 + 1

4 L3 + m −SCDS L3 R 1 − R − SCDS/2 L3/2 + 1

5 L4 + m + 1 −SCDS L4 + 1 R 1 − R − SCDS/2 L4/2 + 1




Un modele de defaut


Replication d’une obligationLimites

En pratique, il peut exister des differences

I Difference de liquidite entre obligation et CDS

I Panier du CDS vs obligation

I Clauses de defaut du CDS vs obligation




Un modele de defaut

ZC et obligation taux fixeCDS

Modelisation de defautZC risque - Schema et prix

I En notant τ le temps de defaut

Defaut Survie

t τ ≤ t t < τ

Probabilites

p 1-p

Flux du ZC risque

R × 100 100

I Prix du ZC risque

(p × R + (1− p))× ZC (t)× 100

⇒ p peut etre deduit du prix observe et est appeleeprobabilite implicite




Un modele de defaut


Exercice XXVIICalcul de probabilites de defaut

I On suppose donnes les prix d’obligation zero coupon pour lesmaturites 1 an a 5 ans:

I sans risqueI d’un emetteur E

Maturite Prix obligation Prix obligationAAA emetteur

1 A 99 98,52 A 98,5 973 A 98 954 A 97 92,55 A 96 90

I calculer, en supposant un taux de recouvrement de 40 %

I les probabilites de defaut implicites jusqu’a maturiteI les probabilites de defaut implicites annuelles




Un modele de defaut


Solution exercice XXVIICalcul de probabilites de defaut

I probabilite de defaut implicites jusqu’a maturite tZCE (t)× 100 = (p × R + (1− p))× ZC (t)× 100m

p = P(τ ≤ t) =1

1− R×(

1− ZCE (t)

ZC (t)

)I probabilite de defaut annuelle t

P(t − 1 < τ ≤ t) = P(τ ≤ t)− P(τ ≤ t − 1)

t P(τ ≤ t) P(t − 1 < τ ≤ t)1 0,84 % 0,84 %2 2,54% 1,70 %3 5,10% 2,56%4 7,73% 2,63%5 10,42% 2,68%




Un modele de defaut


Modelisation du defaut obligationObligation a taux fixe 5Y - Schema

En notant pi les probabilites de defaut annuelles



Probabilites Flux conditionnes

1 0 p1 1− p1 0 R × 100 C

2 p1 p2 1− p1 − p2 0 R × 100 C

3∑2

i=1 pi p3 1−∑3

i=1 pi 0 R × 100 C

4∑3

i=1 pi p4 1−∑4

i=1 pi 0 R × 100 C

5∑4

i=1 pi p5 1−∑5

i=1 pi 0 R × 100 100 + C




Un modele de defaut


Obligation a taux fixe 5A - prix

En notant vap la valeur actuelle probable des flux, le prix sedecompose en

5∑i=1

ZC(i)× R × 100× pi vap des flux en cas de defaut

+4∑

i=1

ZC(i)× C × (1−i∑

k=1

pk ) vap des coupons de 1 a 4 en cas de survie

+

ZC(5)× (100 + C)× (1−5∑

k=1

pk ) vap coupon+notionnel en cas de survie en 5




Un modele de defaut


Exercice XXVIIICalcul de prix

I on suppose que l’emetteur E emet une obligation 5 ans acoupon fixe annuel 1

Date Flux1 A 12 A 13 A 14 A 15 A 101

I en reprenant les hypotheses de l’exercice precedent (calcul deprobabilites implicites de defaut), calculer

I le prix risque de l’obligation sous hypothese du modele dedefaut

I le spread d’asset swap au pair de l’obligation (on supposeraqu’il n’y a pas de spread entre les taux des emissions AAA etceux du marche interbancaire)




Un modele de defaut


Solution exercice XXVIIICalcul de prix

I V.a. designe la valeur actuelle au taux sans risqueI V.a. designe la valeur actuelle des flux (sans prise en compte du risque de

defaut)I colonne (1): τ ≤ t − 1I colonne (2): t − 1 < τ ≤ tI colonne (3): t < τ

Defaut Survie Defaut Survie Facteur V.a. V.a.

t (1) (2) (3) (1) (2) (3) actualisation des flux des flux

Probabilites Flux conditionnels conditionnels sans risque

1 0 0,84% 99,16% 0 40 1 0,99 1,315 0,99

2 0,84% 1,70% 97,46% 0 40 1 0,985 1,628 0,985

3 2,54% 2,56% 94,90% 0 40 1 0,98 1,935 0,98

4 5,10% 2,63% 92,27% 0 40 1 0,97 1,915 0,97

5 7,73% 2,68% 89,58% 0 40 101 0,96 87,890 96,96

Somme 4,885 94,685 100,885

I Prix risque: 94,685I Spread d’asset swap: 1

100 ×100,885−94,685

4,885 = 1, 27%




Un modele de defaut


Credit default swap



Jambe de prime Jambe de defaut

1 ns 0 −SCDS × 100 ns (1 − R) × 100 0

2 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

3 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

4 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

5 0 0 −SCDS × 100 0 (1 − R) × 100 0

I On cherche le spread SCDS tel que la valeur totale du CDSJprime + Jdefaut = 0




Un modele de defaut


Credit default swapCalcul de la marge de CDS au pair

I Jambe de prime du CDS

Jprime =5∑

i=1

(−SCDS)× 100× ZC(i)× Pr(τ > i)

I Jambe de defaut du CDS

Jdefaut =5∑

i=1

(1− R)× 100× ZC(i)× (Pr(τ > i − 1)− Pr(τ > i))

I Spread du CDS au pair

SCDS = (1− R)×

5∑i=1

ZC(i)× (Pr(τ > i − 1)− Pr(τ > i))

5∑i=1

ZC(i)× Pr(τ > i)




Un modele de defaut


Exercice XXIXCalcul de spread de CDS

En reprenant les probabilites implicites deduites des prix desobligations ZC de E (cf exercice precedent) avec un taux derecouvrement de 40%,

calculer, avec le modele discret

I la marge de CDS 2Y de l’emetteur E

I la marge de CDS 5Y de l’emetteur E




Un modele de defaut


Solution exercice XXIXCalcul de spread de CDS

I colonne (1): τ ≤ t − 1I colonne (2): t − 1 < τ ≤ tI colonne (3): t < τ

Defaut Survie Facteur ZC ZC

t (1) (2) (3) actualisation ×Pdefaut ×Psurvie

Probabilites (4) (2)×(4) (3)×(4)

1 0 0,84% 99,16% 0,99 0,83% 98,17%

2 0,84% 1,70% 97,46% 0,985 1,67% 96,00%

3 2,54% 2,56% 94,90% 0,98 2,51% 93,00%

4 5,10% 2,63% 92,27% 0,97 2,55% 89,50%

5 7,73% 2,68% 89,58% 0,96 2,58% 86,00%

Somme 1 a 2 0,025 1,942

Somme 1 a 5 0,101 4,627

I SCDS 2Y = (1− 40%)×0, 025

1, 942= 0, 77%

I SCDS 5Y = (1− 40%)×0, 101

4, 627= 1, 32%




Un modele de defaut

References

I Roland Portait - Patrice PoncetFinance de marche - 3eme editionInstruments de base, produits derives, portefeuilles et risquesEd Dalloz


cea finance i

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