calcul matriciel: les bases - u-bordeaux.fr · 2016. 9. 12. · 1 8 1 1 c a c. nazaret matrice....

IntroductionDéfinitions

Opérations sur les matricesPropriétés

Calcul matriciel: les bases

1ère année

ENSTBBBordeaux INP

Année Universitaire 2015-16

C. Nazaret Matrice

1 Introduction

2 Définitions

3 Opérations sur les matrices

4 Propriétés

C. Nazaret Matrice

DéfinitionOn appelle A matrice à n lignes et p colonnes : np élémentsréels (ou éventuellement complexes).On peut la noter :A = (aij)(i,j)∈{1,··· ,n}×{1,··· ,p} = (aij).Les éléments aij sont appelés les coefficients de la matrice.Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de lacolonne.Les éléments aii sont appelés les coefficients diagonaux.

C. Nazaret Matrice

On représente A sous forme de tableau

a11 a12 · · · a1j · · · a1p

a21 a22 · · · a2j · · · a2p

ai1 ai2 · · · aij · · · aip

an1 an2 · · · anj · · · anp

C. Nazaret Matrice

ExempleLes objets suivants sont des matrices

1 0√

20 −4 1

−4.1 0 e

cos(x) 1sin(x) 2ex x2

C. Nazaret Matrice

Notation: L’ensemble des matrices n × p à coefficients dans Rse noteMn,p(R) et simplementMn(R) lorsque n = p.

DéfinitionUne matrice qui a le même nombre de lignes et decolonnes n = p est dite carrée (on dit aussi d’ordre n).

Une matrice à une ligne n = 1 s’appelle une matrice-ligne.

Une matrice à une colonne p = 1 s’appelle matricecolonne.

C. Nazaret Matrice

DéfinitionUne matrice A est dite diagonale si aij = 0 pour i 6= j .

ExempleMatrice diagonale

1 0 00 −4 00 0 e

C. Nazaret Matrice

DéfinitionUne matrice A est dite diagonale si aij = 0 pour i 6= j .

ExempleMatrice diagonale

1 0 00 −4 00 0 e

C. Nazaret Matrice

DéfinitionOn appelle matrice identité notée In la matrice diagonaled’ordre n dont les termes diagonaux sont égaux à un.

ExempleMatrice Identité d’ordre 3

1 0 00 1 00 0 1

C. Nazaret Matrice

1 0 00 1 00 0 1

C. Nazaret Matrice

1 0 00 1 00 0 1

C. Nazaret Matrice

DéfinitionUne matrice A est triangulaire inférieure si aij = 0 pour i < j .

Exemple 4 0 05 −2 01 8 −1

C. Nazaret Matrice

DéfinitionUne matrice A est triangulaire inférieure si aij = 0 pour i < j .

Exemple 4 0 05 −2 01 8 −1

C. Nazaret Matrice

DéfinitionUne matrice A est triangulaire supérieure si aij = 0 pour i > j .

Exemple 4 0 −20 −5 40 0 1

C. Nazaret Matrice

DéfinitionUne matrice A est triangulaire supérieure si aij = 0 pour i > j .

Exemple 4 0 −20 −5 40 0 1

C. Nazaret Matrice

Définition

On appelle transposée de A, la matrice B =t A définie par

∀(i , j) bij = aji .

Exemple

1 23 45 6

(1 3 52 4 6

C. Nazaret Matrice

Définition

On appelle transposée de A, la matrice B =t A définie par

∀(i , j) bij = aji .

Exemple

1 23 45 6

(1 3 52 4 6

C. Nazaret Matrice

Définition

Une matrice A est symétrique si A =t A c’est-à-dire∀(i , j) aij = aji .

Exemple 1 2 32 5 63 6 9

C. Nazaret Matrice

Définition

Une matrice A est symétrique si A =t A c’est-à-dire∀(i , j) aij = aji .

Exemple 1 2 32 5 63 6 9

C. Nazaret Matrice

AdditionProduit par un réelProduit scalaireProduit de deux matrices

1 Introduction

2 Définitions

3 Opérations sur les matricesAdditionProduit par un réelProduit scalaireProduit de deux matrices

4 Propriétés

C. Nazaret Matrice

Définition (Somme de deux matrices)

Si A et B sont de mêmes dimensions alors C = A + B

a11 + b11 · · · a1j + b1j · · · a1p + b1p

a21 + b21 · · · a2j + b2j · · · a2p + b2p

ai1 + bi1 · · · aij + bij · · · aip + bip

an1 + bn1 · · · anj + bnj · · · anp + bnp

L’addition est commutative A + B = B + A

C. Nazaret Matrice

1 Introduction

2 Définitions

4 Propriétés

C. Nazaret Matrice

Définition (Produit d’une matrice A par un réel λ)

λa11 · · · λa1j · · · λa1p

λa21 · · · λa2j · · · λa2p

λai1 · · · λaij · · · λaip

λan1 · · · λanj · · · λanp

C. Nazaret Matrice

1 Introduction

2 Définitions

4 Propriétés

C. Nazaret Matrice

Définition (Produit d’une matrice-ligne à n colonnes par unematrice-colonne à n lignes: produit scalaire)

A× B =(

a1 · · · an

· · ·bn

1≤i≤n aibi

C. Nazaret Matrice

1 Introduction

2 Définitions

4 Propriétés

C. Nazaret Matrice

Définition (Produit d’une matrice A n lignes et p colonnes parune matrice B p lignes et q colonnes)

A× B = AB = C

où C est une matrice n lignes et q colonnes avec

p∑k=1

aikbkj .

RemarqueAB 6= BA

C. Nazaret Matrice

A× B = AB = C

p∑k=1

aikbkj .

RemarqueAB 6= BA

C. Nazaret Matrice

A× B = AB = C

p∑k=1

aikbkj .

RemarqueAB 6= BA

C. Nazaret Matrice

(1 2 10 1 2

1 23 40 4

1 4 53 10 110 4 8

qui n’est pas égal à

(7 143 12

C. Nazaret Matrice

(1 2 10 1 2

1 23 40 4

1 4 53 10 110 4 8

(7 143 12

C. Nazaret Matrice

(1 2 10 1 2

1 23 40 4

1 4 53 10 110 4 8

(7 143 12

C. Nazaret Matrice

1 2 1)

1 2 13 6 30 0 0

C. Nazaret Matrice

1 2 1)

1 2 13 6 30 0 0

C. Nazaret Matrice

1 2 1)

1 2 13 6 30 0 0

C. Nazaret Matrice

PropositionLe produit matriciel est :

associatif : ABC = (AB)C = A(BC)

distributif par rapport à l’addition : A(B + C) = AB + AC

non commutatif : AB n’est pas égal à BA en général.

La matrice Identité vérifie : si la matrice A est dedimensions (n, m) alors AIm = InA = A

C. Nazaret Matrice

Définition

Pour toute matrice A ∈M\(R), on pose A0 = Inet si k ∈ IN, on note Ak = A× Ak−1 = Ak−1 × A.

Proposition

t (tA) = A t (λA) = λtA

t (A + B) =t A +t B t (AC) =t CtA

C. Nazaret Matrice

Définition

Proposition

C. Nazaret Matrice

Définition

Proposition

C. Nazaret Matrice

A quoi sert une matrice ? à représenter un systéme linéaire3x − 2y + z = 22x + y + z = 74x − 3y + 2z = 4

peut s’écrire sous forme matricielle Au = b

3 −2 12 1 14 −3 2

C. Nazaret Matrice

3 −2 12 1 14 −3 2

C. Nazaret Matrice

3 −2 12 1 14 −3 2

C. Nazaret Matrice

Lorsque nous étudierons les fonctions de plusieurs variablesnous définirons les matrice Jacobienne et matrice Hessiennede fonctions.D’autre part, en mathématiques appliquées (calcul numérique),les matrices jouent un grand rôle.Pour résumer: beaucoup de problèmes en sciences (enphysique, en biologie, en économie,...) sont tout d’abordmodélisés à l’aide d’opérateurs par exemple∆f (x , t) + ∂

∂t f (x , t) = α(x , t). Bien souvent on ne sait pasrésoudre (de façon explicite) les équations obtenues. On nepeut pas trouver une fonction f (x , t) = ....

C. Nazaret Matrice

On passe alors par une étape de discrétisation qui consiste àtransformer le problème initial (continue comme une fonction f )en un problème plus simple (discret comme une suite un)souvent linéaire donc qui s’écrit à l’aide de matrices:

Au = b

On ne résout pas le problème par un calcul de l’inverse commeon le ferait à la main. Les matrices peuvent être très grandes etles calculs doivent être suffisamment rapides. Le calculnumérique consiste à développer des méthodes pour résoudrerapidement ces problèmes approchés (en contrôlant l’erreurcommise par rapport au problème initial).

C. Nazaret Matrice

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