Diapositive 1

Fractales

Jean CEAFractales dans la natureImage construite partir dimages extraites du site dECOIST : http://webecoist.momtastic.com/2008/09/07/17-amazing-examples-of-fractals-in-nature/

Les trois famillesPARTIE A : objets et courbes construits de manire gomtrique et itrative

PARTIE B : construction analytique de courbes

PARTIE C : itrations et ensembles du type Julia-Fatou-Mandelbrot Cas dterministes Cas alatoires (non traits)PARTIE A : Objets et courbes construits de manire gomtrique et itrative.On part dun motif quon multiplie linfini, en changeant dchelle, selon une certaine procdure gomtrique.On dfinit ensuite sa dimension fractale.

Courbe : aire limite = 9/5 fois laire du premier triangle. Flocon : aire limite = 8/5 du triangle initial. LONGUEUR INFINIE dans les 2 cas. Multiplication par 4/3 chaque itration.Le flocon de Koch satisfait aire = donne et primtre maximum. http://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch

Courbe et flocon de Von Koch (1906)Au bout dun certain nombre de subdivision, la plume pour dessiner la courbe ou le flocon nest pas assez fine, tout devient noir !5Les poussires de CANTOR

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor

On construit cet ensemble de manire itrative partir du segmenten enlevant le tiers central; puis on ritre l'opration sur chaque nouveau segment, et ainsi de suite. Division de la longueur des segments par 3, multiplication du nombre de segments par 2. On peut voir les six premires itrations du procd sur le schma suivant:Triangle et carr de Sierpiski

http://www.mathcurve.com/fractals/sierpinski/sierpinski.shtml

Triangle de Sierpiski

Cts diviss par 2 : 1 triangle donne 4 triangles. On oublie le triangle central et on continue avec les 3 autresCts diviss par 3 : 1 carr donne 9 carrs

Baderne dapollonius (3 sicles avant J.-C.)Rfrence historique, la plus ancienne !http://www.3dfractals.com/docs/Master_Thesis_Lajoie.pdf

1 triangle curviligne donne naissance 3 triangles, qui donnent naissances 9 trianglesPentagone de Albrecht Drer (1525)

Rfrence historique, aprs celle dapolloniushttp://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracDure.htm

1 pentagone donne naissance 6 pentagones. On oublie les zones qui ne sont pas dans ces 6 pentagones. On continue pour chaque nouveau pentagoneEnsembles 3D

Eponge de MengerPyramide de SierpiskiPoumon : volume restreint grande surface

17 - 23 : regroupement en acini au nombre de 30 000. La surface respiratoire couverte par les 300 millions dalvoles est de lordre de 200 m2, avec un paroi trs fine contenant les capillaires sanguins de manire permettre les changes. Motif rptitif = bifurcation avec diminution du diamtre de 0,85 %Crdit : Paul Cazeaux. www.math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=420acini pulmonaires pour dsigner les sacs alvolaires. Hmatose = changes gazeux entre le milieu alvolaire et le sang. Les mathmaticiens ne sarrtent pas 16 ou 23 gnrations, ils poussent jusqu linfini.11Modlisation dune cte

2 motifs rpter selon une certaine rgle ou de faon alatoire.La longueur tend vers linfini avec le nombre ditrations.Pas : 1, 1/3, 1/9, 1/27 Longueurs : 1, 4/3, 16/9, 64/27

La cte de la Grande-Bretagne

La longueur varie en fonction de linstrument de mesure ! Dimension de la cte ?La dimension fractaleProcd par analogie dans R2 et R3. Un carr ( d = 2): partage des cts en 2. Coefficient de rduction = 2. Nb de petits carrs = 4 (= 2 2)Un cube ( d = 3): partage des cts en 2. Coefficient de rduction = 2. Nb de petits cubes = 8 (= 2 3)Dans les 2 cas, si m est le nombre de sous-ensembles crs, n le coefficient de rduction, d la dimension (2 ou 3) on a :m = nd log m = d . log nd = log m / log n (dimension fractale)Cest plus compliqu. Dimension de Hausdorff.14Exemples de dimensions fractales (I)Koch, m = 4, n = 3, d = log 4 /log 3 = 1,26Idem pour la cte de la Grande Bretagne ou de la Bretagne.

Poussire de cantor , m = 2, n = 3, d = log 2 /log 3 = 0,63

Crdit images Wikipedia

Exemples de dimensions fractales (I)Tapis de Sierpinski : m = 8, n = 3, d = log 8 /log 3 = 1,89

Crdit images Wikipedia

Eponge de Menger : m = 20, n = 3, d = log 20 /log 3 = 2,72Fractales : bilanAutosimilaritDimension pas toujours entireCoubes continuesCourbes sans tangentesLongueur infinieA lintrieur dun ensemble fini

PARTIE B Construction analytique de courbesIl y a de nombreux exemples, en voici deux :- Courbe de Pano- Courbe de Hilbert

Ces courbes ont les mmes proprits que la courbe de Koch.

La mthode de Georg CANTOR (1874) un segment un carr !!! Il y a autant de points sur le segment que sur le carr !!!BIJECTION :A tout point T du segment, il correspond un et un seul point M du carr.A tout point M du carr, il correspond un et un seul point T du segment.

t, x, y sont 3 nombres rels compris ente 0 et 1Elle a inspir dautres mathmaticiens pour construire des courbes bizarres

19Giuseppe Peano (1890) T M t x(t), y(t)

Le passage de t au couple x(t), y(t) est trs voisin de la mthode de Cantor. Mais Peano travaille en base 3.

t = 0, t1 t2 t3 t4 t5 t6 tn Exemple : t = 0, 2 1 1 2 2 0

A partir des dcimales de rang impair (en rouge), Peano construit celles de x :x = 0, x1 x2 x3 xnIdem pour les dcimales bleues : y = 0, y1 y2 y3 yn (explications)

La cl passe par l'laboration d'une courbe nulle part diffrentiable20Proprits de la courbe de PeanoPeano dmontre ceci : quand le nombre rel t parcourt tout le segment (0,1) alors le couple de rels (x(t),y(t)) parcourt tout le carr (0,1)(0,1).Courbe continue mais nulle part diffrentiableIl est impossible de dessiner la courbe qui reprsente les points de coordonnes x(t),y(t) en fonction des valeurs de t puisquelle remplit le carr.Par contre, on peut construire des courbes partielles qui vont converger vers la courbe de Peano

http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peanogeneralisee.shtml

Dans le cas d'un carr partag en 4 carrs, on obtient les courbes de Peano binaires, avec comme cas particuliers la courbe de Hilbert, ou la courbe de Moore. La courbe de Lebesgue est obtenue par le mme principe de base, mais avec une astuce supplmentaire la rendant diffrentiable presque partout. Dans le cas d'un carr partag en 9 carrs on obtient les courbes de Peano ternaires ; lorsque les carrs sont parcourus par un balayage continu aller-retour, on obtient une courbe souvent appele "la" courbe de Peano dans la littrature, car celui-ci en avait donn la paramtrisation dans son article de 1890 (mais la figure se trouvant dans cet article est celle de la courbe dsigne maintenant par courbe de Hilbert ; Peano connaissait donc dj bien cette dernire courbe ; il n'a dtaill la courbe ternaire que parce que les calculs sont plus simples dans ce cas).

Courbe ternaire de Peano9 carrs, 9 diagonales utilises

81 carrs, 81 diagonales utilises

Sens de parcours des diagonales

VERT (1) BLEU (3)ORANGE (1) ROUGE (3)VERT (1)

http://serge.mehl.free.fr/anx/cbe_peano.html1890

23Courbe de Hilbert - Peano binaire

Le motif initial est reproduit linfini avec des raccordements, une entre, une sortie 189124Courbe de Hilbert'

http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_HilbertExemples de dimensions fractales (III)

Courbe de Hilbert : m = 4, n = 2, d = log 4 /log 2 = 2

Courbe-surface : EXCEPTION !!!

Crdit images WikipediaPARTIE C :

Les ensembles du type Julia - Fatou - MandelbrotSystmes dynamiquesUn systme dynamique est un systme qui volue avec le temps. Il est dfini par : lquation du mouvement qui tablit la progression du systme avec le temps ET par les conditions initiales (au dmarrage).Exemple : mouvement dune balle de golf.- Les conditions initiales sont : - Sa position initiale, la balle est sur son Tee- La vitesse initiale communique par le fer. - Lquation du mouvement provient de lexploitation de la loi f = m.Si on modifie lgrement les c.i. : les trajectoires restent voisines. En est-il toujours ainsi ?28ChaosNON, il y a des systmes dynamiques extrmement sensibles aux c.i. : cest le phnomne du chaos, il sagit de systmes chaotiques. Cest le cas du systme solaire, H. Poincar (1891) : il est instable, chaotique. Le choc des plantes : Mercure, Mars, Vnus, Terre. Jacques Laskar, belle vido.Mary Carthwright (1938) : modlisation des radars, lquation de Van der Pol est chaotique aux puissances leves.Edward Lorenz travaille en 1963 sur la mto. Il modlise avec un systme dynamique de 3 quations (diffrentielles) 3 fonctions inconnues. Il dcouvre un systme chaotique (annonc par Poincar)Sa prsentation de cette affaire : Does the flap of a butterflys wings in Brazil set off a tornado in Texas ? Le battement dailes dun papillon au Brsil provoque-t-il une tornade au Texas ?

Mercure, Mars, Vnus, la Terre : le choc des plantes ! Confrence donne l'IAP le 6 dcembre 2011, par Jacques Laskar (CNRS, Astronome l'Observatoire de Paris). Couverture de mon livre Une vie de mathmaticien.29Systmes dynamiques discretsDans un systme dynamique, le temps est continu. On peut envisager des systmes o le temps prend des valeurs discrtes, ex : lensemble des entiers.Le systme dpend alors de la suite des entiers 1, 2, 3n... Lquation qui permet au systme dvoluer est du type un+1 = f(un) , o f est une fonction ou transformation donne.Les conditions initiales sont du type u0 = connu.Y a-t-il des systmes discrets chaotiques ? Oui, nous allons en montrer quelques uns.Un exemple simple de systme discretOn donne une transformation f dans le plan et un point de dpart M0. On construit une suite rcurrente de points M1 M2 M3 Mn o M1 = f(M0) M2 = f(M1) M3 = f(M2)

Ensembles de Julia, Fatou, Mandelbrot

Nous allons construire des ensembles de points du plan. Au voisinage de la frontire dun tel ensemble, la suite rcurrente associe un point de dpart M0 pourra avoir un comportement chaotique (par exemple, la longueur de OMn tend vers linfini avec n), alors que pour dautres points de dpart pourtant trs proches cette longueur sera borne.Les fonctions mathmatiques utilises sont trs simples : polynmes, fractions rationnelles, fonctions trigonomtriquesUn exemple de transformation f

x = x2 y2 + 10y = 2 x y 7

Formules extrmement simples : polynmes.En nombres complexes : z = z2 + co : z = x + i y z = x + i y c = 10 -7 i

Il y a l une infinit de fonctions, en faisant varier c qui vaut ici 10, -733Suites rcurrentes bornes ou nonOn dit que la suite est borne si on peut trouver un nombre R et que pour tout n on ait : OMn = K alors la suite nest pas borne. M0 nappartient pas lensemble. On affecte ce point une couleur qui dpend de n (via une palette de couleurs)Test darrt 2 : on donne un nombre MaxIter (100 ?). Si on est litration n et que n = MaxIter, stop. On dira que le point M0 est dans lensemble rempli de Julia (exprience), on affecte ce point une couleur particulire.Ensembles de Julia

x = x2 y2 + ay = 2 x y + b

La fonction f dpend du point C de coordonnes (a,b) 4 ensembles associs 4 valeurs de (a,b) Un ensemble de Julia = frontire de lensemble de Julia rempli (les points noirs)En fonction du point de dpart. Poincarr38Gaston Maurice Julia (1893 - 1978)Le premier article sur l'itration des fonctions rationnelles en 1917-1918. Il a conduit aux ensembles de Julia, de Mandelbrot et bien dautres ensembles.Brillant lve, on lui facilite la poursuite des tudes secondaires (Lyce dOran) et suprieures Paris. Major partout o il se prsente ! (ENS, X)Guerre de 1914 18, sur le chemin des dames, il est bless au visage en Janvier 1915, il avait 22 ans. Il portera toute sa vie un masque de cuir. Mathmaticien et musicien ! http://fr.wikipedia.org/wiki/Gaston_Juliahttp://translate.google.fr/translate?hl=fr&sl=en&u=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Julia.html&prev=/search%3Fq%3Dgaston%2Bjulia%26client%3Dfirefox-a%26hs%3DrdL%26rls%3Dorg.mozilla:fr:officialGaston%20Julia

Son pre est forgeron, et sa famille paternelle dorigine pyrnenne est installe en Algrie depuis deux gnrations, tandis que sa mre est d'ascendance espagnole.Sidi Bel Abbes. Lallemand ! Malade au dbut de math sp. Lyce Janson-de-Sailly39

La transformation de Mandelbrot

M = fc (M) La transformation fc dpend dun point C de coordonnes (a , b).M (x , y)M (x , y)x = x2 y2 + ay = 2 x y + b

Dbut de la suite rcurrente : M0 = O = ( 0 , 0)

Ensemble de Mandelbrot

Il est appel M ou Mdbt : C appartient M la suite rcurrente est borne.

Gaston Julia et Pierre Fatou connaissaient ce genre densemble. Mandelbrot en donn une reprsentation exceptionnelle. Adrien Douady lui a donn le nom densemble de Mandelbrot.

Ensemble de Mandelbrothttp://math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/chaos_fract/Mandelbrot/Mandelbrot.html

Benot Mandelbrot (1924 2010 )

En 1958, dpart dfinitif pour les Etats-Unis.Benoit Mandelbrot tait membre mrite du centre de recherches de la socit IBM (Yorktown Heights) et professeur l'Universit de Yale.

N Varsovie, dans une famille juive dorigine lituanienne. Devant la menace hitlrienne, sa famille se rend dabord Paris, puis Brive-la-Gaillarde.Cest Paris quil fut initi aux mathmatiques par deux oncles dont lun tait professeur au Collge de France. Lyce Edmond-Perrier de Tulle, Lyce du Parc Lyon, Ecole Polytechnique (promotion 1944).

MandelbrotIl a travaill au dbut sur des applications originales de la thorie de linformation.Il a dvelopp ensuite, en 1974, une nouvelle classe dobjets mathmatiques: les objets fractals ou les fractales. Grand retentissement !En 2004, il a publi Une approche fractale des marchs dans lequel il dnonce les outils mathmatiques de la finance parce quil les juge inadapts. Cette mme anne, il avait demand, sans succs, que les banques et les grandes institutions financires consacrent une petite partie de leur budget la recherche fondamentale.Applications des fractales0. Orienter vers certaines mthodes numriques 1. Infographie, cinma, tlvision, art graphique2. Compression dimages3. Antennes4. Mur anti-bruit5. Arogels de silice6. Dpistage du cancer du sein.7. Recherche de nappes de ptrole8. Percolation (ciment)9. Finances

JOSIANE LAJOIE http://www.3dfractals.com/docs/Master_Thesis_Lajoie.pdfet la bibliographie de ce document

2. JPG non dtrn7. Il y a dautres mthodes qui marchent9. Pas encore achev45Quelques logicielsGecif http://www.gecif.net/ et plus de 100.000 fractales !Ultra Fractal (Gratuit 30 jours) http://www.ultrafractal.com/Fracint http://www.fractint.org/Fractal Forge http://sourceforge.net/projects/fractalforge/Maple. Plusieurs programmes Xaos http://fr.wikipedia.org/wiki/XaoSMDLB http://robert.mellet.pagesperso-orange.fr/mdlb/mdlb_02.htmPANOMAND http://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/panoramic/mandel/panoramic_mandel.htm

24 images tires au hasard parmi les 100 000 fractales proposes sur le site http://www.gecif.net/galeries/ de Jean-Christophe MICHELSur le site, Zoom possible et recommand pour chaque galerieQuelques sites visiter (I)Jean-Christophe MICHEL : (100.000 images)http://www.gecif.net/galeries/Robert FERREOL : http://www.mathcurve.com/fractals/fractals.shtmlJean-Franois COLONNA :http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/descripteurs/Fractal.01.htmlAndr LEVESQUE : http://math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/Grard VILLEMIN : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/Fractal.htm#sitesJean-Nol HAAS:http://perso.numericable.fr/~haasjn/haasjn/Mandelbrot.html Serge MEHL : http://serge.mehl.free.fr/anx/cbe_peano.htmlRobert Mellethttp://robert.mellet.pagesperso-orange.fr/mdlb/mdlb_04.htm

Quelques sites visiter (II)Science tonnante : http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/04/01/les-courbes-remplissantes-ou-comment-faire-un-coloriage-avec-un-crayon-ponctuel/Zooms magnifiques :http://neave.com/fr/fractal/Arnaud CHERITAT :http://images.math.cnrs.fr/L-ensemble-de Mandelbrot.htmlDes jeunes et des fractales :http://www.csteq.com/pages_htm/projets_jeunes/projet.jsp?projet=15Paul CAZEAUX : www.math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=420 Benjamin MAUROY :http://benjamin.mauroy.free.fr/publis/mauroy_these.pdf Michle AUDIN : un beau livre sur Fatou, Julia, Montelhttp://www.springer.com/mathematics/history+of+mathematics/book/978-3-642-00445-2Et puis, pour terminer une mention spciale une jeune mathmaticienne pour la qualit de son article :JOSIANE LAJOIE :http://www.3dfractals.com/docs/Master_Thesis_Lajoie.pdf

Quelques sites visiter (III)Pour la qualit du contenu et des zoomsJean-Christophe MICHEL : (100.000 images)http://www.gecif.net/galeries/Sylvain TIMSIT :http://www.syti.net/Fractals.htmlFRAXhttp://fract.al/about

Et puis, pour terminer une mention spciale une jeune mathmaticienne pour la qualit de son article :JOSIANE LAJOIE :http://www.3dfractals.com/docs/Master_Thesis_Lajoie.pdf

MERCI

FIN

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