École Nationale Supérieure d’ingénieurs de ConstructionsAéronautiques

Master Recherche Energétique et Transferts

CALCULS THERMOACOUSTIQUESDANS LES CHAMBRES DE

COMBUSTION

Rapport de stageRef : WN/CFD/05/64

CLAUDE SENSIAUSeptembre 2005

Responsable : Thierry Poinsot

EQUIPE CFD - COMBUSTIONCENTRE EUROPÉEN DERECHERCHE ET DEFORMATION AVANCÉE EN CALCUL

SCIENTIFIQUE

Table des matières

1 Présentation du CERFACS et du groupe SAFRAN 91.1 CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en

Calcul Scientifique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Groupe SAFRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.2 L’organisation du groupe SAFRAN . . . . . . . . . . . . . . . .111.2.3 Les activités de la branche propulsion . . . . . . . . . . . . . . .111.2.4 Le site de Villaroche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2 Rappels Théoriques 132.1 Milieu non réactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.1.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.1.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2 Milieu réactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.2.1 Rappels sur les milieux réactifs . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.2.2 Equation d’onde en milieu réactif . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3 Notions d’instabilités thermo-acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . .192.3.1 Mécanismes d’instabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.3.2 Energie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3 Présentation de la chaîne de calcul QUIET 223.1 Equation de Helmholtz et AVSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.1.1 Les entrées du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233.1.2 Utilisation du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233.1.3 Problème aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.1.3.1 Problème aux valeurs propres sans flamme active . . .243.1.3.2 Problème aux valeurs propres avec flamme active . . .25

3.2 Simulations Navier Stokes : N3Snatur et AVBP . . . . . . . . . . . . . .253.3 Calculs d’impédance de tuyère : NOZZLE . . . . . . . . . . . . . . . . .28

4 Présentation de la configuration expérimentale 304.1 Chambre 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304.2 Chambre 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3

5 Influences des différents paramètres de la chaîne de calcul 345.1 Influence du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345.2 Influence de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5.2.1 Le swirler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395.2.2 Le plenum et la chambre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415.2.3 Le contournement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

5.3 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415.3.1 Effet de variation de vitesse du son moyenne . . . . . . . . . . .425.3.2 Effet d’inhomogénéïté de vitesse du son . . . . . . . . . . . . . .44

5.3.2.1 Inhomogeneïtés longitudinales . . . . . . . . . . . . .445.3.2.2 Inhomogeneïtés transverses . . . . . . . . . . . . . . .47

5.4 Influence de l’impédance en sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505.4.1 Effet d’impédance sur les modes longitudinaux . . . . . . . . . .515.4.2 Effet d’impédance sur les modes azimutaux . . . . . . . . . . . .55

6 Application de la chaîne QUIET sur chambre de combustion 606.1 Calcul de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

6.1.1 Chambre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .606.1.2 Chambre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.2 Calcul de la condition limite d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . .676.3 Calcul de modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

6.3.1 Chambre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .686.3.1.1 Conditions limites simples . . . . . . . . . . . . . . .686.3.1.2 Conditions limites d’impédance . . . . . . . . . . . . .73

6.3.2 Chambre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .766.3.3 Comparaison des chambres 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .78

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Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier Thierry Poinsot, mon tuteur pendant ce stage, pourses conseils, ses corrections et son exigence. Je remercie également Franck Nicoud, monfutur maître de thèse qui a également contribué à la réalisation de ce rapport ; les ingé-nieurs Snecma avec lesquels j’ai travaillé pendant le stage : Juan Carlos Larroya, CédricDubois ainsi que mon tuteur ENSICA Mr. Cazalbou.Enfin je voudrais exprimer ma reconnaissance aux doctorants et autres stagiaires de l’équipecombustion pour leur aide précieuse, et pour l’atmosphère chaleureuse qui règne au CER-FACS.

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Introduction

Contexte d’études :

Dans le contexte environmental et économique actuel, l’une des principales préoccu-pations des constructeurs de turbines aéronautiques concerne la réduction des emissionspolluantes. Cependant, la plupart des méthodes employées pour atteindre cet objectif pré-sentent l’inconvenient majeur de favoriser les instabilités de combustion et plus particu-lièrement les instabilités thermo-acoustiques. Ces méthodes font appel à des systèmes deprémélange d’air-carburant fonctionnant en richesse pauvre afin de limiter la consom-mation et l’apparition de flammes diffusives dont les hautes températures induisent laformation de polluants tels les oxydes d’azote (NOx) ou le monoxide de carbone (CO).Les conséquences de ce type de fonctionnement sont les suivantes :

– Du fait du mélange pauvre, les fluctuations de richesse peuvent amener la flamme endeçà de sa limite de flammabilité aboutissant ainsi à une succession d’extinctions-réallumages favorable à la résonance acoustique.

– La faible richesse induit une faible vitesse de flamme rendant cette dernière parti-culièrement sensible aux fluctuations de vitesse et donc potentiellement instable.

– Pour obtenir de faibles richesses, il est nécessaire de rediriger, dans le cas de tur-bines aéronautiques, une partie du flux initialement prévu pour la zone de dilutionvers le flux principal d’injection. L’atténuation acoustique conséquente à l’injectiond’air par les trous de dilution est donc réduite et par conséquent les instabilités ensont d’autant plus favorisées.

Ainsi, il en résulte une susceptibilité accrue de ces dispositifs aux instabilités thermoa-coustiques qui se manifestent concrètement par des fluctuations de pression d’amplitudeinacceptable (fatigue du matériel et parfois même dommages structurels) et par une re-montée de la flamme éventuellement fatale pour la turbine (phénomène dit de flashback).On comprend donc le regain d’intérêt actuel de la part des constructeurs concernés pource type de phénomène.

Objectif du stage :

Ces instabilités sont donc un problème majeur qui doit être pris en compte dans laconception et le développement des chambres de combustion. L’intérêt pour les moto-ristes est donc de mettre au point des méthodes prédictives pour comprendre, prédire etcontrôler ces dernières. Le but est de créer des chambres exemptes d’instabilités (dans lemeilleur des cas) et gagner du temps en évitant de coûteux essais au banc.Dans l’optique d’étudier les instabilités, le CERFACS a développé différents codes de cal-cul notamment AVSP et Soundtube. Ceux-ci permettent de déterminer les modes propresdes chambres de combustion. Une fois trouvés, ils peuvent être confrontés aux résultatsobtenus avec le code CFD compressible et réactif du CERFACS, nommé AVBP, afin decomprendre les instabilités détectées dans l’écoulement par celui-ci.

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L’objectif de mon stage est de participer à la mise en place d’une chaîne de calcul bap-tisé QUIET (QUantification of Instabilities and noisE in Turbines) dont l’objectif est deprédire les instabilités de combustion, du calcul de l’écoulement moyen, jusqu’à la déter-mination des modes instables et de leur fréquence.L’utilisation de cette chaîne de calcul nécessite plusieurs codes et plusieurs personnes. Ence qui me concerne je suis chargé d’utiliser le code AVSP qui, connaissant l’écoulementmoyen dans la chambre, résoud l’équation des ondes en milieu réactif et permet ainsi dedéterminer la présence éventuelle d’instabilités dues aux phénomènes acoustiques.Je poursuivrai ce stage par une thèse au CERFACS financée par la DGA pendant laquelleje serai amené à poursuivre le développement du code AVSP et de la chaîne de calculQUIET afin d’avancer dans la prédiction et dans la compréhension des phénomènes d’in-stabilités thermo-acoustiques.

Plan du rapport :

La première partie du rapport présente le laboratoire dans lequel j’ai effectué monstage : le CERFACS. On présente également le groupe SAFRAN, partenaire du CER-FACS qui a financé ce stage. Le deuxième chapitre rappelle les concepts théoriques né-cessaires à la compréhension de mon sujet. Dans le troisième chapitre sont présentés lesdifférents codes constituant la chaîne de calcul QUIET. On introduit dans le quatrièmechapitre les chambres de combustion qui ont été étudiées durant le stage. Les chapitrescinq et six sont des cas de calculs. Dans le chapitre cinq on aborde, sur un cas acadé-mique, les questions posées durant le stage sur des géométries complexes de chambres decombustion industrielles qui sont traitées en détails au chapitre six.

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Chapitre 1

Présentation du CERFACS et du groupeSAFRAN

1.1 CERFACS (Centre Européen de Recherche et de For-mation Avancée en Calcul Scientifique)

Le CERFACS, créé en 1987, est un centre de recherche internationalement reconnudans le domaine du calcul scientifique à haute performance. Les ressources financièresdu CERFACS proviennent en partie de corporations industrielles partenaires européennesfrançaises ou d’institutions publiques :

– EADS : 11%– EDF : 26%– CNES : 26%– METEO FRANCE : 26%– Snecma : 11%

Environ70 chercheurs de nationalités diverses, ainsi que des étudiants, travaillent sur desprojets nombreux et variés. Le CERFACS est constitué de cinq équipes :

– climatologie– traitement du signal– électromagnétisme– algorithme et calcul parallèle– mécanique des fluides numérique (CFD).

Cette dernière équipe est constituée de deux pôles de recherche : Aérodynamique et Com-bustion. J’effectue mon stage au sein de l’équipe Combustion. Ses activités principalessont :

– La Simulation Numérique Directe (DNS) pour l’étude des interactions flamme/turbulenceavec chimie complexe.

– La Simulation aux Grandes Échelles (LES) pour le mélange, les instabilités de com-bustion ainsi que les interactions flamme/paroi en combustion gazeuse et diphasiquegaz/liquide.

Les moyens de calculs disponibles au cerfacs sont les suivants :

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– CRAY xd1, 120 processeurs– COMPACQ AlphaServer SC45, 40 processeurs– SGI Origin 2000, 32 processeurs.

Le CERFACS est également connecté au réseau national RENATER (10Mb/s) ainsi qu’auréseau régional REMIP (1Gb/s).

1.2 Groupe SAFRAN

1.2.1 Historique

La société Snecma est née en 1945, après la seconde guerre mondiale, d’un regroupe-ment de motoristes français. Pour faire face à la concurrence étrangère le gouvernementfrançais nationalise la propulsion aéronautique et crée la Société Nationale d’Etude et deConstruction de Moteurs d’Aviation (Snecma).La société se développe, tout d’abord sur les marchés de la propulsion aéronautique mi-litaire puis civile avec le CFM56 en coopération avec General Electric. Cet essor estaccompagné d’un large développement industriel avec la création du groupe Snecma en2000. Ce dernier se développe dans les domaines de la propulsion aéronautique et spatialemais aussi dans le domaine des équipements aéronautiques.En 2005, le groupe Snecma est privatisé à l’occasion de la fusion avec la société SAGEM.Cette fusion donne naissance au groupe SAFRAN, le 11 mai dernier. Snecma Moteurs estalors renommée Snecma.

Quelques dates marquant l’histoire du groupe :

1905 : Création de la société Gnome et lancement des premiers moteurs à cylindres rota-tifs.1915 : Fusion des sociétés Gnome et Le Rhone pour donner naissance à Gnome et Rhone.Durant la première guerre mondiale, cette société se développe dans le domaine des mo-teurs d’avion, puis se diversifie1945 : Nationalisation de Gnome et Rhone et création de la Société Nationale d’Etudes etde Construction de Moteurs d’Aviation (Snecma)1948 : Premier moteur à réaction Snecma ATAR 101V.1968 : Début de la constitution du pôle équipements.1974 : Création de CFM International, partenariat entre General Electric et Snecma pourla conception et la production des moteurs CFM 561979 : Première commande du moteur CFM56, premier vol des moteurs Viking et HM7sur Ariane 1.1999 : Livraison du 10 000ème moteur CFM56 et livraison du 1 000ème moteur Vikingd’Ariane IV.2000 : Création de groupe Snecma, acquisition de Labinal (Turbomeca, Microturbo, câ-blages) et de Hurel-Dubois. L’ancienne Snecma devient Snecma Moteurs.2001 : Création de Hurel-Hispano.

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2002 : Acquisition de Aircelle.2005 : Fusion du groupe Snecma et SAGEM : création du groupe SAFRAN.

1.2.2 L’organisation du groupe SAFRAN

SAFRAN est un groupe international de haute technologie spécialisé dans quatre do-maines d’activité, la propulsion aérospatiale, la défense et la sécurité, les équipementsaérospatiaux et les télécommunications. Le Groupe compte près de 56 000 personnesdans plus de 30 pays, pour un chiffre d’affaires de 10,4 milliards d’euros. Composé denombreuses sociétés aux marques prestigieuses, le Groupe SAFRAN occupe, seul ou enpartenariat, des positions de premier plan mondial ou européen.

Le groupe SAFRAN est organisé en quatre branches :– Propulsion : Principales sociétés : Snecma, Snecma Services, Turbomeca, Techs-

pace Aero, Snecma Propulsion Solide– Équipements : Principales sociétés : Hispano-Suiza, Aircelle, Messier-Dowty, Messier-

Bugatti, Messier Services, Labinal.– Communication : Sagem Communication est présent dans deux grands domaines

d’activité : la communication mobile et la communication haut débit. La marquede téléphones mobiles Sagem est fortement présente sur les marchés mondiaux dela téléphonie mobile, grâce à ses innovations issues des nouvelles technologies decommunication.

– Défense Sécurité : Sagem Défense Sécurité.

1.2.3 Les activités de la branche propulsion

La branche Propulsion du Groupe SAFRAN rassemble toutes les activités liées auxsystèmes de propulsion des avions, hélicoptères, missiles et lanceurs, sur les marchés ci-vils, militaires et spatiaux. Les principaux domaines d’activités sont la conception, lesessais, la production, la commercialisation, la maintenance et la réparation. Seules ou encoopération, les sociétés de la branche Propulsion interviennent sur les plus grands pro-grammes aéronautiques et spatiaux nationaux, européens ou transatlantiques.

Des positions de premier plan :– N1 mondial pour la propulsion aéronautique des avions de plus de 100 places en

partenariat 50/50 avec General Electric N1 mondial pour les moteurs d’hélico-ptères (civil et militaire) N2 mondial pour la propulsion spatiale liquide et solideN4 mondial pour la propulsion aéronautique militaire.

– Les moteurs produits par le groupe couvrent une large gamme dans la propulsionaéronautique et spatiale, des moteurs de satellites d’une poussée de 8 grammes auxaccélérateurs d’Ariane V d’une poussée de 650 tonnes.

– Dans le domaine des moteurs civils, Snecma travaille depuis une quarantaine d’an-nées en coopération avec General Electric, les deux entreprises s’étant associées à

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parts égales dans CFM International, qui produit et assure le soutient de la gammedes moteurs de moyenne poussée CFM56. Snecma est également partenaire de Ge-neral Electric sur les moteurs à forte poussée (CF6-80C, CF6-80E1, GE90, PW7000)destinés aux avions gros et très gros porteurs. Enfin, Snecma a conçu et produit avecRolls-Royce le moteur Olympus du Concorde.

– Dans le domaine militaire, Snecma s’est d’abord fait connaître avec la famille desmoteurs ATAR, qui ont été produits depuis la fin des années 50 jusqu’au début desannées 90 et équipent les avions Dassault Mirage III, IV, V et F1. Ensuite, le moteurM53-P2 a été développé pour le Mirage (près de 10 tonnes de poussée en PG PC).Ce moteur est toujours produit aujourd’hui.

– Développé avec Turbomeca, à la fin des années 60, le moteur Larzac est un " pe-tit moteur " (1,4 tonne de poussée) qui équipe les AlphaJet de l’Armée de l’Airfrançaise et ceux de cinq autres pays dans le monde.

– Enfin le turboréacteur M88-2 (7,5 tonnes de poussée en PG PC) équipe les diffé-rentes versions du Rafale en service aujourd’hui dans la MARINE et l’Armée del’air.

– Aujourd’hui Snecma participe au programme TP 400, en coopération avec Rolls-Royce, MTU Aéro engines et ITP, destiné à concevoir, développer et produire leturbopropluseur motorisant le futur avion de transport militaire européen, l’A400M.

– D’autre part Snecma a engagé avec le motoriste russe NPO Saturn le programmeSaM146 destiné à motoriser le futur avion de transport régional RRJ développé parl’avionneur russe Sukkoï.

– Dans le domaine spatial, Snecma développe les moteurs à propergols liquides dulanceur Ariane V (Moteurs Vulcain et HM7). Snecma développe également unegamme de propulseurs pour satellites (propulsion plasmique).

1.2.4 Le site de Villaroche

Le site de Villaroche, créé en 1947, regroupe près de 4600 personnes dont65% d’in-génieurs et de techniciens. Il comprend les activités de recherche et de développement,l’ensemble des moyens d’essais au sol, les lignes d’assemblage et de réception des mo-teurs civils et militaires.

Ce site regroupe la direction technique qui comprend notamment la Division Chambreet Arrière-corps (YR) en charge de l’étude et de la conception des chambres de combus-tion et des systèmes de réchauffe. Cette division est composée de 3 départements :

– département Chambre de combustion– département Arrière-corps– département Méthodes et outils de conceptionMon stage, financé par le groupe SAFRAN, s’est déroulé au CERFACS en partenariat

avec le département Méthodes et outils de conception.

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Chapitre 2

Rappels Théoriques

Ce chapitre introduit les concepts théoriques nécessaires à la compréhension de monsujet de stage. Ces concepts sont détaillés dans [1].On rappelle dans un premier temps les résultats classiques de l’acoustique linéaire en mi-lieu non réactif, en particulier l’équation des ondes dans l’espace spacio-temporel puisdans l’espace spacio-fréquentiel, où elle est appelée équation de Helmholtz [4][5].Ces résultats sont ensuite étendus au cas des milieux réactifs rencontrés dans une chambrede combustion, où, comme on le verra, l’influence des fortes variations de températureainsi que la prise en compte de la flamme comme élément acoustiquement actif appa-raissent explicitement dans l’équation de Helmholtz.La problématique des conditions aux limites est également abordée, et sera utile pour lacompréhension de mon stage : cas des grandes longueurs d’ondes en milieu confiné.Enfin sera présenté le concept d’énergie acoustique, sans s’étendre plus sur l’aspect théo-rique des instabilités de combustion. Si c’est un sujet que je devrai traiter en détail pendantma thèse, il sort du cadre de l’étude menée pendant le stage.

2.1 Milieu non réactif

2.1.1 Equation d’onde

On établit les équations classiques de l’acoustique linéaire sous les hypothèses sui-vantes :

– H0 : pas de combustion.– H1 : pas de forces de volume (fk = 0)– H2 : pas de sources de chaleur volumique (Q=0)– H3 : le fluide est non visqueux et les parois glissantes– H4 : acoustique linéaire : les fluctuations indexées ’1’ sont faibles devant les gran-

deurs moyennes indexées ’0’ :p1 << p0, u1 << c0, ρ1 << ρ0

– H5 : l’écoulement est isentropique, l’équation de l’énergie peut donc être rempla-cée par la relation suivante (Cv est constante) :

p

ργ= e

S0Cv (2.1)

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Sous ces hypothèses les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouve-ment et de l’énergie deviennent :

∂ρ

∂t+∇.(ρ~u) = 0 (2.2)

ρ∂~u

∂t+ ρ~u∇~u = −~∇p (2.3)

p = ργeS0Cv (2.4)

On s’interesse dans un premier temps aux équations de conservation de la masse et de laquantité de mouvement.On décompose chaque grandeur comme la somme d’une grandeur moyenne et d’une fluc-tuation,p = p0 + p1, ρ = ρ0 + ρ1, u = u0 + u1, et on ne garde que les termes à l’ordre 1.On obtient alors le système suivant :

∂ρ1

∂t+∇.ρ0 ~u1 +∇.ρ1 ~u0 = 0 (2.5)

ρ0∂ ~u1

∂t+ρ1

∂ ~u0

∂t+ρ0 ~u0∇. ~u1 +ρ0 ~u1∇. ~u0 +ρ0 ~u1∇. ~u1 +ρ1 ~u0∇. ~u0 +ρ1 ~u0∇. ~u1 + ~∇p1 = 0

(2.6)On fait maintenant une hypothèse supplémentaire :

– H6 : on considèreu0 = 0, hypothèse dite de Mach nul.

La conservation de la masse et de la quantité de mouvement deviennent alors :

∂ρ1

∂t+ ρ0∇. ~u1 = 0 (2.7)

ρ0∂ ~u1

∂t+ ~∇p1 = 0 (2.8)

On s’interesse maintenant à l’équation de l’énergie en écoulement isentropique :

p

ργ= K ⇒ p0

ρ0

= Kργ−10 (2.9)

En utilisant la dérivée logarithmique :

p1

p0

− γρ1

ρ0

= 0 (2.10)

On multiplie parp0, il vient :

p1 − γp0

ρ0

ρ1 = 0. (2.11)

La vitesse du son dans les gazs parfaits :

c20 =

√γrT =

√γ

p0

ρ0

, (2.12)

On obtient donc la relation :p1 = c2

0ρ1 (2.13)

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En utilisant les équations (2.7), (2.8), (2.13) on obtient finalement les équations classiquesde l’acoustique linéaire :

1

c20

∂p1

∂t+ ρ0∇. ~u1 = 0 (2.14)

ρ0∂ ~u1

∂t+ ~∇p1 = 0 (2.15)

Ce système peut se mettre sous la forme d’une équation d’onde sur la fluctuation depressionp1 :

∆p1 − 1

c20

∂2p1

∂2t= 0 (2.16)

En considérant les fluctuations comme des oscillations harmoniques :

p1 = pe−iωt

on obtient alors l’équation de Helmholtz spatio-fréquentielle où le temps n’apparaît plusexplicitement et dont les inconnues sont l’amplitude complexep et la pulsation complexeω = kc0 :

∆p + k2p = 0 (2.17)

2.1.2 Conditions limites

Les problèmes d’instabilité acoustique dans les chambres peuvent être modélisés pardes problèmes basses fréquences dans des milieux confinés. En effet les longueurs d’ondesqui interviennent dans ce type de phénomène sont de l’ordre de la dimension principalede la chambre de combustion. On considère donc les ondes comme planes et en inci-dence normale sur les parois de la cavité. Dans ces conditions, on s’interesse au problèmesuivant : une cavité 1D de dimension L, dans laquelle se propage une onde monodimen-sionnelle, voir figure 2.1.

0 Lz

A(t−z/c0)+

)0A(t+z/c−

FIG. 2.1 – cavité 1D

L’équation d’onde régissant l’évolution de la fluctuation de pression est la suivante :

∂2p1

∂z2− 1

c20

p1

∂t2= 0 (2.18)

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La solution de cette équation est la superposition de deux ondes, l’une évoluant vers les zpositifs, l’autre vers les z négatifs :

p1 = A+(t− z

c0

) + A−(t +z

c0

) (2.19)

u1 =A+

ρ0c0

(t− z

c0

)− A−

ρ0c0

(t +z

c0

) (2.20)

On définit R le coefficient de réflection :

R =onde reflechie

onde incidente(2.21)

Si l’on fait l’hypothèse suivante d’onde harmonique

p1 = pe−iωt

les coefficients de réflection s’expriment alors de la façon suivante :

– enz = 0

R0 =A+

A− (2.22)

– enz = L

RL =A−

A+e−2ikL (2.23)

Une autre façon de caractériser la réflection d’une onde est de définir l’impédanceréduite de la façon suivante :

Z =1

ρ0c0

p

~u.~n(2.24)

Cette condition aux limites d’impédance a le même contenu physique que le coefficientde réflection défini précédemment, on obtient la relation entre coefficient de réflection etimpédance :

Z =R + 1

R− 1(2.25)

2.2 Milieu réactif

En ce qui concerne les milieux réactifs l’établissement de l’équation d’onde est unetâche plus complexe même si le cheminement reste le même qu’en milieu non réactif.Dans cette partie on rappelle brièvement les quelques définitions propres aux milieux ré-actifs dont on aura besoin dans la suite du rapport.Les grandes lignes de la démonstration menant à l’équation de Helmholtz en milieu ré-actif sont ensuite présentées. Cette équation est fondamentale pour la compréhension demon stage. En effet le code AVSP, qui est l’outil principal utilisé durant le stage, résoudcette equation par une méthode de discrétisation.Pour plus de détails sur l’établissement de cette équation voir [1].

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2.2.1 Rappels sur les milieux réactifs

Dans le cadre des écoulements fluides réactifs, le milieu est composé de plusieursespèces. Pour quantifier cette composition, on introduit la notion de fraction massique. Onconsidère N espèces contenues dans un milieu de volume V. On appelle fraction massiquede lajime espèce, la grandeurYj défini par :

Yj =mj

m(2.26)

où mj est la masse de l’espècej présente dans le volumeV et m la masse totale duvolume.On définit égalementCpk la capacité calorifique à pression constante de l’espècek de lafaçon suivante :

Cp =N∑

k=1

CpkYk (2.27)

et l’enthalpie de l’espècek par :

hk = hsk + hk,formation (2.28)

où l’enthalpie sensiblehsk s’exprime ainsi :

hsk =

∫ T

T0

CpkdT (2.29)

2.2.2 Equation d’onde en milieu réactif

Nous faisons les hypothèses suivantes :– H1 : pas de forces de volumefk = 0– H2 : pas de source de chaleur volumique (Q=0)

Le fluide est maintenant supposé visqueux. L’écoulement n’est, bien sur, pas isentropique,et les variations d’énergie sont prises en compte via l’équation de la température (Cp, Cv,et doncγ sont constantes). Les équations de conservation de la masse, de la quantité demouvement et de l’énergie prennent la forme suivante :

Dρ

Dt+ ρ∇.~u = 0 (2.30)

ρD~u

Dt= −~∇p + ~∇.τ (2.31)

ρCpDT

Dt= ω

′T +

Dp

Dt+ τ : ∇~u− (ρ

N∑

k=1

CpkYk~Vk).~∇T (2.32)

avec :

– ω′T : taux de dégagement de chaleur due à la combustion

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– τ : ∇~u : taux de dégagement de chaleur due aux frottements visqueux (négligeableà bas Mach)

– (ρ∑N

k=1 CpkYk~Vk).~∇T : échange d’énergie (enthalpie) entre particules fluides par

diffusion moléculaire (~Vk est la vitesse de diffusion de l’espècek).

– r = R/W avecR = 8.314 J/(kgK) la constante des gazs parfaits,W la massemolaire du mélange.

A partir de ce système d’équations on établit l’équation des ondes en milieu réactif (cf[1]) :

∇.(c20

γ∇ln(p))− D

Dt(1

γ

D

Dtln(p)) = ∇.(

1

ρ∇.τ)

− D

Dt[

1

ρCpT(ω

′T +

Dp

Dt+ τ : ∇~u− (ρ

N∑

k=1

CpkYk~Vk).~∇T )]− D

Dt(D

Dtln(r))−∇~u : ∇~u

On peut, dans cette équation, simplifier un certain nombre de termes par une analyse desordres de grandeur. L’ordre de grandeur d’une longueur d’onde acoustique caractéristiqueest deLac ≈ 1m et, compte tenue de la vitesse du son caractéristique de l’ordre de 500m/s,Tac ≈ 2∗10−3s. Le coefficient de diffusion thermique de l’air à 1600K valant typiquementDth ≈ 3 ∗ 10−4m2/s, on en déduit donc que :

Lth =√

DthTac ≈ 8 ∗ 10−4m (2.33)

Sachant que les valeurs des nombres de PrandlPr = νDth

et LewisLe = Dth

Dmolsont de

l’ordre de l’unité dans le contexte étudié, il apparaît donc que :

(Lth, Lvis, Lmol) << Lac (2.34)

Ce qui justifie l’hypothèse suivante :H3 : les phénomènes diffusifs (viscosité, diffusion thermique, diffusion moléculaire) asso-ciés aux fluctuations acoustiques sont négligeables devant ceux associés aux grandeurscaractéristiques.On fait également les hypothèses :H4 : la pression moyenne varie suffisamment faiblement pour négliger les thermes faisantintervenir les gradients de celle-ci.H5 : masse molaire identique pour toutes les espèces (Wi = Wj,∀i, j = 1..k).

∇.(c20

γ∇ln(p))− D

Dt(1

γ

D

Dtln(p)) =

D

Dt(

1

ρCpTω′T ) (2.35)

H6 : Mach de l’écoulement moyen est nul.Sous cette hypothèse, les dérivées convectives sont du second ordre par rapport aux déri-vées temporelles.Soit

f = eikx−iωt (2.36)

18

alorsDf

Dt=

∂f

∂t+ u

∂f

∂x= (−iω + uik)f = −iω(1−M)f (2.37)

donc pour les faibles nombres de MachDfDt

peut être approximé par∂f∂t

∇.(c20∇ln(p))− ∂2

∂t2ln(p) =

∂

∂t(

γ

ρCpTωT ) (2.38)

On décompose la pression comme la somme d’une grandeur moyenne et d’une fluctua-tion, p = p0 + p1 avecp1 << p0 , on utilise H4, on obtient alors le système suivant :

∇.(c20∇p1)− ∂2

∂t2p1 = −(γ − 1)

∂ωT

∂t. (2.39)

On considère les grandeurs fluctuantes comme oscillations harmoniques :

p1 = pe−iωt et ωT = Ω′T e−iωt

et on obtient l’équation de Helmholtz en milieu réactif :

∇.(c20∇p) + ω2p = iω(γ − 1)Ω

′T (2.40)

Nous pouvons faire deux remarques importantes sur cette équation :

– On note que le champs moyen de vitesse du sonc0 reste dans la divergence, car lesfortes variations de température au sein de l’écoulement moyen induisent de fortesvariations de vitesse du son.

– Le second membre de l’équation contient un terme instationnaire de fluctuationsdu taux de dégagement de chaleur. Si cette fluctuation de taux de dégagement dechaleur se couple avec les fluctuations de pressionp1 on court le risque de rencon-trer des instabilités de combustion, si l’énergie acoustique alors produite n’est passuffisamment évacuée par les conditions limites.

2.3 Notions d’instabilités thermo-acoustiques

2.3.1 Mécanismes d’instabilités

La clef du mécanisme de ce type d’instabilité réside dans le couplage entre fluctua-tions du dégagement de chaleur et fluctuations acoustiques. D’une part les fluctuationsde pression influencent les fluctuations du dégagement de chaleur et d’autre part ces der-nières gênèrent à leur tour des fluctuations de pression d’où la boucle potentiellementinstable de la figure 2.2.

Ce schéma illustre la boucle d’instabilité thermo-acoustique et peut s’expliquer par lesphénomènes suivants :

19

q’

p’

AcoustiqueCombustion

FIG. 2.2 – boucle d’instabilité thermo-acoustique

– Action du dégagement de chaleur sur l’acoustique :Le dégagement de chaleur induit une augmentation de pressionp

′qui vient donc

s’additionner avec la fluctuation de pression acoustique incidente sur la flamme.

– Action de l’acoustique sur le taux de dégagement de chaleur :L’acoustique peut influer de différentes façons sur le taux de dégagement de chaleur.On donne ici quelques exemples pour fixer les idées :– Fluctuations purement cinématique du front de flamme : on considère la situation

académique d’une flamme conique, parfaitement prémélangée dont l’écoulementlaminaire est soumis à des perturbations acoustiques. La fluctuation du taux dedégagement de chaleur en un point donné de la configuration résulte des varia-tions de la position du front de flamme. Ces variations cinématiques du frontde flamme surviennent en raison des variations de la vitesse de l’écoulement auniveau de la flamme.

– Fluctuations induites par des structures tourbillonnaires : considérons le cas aca-démique de la marche où l’élargissement brusque crée un fort cisaillement. Si lesfluctuations acoustiques incidentes sont d’intensités suffisantes on peut assisterà la formation de structures cohérentes. Ces dernières sont alors convectées jus-qu’à la flamme où elles peuvent induire une perturbation du front de flamme, oùmême piéger et convecter une poche de carburant qui ne finira de brûler qu’aprèsun certain délai.

– Fluctuations de richesse : ces fluctuations apparaissent lorsque les lignes d’ali-mentations en carburant et en air répondent de façon différente à une perturbationacoustique. La perturbation de richesse est alors convectée jusqu’à la flamme oùelle induit une fluctuation du dégagement de chaleur.

– Fluctuations d’atomisation et de vaporisation des gouttelettes de carburant.

Ici ne sont cités que les principaux mécanismes d’instabilités thermo-acoustique. Remar-quons également qu’une instabilité repérée dans une chambre de combustion peut égale-

20

ment être d’une nature complètement différente. Citons par exemple :

– les instabilités purement hydrodynamiques : comme dans le cas académique de lamarche vu précédemment les instabilité hydrodynamiques se manifestent par l’ap-parition de structures tourbillonnaires. La génération de ces tourbillons peut surve-nir du fait du cisaillement (instabilité de Kelvin-Helmholtz) présent dans l’écoule-ment au niveau de l’admission d’air et de carburant, ou du mélange dans la chambre.

– Les instabilités de couplage fluide-structure : lorsqu’un mode vibratoire de la struc-ture est excité par les fluctuations de l’écoulement.

2.3.2 Energie acoustique

Revenons maintenant au cas des instabilités thermo-acoustiques résultantes d’un mé-canisme de couplage entre fluctuations de pression et fluctuations du taux de dégagementde chaleur.On définit l’énergie acoustiquee

′de la façon suivante :

e′=

1

2ρ~u′

2+

1

2

p′2

ρc2 (2.41)

On peut alors obtenir une équation bilan pour cette quantité :

∂e′

∂t+∇.f =

γ − 1

γpp′q′

(2.42)

avecf = p′u′le flux acoustique local.

L’énergie acoustique globaleE′du domaine d’étudeΩ est alors obtenue en intégrant cette

équation sur l’ensemble du domaine. Il vient :

∂E′

∂t+ F

′= S

′(2.43)

avecF′le flux au bordΓdu domaine :

F′=

∫

Γ

~f.(~next)dS, (2.44)

etS′le terme source acoustique global :

S′=

∫

Ω

γ − 1

γpp′q′dV. (2.45)

On note que dans le cas particulier où les conditions aux limites correspondent à des murs(~u′ .~n = 0), ou une ouverture sur l’atmosphère (p

′= 0), le flux acoustique sur les bords du

domaine est nulF′= 0. Si de plus, le système ne comporte pas de flamme activeS

′= 0

l’énergie acoustique globale reste constante ; le mode est dit marginalement stable.

21

Chapitre 3

Présentation de la chaîne de calculQUIET

Comme il est dit dans l’introduction, les industriels souhaiteraient posséder des ou-tils permettant d’appréhender les problèmes d’instabilités de combustion dès la phase deconception de la turbine ou de la turbomachine. L’objectif serait de simuler l’écoulementdirectement à partir d’une CAO et de détecter ainsi si la chambre de combustion est sujetteaux instabilités thermo-acoustiques. Dans le cas où la simulation mettrait en évidence cetype de phénomène, il serait bien plus facile et bien moins coûteux de refaire une nouvelleCAO et de recommencer ce processus avant la construction du premier prototype. Si lasimulation numérique ne peut en aucun cas remplacer les essais, elle peut en réduire lenombre. L’intérêt économique de tels outils est donc évident.Afin de répondre à ces attentes, l’équipe combustion du CERFACS développe depuisquelques années plusieurs codes. L’objectif est qu’ils constituent les maillons d’une chaînede calcul capable de simuler l’ensemble des phénomènes responsables de la présence d’in-stabilités thermo-acoustique. Cette chaîne de calcul est baptisée QUIET (QUantificationof Instabilities and noisE in Turbines).

Dans cette partie sont présentés les différents codes constituant la chaîne de calculQUIET, leur rôle dans cette chaîne et la raison de ces choix. Je présente tout d’abord lesolveur de modes propres acoustique AVSP qui est l’outil principal utilisé pendant monstage.

3.1 Equation de Helmholtz et AVSP

AVSP est un code développé au CERFACS dans le cadre de la thèse de Laurent Benoîtet sous la direction de Franck Nicoud depuis2001 [2]. L’objectif de ce code est de déter-miner les modes thermo-acoustiques tridimensionnels pour une géométrie complexe, enparticulier des chambres de combustion industrielles.Il faut donc déterminer les fréquences propres et les vecteurs propresp qui vérifientl’équation d’Hemholtz en milieu réactif établie au chapitre 1 :

∇.(c20∇p) + ω2p = iω(γ − 1)Ω

′T (3.1)

22

ainsi que les conditions aux limites associées, qui peuvent être de trois types :– fluctuation de pression nullep = 0,– fluctuation de vitesse normale nulle~u.~n = 0,

– impédanceZ =p

ρ0c0~u.~n

.

Une remarque importante est que l’on se focalise sur les fluctuations acoustiques corres-pondantes aux premières harmoniques du système ; autrement dit on fait l’hypothèse desgrandes longueurs d’onde (c’est à dire de même ordre de grandeur que les dimensions dela configuration étudiée).Par conséquent le maillage requis pour la discrétisation de l’équation de Helmholtz réactifsera considérablement moins dense qu’un maillage de simulation LES ou même URANS.Typiquement une configuration correspondant à une turbine à gaz entière nécessiteraquelques dizaines de milliers de points au lieu de plusieurs millions ou même plusieursdizaines de millions dans le cas d’une simulation instationnaire réactive classique.Le code AVSP est parallèle ; il permet d’étudier le comportement acoustique de configu-rations industrielles en quelques dizaines de minutes tout au plus quelques heures.

3.1.1 Les entrées du code

Le code prend en compte l’aspect réactif de l’écoulement :– la forte variation de température due à la réaction de combustion :

En effet, la vitesse du sonc0 est à l’intérieur de la divergence, les fortes variationsde température induisent de fortes variations de vitesse du son ; ce qui interdit desortir c0 de l’opérateur divergence pour former un laplacien comme dans le cas del’équation d’onde en milieu non réactif.Notons que la vitesse du sonc0 est pour AVSP une entrée ; le champc0 doit êtredéterminé au préalable par un calcul RANS ou LES réactif.

– La présence de la flamme active via le taux de dégagement de chaleur :On remarque la présence d’un terme au second membre (c’est la fluctuation detaux de dégagement de chaleur). Ce terme source est responsable d’instabilités decombustion. Ici aussi ce taux de dégagement de chaleur est une entrée pour AVSP.Déterminer un modèle de fonction de transfert de flamme, c’est à dire une relationentre fluctuations acoustiques et les fluctuations du taux de dégagement de chaleurdu type :

ˆΩ = H(u.~n, p) (3.2)

reste la clef du problème.

3.1.2 Utilisation du code

Deux approches de complexité croissante sont possibles.– On peut dans un premier temps ne pas tenir compte des effets de combustion ins-

tationnaire c’est à dire annuler le second membre de l’équation 3.1. Cette approcherevient à déterminer les modes propres du brûleur en prenant en compte la présencede la flamme via le champ de température moyen mais en négligeant la flammecomme élément actif acoustiquement.

23

– Dans un second temps on peut prendre en compte l’aspect actif de la flamme si l’ondispose d’un modèle de flamme active.

Compte tenu des hypothèses de linéarisation mentionnées dans le chapitre II ayant servipour établir l’équation (3.1), AVSP n’est valide que dans le cadre linéaire. Il ne peut doncpas être utilisé pour déterminer l’amplitude des modes une fois le cycle limite atteind.En effet les phénomènes non linéaires sont dans ce cas prépondérants. On peut cependantdéterminer le taux d’amplification du mode, ce qui est une information suffisante pourdétecter une instabilité thermoacoustique.

3.1.3 Problème aux valeurs propres

Cette partie introduit brièvement la méthode de résolution de l’équation de Helmholtz(3.1).

3.1.3.1 Problème aux valeurs propres sans flamme active

a) Conditions aux limites simples :

On appelle conditions aux limites simples les conditions aux limites de type Dirichletou Von-Neumann ne dépendant pas de la fréquence, du typeu

′= 0 surΓu ou p

′= 0 sur

Γp.Après discrétisation et prise en compte des conditions limites simples, on obtient le pro-blème aux valeurs propres suivant :

Ap = −ω2p = λp (3.3)

où p est le vecteur de pression acoustique en chaque point du maillage. A est la ma-trice d’opérateur∇.c2

0~∇(), elle inclut également les conditions aux limites simples. On ne

cherche à capturer que les basses fréquences c’est à dire les plus petites valeurs propres duspectre. On utilise donc une méthode d’Arnoldi qui est implémentée dans le code via lalibrairie ARPACK développée par des professeurs de Huston au Texas [7]. Le principe dela méthode réside en des itérations successives de la matrice A sur un sous espace vecto-riel. C’est une extension de la méthode dite de la puissance qui par itérations successivesde la matrice A permet de déterminer la plus grande valeur propre et son vecteur propreassocié. Grâce à un traitement algébrique particulier incluant une étape de réorthogonali-sation de la base, le sous espace converge vers le sous espace propre associé aux valeurspropres recherchées.

b) Condition limite d’impédance :

D’après l’équation d’Euler linéarisée, et en utilisant l’hypothèse d’onde harmonique,on obtient :

iωρ0~u = ~∇p. (3.4)

24

Par définition de l’impédance :

Z =p

ρ0c0~u.~n

, (3.5)

on obtient donc :

Z = iωp

c0~∇p.~n

. (3.6)

On remarque donc que l’impédance dépend de la pulsationω qui est la valeur propre denotre problème. Le problème aux valeurs propres prend donc la forme suivante :

Ap + ωCzp + ω2Ip = 0. (3.7)

A représente la partie correspondante au domaine intérieur et aux conditions limitessimples de l’opérateur∇.c2

0~∇(), tandis queωCz est la partie correspondant aux condi-

tions limites d’impédance.Le problème aux valeurs propres n’est plus linéaire mais polynômial ; en utilisant le chan-gement de variables suivant :

M =

−Cz −A

I 0

(3.8)

y =

ωp

p

(3.9)

On peut mettre le problème aux valeurs propres sous la forme :

My = ωy. (3.10)

On peut ainsi de cette façon utiliser la même méthode pour résoudre ce problème au prixd’un doublement de la taille du problème. En pratique lorsque l’on impose une conditionlimite d’impédance sur un bord le temps de calcul augmente fortement (environ 2 foisplus long).

3.1.3.2 Problème aux valeurs propres avec flamme active

Dans ce cas, contrairement à la situation avec impédance, le type de non linéaritéen ω n’est pas polynômiale. Il n’existe donc pas de changement de variable permettantl’utilisation de la méthode d’Arnoldi vue précédemment. Actuellement, on utilise pourrésoudre ce problème une méthode itérative de point fixe détaillée dans [2] ou bien uneméthode asymptotique décrite dans [3].

3.2 Simulations Navier Stokes : N3Snatur et AVBP

Comme on vient de le voir, le champ de vitesse du son est une entrée pour le solveuracoustique. Il faut donc au préalable connaître l’écoulement dans la chambre de combus-tion et plus particulièrement les champs de température et la valeur deγ etr en tout point

25

de la chambre.Nous avons dans ce but à notre disposition au CERFACS deux codes capables de simulerdes écoulements réactifs :

– AVBP qui est un code développé par le CERFACS depuis une dizaine d’années.AVBP est un code de calcul parallèle résolvant les équations de Navier-Stokes3D pour des fluides compressibles en écoulement laminaire ou turbulent, réactifs,multi-espèces, gazeux ou diphasiques (liquide-gaz) en LES ou DNS. La résolutionse fait sur des maillages structurés, non structurés ou hybrides. Les schémas numé-riques employés sont du type Lax-Wendroff, Taylor-Garlerkin.

– N3Snatur : ce code est issu de travaux de recherche menés conjointement parl’INRIA, Snecma, INCKA, EDF et RENAULT. Le logiciel N3SNATUR permetde simuler des écoulements tridimensionnels de fluides newtoniens compressiblesmulti-espèces réactifs avec modèle de turbulence à deux équations de typek − ε.Il est adapté pour un fonctionnement sur machines parallèles (mémoire partagée oudistribuée) ou séquentielles. La version que nous utilisons au CERFACS est déve-loppée pour le compte de Snecma pour les applications moteurs aéronautiques.

La question du choix entre ces deux codes se pose. En effet si la LES offre une meilleurerésolution de l’écoulement du fait de la simulation directe des grandes échelles de laturbulence, elle n’en reste pas moins bien plus coûteuse en puissance de calcul si l’on veutles résultats dans un laps de temps raisonnable. Outre cet argument matériel un argumentphysique plaide en faveur de N3S.La grandeur qui pilote l’acoustique dans la chambre de combustion est la vitesse du son ;on rappelle la relation :

f =c

λ. (3.11)

La vitesse du son est proportionnelle à la racine carrée de la températurec =√

γrT ,et donc seule la racine carré des écarts de température, qui pourraient exister entre unesimulation RANS et LES, se répercutera sur le calcul des modes acoustiques.Dans ces conditions la solution RANS, moins coûteuse, semble la bonne option pour lecalcul du champ moyen nécessaire en entrée du solveur acoustique.

Pour vérifier la validité de cette hypothèse, on effectue un calcul de modes acoustiquesdans une chambre Snecma en utilisant dans un premier temps un champ moyen de tem-pérature donné par une simulation LES puis par un calcul RANS (figures 3.1, 3.2 tableau3.1).

26

(a) champ moyen LES

FIG. 3.1 – champ moyen de température

(a) champ RANS

FIG. 3.2 – champ moyen de température

27

LES RANS1 680Hz 657Hz2 1303Hz 1288Hz3 2380Hz 2363Hz4 2750Hz 2729Hz

TAB . 3.1 – comparisons des fréquences propres avec écoulement moyen issu d’un calculLES puis RANS.

Ici l’écart entre les résultats obtenus à partir d’un champ moyen RANS ou d’un champmoyen LES est de l’ordre de1% à3%.

Si le calcul RANS peut nous donner la répartition de température dans la chambrede combustion il ne permet pas de déterminer la fonction de transfert de flamme qui lieles fluctuations du taux de dégagement de chaleur aux fluctuations de pression et vitesseen amont de la flamme. Ce phénomène est par essence instationnaire, ce qui exclut di-rectement l’approche RANS et nécessite la résolution des petites échelles. On utilise lecode LES du CERFACS : AVBP qui du fait de l’aspect instationnaire et qu’il simule lesgrandes échelles de la turbulence constitue l’outil approprié pour cette tâche.

3.3 Calculs d’impédance de tuyère : NOZZLE

Outre la répartition du champ de température et la fonction de transfert de flamme, lesconditions aux limites ont une influence déterminante sur la structure et la fréquence desmodes acoustiques qui se développent en milieu confiné.En sortie de chambre de combustion aéronautique se trouve le distributeur. Le rétrécisse-ment de section entre les pâles du distributeur peut conduire l’écoulement à être soniqueau col selon les régimes : le distributeur est dit amorcé. Le CERFACS a donc développéun code capable de déterminer l’impédance acoustique en entrée de tuyère : NOZZLE.L’objectif est donc de remplacer le distributeur par son impédance équivalente.On rappelle également que pour établir l’équation (3.1) résolue par AVSP on a fait unehypothèse de Mach nul. Si cette hypothèse est valide dans la chambre de combustion ellene l’est plus du tout dans le distributeur. C’est pourquoi il n’est pas possible d’utiliserAVSP dans le distributeur et donc par conséquent il est nécessaire de remplacer celui-cipar son impédance équivalente.

Remarque :AVSP est un outil de prédiction permettant de déterminer en quelques heuresles modes acoustiques potentiellement instables. Mais c’est également un outil néces-saire à la compréhension des phénomènes physiques responsables d’instabilités dans unechambre ; en effet si la LES capture également les instabilités, elle ne permet pas d’endéterminer la source puisqu’elle simule l’hydrodynamique et l’acoustique. Ainsi si uneinstabilité est détectée par une simulation LES, le solveur acoustique AVSP pourra déter-miner s’il s’agit d’une instabilité due aux phénomènes acoustiques ou non.Le diagramme présenté dans la figure 3.3 récapitule les différentes étapes de la chaîne de

28

calcul QUIET.

AVSP

NOZZLE

ouN3S

(LES)

2)Calcul de la condition limite d’impédance

3)Calcul des modes propres acoustiques

(RANS)AVBP

1)Calcul de l’écoulement moyen

FIG. 3.3 – chaîne de calcul QUIET

29

Chapitre 4

Présentation de la configurationexpérimentale

Dans ce chapitre sont présentées les deux chambres de combustion Snecma étudiéesdurant le stage. Elles seront nommées chambre 1 et chambre 2 dans ce rapport.On rappelle brièvement le principe de fonctionnement d’une chambre de combustion aé-ronautique, puis seront présentées les différentes configurations étudiées.

4.1 Chambre 1 :

FIG. 4.1 – Chambre 1

30

Principe de fonctionnement :La chambre de combustion d’une turbomachine est placéderrière le dernier étage du compresseur. L’air entrant dans la chambre de combustion ar-rive avec une température dans une gamme de 400 K à 900 K et une pression allant de 4à 40 bars. Cet air entre dans la chambre par l’entrée du diffuseur :

– Une partie passe dans le plenum, puis dans le swirler. Le fuel arrive par le tubed’admission (fig. 4.1). L’intérêt du swirler est double :– il doit mettre l’écoulement en rotation autour du fuel pour faire un prémélange

homogène avant d’être enflammé par une bougie.– L’écoulement swirlé engendre une dépression en son centre suffisante pour créer

une zone centrale de recirculation qui permet de stabiliser la flamme.– L’air n’ayant pas servi au prémélange de fuel, passe par le contournement et entre

dans le foyer par les trous primaires et de dilutions. L’intérêt est d’une part deprotéger les parois du foyer, d’autre part de diminuer la température en sortie pourne pas endommager les aubes de la turbine haute pression.

Configuration d’étude :L’étude acoustique de la chambre s’est faite progressivement.Les premiers calculs ont été effectués en début de stage sur un secteur de 20 comprenantplénum, foyer et swirler.

FIG. 4.2 – Chambre 1, secteur 20

Puis la prise en compte de tous les secteurs, c’est à dire de la géométrie annulairecomplète, s’est avérée nécessaire. Nous recherchons en effet les modes basses fréquences,et par conséquent les modes qui se développent azimutalement, selon la circonférence dela chambre annulaire, nous intéressent particulièrement.

31

FIG. 4.3 – Chambre 1

Régimes de fonctionnement :Il est prévu de faire l’étude acoustique de la chambresur quatre points de fonctionnement du moteur (tab 4.1). Dans ce rapport je présenteraiau chapitre VI les calculs acoustiques sur les trois premiers régimes, le quatrième n’étantpas encore achevé.

Tinjection Pinjection Débit richesse

Régime 1 473 K 4.4 bar 7.85 kg.s−1 0.012Régime 2 632 K 6.46 bar 9.97 kg.s−1 0.0238Régime 3 695 K 9.42 bar 13.86 kg.s−1 0.0335Régime 4 706 K 10.53 bar 15.38 kg.s−1 0.0286

TAB . 4.1 – Régimes de fonctionnement, chambre 1

4.2 Chambre 2 :

Il s’agit également d’une chambre Snecma de moteur aéronautique. Le principe defonctionnement reste le même.Nous disposons pour cette étude de deux configurations différentes de la chambre :

– la configuration 1 ne comprend que le foyer annulaire,– la configuration 2, annulaire également comprend le foyer ainsi que le contourne-

ment.Ces deux configurations nous permettront au chapitre VI d’évaluer l’influence du contour-nement sur les modes propres.

32

(a) vue globale (b) coupe longitudinale

FIG. 4.4 – chambre 2, sans contournement

(a) vue globale (b) coupe longitudinale

FIG. 4.5 – chambre 2, avec contournement

33

Chapitre 5

Influences des différents paramètres dela chaîne de calcul

Dans ce chapitre on s’intéresse à différents facteurs contrôlant les résultats fournis parQUIET. On regarde dans un premier temps les effets de géométrie et de maillage. En ef-fet des problèmes de convergence et de temps de calcul rendent certaines simplificationsgéométriques nécessaires pour obtenir un meilleur maillage.On s’intéressera également à deux paramètres physiques : la température et les conditionslimites d’impédance. L’objectif est d’évaluer leur influence sur les modes propres acous-tiques dans la chambre. Si cette étude n’était pas initialement prévue dans mon stage, elleest finalement apparue nécessaire. Par exemple, il n’est pas rare que d’une simulation àl’autre la distribution de température dans la chambre de combustion soit différente ; cetterépartition du champ de température dépendant des hypothèses faites pour effectuer le cal-cul RANS : choix de certains nombres caractéristiques (Prandtl, Cp, ...), prise en compteou non de pertes thermiques à la paroi, écoulements diphasiques ou monophasiques ...Il est donc important de déterminer l’influence de ces paramètres afin que l’utilisateur dela chaîne soit conscient de l’impact qu’auront les hypothèses sur la validité des résultatsen sortie de QUIET.Pour tester l’influence de ces paramètres, ce chapitre propose l’analyse acoustique deplusieurs cas spécifiques :

– une chambre complète Snecma, la chambre 1 (fig. 4.3),– une cavité rectangulaire 1D (fig. 5.5) ou 2D (fig. 5.10).

Dans le cas de la chambre complète seul AVSP peut fournir l’analyse des modes propres.Dans le cas de la cavité, des méthodes analytiques sont aussi employées : ceci permetde vérifier les résultats d’AVSP mais aussi de mieux comprendre le comportement dessolutions.

5.1 Influence du maillage

Comme il est dit dans la chapitre III, AVSP est un code qui permet de déterminer lespremiers modes acoustiques (les basses fréquences). Nous nous intéressons aux grandeslongueurs d’ondes, les modes basses fréquences sont susceptibles d’entrer en résonanceavec la flamme, les maillages peuvent donc être considérablement moins denses que ceux

34

nécessaires aux simulations RANS ou LES.Cependant deux paramètres influencent de façon déterminante la rapidité de convergencedu solveur acoustique. Le premier paramètre est bien évidemment le nombre de pointsdont on peut montrer qu’il est lié au temps de calcul enO(n2). Le second est ce que l’onappelle le rapport de maille, c’est à dire le volume de la plus grosse maille sur celui de laplus petite. Ce rapport de maille influe directement sur le conditionnement de la matriced’opérateur et peut considérablement ralentir la convergence du code AVSP voir mêmel’empêcher de converger. La difficulté est que l’on ne peut pas optimiser ces deux para-mètres simultanément, la taille de la plus petite maille étant fixée par la géométrie de laplus petite pièce dans la chambre (généralement situé dans le swirler). Si l’on chercheà réduire le nombre de points dans la chambre, on augmentera forcément le rapport demaille.Ce problème de convergence due au maillage est donc un problème essentiel à appréhen-der pour une utilisation efficace de QUIET. Une action à mener est l’implementation dansla méthode d’Arnoldi d’un critère qui permettrait de suivre en temps réel la convergencedu code de façon à savoir pour une itération donnée combien de fréquences propres sontdisponibles et avec quelle précision. Je suis actuellement en train de travailler à l’implé-mentation d’un tel critère.L’un des enjeux de mon stage était donc d’obtenir des résultats de bonne qualité dans lesmeilleurs délais possibles. J’ai donc choisi d’utiliser plusieurs maillages ayant chacun descaractéristiques différentes et permettant d’obtenir les résultats en des temps variant d’unfacteur 200. (tab. 5.1 et fig. 5.2 et 5.1).

Maillage 5 Maillage 4 Maillage 3 Maillage 2 Maillage 1swirler avec avec avec sans sans

nb noeuds 540000 217000 130000 60000 10000temps CPU pas de convergence 33h 18h 1h 10minmode 1A / 356Hz 356Hz 359Hz 357Hzmode 2A / 706Hz 706Hz 715Hz 712Hzmode 1L / 882Hz 887Hz 1088Hz 1172Hz

TAB . 5.1 – influence du maillage et de la géométrie

Remarque :Les calculs présentés dans ce paragraphe sont appliqués pour illustration àune chambre Snecma qui sera décrite en détails dans le chapitre VI (chambre 1).

Conclusions :Le maillage à 540000 noeuds a été testé au CINES sur une SGI Origine 2000. Le calcula été lancé sur 32 processeurs pendant une douzaine d’heures sans obtenir de résultats. Sià l’heure actuelle je ne peux pas savoir si le calcul convergeait ou pas, permettant d’avoirun résultat en un temps fini ou non, il est évident qu’un tel maillage et un tel temps decalcul n’est pas viable pour une utilisation industrielle future de la chaîne QUIET.Il fallait donc trouver un moyen de réduire le nombre de mailles dans la chambre sans

35

(a) maillage 5, 540 000 noeuds (b) coupe longitudinale

(c) maillage 4, 217 000 noeuds (d) coupe longitudinale

(e) maillage 3, 130 000 noeuds (f) coupe longitudinale

FIG. 5.1 – Maillage comprenant le swirler, maillage 3, 4 et 536

(a) maillage 2, 60 000 noeuds (b) coupe longitudinale

(c) maillage 1, 10 000 noeuds (d) coupe longitudinale

FIG. 5.2 – Maillage avec swirler simplifié, maillage 1 et 2

37

toutefois augmenter de façon trop importante le rapport de maille. La tâche est plus com-pliquée qu’il n’y parait, d’autant plus que le CERFACS utilise un mailleur automatiquequi permet d’obtenir rapidement de très bons maillages pour la LES, des maillages trèsraffinés, mais qui est moins efficace pour les maillages déraffinés nécessaires ici. La so-lution a été trouvée en utilisant un autre code appelé HIP, outils développé par le CER-FACS permettant de multiples manipulations sur les maillages : projection de solutionssur maillages, conversion de format de maillage, duplication et attachement de maillagespériodiques...La fonction utilisée pour déraffiner le maillage était initialement dévolue aux méthodesmultigrilles mais s’est avérée être tout à fait adaptée à mon problème. C’est grâce à cetoutil qu’ont été générés les maillages 1, 2, 3 et 4.Les quatre maillages donnent les mêmes résultats sur les premiers modes azimutaux. Onpeut donc se permettre d’utiliser un maillage déraffiné pour le calcul de ces modes. Onremarque que les maillages 1 et 2 sont dépourvus de swirler, celui-ci étant remplacé parune simple section de raccord entre le plenum et la chambre. Cette modification n’affectepas les résultats sur les premiers modes azimutaux et permet d’avoir une bonne estimationde la fréquence de ces modes en 10 minutes CPU contre 33 heures dans le cas du maillage4 (Ces calculs seront présentés au chapitre VI).Par contre en ce qui concerne le premier mode longitudinal la conclusion n’est pas lamême, puisqu’au contraire il semble très sensible :

– au maillage d’une part : on remarque un écart de 2% entre les maillages 4 et 3 et unécart d’environ 10 % entre les maillages 1 et 2.

– et surtout à la présence du swirler car l’écart sur le premier mode longitudinal estde plus de 15%. On ne peut donc pas simplifier la géométrie du brûleur pour étudierce mode et il faut de plus un maillage raffiné, et donc un temps de calcul élevé.

On peut cependant sortir de l’impasse si on remarque que pour le calcul des modes lon-gitudinaux on n’a pas besoin d’une géométrie à 360 degrés. On suppose que les modeslongitudinaux sont invariants enθ ; ce qui ne sera plus le cas en flamme active.

Finalement cette étude permet d’établir une stratégie de calcul à l’aide de différentsmaillages :

– un maillage à 360 degrés déraffiné sans swirler, pour le calcul des modes azimutauxqui prend dans ces conditions quelques dizaines de minutes de temps CPU.

– Un maillage raffiné avec swirler sur 1 seul brûleur pour le calcul des modes longi-tudinaux. Dans ces conditions le temps de calcul est de quelques heures CPU.

Avec cette stratégie on peut ainsi obtenir des résultats en 1h sur 6 processeurs ( COM-PACQ AlphaServer SC45) contre plusieurs dizaines d’heures sur 32 processeurs si l’onn’optimise pas le maillage.Cependant une fois ces premiers résultats établis il faut tout de même lancer le calculsur maillage complet et raffiné. Il est donc nécessaire pour la suite d’implémenter un tra-ceur de convergence afin de pouvoir suivre l’évolution du calcul sur des maillages lourds,pour qu’en cas de non convergence du processus, on puisse intervenir tout de suite sansattendre la fin des heures CPU gâchées inutilement.

38

5.2 Influence de la géométrie

On se pose ici la question de savoir quelle est l’influence de chacune des parties consti-tuantes d’une chambre de combustion sur les modes propres et leur fréquence. Nous dis-tinguerons en particulier le swirler, le plenum, la chambre, et le contournement (fig 5.3).

(a) Plenum, chambre et contournement.

FIG. 5.3 – Chambre 1, secteur 20, vue de profil.

5.2.1 Le swirler

Comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, le swirler conditionne la qualité dumaillage dans la chambre de combustion. En effet, c’est la partie qui d’un point de vuegéométrique est la plus complexe ; constitué des plus petites pièces, c’est lui qui fixe lataille de la plus petite maille. A rapport de maille fixé, il impose donc le nombre de maillesdans la chambre et donc le temps de calcul.Si son influence ne semble pas prépondérante sur les modes azimutaux elle l’est concer-nant les modes longitudinaux (fig 5.4, tab 5.2) :

39

(a) géométrie 1 (b) géométrie 3

(c) géométrie 2

FIG. 5.4 –

géométrie 1 géométrie 2 géométrie 31088Hz 901Hz 581Hz

TAB . 5.2 – Fréquence du premier mode longitudinal en fonction de la géométrie

La question que l’on peut se poser est la suivante : peut-on remplacer le swirler par unesection équivalente de façon à obtenir le même mode longitudinal qu’avec un swirler ?En ce qui concerne la géométrie 1 on voit que la fréquence obtenue est supérieure de 20% par rapport à celle obtenue avec un swirler. Lorsque l’on diminue la section de passageon baisse la fréquence de résonance. La structure du mode change elle aussi : une forte

40

variation 1/4-onde dans la section de passage, une répartition des fluctuations de pressionconstante dans la chambre et le plenum. Les caractéristiques de ce mode sont celles dumode dit de Helmholtz. Nous perdons donc la structure du premier mode longitudinalavec swirler observé sur la géométrie 3.

5.2.2 Le plenum et la chambre

Le plenum est la coiffe entourant le swirler. Une partie de l’air qui sort du compresseurpasse dans le contournement et va servir à refroidir la chambre par les trous de dilution,l’autre entre dans le plenum. La température d’entrée varie de 470 à 700K selon les ré-gimes et les turbomachines. Dans la chambre de combustion, la présence de la flammeaugmente la vitesse du son moyenne et donc la fréquence. On se pose alors la questionde savoir où se trouve la fréquence lorsque ces deux anneaux, plenum et chambre sontconnectés. Il apparaît donc clair que lorsque 2 anneaux sont connectés, la fréquence ré-

plenum chambre plenum+chambremode 1A 300Hz 375Hz 359Hzmode 2A 600Hz 750Hz 715Hzmode 3A 900Hz 1122Hz 1062Hz

TAB . 5.3 – Comparaison fréquences propres du plenum seul, de la chambre seule et duplenum et de la chambre connectés

sultante est une pondération des fréquences de chacun des anneaux, et que donc, on nepeut pas espérer pouvoir traiter un anneau indépendamment de l’autre (tab 5.3). Cetteconclusion semble indiquer que pour déterminer de façon précise la fréquence des modesazimutaux, il nous faudra tenir compte du contournement.

5.2.3 Le contournement

Au chapitre VI sera présenté un calcul de la chambre 2 avec et sans contournenment.Ce calcul permettra de mesurer sur un cas réel l’effet du contournement sur les modespropres.Cependant la prise en compte du contournement complique une nouvelle fois la géométrieà mailler. Je travaille actuellement à générer un maillage de la chambre 1 permettant d’ob-tenir des bons résultats en un temps raisonnable en me basant sur la stratégie développéeau paragraphe précédent.

5.3 Influence de la température

L’étude développée dans cette partie est motivée par des questions qui se sont poséesdurant le stage : dans quelle mesure la forme de la flamme et la température moyenne

41

dans la chambre sont des paramètres critiques ? Peut-on remplacer la répartition de tem-pérature dans la chambre par la température moyenne ?En effet, comme on l’a dit un peu avant il peut arriver que d’une simulation à l’autre lechamp de température soit différent du fait des hypothèses prises pour le calcul. Ce champest de toute façon différent d’un régime à l’autre. L’objectif est de développer un savoirfaire, une expérience, pour être capable aux vues de différentes simulations, de prévoir lecomportement acoustique en fonction du champ de température.On remarque dores et déjà que les effets de la température sur les modes propres sont dedeux types :- différence de température moyenne d’une simulation à l’autre ou d’un régime à l’autre,- formes de flamme différentes, attachées ou non ; ce qui pose la question de l’impact desinhomogénéïtés du champ de température sur les fréquences propres.Pour répondre à ces questions, qui se sont posées lors des calculs en chambre de com-bustion industrielle sur des géométries complexes, on choisit de revenir à une géomé-trie simple, académique, permettant des solutions analytiques et des temps de calcul trèscourts : une cavité mono ou bidimensionnelle.

Remarquons tout de suite que ce chapitre présente les effets de variations de tempéra-ture sur l’acoustique via la vitesse du sonc. En effetc est la grandeur qui pilote l’acous-tique et la variation de vitesse du son est liée aux variations de température par la relationc =

√γrT .

5.3.1 Effet de variation de vitesse du son moyenne

R−1A L

x

=10R =1

0

A+1

L

FIG. 5.5 – cavité 1D avec conditions aux limites simples de type mur

On suppose ici pour commencer quec est homogène partout dans la cavité monodi-mensionnelle. On évalue alors la fréquence en résolvant le problème illustré par la figure5.5. On définitR le coefficient de reflection de la façon suivante :

R =onde reflechie

onde incidente(5.1)

avec

p(x, t) = A+1 ei(kx−ωt) + A−

1 ei(−kx−ωt) (5.2)

u(x, t) =A+

1

ρcei(kx−ωt) − A−

1

ρcei(−kx−ωt); (5.3)

42

ce qui induit :

R0 =A+

1

A−1

= 1 ⇒ A+1 = A−

1 (5.4)

RL =A−

1

A+1

e−2ikL = 1 ⇒ cos(2kL) = 1; (5.5)

(5.6)

on obtient donck =

nπ

L(5.7)

en utilisant la relation suivante :

f =kc

2π. (5.8)

On obtient finalement les fréquences propres de la cavité :

f = nc

2L. (5.9)

Nous considérons ensuite les deux cas suivants.– Cas 1 : c = 400 m/s (fig 5.6)

x0.40

c = 400 m/s

FIG. 5.6 –

f = n400

2 ∗ 0.4= 500, 1000, 1500, ... (5.10)

– Cas 2 : c = 800 m/s (fig 5.7)

c = 800 m/s

x0.40

FIG. 5.7 –

43

f = n800

2 ∗ 0.4= 1000, 2000, 3000, ... (5.11)

Finalement dans le cas où la température est homogène dans la cavité, on obtient le résul-tat très simple suivant :

∆f ∝ ∆c. (5.12)

Ceci signifie que si l’on compare deux simulations qui n’aurait pas la même températuremoyenne, le rapport des fréquences propres est égal au rapport de vitesse du son et doncà la racine du rapport des températures :

f2

f1

=c2

c1

=

√T2

T1

. (5.13)

Remarque :dans cet exemple et les suivants on traite le cas d’une géométrie 1D ou 2Dmais on ne s’interesse qu’aux premiers modes longitudinaux, le raisonnement est le mêmedans la direction transverse, mais la fréquence du premier mode transverse est 4 fois plusélevé carh = L

4. Les modes couplés sont des combinaisons linéaires des premiers modes

longitudinaux et transverses, et la fréquence d’un mode couplé se calcule de la façonsuivante :

f =√

f 2longi + f 2

trans. (5.14)

5.3.2 Effet d’inhomogénéïté de vitesse du son

Nous poursuivons l’étude dans le cas d’une géométrie simplifiée : la cavité 2D. Lesinhomogénéïtés auxquelles nous nous intéressons sont de deux types :

– inhomogénéïté longitudinale : nous regardons l’effet du saut de vitesse du son selonl’axe x sur les modes longitudinaux,

– inhomogénéïté transverses : nous regardons l’effet du saut de vitesse du son trans-verse (selon l’axe y) sur les modes longitudinaux.

5.3.2.1 Inhomogeneïtés longitudinales

Dans le cas de la géométrie 2D simple utilisée, il est possible de résoudre de façonsemi analytique le problème des inhomogénéïtés de vitesse du son dans la direction lon-gitudinale (fig 5.8).

– Pour0 < x < l, nous avons :

p1(x, t) = A+1 ei(k1x−ωt) + A−

1 ei(−k1x−ωt) (5.15)

u1(x, t) =A+

1

ρ1c1

ei(k1x−ωt) − A−1

ρ1c1

ei(−k1x−ωt). (5.16)

On choisit de prendreR0 = 1 d’où :

R0 =A+

1

A−1

= 1 ⇒ A+1 = A−

1 , (5.17)

44

l L

c1 c2

x0

FIG. 5.8 – cavité 1D avec inhomogénéïté de vitesse du son longitudinale

et donc, nous obtenons :

p1(x, t) = 2A+1 cos(k1x)e−iωt (5.18)

u1(x, t) = 2iA+

1

ρ1c1

sin(k1x)e−iωt. (5.19)

– Pourl < x < L, nous avons :

p2(x, t) = A+2 ei(k2(x−l)−ωt) + A−

2 ei(−k2(x−l)−ωt) (5.20)

u2(x, t) =A+

2

ρ2c2

ei(k2(x−l)−ωt) − A−2

ρ2c2

ei(k2(x−l)−ωt). (5.21)

On choisit de prendreRL = 1 d’où :

RL =A−

2

A+2

e−2ik2(L−l) = 1 ⇒ A−2 = A+

2 e2ik2(L−l), (5.22)

et donc :

p2(x, t) = A+2 [eik2(x−l) + e2ik2(L−l)e−ik2(x−l)]e−iωt (5.23)

u2(x, t) =A+

2

ρ2c2

[eik2(x−l) − e2ik2(L−l)e−ik2(x−l)]e−iωt. (5.24)

– Pourx = l, nous avons :

p1(l, t) = p2(l, t) ⇒ 2A+1 cos(k1l) = A+

2 [1 + e2ik2(L−l)] (5.25)

u1(l, t) = u2(l, t) ⇒ 2iA+

1

ρ1c1

sin(k1l) =A+

2

ρ2c2

[1− e2ik2(L−l)]; (5.26)

ce qui se met sous la forme matricielle suivante :

2 cos(k1l) −[1 + e2ik2(L−l)]

2iρ2c2

ρ1c1

sin(k1l) −[1− e2ik2(L−l)]

A+1

A+2

=

0

0

.

45

En rappelant que

k1 =ω

c1

(5.27)

k2 =ω

c2

, (5.28)

le système matriciel devient :

2 cos(l

c1

ω) −[1 + e2i

(L−l)c2

ω]

2iρ2c2

ρ1c1

sin(l

c1

ω) −[1− e2i

(L−l)c2

ω]

A+1

A+2

=

0

0

.

Il existe une solution

A+1

A+2

non nulle si et seulement si le determinant de la matrice

est nul. La pulsationω = 2πf qui admet l’existence de 2 ondes se propageant dans lesdomaines0 < x < l et l < x < L est telle que le déterminant de la matrice soit nul.Pour effectuer ce calcul on utilise le logiciel MAPLE. Ce logiciel permet de définir lamatrice A de manière formelle avec pour paramètresl, L, c1, c2, ρ1, ρ2. On peut ensuitefixer chacun de ces paramètres en fonction de l’inhomogénéïté que l’on désire étudier (lafeuille MAPLE est donnée en annexe). Le résultat fourni par MAPLE et ensuite comparéaux résultats donnés par AVSP le solveur acoustique qui résoud le problème par une mé-thode de discrétisation.

Dans l’étude présentée, on choisi de fixercmin et cmoy et de faire varierl et cmax. Cetexercice se rapproche d’un cas rencontré lors du stage qui sera discuté dans le chapitreVI, où l’on souhaite comparer le comportement acoustique de deux brûleurs de mêmesdimensions, mais dont les flammes n’ont pas la même forme.On choisit donc de fixercmin, on considère que l’air froid sortant du compresseur et en-trant dans dans le plenum est une constante.cmoy est fixé viaTmoy par la conservation del’enthalpie. Le paramètre changeant étant la zone chaude plus ou moins étalée selon laforme de la flamme et la température max.On choisit de fixercmin = c1 = 450ms−1 ce qui correspond àTmin = 504K qui estune température représentative de celle que l’on peut trouver en sortie de compresseur.On fixecmoy = 600ms−1 ce qui correspond àTmoy = 896K température représentatived’une moyenne chambre et plenum.

46

xL

c=600 m/sT=896 K

0(a) l = 0

LL/2

c=450 m/s

T=504 K

c=750m/s

T=1400 K

x0(b) l = L/2

L2L/3

c=900m/sT=2016 KT=504 K

c=450 m/s

x0(c) l = 2L/3

L

c=1050m/sT=2743 K

3L/4

c=450 m/sT=504 K

x0(d) l = 3L/4

FIG. 5.9 – cavité 1D avec inhomogénéïté de vitesse du son longitudinale

Dans chacun des cas ci-dessuscmoy = 600ms−1. On obtient après calculs les valeurs ré-pertoriées dans le tableau 5.4.

mode 1L mode 2L mode 3Ll=0 749Hz 1498Hz 2244Hz

l=L/2 665Hz 1462Hz 2068Hzl=2L/3 602Hz 1313Hz /Hzl=3L/4 580Hz 1229Hz 1919Hz

TAB . 5.4 – influence des inhomogénéïtés sur les 3 premiers modes longitudinaux

Il apparaît que les inhomogénéïtés de température ou vitesse du son jouent un rôle pré-pondérant sur la fréquences des modes longitudinaux. Logiquement lorsque le volume desgaz froids augmente,c diminue, et donc la fréquence diminue. On déduit de cet exerciceque le champ de température joue un rôle important sur la fréquence des modes propres.Il faut donc être attentif à la précision de la méthode employée pour prédire la position dela flamme.

5.3.2.2 Inhomogeneïtés transverses

Cette fois-ci le saut de température est placé dans la direction orthogonale aux ondesse propageant dans la direction longitudinale(fig. 5.10).

47

L

c1

ch

H

y

2

x0

FIG. 5.10 – cavité 2D avec inhomogénéïté transverse de vitesse du son

Ce cas modélise de façon très simple la question suivante : en présence d’une partiechaudec2 avec une fréquencefchaude et d’une partie froidec1 avec une fréquenceffroide,comment se répartit la structure du mode longitudinal et sa fréquence ?On note que cette question rejoint celle posée dans le paragraphe sur les effets de lagéométrie du brûleur lorsque l’on avait regardé les fréquences des deux anneaux pris sé-parément (plenum où la température est froide et chambre à température élevée) puis lafréquence de la géométrie chambre+plenum.Cette fois-ci les calculs sont effectués à l’aide de AVSP (je ne connaît pas de résolutionanalytique d’un tel problème). Il faudrait résoudre l’équation de Helmholtz avec unc0

variable eny :∇.(c2

0∇p) + ω2p = 0 (5.29)

soit

c20

∂2p

∂x2+

∂

∂yc20

∂p

∂y+ ω2p = 0. (5.30)

On fait les calculs en choisissantc1 = 450ms−1 soit T = 504K et c2 = 750ms−1 soitT = 1400K ; ces températures sont représentatives des températures moyennes dans leplenum et dans la chambre. Le tableau 5.5 montre comment varie la fréquence des modesquand le rapporth/H (fig. 5.10) change.

mode 1 mode 2 mode 3h=0 937Hz 1873Hz 2805Hz

h=H/2 767Hz 1502Hz 2174Hzh=2H/3 725Hz 1418Hz 2054Hzh=4H/5 637Hz 1260Hz 1859Hzh=9H/10 589Hz 1174Hz 1754Hz

h=H 562Hz 1123Hz 1683Hz

TAB . 5.5 – influence des inhomogénéïtés transverses sur les 3 premiers modes

Lorsque h=0 ou h=H, c’est à dire quand la vitesse du son est homogène dans la cavité,on a une relation de proportionnalité entre la fréquence du mode fondamental et celle des

48

harmoniques :fmode2L = 2fmode1L et fmodenL = nfmode1L. Cette relation n’est plus véri-fiée lorsque la vitesse du son n’est plus homogène, on peut seulement remarquer que lafréquence dépend des volumes de gaz chauds et froids.

Dans le cas particulier oùh = H/2 (fig 5.11)

xL

y

H

H/2c=750 m/s

c=450 m/s

0(a) f = 767Hz, 1502Hz, 2244Hz

FIG. 5.11 – vitesse du son non homogène

AVSP fournit la structure du premier mode longitudinal suivante :

(a)

FIG. 5.12 – Distribution dep′dans la cavité pour le premier mode longitudinal et évolu-

tion du module dep′en fonction dey enx = 0.

49

Le premier mode longitudinal perd sa structure purement monodimensionnelle. Lesvariations dep

′dans la direction longitudinale (fig. 5.12) révèlent la structure du 1er

mode 1/2-onde, on note une variation dep′dans la direction transverse due aux effets de

température.On note également que la fréquence de 767 Hz obtenue dans le cas de la figure 5.11 nepeut pas être prédite de façon simple, analytique : elle ne correspond ni à un mode propredans les gaz frais (à 500 K), ni à un mode propre dans les gaz brûlés (à 1400 K), ni à unmode qui serait obtenu avec une vitesse du son moyenne de 600 m/s (qui mènerait à unefréquence du premier mode longitudinal 687Hz). Le recours à un code comme AVSP estclairement indispensable.

5.4 Influence de l’impédance en sortie

Le dernier thème abordé dans ce chapitre concerne les effets d’impédance en sortiede chambre. Comme il est dit dans le chapitre III présentant la chaîne de calcul QUIET,NOZZLE permet de calculer l’impédance en entrée de tuyère. On utilise cet outil pourfixer l’impédance en sortie de chambre en remplaçant le distributeur par une tuyère demême géométrie. Si cette méthode semble être de bon sens , nous ne disposons pas dedonnées expérimentales qui permettraient de confirmer cette démarche.On se pose donc la question de savoir quelle est l’incidence d’une erreur potentielle d’im-pédance en sortie sur la structure et la fréquence des modes.Comme nous l’avons fait dans tout ce chapitre on simplifie la géométrie d’une chambreet on revient à un cas académique de la cavité monodimensionnelle ou bidimensionnelle.On distingue dans ce paragraphe deux parties :

– les effets d’impédance en sortie sur les modes longitudinaux, qui seront modéliséspar une impédance en x=L (fig 5.13).

xL

y

H

Z

0

FIG. 5.13 – cavité 1D, impédance en sortie, mur en entrée

– Les effets d’impédance en sortie sur les modes azimutaux, qui seront modélisés parune impédance eny = H (fig 5.14).

50

xL

y

H Z

0

FIG. 5.14 – cavité 2D, impédance en y=H, mur ailleurs

5.4.1 Effet d’impédance sur les modes longitudinaux

Comme dans le cas des inhomogénéïtés de température on peut déterminer les fré-quences propres longitudinales de ce problème par une méthode semi-analytique à l’aidedu logiciel MAPLE.

A

0 L

1

x

=10R−

iZ= e

A+1

φ|Z|

FIG. 5.15 – cavité 1D, impédance complexe en sortie

La relation entre coefficient de réflection R et impedance Z est la suivante :

R =Z − 1

Z + 1(5.31)

Elle permet de déduireRL le coefficient de réflection complexe enx = L directement àl’aide de MAPLE. Le problème devient alors le suivant :

A

0 L

1

x

=10R− LR = |R |e

A+1

Lθi

FIG. 5.16 – cavité 1D, coefficient de réflection complexe en sortie

R0 =A+

1

A−1

⇒ A+1 = A−

1 et RL =A−

1

A+1

e−2ikL = |RL| eiθ, (5.32)

51

avec

k =2πf

c=

2π(fr + ifi)

c, (5.33)

d’où la relation :e

4πLc

fie−i 4πLc

fr = |RL| eiθ. (5.34)

On remarque d’après (5.34) que c’est la partie réelle de la fréquence qui donne la fré-quence spatiale du mode recherché, et que la partie imaginaire détermine le taux de crois-sance de la pulsation. On les calcule avec les relations suivantes :

e4πL

cfi = |RL| ⇒ fi =

c

4πLln(|RL|) (5.35)

−4πL

cfr = Arg(RL) + 2nπ ⇒ fr = − c

4πLArg(RL) + n

c

2L. (5.36)

Remarque :Avec les conventions adoptées dans le rapport, le mode s’amplifie sifi > 0 et s’atténue sifi < 0, comme on peut le vérifier dans l’équation (5.34).

Au regard de (5.35) et (5.36), la signification physique du coefficient de reflection ap-paraît très clairement. Le module du coefficient de reflection détermine l’amplification oul’attenuation du mode propre. Lorsque|RL| > 1 c’est à dire lorsque l’amplitude de l’onderéfléchie est supérieure à celle de l’onde incidente, le mode est amplifié. Au contrairelorsque|RL| < 1 le mode est atténué. La phase du coefficient de réflection détermine lafréquence au sens physique du mode propre. On peut, à l’aide de MATLAB, tracer l’évo-lution de la fréquence du premier mode propre en fonction du module et de la phase ducoefficient de réflection enx = L.

02

46

810

−4

−2

0

2

40

100

200

300

400

500

module de Rphase de R

fré

qu

en

ce

(Hz)

(a) Re(f), fréquence physique en Hz

02

46

810

−4

−2

0

2

4−200

−100

0

100

200

module de Rphase de R

f−im

ag

ina

ire

(b) Im(f), croissance du mode

FIG. 5.17 – évolution de la fréquence du 1er mode propre longitudinal en fonction ducoefficient de reflection

52

Dans cet exemplec = 500ms−1 et L = 0.4m. LorsqueRL = e±iπ c’est à direRL = −1 la fréquence propre du premier mode longitudinal est de250Hz. Il s’agit dumode 1/4-onde. LorsqueRL = ei0 la fréquence propre du premier mode longitudinal estde500Hz. Il s’agit du mode 1/2-onde. On voit également sur (fig. 5.17 b) que le mode estamplifié lorsqueRL > 1.

On étudie maintenant la fréquence du premier mode longitudinal de la cavité en fonc-tion de Z. A l’aide du logiciel MAPLE, on fait donc une boucle qui pour chaque valeurdu module deZ fait varier la phase deZ entre 0 et2π et calcule la fréquence propre desmodes longitudinaux dans la cavité 2D comme indiqué précédemment. La feuille MAPLEcorrespondante est donnée en annexe.Les résultats obtenus sont tracés avec MATLAB (fig. 5.18).

−50

0

50

−50

0

500

100

200

300

400

500

Re(Z)Im(Z)

fré

qu

en

ce

(Hz)

(a) Re(f), fréquence physique en Hz

−50

0

50

−50

0

50−150

−100

−50

0

50

100

150

Re(Z)Im(Z)

fré

qu

en

ce

(Hz)

(b) Im(f), croissance du mode

FIG. 5.18 – évolution de la fréquence du 1er mode propre longitudinal en fonction del’impédance

Dans le cas précédent les influences du module et de la phase du coefficient de réflectionétaient clairement identifiés. En ce qui concerne l’impédance les effets de module et dephase sont plus difficiles à analyser indépendamment.Au regard de la figure 5.18 il semble plus facile d’interpréter l’influence de l’impédanceen fonction de sa partie réelle et imaginaire.On remarque d’après a) que la partie imaginaire de Z détermine si l’on se trouve auxfréquences proches du 1/2-onde à500Hz, ou dans les basses fréquences proches du 0-

53

onde.Lorsque Z est réelle (Im(Z) = 0) la fréquence propre du premier mode longitudinal est250Hz, il s’agit du 1/4-onde.Notons que l’on passe continuement du 1/2-onde au 1/4-onde jusqu’au 0-onde lorsque lemodule de l’impédance est faible.Le tracé de la partie imaginaire de la fréquence, traduisant la croissance du mode propre,se caractérise par la présence de deux pics. Ils correspondent au cas oùZ ≈ 1 ⇔ R ≈ 0 :le modes est très fortement amorti, et au cas ouZ ≈ −1 ⇔ R → ∞ : le mode esttrès fortement amplifié. Si l’on regarde plus précisément b) on s’aperçoit queIm(f) < 0(mode atténué) quandRe(Z) > 0 et Im(f) > 0 quandRe(Z) < 0.On peut résumer ces deux graphiques en retenant :

– La partie imaginaire de l’impédance détermine la fréquence du mode :– si Im(Z) > O ⇒ f ∈ [250Hz, 500Hz] ie le premier mode propre se situe entre

le 1/4-onde et le 1/2-onde.– si Im(Z) < O ⇒ f ∈ [0Hz, 250Hz] ie le premier mode propre se situe entre le

0-onde et 1/4-onde.– La partie réelle de l’impédance détermine la croissance du mode :

– Re(Z) > O le mode propre est atténué.– Re(Z) < O le mode propre est amplifié.

On peut donc découper le plan complexe en quatre zones :– (Re(Z) > 0 et Im(Z) > 0 ⇔ φZ ∈ [0, π/2]) ⇒ f ∈ [250Hz, 500Hz] atténué.– (Re(Z) < 0 et Im(Z) > 0 ⇔ φZ ∈ [π/2, π]) ⇒ f ∈ [250Hz, 500Hz] amplifié.– (Re(Z) < 0 et Im(Z) < 0 ⇔ φZ ∈ [π, 3π/2]) ⇒ f ∈ [0Hz, 250Hz] amplifié.– (Re(Z) > 0 et Im(Z) < 0 ⇔ φZ ∈ [3π/2, 2π]) ⇒ f ∈ [0Hz, 250Hz] atténué.

D’après cette analyse il semble que la phase de l’impédance ait également une significa-tion physique forte. Le module traduit la sensibilité de la fréquence propre aux variationsde la phase. Lorsque|Z| est grand (|Z| > 10) la fréquence (partie réelle comme imagi-naire) est peu sensible aux variations d’impédance pourvu que la phase reste entre 0 etπ ou entreπ et 2π. En revanche lorsque|Z| ≈ 1 la partie réelle comme imaginaire dela fréquence deviennent très sensible. Ces observations apparaissent également de façonclaire si on trace l’évolution des parties réelle et imaginaire de la fréquence en fonctiondu module et de la phase de Z (fig 5.19).

54

05

1015

20

−4

−2

0

2

40

100

200

300

400

500

module de Zphase de Z

fré

qu

en

ce

(Hz)

(a) Re(f), fréquence physique en Hz

05

1015

20

−4

−2

0

2

4−200

−100

0

100

200

module de Zphase de Z

f−im

ag

ina

ire

(b) Im(f), croissance du mode

FIG. 5.19 – évolution de la fréquence du 1er mode propre longitudinal en fonction del’impédance

Cette étude permettra au chapitre VI de prédire les effets de la condition limite d’impé-dance donnée par NOZZLE sur les fréquences propres de la chambre de combustion.

5.4.2 Effet d’impédance sur les modes azimutaux

Lorsque l’on cherche les fréquences propres d’une configuration industrielle avec im-pédance un premier calcul avec conditions limites simple de type mur (ie|Z| → ∞) ensortie est nécessaire (cf chap VI). La question se pose naturellement : quel est l’effet d’unediminution du module de l’impédance sur les modes azimutaux ?L’étude de l’influence de l’impédance de sortie sur les modes azimutaux dans une chambreannulaire est simplifiée en l’étude de l’influence de Z eny = H dans la cavité sur lesmodes longitudinaux (cf fig 5.14).

On choisit de fixer la phase de l’impédance à3π/8, choix arbitraire dans la gammedonnée par NOZZLE (cf fig6.7). On fait varier son module de l’infini ( condition limitemur) à 0 (sortie atmosphère). Les calculs sont, dans ce paragraphe, effectués avec AVSP.On ne connaît pas de résolution analytique du problème permettant de déterminer lesmodes longitudinaux avec effet d’impédance transverse.

On s’intéresse au premier mode longitudinal, le mode le plus basse fréquence, et lesrésultats obtenus correspondent aux figures (5.20) et (5.21) et au tableau (5.6)

|Z|=infini |Z|=10 |Z|=1 |Z|=0.4 |Z|=0f1L 433Hz 408Hz 220Hz 102Hz 866Hz

TAB . 5.6 – effet d’impédance transverse sur la fréquence du premier mode longitudinal

55

(a) Z infini, f1L=433 Hz (b) |Z|=10,f1L=408 Hz

(c) |Z|=1,f1L=220 Hz (d) |Z|=0.4,f1L=102 Hz

(e) |Z|=0,f1L=866 Hz

FIG. 5.20 – effet d’impédance transverse sur le premier mode longitudinal

56

(d)

1/2−onde (selon x)

(a)

1/4−onde (selon y)(e)

|Z|

+

(c)

102

220

408433

866

fréquence Hz

(b)

1010.40

FIG. 5.21 – Fréquence du premier mode longitudinal avec effet d’impédance transverse.

Conclusion :On voit que la fréquence du premier mode longitudinal (1/2-onde quand|Z| → ∞)baisse avec le module de l’impédance. Les variations de fréquence sont faibles quand|Z| ∈ [10, +∞] puis très importantes quand|Z| ∈ [0, 1]. Ce comportement rappelle lesobservations du paragraphe précédent.Lorsque|Z| = 0 le mode longitudinal disparaît : on impose les fluctuations de pressionsnulles sur la paroi supérieure de la cavité (|Z| = 0 ⇔ p

′= 0). Un mode de structure

longitudinale pure ne peut donc plus se développer dans ces conditions et laisse place au1/4-onde dans la direction transverse (fig 5.20 (e)).Pour en revenir au cas de la chambre de combustion on peut donc prévoir un comporte-ment des modes propres azimutaux similaire à celui de la figure (5.21).

– Quand l’impédance du distributeur haute pression est presque infinie (u′

= 0) lemode propre ayant la fréquence la plus basse est le premier azimutal tel queλ =2πr.

– Quand le module de l’impédance de sortie baisse, ce mode perd sa structure pu-rement azimutale et sa fréquence baisse, lentement si|Z| > 10 et brusquement si0 < |Z| < 1.

– Si l’impédance est nulle ou que l’on impose une sortie dans l’atmosphère (p’=0) lesmodes purement azimutaux ne pourront plus se développer et seront remplacés par

57

le premier longitudinal 1/4-onde et ses multiples.

Remarque 1 :Une structure longitudinale peut toutefois se développer même si l’on im-posep

′= 0 en sortie, mais ce sera nécessairement un mode couplé du type 1A-1/4L ou

1A-3/4L... pour satisfairep′= 0 en sortie. Or, si c’est un mode composé, sa fréquence est

nécessairement plus haute que celle des modes fondamentaux.

Remarque 2 :On verra au chapitre suivant que l’impédance d’un distributeur haute pres-sion amorcé se caractérise par un module élevé, surtout aux basses fréquences (fig 6.7).On ne court pas de trop de risque de rencontrer cette transition du 1A au 1L dans unechambre aéronautique. Cependant, même aux forts modules d’impédance, on remarqueune perte de structure purement monodimensionnelle des modes propres. On peut com-prendre se phénomène en remarquant que :

Z =p

ρc~u.~n⇒ Z = iω

p

c0~∇p.~n

, (5.37)

soit :

Z ∝ p

~∇p.~n(5.38)

Pour une impédance donnée on a donc un gradient dep au niveau des ventres de pressionet un gradient nul au noeuds de pression. Ce qui explique les variations transverses d’am-plitude des modes longitudinaux dans la cavité avec impédance sur la paroi supérieure.

58

Chapitre 6

Application de la chaîne QUIET surchambre de combustion

Ce chapitre, présente deux cas de calculs sur chambres de combustion industrielles.Les chambres de combustion présentées appartiennent à Snecma Villaroche et leur étudeacoustique est ici détaillée sur trois points de fonctionnements mentionnés au chapitre IVet rappelés dans le tableau 6.1.C’est un très bon moyen de tester notre chaîne de calcul acoustique, d’autant que desessais sont prévus sur l’une des deux chambres et permettront ainsi de confronter nos ré-sultats à des données expérimentales.L’étude des chambres aéronautiques présente un certain nombre de difficultés. En effet,si jusqu’alors le solveur acoustique AVSP a été utilisé sur des turbines à gaz industrielles,elles étaient de géométrie plus simple que celles rencontrées durant ce stage.Ce chapitre suit les différentes étapes de la chaîne de calcul QUIET. A chaque étape,est présenté le calcul sur chacune des deux configurations, ainsi que les difficultés ren-contrées. Les résultats et observations effectués au chapitre VI sur la cavité 1D serontcomparés aux calculs effectués sur chambre industrielle. Comme on va le voir, si la géo-métrie d’une chambre de combustion industrielle est bien plus complexe, les observationssont très similaires.La figure 6.1 rappelle les différentes étapes de la chaîne QUIET.

6.1 Calcul de l’écoulement moyen

Comme il est dit au chapitre III lors de la présentation de la chaîne QUIET , notrechoix se porte sur le modèle RANS pour le calcul du champ moyen. Les calculs présentéssont donc effectués à partir du code N3Snatur.

6.1.1 Chambre 1

Dans ce chapitre l’étude acoustique de la chambre 1 est effectuée sur les trois pointsde fonctionnement détaillés dans le tableau 6.1.

60

AVSP

NOZZLE

ouN3S

(LES)

2)Calcul de la condition limite d’impédance

3)Calcul des modes propres acoustiques

(RANS)AVBP

1)Calcul de l’écoulement moyen

FIG. 6.1 – Chaîne de calcul QUIET

Tentre(K) Pchambre(Bar) Richesse (millième)Régime 1 473 4.4 12Régime 2 632 6.46 23.8Régime 3 695 9.92 33.5Régime 4 706 10.53 28.6

TAB . 6.1 – Les régimes de fonctionnement

La Richesse est définie commemfuel

mair

.

Il prévoit également d’introduire dans le calcul RANS la prise en compte de la multiper-foration, ce qui se traduit par la présence d’un film d’air ’froid’ qui protège les paroissupérieures et inférieures de la flamme.Il ne serait pas judicieux de faire les calculs AVSP sur le maillage RANS, trop raffiné pourles longueurs d’ondes que nous cherchons à capturer. Une fois le calcul RANS effectuésur un secteur, il y a donc une étape de projection sur un maillage plus lâche, adapté aucalcul acoustique. Cette projection se fait à l’aide du code HIP développé par le CER-FACS. Nous disposons à cet instant du champ de température sur un secteur de chambreet sur maillage déraffiné. Un calcul de mode acoustique sur une telle configuration ne per-met d’obtenir que les modes longitudinaux et transverses. Or les modes azimutaux sont

61

très basses fréquences, et nous intéressent particulièrement. Il y a donc une étape de du-plication du maillage et de sa solution effectuée à l’aide de HIP.Les champs de vitesse du son obtenus avec N3S sont représentés dans les figures 6.2, 6.3,6.4.

(a) régime 1, coupe longitudinale

(b) régime 1, vue avant (c) régime 1, vue arrière

FIG. 6.2 – champs RANS de vitesse du son dans la chambre 1

62

(a) régime 2, coupe longitudinale

(b) régime 2, vue arrière (c) régime 2, vue avant

FIG. 6.3 – champs RANS de vitesse du son dans la chambre 1

63

(a) régime 3, coupe longitudinale

(b) régime 3, vue avant (c) régime 3, vue arrière

FIG. 6.4 – champs RANS de vitesse du son dans la chambre 1

Les coupes longitudinales sont effectuées dans le plan de l’injecteur. Les coupes trans-verses enx = Lchambre/2 et enx = Lchambre/2 + 1/20. Les champs de vitesse du sonsont présentés dans les figures 6.2, 6.3 et 6.4 sans contournement, en effet il n’était pasinitialement prévu d’inclure le contournement dans le calcul des modes de la chambre.Cependant comme on l’a vu au chapitre précédent, il semble que l’influence de celui-cisoit primordiale. Je travaille donc actuellement à adapter le maillage de la géométrie aveccontournement aux calculs de modes propres.

64

6.1.2 Chambre 2

Le calcul N3Snatur de la chambre 2 ainsi que le maillage ont été effectués à SnecmaVillaroche. Il semble que le maillage ait été réalisé à l’aide d’un mailleur structuré initia-lement prévu pour la mécanique des structures mais qui se révèle tout à fait adapté à notrecas.

(a) coupe longitudinale

(b) vue avant (c) vue arrière

FIG. 6.5 – champs RANS de vitesse du son dans la chambre 2 sans contournement

65

(a) coupe longitudinale

(b) vue avant (c) vue arrière

FIG. 6.6 – champs RANS de vitesse du son dans la chambre 2 avec contournement

Une première remarque est que les dimensions des deux chambres sont comparables : lachambre 1 a un rayon moyen de 22 cm contre 23 cm pour la chambre 2. On peut comparerce cas au régime 3 en chambre 1. On remarque toutefois que le champ de température etde vitesse du son comporte un certain nombre de différences :-le cmax diffère d’environ10%,-la distribution de vitesse du son n’est pas la même.

66

Dans le cas de la chambre 2 les flammes sont attachées, contrairement au cas de lachambre 1 où chaque zone chaude est séparée par une zone froide. Comme on l’a vuau chapitre V, on prévoit déjà que ces différences de vitesse du son vont avoir un impactnotable sur les fréquences des modes propres dans chacune des chambres.

6.2 Calcul de la condition limite d’impédance

Les entrées du code NOZZLE sont :– la géométrie de la tuyère, donc dans notre cas la section de passage entre deux pâles

du distributeur en suivant l’abscisse curviligne.– Les paramètres de l’écoulement moyen en entrée du distributeur : la température,

la pression, le débit ou le mach,r etγ. Toutes ces grandeurs sont disponibles aprèsavoir fait le calcul RANS. En pratique j’effectue une moyenne de ces grandeurs surle plan de sortie avec le logiciel ENSIGHT.

Dans le cas de la chambre 1, la section de passage à été déterminée en faisant des coupessuccessives du distributeur à partir de la CAO de la chambre dont nous disposons. Lesparamètres de l’écoulement sont issus du calcul RANS effectué au CERFACS.On ne s’intéresse qu’aux fréquences inférieures à 1000 Hz, les résultats fournis par NOZZLEdans le cas du premier régime correspondent à la figure 6.7 :

0 200 400 600 800 10000

10

20

30

40

50

60

70

IMPEDANCEReal part

0 200 400 600 800 10000

10

20

30

40Imaginary part

0 200 400 600 800 10000

10

20

30

40

50

60

70Magnitude

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2Angle (rad)

FIG. 6.7 – Impédance en fonction de la fréquence pourf ∈ [0Hz, 1000Hz], (Chambre 1,régime 1)

On observe d’après ces résultats que la phase de Z est comprise entre0 et π2

et que lemodule de Z est élevé (|Z| > 5). C’est également le cas pour les régimes suivants. Cetteobservation reste vérifiée tant que le col du distributeur est amorcé.On peut étendre les résultats du paragraphe 5.4.1, concernant les effets d’impédance en

67

sortie sur les modes longitudinaux. D’après ces résultats lorsque la phase de l’impédancese situe entre0 et π/2 et que le module de l’impédance est élevé, le premier mode azi-mutal est proche du 1/2-onde par valeur inférieure et amorti. Cette conclusion s’appliquepour les fréquences inférieures à 1000 Hz quelque soit le régime.En pratique un premier calcul avec une condition limite de type mur (~u′ .~n = 0 ⇔ |Z| =∞) est nécessaire. Ceci permet de se donner une première idée des modes propres dela chambre et ainsi d’ajuster l’impédance correspondante à la fréquence du mode proprecherché. Les conclusions du chapitre V indiquent qu’avec la condition limite d’impé-dance, la fréquence sera plus basse qu’avec celle de type mur.

Remarque :Notons d’après la figure 5.18 qu’on se trouve dans la zone où la valeur desfréquences varie peu en fonction de la phase ou du module de Z, ce qui est une bonnechose car ainsi une petite erreur sur l’impédance ne se répercute pas de façon importantesur la fréquence propre calculée.

6.3 Calcul de modes propres

A ce stade nous disposons de toutes les données pour le calcul des modes propresacoustiques de la chambre :

– La simulation RANS nous donne les champs de températurer et γ, donc on peuten déduire la vitesse du sonc =

√γrT .

– Le code NOZZLE nous donne la condition limite de sortie de type impédance, enentrée et sur les murs on prend une condition~u′ .~n = 0 de type mur.

Durant le stage la flamme n’a pas été considérée comme élément actif acoustiquement.En d’autre terme l’équation résolue est de la forme Helmholtz sans second membre :

∇.(c2∇p) + ω2p = 0. (6.1)

Il n’y a pas de terme source acoustique et donc pas d’instabilité possible. L’idée est dedéterminer les modes propres de la chambre potentiellement dangereux. En effet, d’après[3] il semble que lorsque la flamme est active les fréquences instables soient très prochesdes fréquences propres déterminées sans modèle de flamme active.

6.3.1 Chambre 1

6.3.1.1 Conditions limites simples

Un premier calcul avec condition limite simpleu′= 0 est nécessaire. L’impédance est

une fonction de la fréquence, en d’autres termes la condition limite dépend de la solution.Pour obtenir un résultat parfaitement exact il faut donc utiliser un processus itératif qui enfonction de la dernière fréquence trouvée ajuste la condition limite d’impédance et relanceun nouveau calcul. Cependant d’après les résultats du chapitre V, et ceux fournis parNOZZLE (fig. 6.7), on prévoit de faibles écarts de fréquences propres quand l’impédancevarie. Ce premier calcul avecu

′= 0 permet donc

– d’initialiser le processus itératif mentionné,

68

– de se donner une bonne première approximation des fréquences propres de la chambre,en un temps CPU minimal.

Les résultats des calculs avec pour conditions limitesu′= 0 partout sont donnés dans

les tableaux 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 et dans les figures 6.8, 6.9. La structure spaciale des modesest donnée en annexe A.

mode 1A mode 2A mode3A mode 1L mode 1L-1Arégime 1 358Hz 714Hz 1063Hz 1169Hz 1210Hzrégime 2 391Hz 779Hz 1162Hz 1278Hz 1328Hzrégime 3 402Hz 804Hz 1201Hz 1378Hz 1427Hz

TAB . 6.2 – Maillage à 10000 noeuds

mode 1A mode 2A mode3A mode 1L mode 1L-1Arégime 1 360Hz 717Hz 1064Hz 1089Hz 1134Hzrégime 2 391Hz 780Hz 1162Hz 1204Hz 1278Hzrégime 3 401Hz 801Hz 1196Hz 1296Hz 1348Hz

TAB . 6.3 – Maillage à 60000 noeuds

mode 1A mode 2A mode 1L mode 1L-1A mode 3Arégime 1 357Hz 707Hz 887Hz 938Hz 1034Hzrégime 2 389Hz 772Hz 996Hz 1054Hz 1140Hzrégime 3 399Hz 795Hz 1064Hz 1122Hz 1180Hz

TAB . 6.4 – maillage à 130000 noeuds

mode 1A mode 2A mode 1L mode 1L-1A mode 3Arégime 1 357Hz 707Hz 882Hz 932Hz 1033Hzrégime 2 388Hz 770Hz 990Hz 1049Hz 1138Hzrégime 3 398Hz 793Hz 1057Hz 1116Hz 1177Hz

TAB . 6.5 – Maillage à 217000 noeuds

69

(a) Premier mode azimutal.

(b) Deuxième mode azimutal.

FIG. 6.8 – Influences du régime et du maillage sur les fréquences propres.

70

(a) Troisième mode azimutal.

(b) Premier mode longitudinal

FIG. 6.9 – Influences du régime et du maillage sur les fréquences propres.

71

Discussion :

– Effets de température :Lorsque on augmente le régime de fonctionnement de la chambre on observe unecroissance quasi linéaire des fréquences propres de chaque mode. Nous ne dispo-sons que de trois points de fonctionnements calculés pour le moment, mais cettecroissance quasi linéaire semble être vérifiée expérimentalement.Ceci rejoint les conclusions du paragraphe sur les effets de température moyenne duchapitre V. En effet lorsque le régime augmente on peut voir dans le tableau 4.1 quela température d’entrée dans la chambre des gaz augmente, la richesse augmente etdonc la température moyenne va elle aussi augmenter. Cette augmentation de tem-pérature moyenne se traduit par une augmentation de la vitesse du son moyenne etdonc des fréquences propres de la chambre.

– Effets de maillage et de géométrie :Une autre donnée importante qui ressort de l’analyse ces courbes sont les effets demaillages pour un régime donné. Il faut avoir à l’esprit que ces écarts traduisentdeux effets :– les effets de maillages, c’est à dire l’influence de la taille de maille sur la qualité

des résultats. Ces effets sont visibles si l’on compare le courbes correspondantesau maillage à 10 000 points (respectivement 130 000 points) au maillage à 60000 points (respectivement 217 000 points).Concernant les modes azimutaux on voit que le maillage à 10 000 points donnequasiment les mêmes résultats que celui à 60 000 points. Il semble donc suffi-samment raffiné pour capturer correctement les 3 premiers modes azimutaux.Pour le premier mode longitudinal, en revanche on note un écart conséquent entremaillage à 10 000 noeuds et maillage à 60 000 noeuds. Ce résultat est étonnantcar le premier mode longitudinal est dans la même gamme que le troisième modeazimutal.Les courbes correspondantes aux maillages à 130 000 et 217 000 noeuds se su-perposent parfaitement, le maillage à 130 000 noeuds est donc suffisant pour lesfréquences recherchées.

– Les effets de géométrie, ou plus précisément l’influence du swirler. Il faut pourévaluer cette influence comparer les maillages 10 000 et 60 000 dépourvus deswirler, aux maillages 130 000 et 217 000.Les premiers modes azimutaux (1A, 2A, 3A) ne sont pas sensibles aux effets degéométrie puisque l’écart entre le maillage à 10000 noeuds et celui à 217000 nedépasse pas les 3%. Dans la suite on pourra donc calculer les premiers modesazimutaux avec le maillage 10000 noeuds (soit un temps CPU de 10 minutescontre 33h pour le maillage 217000).En revanche les modes longitudinaux sont très sensibles à l’influence du swirler( fig. 6.9 b).

72

Afin de minimiser le temps de calcul la stratégie consiste donc à calculer lesmodes propres longitudinaux sur un seul secteur de brûleur (20) avec le swirler(temps CPU :1h30). On suppose donc une invariance enθ de ce mode.

6.3.1.2 Conditions limites d’impédance

Les calculs précédents supposent que la chambre est fermée acoustiquement à sonextrémité par une paroi (u

′= 0). En réalité en sortie de chambre se trouve le distributeur

que nous prenons maintenant en compte via son impédance équivalente. Une conditionlimite d’impédance est bien plus contraignante qu’une condition limite simple.

– D’une part la condition limite dépend de la solution, en effet l’impédance est unefonction de la fréquence (fig 6.7).

– D’autre part la taille du problème à résoudre double (cf. chapitre III).On met donc en oeuvre la stratégie décrite précédemment pour le calcul des modespropres avec condition limite d’impédance en sortie :

– calcul des premiers modes azimutaux avec le maillage sans swirler,– calcul du premier mode longitudinal sur un seul secteur de chambre avec swirler.

Les résultats sont répertoriés dans le tableau 6.6 et les figures 6.10, 6.11.

mode 1A mode 2A mode 1L mode 3Arégime 1 344Hz 686Hz 837Hz 1026Hzrégime 2 377Hz 751Hz 942Hz 1124Hzrégime 3 388Hz 775Hz 1002Hz 1151Hz

TAB . 6.6 – fréquence propres avec impédance en sortie

73

(a) Premier mode azimutal.

(b) Deuxième mode azimutal.

FIG. 6.10 – Effet d’impédance en sortie sur les fréquences propres.

74

(a) Troisième mode azimutal.

(b) Premier mode longitudinal.

FIG. 6.11 – Effet d’impédance en sortie sur les fréquences propres.

75

Conclusion :On observe que les modes obtenus restent proches légèrement inférieurs à ceux calculésavecu

′= 0 en sortie, conformément aux résultats du chapitre précédent. Le mode lon-

gitudinal est un peu plus sensible que les modes azimutaux. Sa fréquence varie d’environ5% à 6% par rapport à celle calculée avecu

′= 0 en sortie contre seulement 1 à 4%

pour les modes azimutaux. La tuyère, lorsqu’elle est amorcée, se comporte au premierordre comme un noeud de vitesse. Cependant, si l’on cherche une précision de l’ordre dequelques pourcents, il devient nécessaire de fournir la bonne impédance en sortie.

Remarque 1 :Avec cette stratégie nous obtenons ces résultats avec environ 20h de tempsCPU. En effet, pour le moment, la condition limite d’impédance prise en compte parAVSP est constante. Donc à chaque mode correspond une fréquence, donc une impé-dance et donc un calcul propre. Il est prévu d’implanter dans AVSP une condition limited’impédance fonction de la fréquence de façon à ce que la même condition limite puisses’appliquer pour toute une plage de fréquences.

Remarque 2 :Une inconnue subsiste : les modes couplés, et en particulier le mode 1A-1L(les autres ont des fréquences supérieures à celles que nous étudions). Pour le calcul de cemode il n’y a pas de possibilité de réduire le temps de calcul. Il nous faut tenir compte duswirler pour évaluer correctement la composante longitudinale de ce mode et simuler surla totalité de la chambre annulaire pour la composante azimutale. D’après les calculs aveccondition limite simple de type mur, on a un ordre de grandeur de la fréquence du mode1A-1L. D’après les conclusions du chapitre V sur les effets d’impédance, on s’attend àune baisse de quelque dizaines de Hertz de la fréquence évaluée avec une impédanceen sortie par rapport au cas de la paroi en sortie. On peut donc se donner une bonneestimation de l’ impédance de sortie et effectuer un calcul avec cette première impédance.Si l’on veut le résultat exact il faut itérer les calculs en ajustant à chaque pas l’impédancede sortie correspondante à la fréquence propre calculée. Ici la question se pose de savoir siune telle majoration du temps de calcul est justifiée par la recherche de ce mode. Il seraitintéressant de savoir quels sont ceux qui habituellement posent le plus de problèmes defaçon à se concentrer sur l’évaluation de ceux là. L’expérience permettra de répondre àcette question.

6.3.2 Chambre 2

Nous disposons pour la chambre 2 du maillage avec et sans contournement (fig 6.12 ),nous pouvons donc évaluer l’influence de celui-ci sur les fréquences propres. Les calculssont effectués avec des conditions limitesu

′= 0 partout (entrée diffuseur, sortie foyer et

parois) pour des raisons de temps de calcul.

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(a) vue globale (b) coupe longitudinale

FIG. 6.12 – chambre 2, sans et avec contournement

mode 1A mode 1L mode 1L-1A mode 2A mode2L-1Asans contournement 497Hz 812Hz 904Hz 939Hz 1182Hzavec contournement 424Hz 790Hz 892Hz 818Hz 1156Hz

TAB . 6.7 – Effet du contournement

Comme on l’avait annoncé au chapitre précédent le contournement a une influence déter-minante sur les modes propres aussi bien longitudinaux que azimutaux.Du point de vue des modes longitudinaux le fait de rajouter le contournement change lesdimensions de la chambre. On comprend donc qu’il modifie la fréquence propre, en par-ticulier la longueur d’onde du premier mode propre (1/2 onde) sera plus grande et donc lafréquence propre plus basse.On s’intéresse maintenant aux modes azimutaux, en plus d’un effet purement géométriqueon rajoute également un volume important de gaz frais. Nous avons abordé cette problé-matique dans le paragraphe 5.2.2 concernant les effets de géométrie, où nous avions cal-culé les fréquences propres d’un anneau froid et d’un anneau chaud et des deux anneauxconnectés. La conclusion était que la fréquence des anneaux connectés est intermédiaireà celle des deux anneaux pris séparément, et qu’il n’est donc pas possible de traiter lesanneaux indépendamment les uns des autres.On peut également voir l’influence du contournement comme une discontinuité transversede température, on retrouve ainsi les conclusions du paragraphe 5.3.2.2, à savoir une pertede la structure purement azimutale des modes propres accompagné d’une baisse des fré-quences propres.

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6.3.3 Comparaison des chambres 1 et 2

En comparant les résultats des chambres 1 et 2, il est surprenant qu’il y ait un tel écartentre les modes propres azimutaux. En effet, les rayons moyens des deux chambres sonttrès prochesr1 = 23cm et r2 = 24cm, et quelque soit le régime de la chambre 1 onobserve toujours un écart d’au moins 25% avec les fréquences propres azimutales de lachambre 2.Si l’on compare en détail les champs de température (ou vitesse du son) des figures 6.26.3 6.4 et 6.5, on s’aperçoit qu’il y a une différence fondamentale entre les simulations dela chambre 1 et celle de la chambre 2 : c’est la répartition de température dans les plansde coupe transverses. En effet, si dans le cas de la chambre 1 les flammes sont détachées,séparées par une zone de gaz plus frais, dans le cas de la chambre 2 la zone chaude s’étalesur toute la circonférence du brûleur. Ce sont très probablement ces effets d’inhomogé-néïté de température qui, comme on l’a remarqué au chapitre V, peuvent expliquer engrande partie ces différences de fréquences propres.Ici se pose de façon critique la question des hypothèses mise en oeuvre pour le calculRANS. Il semble que ce soit la valeur du nombre de Prandtl qui soit responsable de cesdifférences entre les deux calculs. En effet le calcul de la chambre 1 est fait avec unPrandlt de 0.8 contre 0.2 pour la chambre 2. Les effets de diffusion thermique sont doncplus importants dans le cas 2, ce qui explique l’étalement de la flamme. On voit ainsi quela distribution spaciale de la température dans la chambre a un rôle majeur sur l’acous-tique et que les calculs simples basés par exemple sur un champ de température homogènene serait pas précis. Le recours à AVSP est nécessaire.

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Conclusion de l’étude

– Si pour l’instant nous ne sommes pas en mesure de prédire de façon quantitative trèsprécise les fréquences propres dans une chambre de combustion aéronautique, cetteétude a permis de mettre en relief un certain nombre de paramètres qu’il convientde maîtriser pour un tel calcul.Concernant la simulation RANS, le premier maillon de la chaîne de calcul, il estimportant d’avoir une forme de flamme ou distribution de champ de températureprécise. Si les écarts de température moyenne ou de température maximale sontsouvent raisonnables d’une simulation à l’autre, les écarts engendrés sur les fré-quences propres ne sont pas critiques (c2/c1 ∝

√T2/T1). En revanche comme le

montre l’exemple traité au chapitre VI, les hypothèses de calcul différentes sur lasimulation RANS peuvent mener à des formes de flamme très différentes, attachéesou non, et qui auront un impact important sur la valeur des fréquences propres ainsidéterminées.

– Si le code NOZZLE permet d’imposer une condition limite de sortie qui sembleréaliste, il serait bon de disposer de données expérimentales pour confirmer notredémarche. Mais la mesure d’impédance en sortie de chambre de combustion resteune tache très délicate du fait des températures dans cette zone de l’ordre de 1000à 1500 K.Enfin se pose la question de la condition limite en entrée du distributeur. Si pourl’instant les calculs sont fait en imposant des fluctuations acoustiques nulles au ni-veau du distributeur, il faut à terme y mettre une impédance. Ici aussi, le recours àdes données expérimentales serait le bienvenu.

– Enfin, il y a encore un aspect sur lequel le savoir faire de l’opérateur est fondamentalquand à l’utilisation de QUIET : le choix du domaine de calcul.En effet lorsque la géométrie est complexe comme dans le cas d’une turbomachineaéronautique, il faut savoir quelle est la partie susceptible de résonner pour limiterle calcul à cette zone, car il n’est bien sûr pas possible de tout prendre en compte.Au début du stage nous étions partis sur le calcul de la chambre et plenum sur unsecteur de 20 degré de chambre. Puis nous avons étendu ce calcul sur les 360 degrésde la chambre annulaire, faisant apparaître les modes azimutaux. Actuellement nouspensons qu’il faut prendre en compte le contournement...

Si ce phénomène d’instabilité acoustique est connu depuis 1840 avec l’expérience deRijke [6], il reste encore mal compris et très difficile à modéliser en particulier dans lesgéométries complexes telles les turbomachines aéronautiques. Cependant, compte tenude la législation sur la pollution, il est impératif de développer des systèmes permettantde réduire les émissions polluantes. Malheureusement ceux-ci engendrent une sensibilitéaccrue des chambres de combustion à ce genre de phénomène, d’où l’importance de cetteétude.

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Bibliographie

[1] T. Poinsot, D. Veynante :Theoretical and Numerical Combustion.Ed-wards,USA,2001.

[2] L. Benoit. : Prédictions des instabilités thermoacoustiques dans les turbines à gaz.Thèse, UNIVERSITE MONTPELLIER II, 2005.

[3] L. Benoit, F. Nicoud. : Numerical assessment of thermo-acoustic instabilities in gasturbines. International Journal of Numerical Methods in Fluids, 47 :849-855, 2005.

[4] A.D. Pierce :ACOUSTICS An Introduction to Its Physical Principles And Applica-tions.McGraw Hill,New York, 1981.

[5] D.T. Blackstock :Fundamentals of physical acoustics.Wiley-Interscience, 2000

[6] P.L. Rijke : Notice of a new method of causing a vibration of the air contained in atube open at both ends. Phil. Mag. 1859.

[7] R.B. Lehoucq, D.C. Sorensen, C. Yang : ARPACK Users’ Guide, Solution ofLarge Scale Eigenvalue Problem with Implicitly Restarted Arnoldi Methods. Hus-ton, Texas, 1997.

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ANNEXE A :

Structure des modes basses fréquence dans une chambre de combustion annulaire :

(a) Premier mode azimutal, 1A (b) Deuxième mode azimutal, 2A

(c) Premier mode longitudinal, 1L (d) Mode couplé, 1A-1L

FIG. 6.13 – Chambre 1, vitesse nulle en sortie.

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ANNEXE B : feuille MAPLE

Calcul de la fréquence des premiers modes propre longitudinaux avec inhomogénéïtélongitudinale de vitesse du son.

> restart;> with(linalg):> _EnvAllSolutions := true:> #------------calcul du coefficient de reflection-----------------#> Z:=polar(0.8,3*Pi/8):> R_l:=(Z-1)/(Z+1):> a:=evalf(Re(R_l)):> b:=evalf(Im(R_l)):> R_l:=a+I*b:> #---------------------------------------------------------------#> a := 2*cos(l_1/c_1*w):> b := -(1+(1/R_L)*exp(2*I*(l_2/c_2)*w)):> c := 2*g*I*sin(l_1/c_1*w):> d := -(1-(1/R_L)*exp(2*I*(l_2/c_2)*w)):> A := matrix ([[a,b],[c,d]]);> #----------------paramètres d’inhomogénéité---------------------#> l_1:=2*L/3:> l_2:=L/3:> L:=4/10:> c_1:=450:> c_2:=900:> rho_1:=277/100:> rho_2:=69/100:> #---------------------------------------------------------------#> R_L:=1:> g :=(rho_2*c_2)/(rho_1*c_1):> det(A):> evalc(det(A)):> w:=solve (evalc(det(A))=0,w):> f:=evalf(w/(2*Pi));f := 3374.999999 _Z1~, 602.0826535 + 3374.999999 _Z2~,

-602.0826535 + 3374.999999 _Z2~, 1313.645210 + 3374.999999 _Z2~,-1313.645210 + 3374.999999 _Z2~

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ANNEXE C : feuille MAPLE

Calcul de la fréquence du premier mode propre longitudinal dans une cavité en fonctionde l’impédance en sortie.

> restart:> with(linalg):> _EnvAllSolutions := true:> #---------nb de point de module--------------------------#> N:=50 :> #---------nb de point de phase---------------------------#> M:=16 :> #--------------------------------------------------------#> RE_Z:= matrix (M,N):> IM_Z := matrix (M,N):> MOD_R := matrix (M,N):> ARG_R := matrix (M,N):> FREQ := matrix (M,N):> CROIS := matrix (M,N):> #--------------------------------------------------------#> for j from 1 to N do> for i from 1 to M do>> #------calcul coeff reflection-------#> Z:=polar(j,(2*i-1)*Pi/16):> re_Z:=evalf(Re(Z)):> im_Z:=evalf(Im(Z)):> RE_Z[i,j] :=re_Z:> IM_Z[i,j] :=im_Z:> R_l:=(Z-1)/(Z+1):> a:=evalf(Re(R_l)):> b:=evalf(Im(R_l)):> R_l:=a+I*b:> MOD_R[i,j]:=abs(R_l):> ARG_R[i,j]:=argument(R_l):> #------------------------------------#> c:=400:> L:=0.4:> f:=-c/(4*Pi*L)*argument(R_l):> if (evalf(f)<0) then f:=-c/(4*Pi*L)*argument(R_l)+c/(2*L):> end if:> fim:=c/(4*Pi*L)*ln(abs(R_l)):> evalf(f):> FREQ[i,j]:=evalf(f):> CROIS[i,j]:=evalf(fim):

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> end do:> end do:> #----------------écrirure dans tube.txt------------------------#> DATA:=matrix (N*M,6):> k:=1:> for j from 1 to N do> for i from 1 to M do> DATA[k,1] := RE_Z[i,j]:> DATA[k,2] := IM_Z[i,j]:> DATA[k,3] := MOD_R[i,j]:> DATA[k,4] := ARG_R[i,j]:> DATA[k,5] := FREQ[i,j]:> DATA[k,6] := CROIS[i,j]:> k:=k+1:> end do:> end do:> fd:=fopen("./../MATLAB/tube.txt",WRITE,TEXT):> writedata(fd,DATA);> fclose(fd);

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