accélération de convergence des algorithmes de résolution...

RAPPORT de D.E.A.

Centre de Mathématique et d’Informatique de Marseille

Stage du 2 avril au 30 août 2002Soutenance : 9 Septembre 2002

Accélération de convergence des algorithmes derésolution des problèmes d’aérodynamique stationnaire

MICKAËL FONTAINE

Référence : WN/CFD/02/85

Encadrement :

S. Champagneux et G. Chevalier, CERFACS-CFD, 42 av. G. Coriolis, 31500 Toulouse

Remerciements

Je tiens tout d’abord à exprimer ma reconnaissance à Thierry POINSOT, chef de l’équipe CFD, pourm’avoir accepter au sein de son équipe.

Je remercie Guilhem CHEVALIER de m’avoir proposé ce stage, Steeve CHAMPAGNIEUX de m’avoirencadré et conseillé dans toutes les phases du stage, Marc MONTAGNAC pour son aide précieuse sur elsA.

Un merci aussi à ceux qui oeuvrent pour que les machines répondent toujours présent : le groupe CSG,avec en particulier Isabelle et Gérard .

Je tiens également à remercier les seniors et ingénieurs , en particulier Benedicte et Jean Christophe ,pour nos nombreuses discussions.

Merci enfin à la documentaliste, Jenny, à la secrétaire de l’équipe, Marie, ainsi qu’à tous les stagiaireset thésards qui contribuent largement à la bonne ambiance qui règne au sein du Cerfacs, grâce à eux j’aipassé cinq mois très agréables.

1

Résumé

Diminuer les temps de calcul sur un code de simulation numérique, tout en conservant une bonne préci-sion des résultats est un objectif constant dans le milieu de la mécanique des fluides numérique. L’objectifde ce travail est de trouver des moyens d’atteindre ce but pour le code de calcul elsA.Des tests ont été effectués pour evaluer l’influence de paramètres géométriques et topologiques du maillagesur les temps de calcul sans donner de résultats probants.L’utilisation d’un procédé s’inspirant des méthodes multizones, a par contre, donné de meilleures résultatsen ce qui concerne la diminution des temps de calculs.

Abstract

One of the main purpose in cfd is to decrease the calculation time, whyle keeping a great accuracy ofthe results. The aim of this work is to find methods in order to reach that objective with the elsA software.Some tests have been done to evaluate the influence of different block orientation and numerotation of thegrid on the calculation time, but no real effects was noticed.By using a kind of zonal approach, an interesting decreasing of calculation time was obtained.

2

Table des matières

Remerciements 1

Introduction 5

1 Analyse du problème et des algorithmes de résolution 71.1 Modèle Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Modélisation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Formulation Volumes Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Intégration en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Résolution du système d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Stratégies liées aux algorithmes de résolution 132.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Orientation des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Numérotation des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Approche zonale 173.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Adaptation au code elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Structure du code elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Modifications apportées au code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Premiers tests sur un cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Conclusion 23

Bibliographie 25

Annexes 29Maillage 30 blocs du profil 2D RAE2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Orientation des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Numérotation des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Exemple de résultats sur la configuration init . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Table des figures

2.1 Profil du RAE2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Découpage du domaine de calcul en blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Visualisation des blocs du domaines de calcul près du profil . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Orientation initiale des blocs ( init ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Numérotation initiale des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Schéma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Structure en “couches” du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 comparaison des Cp obtenus sans et avec utilisation du principe zonal sur le cas test init . . 193.4 comparaison des composantes suivant x, y et z du vecteur frottement a la paroi obtenus avec

et sans utilisation du principe zonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Maillage de la zone de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Maillage sur l’aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7 Coupe du domaine à y constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.8 Maillage de la zone de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.9 Visualisation du maillage près du profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 orient1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.11 orient2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.12 orient3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.13 orient4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.14 orient5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.15 num1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.16 num2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.17 num3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.18 num4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.19 num5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.20 num6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.21 Variation des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.22 Variations des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.23 champs de vitesse autour du profil ( nombre de Mach ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.24 champs d’énergie turbulente autour du profil avec visualisation des blocs . . . . . . . . . . 34

4

Introduction

L’ étude de phénomènes aérodynamiques autour de composantes ( aile, fuselage, nacelles ... ) d’avionsnécessite l’utilisation de codes de simulations numériques. Ces derniers sont nombreux et adaptés sou-vent aux types d’études réalisées, mais pour plus de facilité d’utilisation, trois organismes, Airbus France,l’Onera et le Cerfacs, se sont regroupés afin de mettre au point un code généraliste commun en CFD 1, celogiciel, elsA 2 est actuellement en cours de développement dans les laboratoires, et une première versionsera mise en production au niveau industriel en fin d’année 2002.Mon stage s’incrit donc dans cette phase de développement du code, notamment dans l’ optimisation de lavitesse de résolution des calculs. En effet, comme avec tous les codes de CFD, les calculs peuvent devenirvite très longs en instationnaire ou sur des configurations tridimensionnelle par exemple , par conséquent ilest nécessaire de trouver des moyens pour réduire ces temps d’exécution, ce qui a été le but du stage.Mais afin de décrire les procédés utilisés pour accélérer la résolution des problèmes d’ aérodynamique, ilfaut dans un premier temps analyser les algorithmes mis en jeu dans le code afin d’en comprendre les mé-canismes, puis déterminer les gains potentiels réalisables.

Ces différents points seront développés dans la suite du rapport, mais avant tout une présentation du CER-FACS doit être faite pour situer la cadre dans lequel s’est déroulé le stage.Le CERFACS ( Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique ), fondé en1987, est un laboratoire de réputation internationale dans le calcul scientifique à haute performance. Uneéquipe de plus de 100 personnes, chercheurs, post-doctorants, doctorants, consultants et stagiaires représen-tant de nombreuses nations y travaillent.Ce groupe de personnes est divisé en quatre équipes représentant les axes de recherche du laboratoire,

– Algorithmique et Calcul parallèle (développement d’algorithmes de résolution numérique optimiséspour des calculateurs à hautes performances).

– Climatologie (Modélisation des interactions océan-atmosphère, modèles climatiques, assimilation dedonnées et prévisions climatiques ).

– Electromagnétisme (Simulation de propagation d’ondes, application à la compatibilité électromagné-tique).

– Mécanique des fluides numérique (CFD)L’ équipe CFD regroupe deux domaines de recherche, l’ aérodynamique (Simulation d’écoulements autourd’un avion et phénomènes liés, par exemple : sillage, intéraction choc/couche limite, etc..) et la combustion(Combustion interne aux moteurs pour l’automobile et les turbines, études pour la réduction des émissionspolluantes etc ... ).

1Computational Fluid Dynamic2ensemble logiciel pour la simulation en Aérodynamique

5

CHAPITRE 1. ANALYSE DU PROBLÈME ET DES ALGORITHMES DE RÉSOLUTION

Chapitre 1

Analyse du problème et des algorithmesde résolution

Le logiciel elsA est un outil de simulation numérique en Aérodynamique : il résout les équations deNavier-Stokes compressibles 3D stationnaires et instationnaires discrétisées via une approche volume finissur des maillages de type multi-blocs structurés. Le problème résolu est de type système d’EDP soumis àdes conditions initiales et aux limites.Dans une première partie, il sera question de la modélisation physique des problèmes étudiés, puis dans uneseconde, l’accent sera mis sur l’aspect numérique .

1.1 Modèle Physique

Le cadre de l’étude sera le suivant : placé en régime continu, les fluides étudiés seront considérés commeconstitué d’une seule espèce et avec une variation de la masse volumique ρ suffisamment faible pour queles effets de gravité soient négligés.Il est admis que cette description relève des équations de Navier-Stokes compressibles complétées par deslois de comportement et des lois d’états , ces équations n’étant autre que des équations de bilan sur lesvariables conservatives : la masse volumique, ρ, la quantité de mouvement par unité de volume, ρU etl’énergie totale par unité de volume, ρE :

bilan de masse∂ρ∂t

div ρU 0 (1.1)

bilan de quantite de mouvement∂ρU∂t

div ρU U pI τ 0 (1.2)

bilan d energie∂ρE∂t

div ρE U pU τ U q 0 (1.3)

où U est le champ de vitesse exprimé dans un repère absolu, p, τ et q, respectivement la pression, letenseur des contraintes dues à la viscosité et le vecteur du flux de chaleur dû à la conductivité thermique.Pour fermer le problème, il faut préciser les lois de comportement et d’état du système.Le modèle du gaz parfait, à chaleur spécifique constante sera alors retenu pour le fluide, ce qui signifie quel’energie interne e et la pression p seront donnés par les relations,

e CvT p rgazρT (1.4)

où rgaz représente le rapport de la constante universelle des gaz parfaits à la masse molaire du gazconsidéré, et Cv, la chaleur spécifique à volume constant.Par ailleurs pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes est donné par la loi,

τ λ divU I 2µD (1.5)

7

1.2. MODÉLISATION NUMÉRIQUE

où D est le tenseur de taux de déformation, et λ et µ les deux coefficients de viscosité du fluide, vérifiantl’hypothèse de Stokes, 3µ 2λ 0.Le vecteur du flux de chaleur est quant à lui donné par la loi de Fourier,

q KT gradT (1.6)

où KT désigne le coefficient de conductivité thermique.

1.2 Modélisation numérique

1.2.1 Formulation Volumes Finis

Le code elsA utilise une formulation en volumes finis sur un maillage constitué de cellules hexaédriquesoù les inconnues sont calculées au centre de ces dernières ( approche “cell centered”). Sur ces cellules serontdonc déterminés des bilans de flux établis à partir des équations de Navier-Stokes ( 1.1, 1.2 et 1.3) écritessous la forme,

ddt

Ω t WdΩ

∂Ω t Fc W s Fd W gradW ndΣ Ω t T W gradW dΩ (1.7)

où W est le vecteur des variables conservatives, Fc, celui du flux convectif,Fd, le flux diffusif et T, leterme source volumique.

W ρρUρE

(1.8)

1.2.2 Discrétisation spatiale

La discrétisation spatiale de l’équation (1.7) sur une cellule élémentaire Ω t du domaine , donne, aprèsque les termes aient été moyennés 1 sur chaque Ω t de volume V Ω t :

ddt V Ω WΩ 6

∑i 1 Fn Σi V Ω TΩ (1.9)

La formulation précédente est une formulation exacte, mais à présent le flux exact Fn Σi va être ap-proché, par un flux numérique F W Wi de même que W et T, ce qui donne alors, avec l’hypothèse d’unmaillage fixe 2,

ddt

WΩ 1V Ω 6

∑i 1

F WΩ WΩi NΣi V Ω TΩ 1V Ω RΩ (1.10)

où RΩ est le résidu numérique de modélisation.

Le flux F W Wi est constitué d’un flux convectif Fc et d’un flux diffusif Fd, ces flux peuvent être alorsapprochés par plusieurs schémas, centrés ou décentrés, mais pour la suite , il sera retenu une approche cen-trée de Jameson stabilisée par un flux de dissipation artificielle pour le flux convectif et des schémas centréspour la détermination du flux diffusif.Le terme source quant à lui peut comporter plusieurs composants, production, dissipation, bas Reynolds.Ces termes s’écrivent entre autres en fonction de gradU et de grad gradU qu’ il faudra discrétiser. gradUle sera à la manière décrite en 1.13 et pour grad gradU une extrapolation de gradU à l’ordre un serautilisée.

1par ex : WΩ t 1V t ! " Ω t ! W t dΩ

2autrement dit, V Ω t V Ω 8


Schéma de Jameson

Pour ce schéma, le flux de Jameson, approximation du flux convectif, s’écrit sur les faces Σl du volumede contrôle Ω,

FJam # WΩ $ WΩl % & NΣl ' 12 ( Fc # WΩ % ) Fc # WΩl % * & NΣl + Dl (1.11)

oú W et Wl sont respectivement les inconnues conservatives dans la cellule Ω et dans la cellule voisineΩl , adjacente à la face Σl , et où Dl désigne le flux de dissipation artificielle.Le schéma de Jameson s’écrit alors :

ddt

WΩ ' + 1V # Ω % , 6

∑l - 1

12 ( Fc # WΩ % ) Fc # WΩl % * & NΣl + Di + D j + Dk + V # Ω % TΩ . (1.12)

où Di, D j et Dk représentent l’opérateur de dissipation artificielle, appliqué dans la cellule i jk, dans lesdirections + / i , + / j et + / k du maillage structuré. Cet opérateur comporte pour chaque direction, un terme dedissipation non linéaire du second ordre pour capturer les discontinuités de l’écoulement et un terme dedissipation linéaire du quatrième ordre qui avec celui du second ordre sert à assurer la stabilite de l’approxi-mation. Ces opérateurs de dissipations comportent même des termes appelés senseurs ( combinaison d’unedifférence seconde de la pression statique et de la vitesse ) dont le rôle est de détecter les ondes de chocainsi que les discontinuités de contact.

Détermination du flux diffusif

Le flux diffusif comporte des termes de gradients de vitesse, de température, de quantités turbulentes.La discrétisation de ce terme fait donc intervenir deux étapes, une d’évaluation numérique des gradients,une autre de discrétisation du flux diffusif.L’évaluation des gradients se fait grâce à une formule de la moyenne sur la cellule Ω de centre M et duthéorème de Green-Ostrogradski, par exemple pour gradU,

gradUM ' 1V # Ω % 0 Ω gradUdΩ ' 6

∑i - 1

1V # Ω %10 Σi

U 2 ndΣ3 4 5 67 12 8 UΩ 9 UΩi : ; NΣi

(1.13)

la densité de flux elle, se déterminera pour les faces intérieures Σi , par la demi somme des densités deflux dans la cellule Ω et dans la voisine Ωi ,

0 Σi

Fd & ndΣ ' 12 # FdΩ ) FdΩi % &NΣi (1.14)

1.2.3 Intégration en temps

En notant RΩ, le résidu de modélisation ( cf. 1.10 ), l’équation différentielle ordinaire à résoudre devient,

ddt

WΩ '+ 1V # Ω % RΩ (1.15)

La méthode utilisée pour déterminer la solution de 1.15 est du type “Alternative Explicite/Implicite”,puisque l’intégration de cette équation se fait de manière explicite, le schéma le plus fréquemment utilisépour la discrétisation de cette expression dans le code elsA étant le schéma de Runge Kutta à 4 pas ( schémaexplicite, du second ordre en temps, de domaine de stabilité linéaire assez étendu ), alors que par la suite, larésolution du système se fait de manière implicite ( cf. 1.2.4 ).

9


<===========> ===========?W0 @ Wn

...

∆Wi @BA αi∆t

V C Ω D R C i E 1DΩ

Wi @ W0 F ∆Wi G i HJI 1 G 4 K...Wn L 1 @ W4

(1.16)

où α1@ 1

4 , α2@ 1

3 , α3@ 1

2 et α4@ 1.

Dans le cas d’un écoulement stationnaire, cas étudié par la suite ( Chap. 2 ), la méthode sera dite “pseudo-instationnaire” puisque qu’elle n’est pas nécessairement consistante avec une évolution instationnaire ayantun sens physique, le temps étant alors un paramètre itératif permettant de converger vers une solution sta-tionnaire.Dans l’expression du résidu explicite, le flux convectif est recalculé à chaque pas Runge-Kutta alors que leflux diffusif ainsi que le terme de dissipation numérique ( cf. section 1.2.2 ) et le terme source sont figés àla première étape pour ne pas rendre le coût de l’intégration en temps trop prohibitif.

Détermination du pas de temps

La détermination du pas de temps nécessite la connaissance des valeurs propres de la matrice d’am-plification du schéma numérique. Dans le cas pseudo-instationnaire une convergence rapide vers un étatstationnaire est recherchée, cela implique l’utilisation d’un pas de temps local ( différent d’une maille àl’autre ) calculé comme le minimum de deux pas de temps locaux associés aux opérateurs hyperboliques etparaboliques des équations de Navier-Stokes.Le critère de stabilité de l’opérateur hyperbolique 3 , donne la condition suivante sur le pas de temps ,

∆tC @ CFL∆hM

UM F a

(1.17)

avec CFL, le nombre de Courant-Friedrich-Lewy 4 introduit pour assurer la stabilité du schéma numé-rique , ∆h une dimension caractéristique du volume de controle et a la vitesse du son.Le critère de stabilité de l’opérateur parabolique donne en monodimensionnel la condition, ∆tD N ∆h2

2κ .

Le pas de temps local sera donc le minimum des deux pas de temps,

∆t @ min O ∆tC G ∆tD P (1.18)

1.2.4 Résolution du système d’équations

La résolution du système se fait par une méthode d’inégration implicite, ainsi à partir de notre système(1.15), le problème peut se ramener à la résolution de

V Wn L 1 A Wn

tnL 1 A tn@ Rn L 1 (1.19)

où RnL 1 sera déterminé par linéarisation à l’ordre 1 en temps, au voisinage de Rn sur le domaine Ω,

Rn L 1Ω Q Rn

ΩF ∂RΩ

∂W∆WΩ

F 6

∑i R 1

∂RΩ∂WΩi

∆WΩiS T U VJ

(1.20)

3en monodimensionnel ce critère s’écrit ∆tC∆x W 1X

λX

4pour les équation de Navier-Stokes, il n’est pas possible de déterminer ce nombre par une analyse théorique de la stabilité numé-rique, il est donc pris voisin d’un nombre calculé moyennant de nombreuses approximations dans les équations

10


Le système (1.15) peut alors se mettre sous la forme,Y∆h∆t

I Z J [ ∆W \] R (1.21)

Méthode ADI

La technique des directions alternées ( ADI5 ) consiste à substituer à l’opérateur implicite, un opérateurfactorisé suivant les directions du maillage.En effet, une méthode implicite classique demande la résolution d’un grand nombre d’équations, M ^ N àla fois et à chaque pas de temps, la méthode ADI quant à elle se base sur le principe d’être implicite dansune direction x ou y à un pas de temps, et implicite dans l’autre direction au pas de temps suivant. Au coursd’un cycle complet, il sera donc résolu M puis N équations, ce qui est considérablement plus efficace.

Méthode LDU

Cette méthode consiste à écrire la matrice du système (1.21) d’une manière plus simple pour la réso-lution. Ainsi, en écrivant _ ∆h

∆t I Z J ` ∆W \a] R \ L Z D Z U , avec L, la partie triangulaire inférieure, D ladiagonale, U la partie triangulaire supérieure, il vient la factorisation approchée suivante ,

L Z D Z U bc L Z D d D e 1 c U Z D d (1.22)

avec une erreur connue, LD e 1U , et cela donne pour (1.21) ,c L Z D d D e 1 c U Z D d ∆W \] R (1.23)

Il ne reste plus alors qu’à résoudre (1.23) en trois étapes,fg h c L Z D d ∆W1 \] R c i dD e 1∆W2 \ ∆W1 c ii dc U Z D d ∆W \ ∆W2 c iii d (1.24)

Méthode SSOR

Il s’ agit de calculer une succession de solutions approchées au système exact :c L Z D Z U d ∆W \] R

C’est ici une méthode de relaxation par balayage amont et aval, ce qui donne les deux étapes ci dessousrépétées à chaque cycle de relaxation :c L Z D d ∆Wp i 1

2 \] R ] U∆Wpc D Z U d ∆Wp i 1 \] R ] L∆Wp i 12

(1.25)

où p indique le numero du cycle SSOR.

5Alternating Direction Implicit

11


12

CHAPITRE 2. STRATÉGIES LIÉES AUX ALGORITHMES DE RÉSOLUTION

Chapitre 2

Stratégies liées aux algorithmes derésolution

2.1 Préliminaires

Dans la première partie de ce rapport, il a été présenté succintement différents algorithmes liés à la ré-solution de problèmes d’aérodynamique, il est intéressant alors de regarder ce qu’il est possible de changerdans la configuration ( géométrie. topologie ) d’un cas test étudié afin d’augmenter l’efficacité des algo-rithmes.Les tests qui suivent ( section 2.2 ) ont été réalisés sur un profil 2D RAE2822 ( Fig. 2.1 ), autour de celui ciil a été mis en place un domaine de calcul qui sera découpé en blocs ( Fig. 2.2 et Fig. 2.3 ), lesquels serontmaillés par des héxahèdres1 ( voir annexe page 29 pour le détail du maillage ).Les conditions du calcul sont alors : un angle d’attaque de 2.79 degré et un nombre de Mach égal à 0.73 .

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z/c

x/c

Profil RAE2822

"profil.dat"

FIG. 2.1 – Profil du RAE2822

FIG. 2.2 – Découpage du domaine de calcul en blocs

1bien qu’étant en 2D, le domaine de calcul a quand même une épaisseur

13

2.2. TESTS

FIG. 2.3 – Visualisation des blocs du domaines de calcul près du profil

2.2 Tests

Dans le but de déterminer le comportement des calculs par rapport au données géométriques d’un castest précis ( profil 2D RAE2822 ), plusieurs tests ont été mis en place prenant en compte diverses numé-rotations et orientations des blocs du maillage. Pour voir si ces types de manipulation ont une incidencesur la vitesse d’execution des calculs, les résultats seront comparés à une configuration initiale donnée quisera appelée init. Cette configuration a été générée automatiquement par le logiciel qui a été utilisé pourmailler le domaine, et bien que le découpage des blocs ait été effectué par l’utilisateur, leur orientation etleur numérotation sont automatiques mais modifiables. Le but de ce paragraphe est donc de déterminer, sielle existe, la configuration optimale pour les calculs.

2.2.1 Orientation des blocs

Dans la section 1.2, il a été décrit quelques algorithmes utiliés dans le code, notamment l’ AlternatingDirection Implicit ( cf. 1.2.4 ) qui procède par balayage des blocs suivant certaines directions, c’est à diresuivant l’orientation des blocs, il est intéressant alors de déterminer, l’influence de cette orientation sur lavitesse d’exécution des calculs.

Les différentes configurations testées

Orienter les blocs, c’est leur donner un sens de lecture et de traitement. Les mailles les constituant serontlues dans le sens des i et j croissants ( c’est un cas 2D, donc k n’intervient pas ).Dans un premier temps il s’agira de suivre la physique du phénomène. En effet, le fluide s’écoulant degauche à droite, il est interessant de regarder si une orientation des blocs dans le sens d’écoulement dufluide apporte une amélioration du temps de calcul. Cette remarque sera testée pour les différentes “cou-ches” de blocs ( ceux adjacents au profil, ceux complêtement à l’extérieur, et ceux au milieu ), cela va doncdonner les tests : orient1, orient2, orient3. Et pour vérifier l’influence forte ou non de la physique, le cas oùtous les blocs sont orientés contre le flux ( orient4 ) sera lui aussi etudié.Dans un second temps, il sera intéressant de regarder en quoi le fait d’intervertir les rôles de i et j peutaffecter la vitesse d’exécution des calculs ( orient5 ).

La configuration de départ ( orient1 ) a été schématisée sur la figure Fig. 2.4, les autres se trouvent enannexes ( page 30 ). Sur ces schémas sont représentés pour chaque couche de blocs ( proche paroi, externeset les autres ) l’orientation de chacun des blocs, c’est à dire le sens dans lequel sont numérotés les noeudsdu maillage.

Les résultats

Les résultats obtenus après ces divers calculs ne sont pas probants ( voir Tab. 2.1 ) : ils ont tous un com-portement voulu ( les résidus et les efforts sont identiques au cas initial ) mais il n’y a pas eu d’amélioration

14

CHAPITRE 2. STRATÉGIES LIÉES AUX ALGORITHMES DE RÉSOLUTION

i

i

j

j

j

i

j

i

i

j

i

j

FIG. 2.4 – Orientation initiale des blocs ( init )

notable dans les vitesses d’exécution.Par contre ces tests montrent clairement qu’une influence de l’orientation des blocs existe puisque faire uncalcul avec la configuration orient4 ferait perdre 10% de temps à l’utilisateur ( pour ce cas 2D en particulier), donc en maillant le domaine de calcul il faut veiller à bien orienter les blocs du maillage .

Tests Gain en % de temps cpupar rapport a init

orient1 +0.95orient2 +5.76orient3 +2.6orient4 +10.46orient5 -0.5

TAB. 2.1 – Comparaison des résultats pour les diverses orientations de bloc

Précisions Les résultats obtenus précédemment l’ont été pour un même nombre d’itérations et un mêmeniveau de convergence, en effet, pour chaque cas tests, à l’issue des 3500 itérations qui ont été lancées,les résidus décroissent sensiblement de la même manière diminuant alors d’un facteur 104 à 105 ( voir enannexe page 3.3.1 un exemple de résultats pour les résidus et les efforts ) .

2.2.2 Numérotation des blocs

Les configurations testées

Numéroter les blocs c’est donner aux algorithmes de résolution l’ordre dans lequel trouver les solutionsau problème d’aérodynamique, or il a été constaté pour le code précédemment développé au Cerfacs, NSMB2 que cette numérotation pouvait influencer la vitesse de calcul.Plusieurs tests ont donc été effectués, en respectant le sens de l’écoulement ( num1, num2, num3 ), ens’inspirant de la configuration initiale où la numérotation s’effectuait dans le sens inverse des aiguillesd’une montre ( num4 et num5 ) et enfin, en utilisant l’ordre dans lequel seraient traitées les conditions auxlimites ( num6 ).En effet, ce dernier test utilise le fait que dans le code, les conditions limites sont mises à jour d’abord sur laparoi, puis sur les bords du domaine, donc la numérotation des blocs commencera par ceux juxtant la paroiavant de continuer par ceux sur les bords du domaine.La configuration initiale ( init ) a été représentée ci dessous, Fig. 2.5, les autres se trouvent en annexes (page 31 ).

2Navier Stokes Multi-Blocs

15

2.2. TESTS

22

24

26 28

2

2911

30

20

Agrandissement

18

16 14 12

1

1517

19

21

29272523

13

5 4 3

11

6

10987

FIG. 2.5 – Numérotation initiale des blocs

Les résultats

Tout comme pour la partie 2.2.1, les résultats ici non plus ( voir Tab. 2.2 ) ne montrent pas une réelleinfluence de la numérotation des blocs sur la vitesse d’exécution du programme. Et même si le cas num6peut sembler interessant, un gain de 4 j 6% n’est pas suffisant pour prétendre avoir trouvé le moyen de réduireles temps de calculs, le but serait de pouvoir atteindre plus de 10%, ce qui sera fait plus loin ( section 3.2 )avec une méthode zonale.


num1 +6num2 +3.2num3 +1.52num4 +3.98num5 +3.44num6 -4.64

TAB. 2.2 – Comparaison des résultats pour les diverses numérotations de bloc

Conclusion

Ce qu’il résulte des différents tests vus dans cette partie, c’est que la mise en place du maillage, notam-ment dans le choix de l’orientation des blocs ou leur numérotation, a une influence non négligeable sur lavitesse d’exécution des calculs. Pour le moment, les temps n’ont pu être diminués de façon remarquable,mais ce qui est sûr, c’est que pour un calcul donné, surtout quand il faudra passer sur un cas tridimensionnel,une attention particulière devra être apportée à ces problèmes de géométrie.

16

CHAPITRE 3. APPROCHE ZONALE

Chapitre 3

Approche zonale

3.1 Principe

Le principe de la méthode zonale est décrit dans [7], il consiste à se servir du fait qu’il existe différentsrégimes d’écoulement pour un fluide , ainsi, il existe une zone où l’action de la viscosité est très importante( dans la couche limite, proche de la paroi ) et une zone où l’ action de celle ci est négligeable. De cettedifférence de propriétés physiques va naître une différence de résolution numérique adaptée à chacune deszones. L’idée consiste donc à réduire la résolution d’ un problème sur tout le domaine D à celle de plusieurssous-problèmes posés sur des sous-domaines Di de D.Cette méthode soulève de nouvelles difficultés puisqu’il faudra traiter des échanges au travers des frontières“artificielles” qui ont été créées par le découpage du domaine. Ainsi, en plus des conditions aux limitesphysiques propres au problème il faudra définir des conditions aux limites numériques sur les différentesfrontières crées par le découpage en zones afin d’ assurer la convergence vers le problème exact en unnombre minimum d’ itération.Pour un écoulement bidimensionnel visqueux le découpage du domaine repose sur des considérations phy-siques ( Fig. 3.1 ), ainsi la région externe ( zone non visqueuse Z1 ) sera traitée par les équations d’ Euler,la zone de faible intéraction visqueuse Z2, par les équations de couche limite et la zone Z3 où existent desphénomènes de fortes intéractions visqueuses, par les équations de Navier-Stokes. Il faut noter aussi quepour réaliser ce découpage en trois zones, le maillage doit être adapté à chacune des zones.La méthode multizone repose alors sur un couplage des solutions obtenues dans les différentes zones, c’ està dire, un couplage Euler - couche limite (zones Z1 et Z2) et un couplage Navier-Stokes ( zone Z3 ) avec lasolution issue du raccord entre l’ écoulement non visqueux et la couche limite.

Z1

Z2

Z3

FIG. 3.1 – Schéma de principe

L’ intérêt de la méthode multizone réside dans l’ adaptation de la résolution du problème à la physiquedu phénomène, surtout en intégrant le fait que le calcul des équations d’Euler se fait plus rapidement quecelui des équations de Navier-Stokes. En se servant de ce principe, l’ utilisateur d’un code cfd peut alorsespérer augmenter de façon non négligeable la vitesse de résolution de ses problèmes.Dans [8], il a été ainsi obtenu de très bons résultats quant à la vitesse de résolution de problèmes d’ aérody-namique, ainsi, pour un écoulement subsonique bidimensionnel autour d’un profil NACA0012, la méthodemultizone a apporté, pour un même niveau de convergence, un gain en temps cpu de l’ ordre de 60% par

17

3.2. ADAPTATION AU CODE ELSA

rapport à un calcul sans utilisation de cette méthode.

3.2 Adaptation au code elsA

L’ adaptation de la méthode multizone décrite ci dessus au code elsA ne se fait pas sans difficultés,notamment avec les problèmes de transmission d’ informations entre les zones à faible et forte viscositépuisque par exemple les zones Navier-Stokes utilisent des équations de la turbulence dont les variablesdevront être initialisées aux frontières artificielles inter-zones par les valeurs des champs ( sans termes deturbulence ) de la zone Euler, quelles valeurs initiales donner alors à ces variables turbulentes ?La structure du code elle même pose une difficulté pour utiliser cette méthode de résolution, en effet, pourles travaux réalisés dans [8] et [7] trois codes, spécifiques à des écoulements Navier-Sokes, Euler et couchelimite ont été utilisés , mais dans notre cas, le code ( Navier-Sokes ) elsA doit être le seul utilisé.Par ailleurs, elsA a des options pour lui permettre de résoudre des écoulement obeissant aux équtationsd’Euler, mais la structure du code ne permet pas d’utiliser les équations d’Euler et de Navier-Sokes pour unmême écoulement : cette option est globale et ne peut donc pas être appliquée localement.Par conséquent certaines parties du code devront être modifiées afin de pouvoir mettre en place une sortede méthode multizone c’est à dire, une qui tiendra compte des propriétés physiques de l’ écoulement sanspour autant être aussi complête que ce qui a été décrit à la section 3.1. Les équations d’Euler ne seront doncpas mises à contribution, mais il sera utilisée une astuce de calcul dans le code concernant la résolutionles équations de la turbulence . Pour pouvoir réaliser cela, il faut dans un premier temps comprendre lemécanisme de programmation du code elsA.

3.2.1 Structure du code elsA

Le code elsA est un code orienté objet, il est structuré en modules pour lui permettre de décomposerles problèmes, de gérer un grand nombre de composants, de définir des espaces de travail indépendants,chacun de ces modules est un ensemble de fonctionnalités implémentées par des classes, ces classes ayanten charge par exemple : la géométrie, la modélisation de la turbulence ... Le diagramme ci dessous ( Fig. 3.2) montre l’intéraction entre les différents modules du code.

Rhs(phase implicite) (discretisation spatiale)

Lhs

Tmo

(integration temporelle)

(thermodynamique)

(champs)Fld

TurGeo, Blk, Dtw

(modelisation de la turbulence)(geometrie, topologie)Eos

FIG. 3.2 – Structure en “couches” du code

Pour la résolution des équations de Navier-Stokes, le code procède par découpage du problème ensystèmes, ici il y en a deux, un système “champs moyen” et un système “champs turbulent”. Pour chaquebloc du domaine les équations du champs moyen seront résolus en premier en veillant à ce que les valeursdes variables turbulentes soient fixes ( égales à leur valeur à l’itération précédente ), puis les variables duchamps moyen seront figées pour permettre la résolution des équations de la turbulence. C’est cette propriétéde résolution par systèmes qui va être utilisée par la suite pour mettre en place une méthode qui s’inspiredes principes des méthodes zonales.

18


3.2.2 Modifications apportées au code

L’objectif ici ne sera pas de résoudre les équations appropriées dans les zones appropriées, mais d’utili-ser le fait que la viscosité est quasiment nulle loin des parois ( voir Fig. 3.24 en annexe ) et qu’alors il n’y àpas lieu de résoudre les équations de la turbulence .Avec l’utilisation des systèmes dans le code, il est très simple d’empécher l’exécution de calculs inutiles, ilfaut alors intervenir dans les modules Tmo1 et Rhs2 et bloquer certaines étapes du calcul pour les blocs dumaillage situés dans les zones à faible viscosité. Les résultats donnés par ce procédé de calcul sont présentésà la section suivante.

3.2.3 Résultats

Les tests ont été lancés sur les cas init et num6 en “marquant” certains blocs3, ceux qui se trouvent dansune zone où la turbulence est quasiment nulle, blocs choisis “manuellement” d’après les résultats d’unepremière simulation ( voir champs d’énergie turbulente Fig. 3.24 ). Le cas num6 a été repris ici avec cettemodification du code ( il devient alors num6spe ), car c’est le cas test qui a apporté les meilleures résultatsen terme de gain cpu parmi ceux étudiés dans la partie précédente ( section. 2 ). La comparaison de num6speet de initspe permettra de voir si une combinaison de méthodes ( bonne numérotation des blocs, choix derésolution spécifique suivant les blocs ) apportera des gains en temps plus importants.

Dans un premier temps il faut veiller à ce que la solution obtenue avec les modifications apportés dansla résolution au niveau de certains blocs ne soit pas différente de celle obtenue initialement. Un moyende comparer les deux résultats est de regarder la distribution du coefficient de pression le long du profil (fig. 3.3 ).

FIG. 3.3 – comparaison des Cp obtenus sans et avec utilisation du principe zonal sur le cas test init

Les figures 3.3 et 3.4 montrent qu’il n’y a aucune différence entre les deux résultats. Ainsi le fait debloquer les calculs turbulents dans les blocs externes ne dénature pas la solution finale, mais apporte ungain en temps d’éxecution bien meilleur que ceux obtenus à la section 2, ceci est clairement visible sur le

1en charge de l’intégration temporelle2Right Hand Side, en charge de la disrétisation spatiale3Le code saura alors qu’il ne faut pas calculer la partie turbulente dans ces blocs

19

3.2. ADAPTATION AU CODE ELSA

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x/c

0

0.004

0.008

com

posa

nte

suiv

ant x

sans methode zonaleavec methode zonale

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x/c

0

0.002

0.004

com

posa

nte

suiv

ant y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x/c

-0.002

0

0.002

com

posa

nte

suiv

ant z

FIG. 3.4 – comparaison des composantes suivant x, y et z du vecteur frottement a la paroi obtenus avec etsans utilisation du principe zonal

tableau Tab. 3.1 où pour les deux cas, un même nombre d’itérations a été réalisé ( 1000 itérations sur la grillefine aprés initialisation par un résultat obtenu sur une grille grossière ) et un même niveau de convergenceatteint.


( 1000 itérations sur la grille fine )

initspe -14.7num6spe -20.36

TAB. 3.1 – Comparaison des résultats avec application du principe zonal

Commentaires Ce que les données précédentes montrent, c’est qu’empécher l’exécution des calculs tur-bulents loin des parois permet de gagner du temps tout en conservant la justesse des résultats. Par ailleursen combinant un résultat obtenu précédemment sur les numérotations de bloc avec cette approche zonale,la vitesse se trouve augmentée en conservant toujours le même degré de convergence des calculs.

20


3.3 Premiers tests sur un cas 3D

Les tests réalisés jusqu’à présent l’ont été sur une configuration bidimensionnelle, mais ce qui intéresseen particulier l’utilisateur c’est de pouvoir gagner du temps sur des calculs tridimensionnels, c’est pour celaqu’un premier calcul a été effectué sur une aile référencée par l’Onera sous le nom M6, pour voir si lesmodifications apportées au code, permettent d’obtenir ici aussi de bons résultats en terme de gain en tempsde calcul .

Le maillage utilisé pour les calculs comporte 624162 noeuds répartis sur 2 blocs, avec la répartitionsuivante,

– Un bloc comprenant l’aile et son sillage, contenant 193 k 49 k 41 l 387737 noeuds.– Un bloc , contenant 193 k 49 k 25 l 236425 noeuds.

FIG. 3.5 – Maillage de la zone de calcul

FIG. 3.6 – Maillage sur l’aile

21

3.3. PREMIERS TESTS SUR UN CAS 3D

FIG. 3.7 – Coupe du domaine à y constant

3.3.1 Résultats

Ce qu’il est possible de dire après un tout premier calcul, c’est que pour cette configuration à deuxblocs : l’un englobant l’aile et la couche limite, l’autre, le reste du domaine, les résultats sont encoura-geants, puisque il y a un gain de temps, mais de l’ordre de 8% cette fois, pour des calculs à même nombred’itérations.Pour obtenir de meilleurs temps de calcul, il faudrait prendre le temps de modifier la découpe des blocs, etde jouer sur les orientations et numérotations de ces derniers, ce qui pourra être envisagé par la suite.

22

Conclusion

Le travail réalisé à permis de mettre en valeur certaines propriétés du code elsA, ainsi, une interventionpour modifier uniquement les blocs d’un maillage donné ( orientation, ordonnancement des blocs ) ne suf-fisait pas à apporter des améliorations en terme de gain en temps d’exécution des calculs. Au contraire, enutilisant les propriétés physiques de l’écoulement et en s’inspirant des méthodes zonales, il a été possiblede diminuer les temps de calculs et d’accentuer encore cette diminution en utilisant un ordonnancementadéquat des blocs du maillage. Cette méthode a permis ainsi d’obtenir un gain appréciable en temps decalcul de l’ordre de 20% sur un cas bidimensionnel.

Les premiers tests réalisés pour des configurations tridimensionnelles sont encourageants, mais il faudrait àprésent pouvoir mieux chiffrer le gain en temps d’exécution , puisque c’est là que cette méthode se révéle-rait intéressante pour la cfd.Un procédé automatisé permettrait par ailleurs d’adapter cette méthode à différents cas tests, ainsi, il fau-drait pouvoir mettre en place une découpe en bloc du maillage suivant plusieurs zones prédéterminées parles résultats obtenus sur des grilles grossières ne demandant que peu d’efforts en terme de temps de calcul.

23

Bibliographie

[1] J. COUSTEIX. Couche limite laminaire. Cepadues Editions, 1988.

[2] A.M. CUFFE, C.-H. LAI, and K.A. PERICLEOUS. Adaptative zonal recognition for viscous/inviscidcoupling. Ninth International Conference on Domain Decomposition Methods, 1998.

[3] D. DRIKAKIS, O. P.Illiev, and D.P. Vassileva. Acceleration of multigrid flow computations throughdynamic adaptation of the smoothing procedure. Journal of Computationnal Physic, 165 :566–591,2000.

[4] Joel H. FERZIGER and Milovan PERIC. Computational Methods for Fluid Dynamics. springer, se-conde edition, 1999.

[5] C.A.J. FLETCHER. Computational Techniques for Fluid Dynamics. springer, seconde edition, 1997.

[6] Onera. Manuel théorique elsA. Office Nationale d’Études et de recherches Aérospatiales, 1999.

[7] Marie-Laure Provost-Pruilh. Développement d’une méthode multizone pour le calcul des écoulementsdécollés. PhD thesis, Ecole Nationale Supérieure de l’ Aéronautique et de l’ Espace, 1996.

[8] Valerie SAINT-MARTIN. Développement d’une approche multizone et modélisation de la turbulencepour le calcul d’écoulements sub et transsonniques. PhD thesis, Ecole Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’ Espace, 1997.

25

Annexes

27

ANNEXES

Maillage 30 blocs du profil 2D RAE2822

Le maillage utilisé pour les calculs comporte 24254 noeuds répartis sur 30 blocs avec la répartitionsuivante :

– Un domaine en C de 10 blocs qui sétend dans un rayon compris entre 0 m 522 et 10 cordes du profil,contenant 17 n 362 o 6154 noeuds.

– Un domaine en C de 10 blocs s’etendant dans un rayon compris entre 0 m 027 et 0 m 522 cordes du profil,contenant 17 n 362 o 6154 noeuds.

– Un domaine en C de 10 blocs s’etendant dans un rayon compris entre 0 et 0 m 027 cordes du profil,contenant 33 n 362 o 11946 noeuds.

264 points sont répartis le long de la paroi du profil.

FIG. 3.8 – Maillage de la zone de calcul

FIG. 3.9 – Visualisation du maillage près du profil

29

ANNEXES

Orientation des blocsp qi etp qj donnent le sens de numérotation des

noeuds du maillage de chaque bloc d’une zone don-née.

i

i

j

j

i

j

j

i

i

j

i

j

FIG. 3.10 – orient1

i

i

j

j

j

i

j

i

i

j

i

j


j

i

i

j

i

i

j

i

j

j

i

j


ij

i

j

j

j

j

i

i

j

i

i


j

i

i

j

j

j

i

j

i

i

i

j


30

ANNEXES

Numérotation des blocs

6

713 19

18 24 30

25

5

Agrandissement

4

3

2

1

1223

16

17

10

21

2926

11

22

2620148

9

29

28

2715

FIG. 3.15 – num1

6

713 19

20148

25

5

Agrandissement

4

3

2

1

26

12 18 24 30

28221610

21

29

27159

23

2926

11 17

FIG. 3.16 – num2

6

7

8

9

13

12

11

10

5

Agrandissement

4

3

2

1

14

25

26

27

28

3029

30

29

24

18

17

16

15 1923

22

21

20

FIG. 3.17 – num3

31

ANNEXES

6789

1312

11

10

5

Agrandissement

4321

14

25

262728

1516

30

29

24

18 17 16

15

19

23

22

21

20

FIG. 3.18 – num4

6789

1312

11

10

5

Agrandissement

4321

14

25

262728

1615

30

29

24

18 17 16

15

19

23

22

21

20

FIG. 3.19 – num5

67 8 9

13 12 11

10

5

Agrandissement

4 3 2 1

14

25

26

27 28

3021

3029

24

18

17

16

15

19

23 22 21

20

FIG. 3.20 – num6

32

ANNEXES

Exemple de résultats sur la configuration init

Les calculs ont été lancés sur trois niveaux de grille , le principe succint de cette méthode est de calculerd’abord la solution sur une grille grossière, de la reporter ensuite sur une grille plus fine et de recommenceralors le procédé autant de fois qu’il y a de niveaux de grille, ce procédé permet d’avoir des solutions quiconvergent plus rapidement .Ici les itérations s’effectuent sur deux sous niveaux de grille : 2000 itérations sur la grille la plus grossière,500 sur la moyenne et 1000 sur la plus fine , d’où les sauts (sur les résidus et les efforts) situés aux abcisses2001 et 2501 .

FIG. 3.21 – Variation des résidus

FIG. 3.22 – Variations des efforts

33

ANNEXES

FIG. 3.23 – champs de vitesse autour du profil ( nombre de Mach )

FIG. 3.24 – champs d’énergie turbulente autour du profil avec visualisation des blocs

34

accélération de convergence des algorithmes de résolution...

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