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6. Modèles mathématiques des systèmes linéaires continus 1

Au41_C_chapitre 6 24/11/2005 Cours de M. Cougnon

6.1. Introduction 6.2. Mise en équation des circuits électriques

6.2.1. Lois générales de l’électricité 6.2.2. Impédance isomorphe 6.2.3. Circuits actifs 6.2.4. Quelques d’applications

6.3. Mise en équation des systèmes mécaniques 6.3.1. Lois générales de la mécanique 6.3.2. Etude d’un accéléromètre pour CNI 6.3.3. Etude d’un premier dispositif mécanique 6.3.4. Etude d’un second dispositif mécanique 6.3.5. Etude d’un troisième dispositif mécanique 6.3.6. Etude d’une suspension d’automobile 6.3.7. Entraînement d’une charge en rotation 6.3.8. Transmission mécanique

6.4. Notions d’analogies électromécaniques 6.4.1. Généralités 6.4.2. Exemples d’application

6.5. Mise en équation des actionneurs électriques 6.5.1. Lois fondamentales 6.5.2. Equations générales des moteurs continus 6.5.3. Transmittance du moteur continu commandé par l’induit 6.5.4. Transmittance du moteur continu commandé par l’inducteur

6.6. Mise en équation des systèmes hydrauliques 6.6.1. Régulation de niveau d’une cuve 6.6.2. Servocommande hydraulique 6.6.3. Exemple : régulation de vitesse d’une turbine.

6.1. INTRODUCTION

La réalisation d’un système de commande met en oeuvre des technologies et des processus de nature physique très diverse : électronique, électrique, hydraulique, mécanique, optique, pneumatique, thermique, etc. Pour résoudre les problèmes de commande auxquels il est confronté l’automaticien doit s’appuyer sur une culture polytechnique lui permettant d’établir et d’interpréter les relations qui traduisent le comportement statique et dynamique des processus et des organes (actionneurs et capteurs) participant au fonctionnement du dispositif. Ces relations constituent le modèle mathématique du système.

La recherche d’un modèle mathématique est toujours un problème délicat que l’on peut traiter selon deux approches différentes : • appliquer les lois générales de la physique afin de déterminer la fonction de transfert

recherchée, • mettre en oeuvre une démarche expérimentale permettant, à travers des essais types, de

déterminer un modèle satisfaisant.

La modélisation doit fournir une représentation du système sur laquelle on puisse appliquer des méthodes mathématiques permettant la réalisation d’un dispositif de commande assurant au système global le respect des performances imposées cahier des charges.



Tout l’art de l’ingénieur consiste à établir, sur la base des informations dont il dispose, le modèle le plus simple qui rende compte avec suffisamment de précision des comportements observés.

6.2. MISE EN EQUATION DES CIRCUITS ELECTRIQUES

6.2.1. LOIS GENERALES DE L’ELECTRICITE

Les réseaux électriques obéissent aux lois d’OHMS et de KIRCHOFF (loi des nœuds I p( ) = 0 et loi des mailles V p( ) = 0).

Le théorème de THEVENIN permet, dans de nombreux cas, de résoudre élégamment un problème de réseaux électrique. Enonçons ce théorème :

Réseau Réseau

Générateur équivalent

A

B

0V

sZ A

B

Réseau Réseau Réseau

Générateur équivalent

A

B

0V

sZ A

B

Réseau

Le réseau est équivalent à un générateur caractérisé par :

• une « fém » 0V égale à la tension vue des bornes A et B lorsque le réseau est déconnecté ; c'est la tension à vide du réseau .

• une impédance interne équivalente sZ (Impédance de sortie de ) égale à l'impédance « vue » des bornes A et B lorsque le réseau est déconnecté et toutes les sources de tension et de courant de éteintes (sources de tension en court circuit, sources de courant ouvertes).

6.2.2. IMPEDANCE ISOMORPHE

Soit un dipôle passif soumis à une différence de potentiel e(t) et parcouru par un courant i(t). Par définition on appelle impédance isomorphe le quotient :

)()(et )()( avec )()(

)( tspStepEpIpE

pZ ===

Le tableau ci-après donne l'impédance isomorphe des dipôles élémentaires (résistance, capacité, inductance).



Elément passif Impédance

E(p)

I(p)

Dipôle

Z(p)

)()(

)(pIpE

pZ =

)()( tepE = et )()( tipI =

e(t)

i(t)

Résistance

R

+

_

e t R i t

E p R I p

( ) . ( )( ) . ( )

==

Z RR =

e(t)

i(t)

Inductance

+

_

L

Lpp

IE

Z

pILppEdt

tdiLte

L ==

=

=

)(

)(.)(

)()(

e(t)

i(t)

Capacité

+

_C

i t dt C e t

I pp

C E p

ZEI

pCp

t

C

( ) . ( )

( ). ( )

( )

=

=

= =

0

1

Lorsque p est un nombre imaginaire pur ( p j= ω ) on retrouve l'expression de l'impédance complexe, encore appelée impédance isochrone. Elle correspond au régime harmonique (ou cissoïdal !). Exercice 6.1. : Calculer la tension BAV / du réseau :

Réseau initial Réseau équivalent

Z1

Z3

Z2

+Z2

++

E1

+E2

A

B

A

B

E21 2 0V

0Z

Réseau initialRéseau initial Réseau équivalentRéseau équivalent

Z1Z1

Z3Z3

Z2Z2

+Z2

++

E1

+E2

A

B

A

B

E21 2 0V

0Z



3131

)( )(131

3)( et 0 ZZ

ZZpsZpE

ZZZ

pV+

=+

=

V p V EZ

Z ZEA B

S/ ( ) ( )= −

++0 2

22

2 soit :

V pZ Z E Z Z E

Z Z Z Z Z ZA B/ ( ). . .

. . .= +

+ +2 3 1 1 3 2

1 2 2 3 3 1

On peut aussi appliquer le théorème de superposition. La démarche est alors la suivante :

E1 0≠ et E2 0= VZ Z

Z Z ZE

Z ZZ Z Z Z Z Z

E12 3

1 2 31

2 31 2 2 3 3 1

1=+

=+ +

/ /( / / )

.. . .

E1 0= et E2 0≠ VZ Z

Z Z ZE

Z ZZ Z Z Z Z Z

E21 3

2 1 32

1 31 2 2 3 3 1

2=+

=+ +

/ /( / / )

.. . .

VZ Z E Z Z EZ Z Z Z Z ZA B/

. . . .. . .

= ++ +

2 3 1 1 3 21 2 2 3 3 1

Exercice 6.2. : Calculer la fonction de transfert du circuit électrique suivant :

R1 R2

C1 C2 S(p)E(p)

U

I1 I2

I3

+R1 R2

C1 C2 S(p)E(p)

U

I1 I2

I3

+

a. Par application du théorème de THEVENIN

On trouve :

1)212211()2121(

1)()(

)(2 ++++

==pCRCRCRpCCRRpE

pSpH

b. Par la technique des schémas fonctionnels

On peut aussi calculer H(p) en traçant le schéma fonctionnel correspondant aux équations du circuit et en simplifiant ce schéma par application de la méthode de transformation des schémas fonctionnels présentée au chapitre 4.



+ _ _ _+ +1/R1 1/C1p 1/R2 1/C2p

E(p) I1 I3 I2U S(p)

+ __ _+ +1/R1 1/C1p 1/R2 1/C2p

E(p) S(p)

R1C2p

+ __ _+ +1/R1C1p 1/R2C2p

E(p) S(p)

R1C2p

On obtient 3 boucles imbriquées. Pour calculer la transmittance recherchée on réduit les boucles par application des règles de simplification des schémas fonctionnels étudiées au chapitre 4.

pCRpH

1111

)(1 += et

pCRpH

2211

)(2 +=

Soit

1)212211()2121(

1)(

2 ++++=

pCRCRCRpCCRRpH

On vérifiera que les pôles de cette transmittance sont réels négatifs quelle que soit la valeur des éléments R et C, et qu’en conséquence cette fonction de transfert est stable.

c. Par application de la règle de MASON

On peut encore résoudre ce problème par la technique des graphes de fluence étudiée au chapitre 4.

UI2 I3

1/1 R pC1/1 2/1 R pC2/1

1−

1−

1−

E(p)1

S(p)11

UI2 I3

1/1 R pC1/1 2/1 R pC2/1

1−

1−

1−

E(p)1

S(p)11

Posons pCRT 11/11 = , pCRT 22/12 = et pCRT 12/13 =



Appliquons la règle de MASON :

∆∆

=i

iiTpH1

)( avec +−+−=∆j k l

lkjj k

kjj

j BBBBBB ...1

j

jB = )( 321 TTT ++−

j k

kj BB = 21TT

iT = 21TT

i∆ = 1 Ainsi :

1)212211()2121(

11

)(2

21321

21

++++=

++++=

pCRCRCRpCCRRTTTTTTT

pT

Exercice 6.3. : Calculer la fonction de transfert du circuit électrique (réseau à avance de phase) suivant :

On vérifiera que :

ppa

apH

ττ

++=

11

.1

)(

avec CRR

RR21

21+

=τ et 12

21 >+=R

RRa

Exercice 6.4. : Calculer la fonction de transfert du circuit électrique (réseau à retard de phase) suivant :

On vérifiera que :

ppb

pHττ

++=

11

.)(

avec

<+

=

+=

121

2

)21(

RRR

b

CRRτ

Ces réseaux à avance et à retard de phase sont utilisés pour améliorer les performances des systèmes asservis.

R1

C

S(p) E(p)

+

R2 I1

I2

I3

R1

I

+

R2

C

E(p) S(p)



6.2.3. CIRCUITS ACTIFS

Les circuits actifs sont conçus à partir d’éléments actifs (amplificateurs). En automatique on utilise des amplificateurs opérationnels pour réaliser la synthèse de fonctions de transfert de type analogiques. Ces amplificateurs sont des circuits intégrés que nous caractériserons de manière idéale par un gain infini (∞), une impédance d’entrée quasi infinie ( ∞=eZ ) et une impédance de sortie quasi nulle ( 0=sZ ).

_

+

v-

v+

vs∞

Le gain G de l’amplificateur étant infini et la tension de sortie finie )( −+ −= vvGvs (pas de saturation) la tension entre les bornes + et − est infiniment petite ( −+ −= vvε tend vers zéro et à la limite −+ = vv ). Cette remarque est à la base de la méthode de calcul proposée pour déterminer la transmittance de montages utilisant cette technique de synthèse. On se reportera au cours d’électronique pour un examen plus approfondi de la question. Considérons le montage suivant :

+

_v-

v+Z3

Z1

Z2

Z4E1(

p)

E2(

p)

S(p)

∞+

_v-

v+Z3

Z1

Z2

Z4E1(

p)

E2(

p)

S(p)

∞

Calculons +V et −V , dans le domaine symbolique, par application du théorème de superposition en supposant que l’amplificateur opérationnel est ôté.

E1 0≠ et S = 0 121

21 E

ZZZ

V+

=−

E1 0= et S ≠ 0 SZZ

ZV

121

2 +=−

SZZ

ZE

ZZZ

VVV12

11

122

21 ++

+=+= −−− et V

ZZ Z

E+ =+4

4 32 et

On insère l’amplificateur opérationnel à sa place. Il agit alors sur la sortie S afin que les tensions

+V et −V soient égales.

VZ

Z ZE

ZZ Z

S VZ

Z ZE− +=

++

+= =

+2

2 11

12 1

44 3

2

SZ Z ZZ Z Z

EZZ

E= ++

−4 2 14 3 1

221

1.( )

( )...



Exercice 6.5. : Calculer la fonction de transfert du circuit électrique suivant :

+

_v-

v+

R

R

R2

E2(

p)

E3(

p)

S(p)

R1

E1(

p)∞

C

+

_v-

v+

R

R

R2

E2(

p)

E3(

p)

S(p)

R1

E1(

p)∞

C

Pour résoudre ce problème, simplifions les deux branches comportant les générateurs E1 et E2 en appliquant le théorème de THEVENIN.

v-R’v-R2

R1

E2

E1

+

+ E’+

Thévenin

v-R’v-R2

R1

E2

E1

+

+ E’+

Thévenin

Avec

211221

'RR

REREE

++=

et 21

21'

RRRR

R+

=

Le schéma équivalent du circuit est le suivant :

+

_v+

v-

R

R

R'

E'(p

)

E3(

p)

S(p)

C

∞+

_v+

v-

R

R

R'

E'(p

)

E3(

p)

S(p)

C

∞

Appliquons la relation calculée plus haut '12

31)34()12(4

EZZ

EZZZ

ZZZS −

++= soit :

''1

3'2'1

''1

3'.2

)'1

(E

CpRE

CpRCpR

ECpR

ERR

RCp

RS −+=−

+=



Remplaçons E’ et R’ par leurs valeurs. Il vient :

CpRpE

CpRpE

pECpRR

CpRRRRpS

2)(2

1)(1

)(3212

2121)( −−++=

6.2.4. QUELQUES D’APPLICATIONS

a. Etude d’un réseau actif

On considère le montage électronique dont le schéma est donné ci-après. Ce montage comporte des éléments passifs ainsi qu’un amplificateur de gain en tension k. Cet amplificateur est supposé parfait, c’est à dire que son impédance d’entrée est infinie et son impédance de sortie est nulle. Il s’agit de calculer la fonction de transfert de ce circuit électrique et de déterminer les valeurs de k garantissant la stabilité du montage.

R1 = 1 R2 = 1

S(p)E(p)

Ampli

k

C1 = 1

U(p)

I1 I2

V(p)

C2 = 1

Les équations du montage sont les suivantes :

kUS

Sp

IS

pCI

UUVR

UVI

pII

pCII

VVER

VEI

=

+=+=−=−=

−=−=−=−=

222

22

211

211

1

Traçons le graphe de fluence correspondant.

V I2 U

p/1 p/1 k

1−

1E(p)

1 S(p)

I1

1−p/1− 1

V I2 U

p/1 p/1 k

1−

1E(p)

1 S(p)

I1

1−p/1− 1


∆∆

=i

iiTpH1

)( avec +−+−=∆j k l

lkjj k

kjj

j BBBBBB ...1



j

jB = k

p+− 3

j k

kj BB =

pk

p

212

−

iT = 2p

k

i∆ = 1

+−+−=

+−+−=∆

1)23()1()(

1)23()1(

2

2

2

pkpk

kpH

p

pkpk

Le montage est stable pour 1<k

b. Fonction de transfert du filtre suivant :

L = 4/3

C1 = 3/2 C2 = 1/2R = 1

I(p) V(p)

V1 V2

I1

I2L = 4/3

C1 = 3/2 C2 = 1/2R = 1

I(p) V(p)

V1 V2

I1

I2

Mise en équations.

pIIV

32

)1(1 −= p

VVI43

)21(1 −= 22

)21(2 Ip

IIV =−=

Graphe de fluence

I1 V2 I2

p4/3 1

p3/2−

p/2

I(p)

p3/2

V1

p/2−p4/3−

I1 V2 I2

p4/3 1

p3/2−

p/2

I(p)

p3/2

V1

p/2−p4/3−


∆∆

=i

iiTpH1

)( avec +−+−=∆j k l

lkjj k

kjj

j BBBBBB ...1

j

jB = 2

)1(2

p

p+−

j k

kj BB = 2

1

p

iT = 3

1

p

i∆ = 1

+++==

+++=∆

122

1)()(

)(

122

23

3

23

ppppIpV

pH

p

ppp

Ce filtre est un filtre de BUTTERWORTH d’ordre 3. Ses pôles sont sur le cercle unité (à vérifier).



6.3. MISE EN EQUATION DES SYSTEMES MECANIQUES

6.3.1. LOIS GENERALES DE LA MECANIQUE

La relation fondamentale de la dynamique caractérise le mouvement d’un corps solide.

Corps de masse M en translation Corps de moment d’inertie J en rotation

= γ

MF ωθ

JJM ==

Les systèmes mécaniques réels ne sont jamais linéaires. Cependant en formulant des hypothèses restrictives mais acceptables dans le cas considéré (frottements solides négligeables, petits mouvements, etc.) on peut établir des équations linéaires susceptibles de décrire correctement le comportement du système dans le domaine d’observation.

Elément Equation

y x

θeθs

dash-pot

y x

θeθs

dash-pot

Frottement visqueux :

Couple résistant dû à la viscance « d » du dispositif pour les mouvements de rotation :

)( esd θθ −−

Force due à la viscance « d » de l’amortis-seur pour les mouvements linéaires :

)( yxd −−

y x

θeθs

ressort de rappel

Force et couple de rappel :

Couple de rappel dû au ressort de raideur k pour les mouvements de rotation :

)( esk θθ −−

Force de rappel due au ressort de raideur k pour les mouvements linéaires :

)( yxk −−



6.3.2. ETUDE D’UN ACCELEROMETRE POUR CNI

Un accéléromètre est un capteur qui mesure l’accélération γ à laquelle est soumis un mobile se déplaçant dans l’espace. Ce capteur est à la base du fonctionnement des centrales de navigation à inertie (CNI). En effet de telles centrales permettent, à partir de la mesure de γ , d’obtenir la vitesse et la position du mobile (avion, missile, véhicule spatial, …).

Une centrale de navigation inertielle classique est composée d’une plate-forme stabilisée dont les axes sont asservis à la verticale locale (z), au Nord géographique (x) et à l’Est (y).

Pôle Nordx

z

Az

Terre

Plate-formestabilisée

Accéléromètres

y

Ax

Equateur

Méridien

Pôle Nordx

z

Az

Terre

Plate-formestabilisée

Accéléromètres

y

Ax

Equateur

Méridien

Ces asservissements sont obtenus à partir de boucles de commande utilisant des capteurs de type gyrométrique. Par ailleurs 3 accéléromètres «1 axe» sont positionnés sur la plate-forme stabilisée selon les axes x, y et z (trièdre lié à la terre). En conséquence chaque capteur mesure une composante de γ selon son axe sensible.

Décrivons le principe de fonctionnement d’un accéléromètre. Il s’agit d’un boîtier, corps de l’accéléromètre, à l’intérieur duquel on trouve une masse M, rattachée au boîtier par deux ressorts de raideur k/2 et deux amortisseurs de viscance d/2. Ce capteur est monté sur un mobile se déplaçant selon x. L’abscisse du mobile est mx dans un repère terrestre. L’abscisse de la masse M, dans un repère lié au mobile, est Mx . Son abscisse dans le repère terrestre est donc

)( Mm xx + .

accéléromètre

k/2 k/2

d/2 d/2

Mγ

0Plate-forme

z

x

mx0

G

Mx

La masse M peut se déplacer selon x. Lorsque le mobile n’accélère pas la masse est au centre du boîtier et sa coordonnée Mx est nulle. Si le mobile accélère on écrit :

MMmMG xdkx

dt

xxdM

dt

xdM −−=+=

2

2

2

2 )( MMMx

m xMxdxkMdt

xdM

2

2−−−== γ



Prenons la transformée de LAPLACE de cette expression.

)()()()( 2 pXMppdpXpkXpM MMMx −−−=Γ Nous obtenons la fonction de transfert de l’accéléromètre :

kdpMp

pMpX x

M++

Γ−=2

)()(

Ainsi la position de la masse M par rapport au boîtier mesure l’accélération du boîtier donc du mobile.

6.3.3. ETUDE D’UN PREMIER DISPOSITIF MECANIQUE

On considère le dispositif mécanique suivant :

Isolons les masses et identifions les forces appliquées.

Ecrivons les équations d’équilibre des masses.

Masse M1 Masse M2

[ ][ ] )()(21

)(2111 2

pFpYkpd

pXkkpdpM

=+−+++

[ ][ ] 0)(21

)(2312 2

=+−+++

pXkpd

pYkkpdpM

bâti

k1 M2

f(t)

x y

d1 k3

k2

bâti

k1

f(t)

x y

d1 k3

k2 M1 M2

X(p)

M1

(k1+k2)X

d1pX

k2Y

d1pY

F(p)

Y(p)

M2

(k3+k2)Y

d1pY

k2X

d1pX

M1p2X M2p2Y



Soit encore :

=

++++−+−+++

0)(

)()(

)2312()21()21()2111(

2

2 pF

pY

pX

kkpdpMkpd

kpdkkpdpM

Et l’on obtient :

222 )21()2312)(2111(21

)(kpdkkpdpMkkpdpM

kpdp

FY

+−+++++++=

6.3.4. ETUDE D’UN SECOND DISPOSITIF MECANIQUE

On considère le dispositif mécanique suivant : x

k1

d2

bâti

M1d1 M2

F(t)

v1 v2yx

k1

d2

bâti

M1d1 M2

F(t)

v1 v2y

Soit le système mécanique ci-dessus. Ecrivons les différentes équations qui régissent son état.

FydxydyM

yxdxkxM

+−−−=−−−=

2)(12)(111

FpXdpYddYpM

pYdpXdXkXpM

=−++

=−++

1)21(2

011112

2

=

++−−++

)(0

)()(

.)21(21

11112

2

pFpY

pX

pddpMpd

pdkpdpM

Cette dernière équation permet de calculer les fonctions de transfert, e.g. )()( pFpY .

2222

2

2

2

2

1)212)(111(

)()111(

)21(211111

)(10111

)(pdpdpdpMkpdpM

pFkpdpM

pddpMpd

pdkpdpM

pFpd

kpdpM

pY−++++

++=

++−−++

−++

=

( )pdddpMkpdpMp

kpdpMp

FY

22

2

1)212)(111()111(

)(−++++

++=



6.3.5. ETUDE D’UN TROISIEME DISPOSITIF MECANIQUE

Considérons le système mécanique suivant combinant des éléments sans masse (ressorts et amortisseurs).

k1k2

d1

d2

esy

bâti

k1k2

d1

d2

esy

bâti

Mettons ce dispositif en équations.

Equations différentielles Transformées de LAPLACE

− − − − − − =k s e d s e d s y1 1 2 0( ) ( ) ( ) pYdpdkEpdpdkS 2)11()211( ++=++

− − − =k y d y s2 2 0( ) )22(2 pdkYpSd +=

+=

+−−−++

0)11(

)()(

.)22(2

2121 Ekpd

pY

pS

kpdpd

pdkpdpd

Calculons la fonction de transfert )( pES

)22(22121

)22(02)11(

)(

kpdpd

pdkpdpdkpd

pdEkpd

pS

+−−−++

+−−+

=

[ ] 2

2

2

2

2121

22

121

1

2121

)22

11

(1

2121222121

21)2121(21)(

pkkdd

pkd

kdd

pkkdd

pkd

kd

pddpdkkdkdkk

pddpdkkdkkp

ES

+

+++

+++=

+++++++=



6.3.6. ETUDE D’UNE SUSPENSION D’AUTOMOBILE

K D

k

Roue

m

Route

x

y

z

Ressort Amortisseur

Elasticitédu pneu

M

Chassis

F1

F2

K D

k

Roue

m

Route

x

y

z

Ressort Amortisseur

Elasticitédu pneu

K D

k

Roue

m

Roue

m

Route

x

y

z

Ressort Amortisseur

Elasticitédu pneu

M

Chassis

F1

F2

Le fonctionnement du dispositif apparaît clairement sur le schéma ci-contre.

Les grandeurs x, y et z sont des variations autour de la position d’équilibre 0x et 0y (route plane 0=z ).

Il s’agit de calculer la transmittance :

)()( pZX

pH =

Mise en équation.

[ ])()()(1 pZpYkpF −−=

[ ][ ])()( )(2 pYpXDpKpF −+−=

)(2)(1)(2 pFpFpYmp −=

)(2)(2 pFpXMp =

Traçons le graphe de fluence (Voir ci-après).

Y(p) F2 X(p)

2/1 mp 2/1 Mp

k−

)( DpK +

Z(p)

k

F1

)( DpK +−2/1 mp−

Appliquons la règle de MASON

∆∆

=i

iiTpH1

)( avec +−+−=∆j k l

lkjj k

kjj

j BBBBBB ...1

j

jB = 222)()(

Mp

DpK

mp

DpK

mp

k +−+−−

j k

kj BB = 4)(

mMp

DpKk +

iT = 4)(

mMp

DpKk +

i∆ = 1

4

2

)(

))((

1

Mmp

DpKkMmp

mMDpKkM

++

++++

=∆

kKkDppKmMKkMpmMDMmp

DpKkp

ZX

pH+++++++

+==234 )()(

)()()(



6.3.7. ENTRAINEMENT D’UNE CHARGE EN ROTATION

Inertie J k dθ

C

ressort viscance

Inertie J k dθ

C

ressort viscance

ouples2

2θθθθ dkCJ

dt

dJC −−==

Calculons la transformée de LAPLACE.

)(.)(.)()( 2 pJppdppkpC Θ=Θ−Θ−

kdpJpp

C ++=Θ

21

)(

6.3.8. TRANSMISSION MECANIQUE

Il s’agit d’étudier les conditions de transfert de l’énergie à travers un réducteur de rapport 1/n.

θcCmCc

Jm

θmRayon Rm

Rayon Rc

dc

dm

Jc

θcCmCc

Jm

θmRayon Rm

Rayon Rc

dc

dm

Jc

La charge de moment cJ est entraînée à travers le réducteur de rapport 1n

RR

m

c

c

m= =

θθ

a. Système d’équations :

Admettons que les frottements visqueux soient nuls.



Charge mJ Réducteur Charge cJ

mmm pJCC Θ=− 21 cm FRCFRC == 21 et C nC2 1=

ccmm RR Θ=Θ nR

R m

c

mmc

Θ==Θ=Θ

C J pc c22= .Θ

b. Etablissons le schéma fonctionnel

_+

12J pm

J pc2

Cm Θm

ΘcC2C1 1/n 1/n

_+

12J pm

J pc2

Cm Θm

ΘcC2C1 1/n 1/n

22

1

pn

JJ

C cm

m

m

+=Θ

Vu du côté arbre moteur le système est équivalent à une charge d’inertie 2n

JJJ c

mT +=

c. Cas où les frottements visqueux ne sont pas négligeables

Charge mJ Charge cJ

mmcmm pJpdCC Θ=Θ−− 21 cccc pJpdC Θ=Θ− 2

2

Le schéma fonctionnel correspondant est le suivant :

_+

12J pm

J pc2

Cm Θm

ΘcC2

C1

d pm

d pc

_

+

+

+

1/n 1/n

_+

12J pm

12J pm

J pc2J pc2

Cm Θm

ΘcC2

C1

d pmd pm

d pcd pc

_

+

+

+

1/n 1/n

En utilisant les règles de simplification des schémas fonctionnels on trouve sans difficulté la fonction de transfert du dispositif :

pn

ddp

n

JJ

CpH

cm

cm

m

m

++

+=

Θ=

22

2

1)(

Ce résultat met clairement en évidence le rôle d’adaptateur mécanique que joue le réducteur. Vu du côté arbre moteur le système est équivalent à : • une charge d’inertie J J J nT m c= + 2 ,

• des frottements visqueux de viscance d d d nT m c= + 2



d. Détermination du rapport de réduction optimal

Déterminons la valeur nopt de n tel que l’accélération de la charge soit maximale au départ lorsqu’on applique un échelon de couple moteur )(.0 tuCCm = .

12J p d pT T+

1n

Cm Θm Θc12J p d pT T+

1n

Cm Θm Θc

)()( 20

2

2

pdpJn

pC

pdpJn

Cp

TTTT

mc

+=

+=θ

TTTpc

t nJC

pdpJn

Cpt 0

20

2

0 )(lim)(lim =

+=

∞→→θ

Cherchons la valeur de n correspondant à :

[ ]m

copt

cm

cmT J

Jn

nJ

nJdnd

nJ

nJMinnJMin ==

+

+= 0

La technique des schémas fonctionnels peut paraître bien compliquée dès lors que la résolution directe des équations permet de calculer les transmittances directement et sans difficulté majeure. Cependant cette représentation doit être privilégiée car elle donne un contenu physique aux équations et « visualise » le rôle de chacun des termes. Ainsi dans l’exemple traité on perçoit sans difficulté le caractère « amortisseur » des frottements visqueux. La représentation des schémas fonctionnels permet aussi d’identifier le point d’insertion des perturbations.

6.4. NOTIONS D’ANALOGIES ELECTROMECANIQUES

6.4.1. GENERALITES

Bien qu’ancienne la technique des analogies électromécaniques mérite que l’on s’y arrête car elle facilite la mise en équation des systèmes mécaniques notamment lorsqu’ils sont complexes. En rapprochant les diverses lois physiques qui régissent les domaines électrique et mécanique, il est possible d’établir le tableau suivant. On distingue l’analogie force-tension (F≈ U) et l’analogie force-courant (F≈ I).

Grandeur mécanique Grandeur électrique F ≈ I Grandeur électrique F ≈ U

force (F) courant (I) tension

vitesse linéaire (v) tension (U) courant

viscance (k) conductance (G = 1/R) résistance

masse (M) capacité (C) inductance

souplesse d’un ressort (1/d) inductance (L) capacité

déplacement (x) flux magnétique (Φ) charge électrique

quantité de mouvement (Q) charge électrique (q) flux magnétique

énergie cinétique (Ec) énergie électrostatique (Es) énergie magnétique

énergie potentielle (Ep) énergie magnétique (Em) énergie électrostatique



L’analogie (F ≈ U) difficile à mettre en oeuvre, nous retiendrons dans ce qui suit l’analogie force-courant. Vérifions que l’ensemble est cohérent.

Mécanique Electricité v = F / d frottements visqueux U = I . R Q = M.v quantité de mouvement q = C.U P = F.v puissance mécanique P = U.I F = M.dv/dt relation fondamentale I = C.dU/dt

La relation fondamentale de la dynamique s’écrit Σforces = 0, y compris les forces d’inertie. La relation de KIRCHOFF appliquée à un nœud s’écrit Σcourants = 0. Ainsi à une force agissant sur un nœud mécanique on fait correspondre un courant aboutissant sur un nœud électrique.

Par définition :

• les bornes d’un ressort correspondent aux bornes de L ≈ 1/k,

• les bornes d’un amortisseur correspondent aux bornes de R ≈ 1/d,

• une des bornes d’une masse est son centre de gravité, l’autre est le bâti. Ainsi la capacité analogue de M a nécessairement une borne à la masse.

Illustrons la démarche par le schéma ci-contre :

vF

M

bâti

≈C ≈ M

U ≈ v

i ≈ F

vF

M

bâti

≈C ≈ M

U ≈ v

i ≈ FC ≈ M

U ≈ v

i ≈ F

6.4.2. EXEMPLES D’APPLICATION

a. Résonateur mécanique

k

M

bâti

v

dF ≈

C ≈ M, L ≈ 1/k, R ≈ 1/d

U≈

v

L RC

I ≈ F

k

M

bâti

v

dF ≈

C ≈ M, L ≈ 1/k, R ≈ 1/d

U≈

v

L RC

I ≈ F

La vitesse v de M est l’analogue de la tension V aux bornes de C. Par dualité on obtient le système équivalent dans l’analogie force-tension : • au circuit parallèle correspond un circuit série, • à la capacité une inductance • à la viscance une résistance de valeur d (inverse).

La vitesse v de M est l’analogue du courant I qui circule dans l’inductance.



Examinons un autre dispositif :

M

bâti

vd F ≈

C ≈ M, L ≈ 1/k, R ≈ 1/d

U ≈

v

L

CR

I ≈ F

k

M

bâti

vvd F ≈

C ≈ M, L ≈ 1/k, R ≈ 1/d

U ≈

v

LL

CR

I ≈ F

k

b. Protection contre les vibrations

k2

k1 d1

d2

boîtier de masse M2

C2 ≈ M2 C1 ≈ M1

L2 ≈ 1/k2 L2 ≈ 1/k2

R2 ≈ 1/d2 R1 ≈ 1/d1I≈ F

≈≈≈≈

M1

k2

k1 d1

d2

boîtier de masse M2

C2 ≈ M2 C1 ≈ M1

L2 ≈ 1/k2 L2 ≈ 1/k2

R2 ≈ 1/d2 R1 ≈ 1/d1I≈ F

≈≈≈≈

M1M1

Le bâti joue le rôle de source mécanique de force F. La tension aux bornes de C1 représente la vitesse de la masse M1.

6.5. MISE EN EQUATION DES ACTIONNEURS ELECTRIQUES

Le moteur électrique est un actionneur d’un emploi fréquent dans les systèmes asservis. C’est un convertisseur d’énergie électrique en énergie mécanique. Il en existe de toute taille, de toute puissance. Ils fonctionnent en courant continu ou alternatif. Les machines à courant alternatif, de type asynchrone, sont utilisées dans les asservissements à courants porteurs (non étudiés dans le cadre de ce cours). Nous limiterons notre exposé au fonctionnement des moteurs à courant continu.

6.5.1. LOIS FONDAMENTALES

La loi de LAPLACE indique que chaque élément de longueur dl d’un circuit électrique filiforme, parcouru par un courant i et plongé dans un champ d’induction B est soumis à une force :

BldiFd

Λ=

Lorsque le circuit se déplace le travail correspondant est égal dT i d= . Φ ( dΦ = flux coupé dans le déplacement).

La loi de LENTZ indique qu’une variation de flux dans un circuit fermé induit un courant dont le sens est tel qu’il crée une induction dont le flux à travers le circuit s’oppose à la variation de flux qui lui a donné naissance. La force électromotrice induite (fém) est égale à :

eddt

= − Φ



6.5.2. EQUATIONS GENERALES DES MOTEURS CONTINUS

Ces relations fondamentales étant rappelées, considérons le stator d’une machine sur lequel sont bobinés des conducteurs. Le champ d’induction est radial.

..

..

x

xx

x

.r

i

n brins de longueur l sont parcourus par le courant i. Le champ d’induction est radial.

α

dα

B

Calculons la variation de flux « vue » par un brin lorsqu’il exécute un demi tour.

BlrdBlr 2/

2/παϕ

π

π==

+

−

Le couple résultant pour n brins est égal à :

ikin

nrilB Γ===πϕγ

Mais les brins se déplaçant dans un champ sont le siège d’une force contre électromotrice.

mEm kn

dtd

nrlBdtd

e ωωπϕαϕ

====

Si les pertes sont nulles, c’est à dire si l’énergie électrique est totalement convertie en énergie mécanique, on peut écrire :

iePP emm === ωγ soit :

mEemm ikPikP ωω === Γ k k kE = =Γ

6.5.3. TRANSMITTANCE DU MOTEUR CONTINU COMMANDE PAR L’INDUIT

a. Schéma technologique

Considérons un moteur commandé par l’induit.

dT

θm

B

JT

γm

u(t)

i(t)

(r,l)

dT

θmθm

B

JT

γm

u(t)

i(t)

(r,l)



b. Equations déduites des lois de la physique

Equation électrique Equation de conversion Equation mécanique

u t r i li fcé m

u t r i li kE m

( ) .

( ) .

= + += + + ω

γ m k i= Γ . γ ω ωm T m T mJ d= +

(1)

U p rI p lpI p k pE m( ) ( ) ( ) ( )== + + Ω

(2)

Γ Γm p k I p( ) . ( )=

(3)

Γ Ω Ωm T m T mp J p p d p( ) ( ) ( )= +

c. Schéma fonctionnel

+_

pJd TT +1

U(p)

ΓkI(p) Γm(p) Ωm(p)

p1 Θm(p)

Ek

lpr +1

+_

pJd TT +1

U(p)

ΓkI(p) Γm(p) Ωm(p)

p1 Θm(p)

Ek

lpr +1

Ce schéma permet d’apprécier le rôle de chacun des termes (gains, constantes de temps), de calculer la fonction de transfert du moteur mais aussi d’introduire les perturbations de couple que l’on ramènera sur l’arbre moteur.

d. Calcul de la fonction de transfert.

+

+++

+

+=Θ

ΓΓ

Γ

Γ

1)(

2 pkkrdldrJ

pkkrd

lJp

kkrdk

pU

ET

TT

ET

T

ET

Plaçons-nous dans l’hypothèse ou k k kE = =Γ et posons :

• τ Elr

= = constante de temps électrique du moteur ;

• τ mTJ r

k= =

.2

constante de temps mécanique en charge du moteur.

Admettons enfin que 2krdT <<

ΘU

p k

p pr d

kpE m m

TE

( )(

.)

=+ + +

1

122

τ τ τ τ et comme généralement mE ττ <<

[ ]ΘU

p kp p pE m m E

( )( )

=+ + +

=

1

12τ τ τ τ

1

1 1k

p p pm E( )( )+ +τ τ



Soit plus simplement, pour certaines applications, négliger l’effet de la constante de temps électrique et poser Kv k= 1 / , auquel cas il vient :

ΘU

pKv

p pm( )

( )=

+1 τ

e. Courbes caractéristiques

Plaçons-nous en régime permanent.

ωm

γm

u1 u2 u3 > u2 > u3

0 ΩM

ΓM

Les équations sont :

=+=

Γik

kritu

m

mE

γω)(

γ ωmE

mk k

rkr

u= +Γ Γ

C’est l’équation des courbes caractéristiques du moteur. Elles permettent de déterminer τm connaissant JT

M

MTm J

ΓΩ=τ

6.5.4. TRANSMITTANCE DU MOTEUR CONTINU COMMANDE PAR L’INDUCTEUR

f. Schéma technologique

Considérons un moteur commandé par l’induit.

dT

θm! "$#&%(')#$*+ ')*(, - * JT

γm

u(t)

i(t)

').(/0 -

').(/1#&- *(/0,

(R, L)

#32)%, 45*6- 75- %8 *9, %(:;*('1<0*"3/0,38 = %,?>0, *9:;70- *(/5,

B

@1ACB$D E$FCG$@1ACF$H1G ECF$G

I0

dT

θmθm! "$#&%(')#$*+ ')*(, - * JT

γm

u(t)

i(t)

').(/0 -

').(/1#&- *(/0,

(R, L)

#32)%, 45*6- 75- %8 *9, %(:;*('1<0*"3/0,38 = %,?>0, *9:;70- *(/5,

B

@1ACB$D E$FCG$@1ACF$H1G ECF$G

I0

g. Equations déduites des lois de la physique

Equation électrique Equation de conversion Equation mécanique

iLRitu +=)( )(1 tik=ϕ

ϕγ 02Ikm = γ ω ωm T m T mJ d= +

)()()(.)(.)(

1 pIkp

pILppIRpU

=Φ+=

)()( 02 pIkpm Φ=Γ )()()( pdppJp mTmTm Ω+Ω=Γ



h. Schéma fonctionnel

pJd TT +1

U(p)021 Ikk

I(p) Γm(p) Ωm(p)

LpR +1

p1 Θm(p)

pJd TT +1

U(p)021 Ikk

I(p) Γm(p) Ωm(p)

LpR +1

p1 Θm(p)

i. Calcul de la fonction de transfert.

)1)(1()(

021

ppprd

Ikk

pU mE

T

ττ ++=Θ

avec τ ELR

= et τ mT

T

Jd

=

j. Courbes caractéristiques

En régime permanent 0021 u

RIkk

m =γ

• Ce moteur est un moteur couple. • La puissance mise en jeu dans l’inducteur est faible. • Sa constante de temps électrique est élevée. • Ce moteur est un moteur et un amplificateur. • Des difficultés existent pour réaliser la source I0.

ωm

u0

0

ΓM

ωm

u0

0

ΓM

u1

6.6. MISE EN EQUATION DES SYSTEMES HYDRAULIQUES

6.6.1. REGULATION DE NIVEAU D’UNE CUVE

a. Modélisation de la cuve

Considérons une canalisation où les pressions P1 et P2 existent de part et d’autre d’une vanne de réglage. La relation de BERNOULLI permet d’exprimer le débit Q circulant dans la canalisation en régime turbulent :

QP1 P2

I3J(K6KML(N)O5P6O0PQO0R(S5T U

VXWYY[Z

QP1 P2

I3J(K6KML(N)O5P6O0PQO0R(S5T U

VXWYY[Z

Q K P P= −1 2

K = coefficient de passage réglable par action sur la vanne.

Soit une cuve de section S, alimentée par un débit eQ et fournissant un débit sQ en sortie. Etablissons le modèle linéaire de ce dispositif.



Qe

P1 P2

P4P3

Qs

H

Q K P Pe = −1 1 2

Q K P Ps = −2 3 4

si P P2 4 0= = , KHP =3 et 1101 pPP +=

H H h= +0

Q Q q K Pe e e= + =0 1 1

HKPKqQQ sss 2320 '==+=

K K k1 10 1= +

K K k' ' '2 20 2= +

On peut linéariser autour du point de fonctionnement (indice 0) lorsque les variations sont petites. Le système d’équations linéaires correspondant est le suivant :

q k PK

Pp k pe = + = +1 10

10

101 1 1 1 1

2α β

hkhH

KHkqs 222

0

2002 '

2'

' βα +=+=

q q Sdhdte s− =

Equations établies à partir de :

dyyf

dxxf

dfyxf∂∂

∂∂ +=),(

Par exemple :

11

11

pPQ

kKQ

q eee ∂

∂∂∂

+=

Ce système constitue le modèle mathématique de la cuve pour des petites variations autour du point de fonctionnement. Etudions le fonctionnement en régulation de niveau.

b. Système en boucle fermée

• Schéma technologique :

Qe

P1 P2

P4P3

Qs

H0

ab

y

h

\;]_^_^_`1

\;]_^_^_`2

Qe

P1 P2

P4P3

Qs

H0

ab

y

h

\;]_^_^_`1

\;]_^_^_`2

Les équations du modèle de la cuve couplées à celles du dispositif de retour

yba

h= et k y1 = −µ

permettent de tracer le schéma fonction-nel de la régulation de niveau.



• Schéma fonctionnel

2'k

+ _

h0 = 0H

ab 1µα

p1

2β

h

+

++

+

_+ Sp1

2α1β

qe

qs

2'k

+ _

h0 = 0H

ab 1µα

p1

2β

h

+

++

+

_+ Sp1

2α1β

qe

qs

Cet exemple montre tout l’intérêt du schéma fonctionnel qui explicite, sans ambiguïté, les points d’insertion des perturbations (ici une variation de la pression d’alimentation de la vanne 1 et une variation de la fuite apportée par la vanne 2).

Ce schéma permet de calculer les différentes transmittances et d’ajuster les paramètres de réglage.

Calculons à titre d’exemple

aSba

p

Sp

PH

pT12

1

1

/)()( µαβ

β++

==



6.6.2. SERVOCOMMANDE HYDRAULIQUE

Le moteur hydraulique est capable de fournir une amplification en puissance importante. Il est utilisé pour déplacer des masses importantes.

a. Actionneur hydraulique

Le schéma technologique est le suivant :

BPBP

distributeurD

qB

qA

Σ

A B

Vérin

Vanne desurpression

AccumulateurHP

x > 0

y > 0

Pompe

Réservoir

BPBP

distributeurD

qB

qA

Σ

A B

Vérin

Vanne desurpression

AccumulateurHP

x > 0

y > 0

Pompe

Réservoir

• Lorsque x > 0 le tiroir du distributeur est déplacé vers la droite.

• Le liquide hydraulique haute pression (HP) est transmis sur la face B du piston de surface Σ.

• La face A du piston est reliée au circuit basse pression (BP).

• Sous la différence de pression (HP−BP) le piston est en mouvement et se déplace dans le sens des y > 0.

• Si x > 0 le piston se déplace dans l’autre sens. Calculons la fonction de transfert du piston libre. Nous négligeons la compressibilité du liquide hydraulique.



HP

BP BP

a[b c)dfegb h[i&dfj[i[e

D

qB

qA

Σ

A 2

V

x > 0

y > 0B

k i[e lnm[o0jS

PBPA

HPBP BP

a[b c)dfegb h[i&dfj[i[e

D

qB

qA

Σ

A 2

V

x > 0

y > 0B

k i[e lnm[o0jS

PBPA

La surface S des étranglements est proportion-nelle à x aussi S K x= 1 . Le débit du fluide hydraulique est ),( pxfQ = avec AB PPp −= . Ainsi :

pKxKppQ

xxQ

q px −=+=∂∂

∂∂

Soit M la masse du piston de surface Σ et D la viscance des frottements visqueux existant sur l’arbre moteur.

)(

)()(

)(

)()(

tyq

tyDK

qxKtyM

tyDptyM

p

x

Σ=

−−Σ=

−Σ=

xKK

tyK

DtyMp

x

p

Σ=

Σ++ )()(2

Soit

Σ+=

Σ+Σ=

+=

Σ++

Σ

=

2

2

2 avec

)1()(

p

p

p

xv

v

p

p

x

DK

MK

DK

KK

ppK

KDMpp

KK

pXY

ττ



b. Actionneur hydraulique asservi

axe dudistributeur

axe du vérin

a

b

x

e

y

h

xh

ea b

yb h

=+

=−

x yb

e ya b

ya b

+ = ++

=+

xb

a be

ab

y=+

−

+_

)1( ppKv

τ+

ba

Y(p)X(p)E(p)

bab++

_

)1( ppKv

τ+

ba

Y(p)X(p)E(p)

bab+

1()(

1)(

2 ++++

=p

aKba

paK

baab

pXY

vv

τ

c. Actionneur hydraulique asservi et filtré

pqsrut!vtw xsy z?w !vy rv!z

p!qsrutv|s z~w

a

b

x

e

z

h

kd

y

pqsrut!vtw xsy z?w !vy rv!z

p!qsrutv|s z~w

a

b

x

e

z

h

kd

y

xb

a be

ab

z=+

−

− − − =kz d z y( ) 0

Z pdk

pdk

p( ) =

+1

Négligeons la constante de temps τ du moteur.

+_

KpVb

a b+

ab

Y(p)X(p)E(p)

dk

pdk

p1+

Z(p)

+_

KpVb

a b+

ab

Y(p)X(p)E(p)

dk

pdk

p1+

+_

KpVb

a b+

abab

Y(p)X(p)E(p)

dk

pdk

p1+

Z(p)

)1(1

')(2

1

pTppT

KpEY

v ++= avec :

+++=

=

++=

v

v

vv

adKkbabad

T

kd

T

adKkbabkK

K

)()(

)('

2

1



6.6.3. EXEMPLE : REGULATION DE VITESSE D’UNE TURBINE.

HP

BP

BP

2

d

kθ

e

f f

x

z

y

l

a b

HP

BP

BP

2

d

kθ

e

f f

x

z

y

l

a b

Actionnée par de la vapeur, la turbine à gaz entraîne une charge (e.g. un alternateur pour la production d’énergie électrique) à une vitesse qui doit être constante.

Admettons que le système soit en régime établi autour d’un point de fonctionnement et qu’à l’instant t0 la charge entraînée en rotation par la turbine décroît (moins d’énergie électrique de consommée sur le réseau). La vitesse de rotation de la turbine croît alors de ω. Sous l’action de la force centrifuge les masselottes du régulateur de WATT s’écartent entraînant le levier de la servocommande (e > 0). Le vérin agit sur la vanne (y > 0) en réduisant le débit de vapeur. La vitesse de la turbine chute et rejoint sa valeur nominale (ω = 0). On notera qu’en fin de correction le déplacement e est nul alors que le déplacement y du vérin ne l’est pas. L’effet intégrateur de la servocommande explique cela. On appréciera l’impact de cette remarque sur la précision du système en régime permanent.

+ _ pτβ+1

Ω0 = 0

)1(1

'2

1

pTppT

K v ++

αE(p) Y(p) Ω(p)

+ _ pτβ+1

Ω0 = 0

)1(1

'2

1

pTppT

K v ++

αE(p) Y(p) Ω(p)

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