Thorme de Thals

1 Peux-tu utiliser le thorme de Thals dansles figures ci-dessous ? Justifie ta rponse.

a. b.

c. d.

e.

[WX] est un diamtredu cercle et [XZ] estun diamtre du cercle

2 Rapports gaux

Dans chacun des cas suivants, cris tous lesrapports de longueurs gaux. Tu prciseras lesdroites parallles utilises. Les droitesreprsentes en bleu sont parallles.

a. b.

c. d.

e. [AT] est un diamtre du cercle .

f.

3 Les points L, I, Z sont aligns et les points R,I, T aussi. Les droites (RZ) et (LT) sont parallles.

On donne RZ = 5 cm ;RI = 2 cm et IT = 3 cm.

a. Reproduis cette figure main leve etreportes-y les donnes de l'nonc.

b. cris les rapports de longueurs gaux.

c. Quelle(s) longueur(s) pourrais-tu calculer ?

4 Des lacets

Sur la figure ci-dessus, les droites reprsentesen vert et en violet sont parallles deux deux.

a. Dcris les deux configurations de Thalsprsentes dans cette figure.

b. cris tous les rapports de longueurs gaux ZCZG

. Tu prciseras les droites parallles que tu

as utilises.

5 Construis le triangle NAF tel queNA = 5,6 cm ; FA = 4,2 cm etNAF = 70.Place sur [NA) le point R tel que AR = 8 cm.La parallle la droite (NF) passant par R coupe(FA) en T.

a. Trace en couleur les droites parallles. crisles rapports de longueurs gaux.

b. Calcule la longueur AT. Vrifie sur ta figure.

6 Un triangle SEL est tel que SE = 6 cm etSL = 3 cm. Le point I est le point de [LS) tel queSI = 5,1 cm. La parallle la droite (EL) passantpar I coupe (ES) en X. On a alors IX = 6,8 cm.a. Trace une figure main leve. Code la figureavec les donnes de l'nonc.

b. Calcule les longueurs SX et EL.

CHAPITRE G1 THORME DE THALS 191

'.

R

S

J

T

U

V

W

ED

FG

H

E F

G

H J

A

G

O

Z

IA

O

C

M

N

O

PQ

R

T

US

V

AB C

D

E

M

A

BC

E

D

T

Z

L

W Z

T

F G H

I

JK

L

M

A

S

C

O NE

B

AC

H

D

B

7 Soit PEM un triangle. A est un point dusegment [PE] et B est un point du segment [PM]tels que BM = 30 cm ; AB = 30 cm ; ME = 50 cmet (AB) // (ME). l'aide du thorme de Thals,on obtient PM = 45 cm. Vrai ou faux ? Explique ta dmarche.

8 Les droites en vert sont parallles.

On sait que GH = 15 cm ; GF = 6 cm ;GD = 14,2 cm et HD = 7,3 cm.Calcule les longueurs EF et EG.

10 la recherche des parallles perdues

BANC est un paralllogramme tel queBA = 4 cm ; BC = 6 cm et AC = 8 cm. P est le point de [AC] tel que AP = 2,4 cm. La parallle (BC) passant par P coupe [CN] en O.

a. Trace une figure en vraie grandeur.

b. Montre que les droites (PO) et (AN) sontparallles.

c. Calcule les longueurs CO et PO.

11 LOT est un triangle tel que OL = 9 cm ;OT = 7 cm et LT = 5 cm. On appelle M le milieu du segment [LO] et N lemilieu du segment [TL].

a. Montre que les droites (MN) et (OT) sontparallles.

b. Calcule la longueur MN.

12 Les points T, O, I sont aligns et les pointsR, O, E aussi.

On donne ET = 2,4 cm ; OT = 6,4 cm ;OR = 7 cm et RI = 3 cm. Calcule, en justifiant, les longueurs OE, OI et ER.

13 EURO est un paralllogramme tel queEO = 5 cm et OR = 6 cm. Le point P est le point de (OE) qui n'appartientpas [OE] tel que EP = 3 cm. La droite (PR)coupe [EU] en A.

Calcule les longueurs EA et AU.

Petits problmes

14 Aux sports d'hiver

Un skieur dvale, tout schuss, une pisterectiligne reprsente ci-dessous par lesegment [BC] de longueur 1 200 m.

son point de dpart C, le dnivel par rapportau bas de la piste, donn par la longueur AC,est de 200 m. Aprs une chute, il est arrt aupoint D sur la piste. Le dnivel, donn par lalongueur DH, est alors de 150 m.

Calcule la longueur DB qu'il lui reste parcourir.

THORME DE THALS CHAPITRE G1

La figure n'est pas l'chelle.

60

60

E

T

O R

I

E

F

G

H

DE

F

G

H

D

192

SapinPellicule

Imagerenverse

Objectif

A'

B'

O A

B

d' d

30m1,5m

60 cm

Mur

15 Scurit routire

D'aprs le code de la route (Article R313 - 3) :

Les feux de croisement d'une voiturepermettent d'clairer efficacement la route, lanuit par temps clair, sur une distanceminimale de 30 m.

Afin de contrler rgulirement la porte desfeux de sa voiture, Jacques veut tracer unrepre sur le mur au fond de son garage.

La figure n'est pas l'chelle.

Les feux de croisement sont 60 cm du sol.

quelle hauteur doit-il placer le repre sur sonmur pour pouvoir rgler correctement sesphares ?

16 Promenons-nous dans les bois

Par un beau dimanche ensoleill, Julien sepromne au pied de la montagne SainteVictoire, au bord de la rivire Arc.

Il se demande quelle est la largeur de cetterivire.

Il prend des repres, compte ses pas et dessinele schma ci-dessous.

a. Quelle est, en nombre de pas, la largeur dela rivire qu'obtient approximativement Julien ?

b. Julien estime la longueur de son pas 65 cm. Donne une valeur approximative de lalargeur de cette rivire, au centimtre prs.

17 Extrait du Brevet

Voici un schma du fonctionnement d'unappareil photographique argentique : un objet[AB] situ une distance d de l'objectif O a uneimage [A'B'] situe une distance d' de O.

a. Prouver que les droites (AB) et (A'B') sontparallles.

b. Dmontrer l'galit :dd'

= ABA'B'

.

c. Pour un certain appareil, d' = 50 mm. Un sapin d'une hauteur de 12 m se trouve 15 m de l'objectif. Quelle est la hauteur del'image qui se forme sur la pellicule ?

Parallles ou non ?

18 Prenons de bonnes habitudes

ABC est un triangle. D est un point de [AB] et Eest un point de (AC) n'appartenant pas [AC].On donne AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; AD = 1,2 cmet AE = 0,9 cm.a. Alixien a crit sur sa copie :

Les droites (EC) et (DB) sont scantes en A.

D'une part,ADAB

= 1,24

= 1240

= 310

.

D'autre part,AEAC

= 0,93

= 930

= 310

.

CommeADAB

= AEAC

, alors les droites (BC) et (ED)

sont parallles.

Quel thorme Alixien a-t-il utilis ?

b. Trace une figure.

c. La rponse d'Alixien est-elle juste ? Si non,rdige la bonne rponse.

CHAPITRE G1 THORME DE THALS

20 pas

5 pas

1 pas

193

19 Dmontre que les droites (MN) et (ST)sont parallles.

On donne OM = 2,8 cm ;ON = 5,4 cm ;OS = 2,7 cmet OT = 1,4 cm.

20 ABC un triangle tel que BC = 3,3 cm ;AC = 2,4 cm et AB = 2,5 cm.a. Ralise une figure. Place le point D sur [AC)tel que CD = 6 cm et le point E sur [BC) tel queCE = 9 cm.b. Explique pourquoi les droites (ED) et (AB) nesont pas parallles.

21 Thals incontournable ?

ABC est un triangle rectangle en A tel queAB = 12 cm et AC = 8 cm.Le point F est le point du segment [AC] tel queAF = 4 cm et le point E est le point de [AB] telque AE = 6 cm.a. Dessine une figure en vraie grandeur.

b. Dmontre que la droite (EF) est parallle ladroite (BC).

22 ABCDEFGH est un paralllpipderectangle tel que AB = 7 cm ; AD = 3 cm etAE = 2,5 cm.

La figure n'est pasen vraie grandeur.

Le point K appartient l'arte [GH] et le point Lappartient l'arte [GF].

On donne GK = 6 cm et GL = 2,6 cm.Les droites (KL) et (HF) sont-elles parallles ?Justifie ta rponse.

23 On donne les longueurs suivantes :AB = 6,3 cm ; BC = 4,9 cm ; AE = 16 cm etDE = 7 cm.

Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallles ?Justifie ta rponse.

24 L'unit de longueur choisie est le mtre.

a. Pour x = 2,5, lesdroites (AB) et (CD) nesont pas parallles. Vrai ou faux ? Expliqueta dmarche.

b. Pour x = 1, les droites (AB) et (DC) ne sontpas parallles.Vrai ou faux ? Explique ta dmarche.

25

a. Le triangle ABC estrectangle en A. On donneAB = 6 cm et BC = 10 cm.Dmontre que AC = 8 cm.b. On donne CM = 2,56 cm et CN = 3,2 cm.Explique pourquoi les droites (AB) et (MN) sontparallles.

26 Extrait du Brevet

Pour consolider un btiment, des charpentiersont construit un contrefort en bois.(Sur le schma ci-dessous, les mesures sont enmtres.)

a. En considrant que le montant[BS] est perpendiculaire au sol,calculer la longueur AS.

b. Calculer les longueurs SM et SN.

c. Dmontrer que la traverse[MN] est bien parallle ausol.

Agrandissements, rductions

27 Pour chaque figure ci-dessous, indique sile triangle OMN est une rduction ou unagrandissement du triangle OAB ou ni l'un nil'autre. Justifie ta rponse.

a. b.

c.

THORME DE THALS CHAPITRE G1

AD

E

BC

S

1,8

M N

A B

6

sol2,5

1,95

C

A B

MN

O

M

NA

B

A

BD

C

E2

1,5

xx + 2

O

A

B M362

5

N

O N

M

A

B

O

M

N

ST

A

C

E

G

194

28 Grandir

a. Construis un paralllogramme RAVI tel queRI = 6 cm ; IV = 4 cm etRIV = 130.

b. Construis un agrandissement de rapport 54

du paralllogramme RAVI.

c. Quelle est la nature de la figure obtenue ?Justifie ta rponse.

d. Dduis-en la mesure des angles de la figureagrandie. Justifie.

29 Ainsi font font font

Julien souhaite prparer un spectacle demarionnettes en ombres chinoises. Son cranmesure 2 m. Sa marionnette mesure 24 cm.Perch sur une estrade, il tient sa marionnette 30 cm de la lumire, place sous l'estrade.

quelle distance de la source de lumiredoit-il placer l'cran pour agrandir samarionnette au maximum ?

31 Extrait du Brevet

On veut rduire la taille de la flche RE.

Pour cela, on ralise le schma ci-aprs danslequel (RE) et (R'E') sont parallles.

Donnes :

RE = 8 cm ; OE' = 9 cm ; EE' = 15 cm.

a. Calculer la longueur de la flche rduite R'E'.

b. Quel est le coefficient de rduction ?

c. En utilisant le mme schma, on veut obtenirune flche R''E'' dont la longueur est la moitide la flche de dpart RE. quelle distance deO sera plac le nouveau point E'' ?

32 Noir & blanc

La photo ci-dessous reprsente un agrandisseurpour le tirage des photographies noir et blancargentiques.Une source de lumire est diffuse travers lengatif et une lentille appele objectif. Uneimage agrandie du ngatif est alors projete surun plateau.

Les deux pyramides ci-dessous reprsentes enperspective schmatisent le faisceau delumire.La petite hauteur mesure 10 cm et la grandehauteur mesure 60 cm.

Les formats des ngatifs utiliss sont24 mm 36 mm, 6 cm 6 cm et 4'' 5''.(Le symbole '' reprsente l'unit de longueuranglo-saxonne, appele inch, qui correspondenviron 2,54 cm.) Avec chacun des ngatifs, quel agrandissementmaximum peut-on obtenir ?

CHAPITRE G1 THORME DE THALS

R

E E'

R'Dessinde dpart

Dessin final(rduction)

O

Ngatif

Objectif 10 cm

60 cm

195

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