Mathematiques discre`tesFonctions

Cours 11, MATH/COSC 1056F

Julien Dompierre

Departement de mathematiques et dinformatiqueUniversite Laurentienne

4 octobre 2010, Sudbury

Definition : fonction

DefinitionSoit A et B , deux ensembles. On appelle fonction f de A dans Blaffectation dexactement un element de B a` chaque element deA. On ecrit f (a) = b si b est le seul element de B attribue par lafonction f a` lelement a de A. Si f est une fonction de A dans B ,on ecrit f : A B .

A B

f

fa b = f (a)

Definitions : domaine et codomaine, image et preimage

DefinitionSi f est une fonction de A dans B , on dit que A est le domaine def et B , le codomaine de f .Si f (a) = b, on dit que b est limage de a et que a est lapreimage de b.La portee de f est lensemble de toutes les images des elements deA. De meme, si f est une fonction de A dans B , on dit que f faitcorrespondre A a` B .

A B

f

fa b = f (a)

Definition : image dun sous-ensemble

DefinitionSoit f une fonction de lensemble A dans lensemble B et soit S ,un sous-ensemble de A. Limage de S est un sous-ensemble de Bqui comprend les images des elements de S . On designe limage deS par f (S). Ainsi,

f (S) = {t B | s S avec (t = f (s))}.On ecrit aussi de facon abrege que f (S) = {f (s) | s S}.

x

y

z

a

b

c

d

fA B

S f (S)

Exemple

x

y

z

a

b

c

d

fA B

S f (S)

I Le domaine de f estA = {a, b, c , d}.

I Le codomaine de f estB = {x , y , z}.

I f (a) = z .I Limage de a est z .

I Les preimages de z sont a,c et d .

I La portee de f estf (A) = {y , z} B .

I Limage du sous-ensembleS = {c , d} A estf (S) = {z} B .

Definition : fonction injective

DefinitionUne fonction f de A dans B est injective si et seulement sif (a) = f (b) implique que a = b pour toutes les valeurs de a et bdans le domaine A. On appelle cette application une injection.

Par la contraposee, une fonction f est injective si et seulement sia 6= b implique que f (a) 6= f (b).Dit dune autre facon, une fonction est injective signifie que si unelement du codomaine a` une preimage, alors cette preimage estunique.

Injectivite si et seulement si unicite de la preimage.

Definition : fonction surjective

DefinitionLa fonction f de A dans B est surjective si et seulement si, pourchaque element de b B , il existe un element a A tel quef (a) = b. On appelle cette application une surjection.

Dit dune autre facon, une fonction est surjective signifie quechaque element du codomaine a au moins une preimage.

Surjectivite si et seulement si existence de la preimage.

Definition : fonction bijective

DefinitionOn dit quune fonction f est bijective, ou encore que cest unebijection, si f est a` la fois injective et surjective.

Bijectivite si et seulement si existence et unicite de lapreimage.

Exemple 1

a

fA B

z

y

x

w

c

b

Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ?Est-ce que f est bijective ?

Exemple 2

x

y

z

a

b

c

d

fA B

Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ?Est-ce que f est bijective ?

Exemple 3

a

b

c

d

fA B

z

y

x

w

Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ?Est-ce que f est bijective ?

Exemple 4

a

b

c

d

fA B

z

y

x

w

Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ?Est-ce que f est bijective ?

Exemple 5

a

fA B

z

y

x

w

c

b

Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ?Est-ce que f est bijective ?

Diagramme de Venn de classification des fonctions

Fonctions

Relations

Injections Surjections

Bijections

Addition et produit de fonctions

DefinitionSoit f1 et f2 deux fonctions de A dans R. Dans ce cas, f1 + f2 etf1f2 sont aussi des fonctions de A dans R definies par

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x),

(f1f2)(x) = f1(x)f2(x).

Definition : fonction inverse

DefinitionSoit f , une bijection de lensemble A dans lensemble B . Lafonction inverse de f est la fonction qui associe a` un element bappartenant a` B un unique element a appartenant a` A tel quef (a) = b. La fonction inverse de f est representee par f 1. Dansce cas, f 1(b) = a quand f (a) = b. La fonction inverse est aussiune bijection.

A B

f

f b = f (a)

f 1

f 1

a = f 1(b)

Definition : composition de fonctions

DefinitionSoit g une fonction de lensemble A dans lensemble B , et soit f ,une fonction de lensemble B dans lensemble C . La compositiondes fonctions f et g , representee par f g , est definie par

(f g)(a) = f (g(a)).

A B Cfg

a g(a) f (g(a))g f

f g

f g

Definition : factorielle

DefinitionLa fonction factorielle f : N Z+, notee f (n) = n! est leproduit des n premiers entiers positifs, cest-a`-dire

n! = 1 2 3 (n 1) n.

et f (0) = 0! = 1.

Par exemple, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.Cette fonction crot tre`s vite.10! = 3628800,20! = 2432902008176640000,30! = 265252859812191058636308480000000,40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000.Pour n grand, n! peut etre approximee par la formule de Stirling :n! 2pin (n/e)n.

Definition : fonction plancher

DefinitionLa fonction plancher attribue a` un nombre reel x le nombreentier le plus grand qui est plus petit que x ou egal a` celui-ci. Lavaleur de la fonction plancher de x est symbolisee par bxc. Lafonction plancher de x est aussi appelee partie entie`re de x .

1 2 3123

1

2

3

1

2

3

Definition : fonction plafond

DefinitionLa fonction plafond attribue a` un nombre reel x le nombre entierle plus petit qui est plus grand que x ou egal a` celui-ci. La valeurde la fonction plafond de x est symbolisee par dxe.

1 2 3123

1

2

3

1

2

3

Proprietes des fonctions plancher et plafond

On suppose que x est un nombre reel et n est un nombre entier.

I bxc = n si et seulement si n x < n + 1.I dxe = n si et seulement si n 1 < x n.I bxc = n si et seulement si x 1 < n x .I dxe = n si et seulement si x n < x + 1.I x 1 < bxc x < dxe < x + 1I bxc = dxeI dxe = bxcI bx + nc = bxc+ nI dx + ne = dxe+ n