benson physique mecanique_chapitre_8

8/10/2019 Benson Physique Mecanique_Chapitre_8

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Solutionnaire Physique 1, Mcanique, Harris Benson

CHAPITRE 8 LA CONSERVATION DE L NERGIE

8Q1

a)Le principe de conservation de l nergie est universel et s applique galement dans le cas d une force nonconservative. S il y a perte d nergie mcanique, il y a ncessairement augmentation d une autre forme d nergie(thermique, chimique, etc.). Il y a donc rigoureusement conservation de l nergie totale.

b)La vitesse de la balle est constante, mais elle gagne de la hauteur, donc gagne de l nergie potentiellegravitationnelle. Cette nergie est dpense par la personne ou la machine qui soulve la balle. Il y a doncconservation dans l ensemble du systme, alors qu un lment perd de l nergie et l autre en gagne.

8Q3

L nergie mcanique totale (E) est tout instant la somme de l nergie potentielle gravitationnelle (U) et del nergie cintique (K).

En a), l nergie potentielle mi-hauteur est ncessairement gale la moiti de l nergie potentielle maximale;donc l nergie potentielle varie linairement et dcrit une droite surE(h). L nergie cintique est donc la droiteinverse.

En b), on peut constater que l nergie potentielle diminue selon le carrdu temps de chute:2

21

00 attvyy2

21

0 atyyh puisque 00v

Donc l nergie potentielle :2

21 atmgmghU , elle varie selon t.

Si l acclration est ngative, alors Uest une parabole ouverte vers le bas. L nergie cintique est donc laparabole inverse ouverte vers le haut.

8Q6

a) Faux.

Avant la chute: mgHUH , 0HK

4Hh :44HmgU

H

221

4 4HmvKH

Au sol (o la vest maximal): 00U ,2max2

1max0 mvKK

Par conservation de l nergie, Kau sol gale Uau sommet:

HUKmax mgHmv2max2

1


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4Hh , l nergie cintique est gale l nergie totale moins l nergie potentielle :

2max2

143

43

44

max4

mvmgHmgmgHUKK HHH

Donc: 2max21

432

21

4 4mvmvK HH

Aprs simplification : 2max432 4 vvH

Isoler4

Hv :22

3 maxmax4

vvvH

b) Faux

On a dtermin en a) que max21

max432

max21

43

4KKmvK

H

c) Faux. partir d quivalences dtermines en a) :

4

33

4

1

43

4

4

mgH

mgH

U

K

H

H

8Q7

En descendant vitesse constante, on ne peut pas assumer que l nergie potentielle perdue devient nergiecintique. Il y a donc ncessairement un systme empchant l ascenseur d acclrer vers le bas. Plusieurssystmes existent. Des contrepoids peuvent tre levs pendant la chute de l ascenseur (gain d nergiepotentielle d une autre masse). Aussi, un systme de freinage peut agir (chauffement par frottement de picesen contact ou accumulation d nergie lectrique aprs transformation par une dynamo).

8Q8

En principe c est impossible MOINS que l objet ait de l nergie potentielle emmagasine (ressort comprim,

explosif) qui soit libre lors du contact avec le sol. ce moment, l nergie libre s ajouterait l nergiecintique de l objet aprs sa chute et pourrait le faire remonter plus haut par la suite.

8E1

Le systme tant sans frottement, il y aura conservation de l nergiemcanique. Partons de l quation gnrale du traitement de l nergie :

if EE

Puisqu il y a deux masses, il y aura chaque instant deux termesd nergie cintique et deux termes d nergie potentiellegravitationnelle:

iiiiffff UUKKUUKK 21212121

Si on choisit comme rfrence de hauteur pour chaque masse sa hauteur initiale, les deux termes d nergiepotentielle gravitationnelle initiale deviennent nuls. Aussi, comme le systme part du repos, les deux termesd nergie cintique initiale sont nuls. On a donc :

00002121 ffff UUKK

On doit ensuite dcomposer chaque terme d nergie pour faire apparatre la variable de la vitesse que l on doittrouver. Aussi, si on assume que le bloc m1va descendre (tant plus lourd), sa hauteur finale sera ngative (-0,4m), alors que m2atteindra une hauteur positive.


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022112222

12112

1ff gymgymvmvm

La corde tant de longueur constante, les deux vitesses finales seront identiques. On peut donc crire:

ff gymgymvmm 22112

2121

2121

2211

mm

ymymgv

ff

sm

21

sm

83,1kg2kg5

m4,0kg2m4,0kg58,9 2v

8E2

Le systme tant sans frottement, il y aura conservation de l nergie mcanique. Partonsde l quation gnrale du traitement de l nergie :

if EE

Puisqu il y a deux masses, il y aura chaque instant deux termes d nergie cintique etdeux termes d nergie potentielle gravitationnelle :


Si on choisit comme rfrence de hauteur pour chaque masse sa hauteur initiale, les deuxtermes d nergie potentielle gravitationnelle initiale deviennent nuls. Aussi, comme lesystme part du repos, les deux termes d nergie cintique initiale sont nuls. Finalement, lamasse m2terminera son dplacement au mme niveau, donc son nergie potentiellegravitationnelle finale sera nulle galement. On a donc:

00000121 fff UKK

On doit ensuite dcomposer chaque terme d nergie pour faire apparatre la variable de la vitesse que l on doittrouver. Aussi, si on assume que le bloc m1va descendre (tant plus lourd), sa hauteur finale sera ngative (-0,4m), alors que m2atteindra une hauteur positive.

0112222

12112

1fgymvmvm

La corde tant de longueur constante, les deux vitesses finales seront identiques. On peut donc crire:

fgymvmm 112

2121

sms

m

21

1171,1

kg5,1kg5,0

m6,0kg5,08,922 2

mm

ygmv

f


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8E3

En partant du principe de conservation de l nergie, onobserve que le gain en nergie cintique des masses quigagnent de la vitesse est compens par la variation d nergiepotentielle gravitationnelle des 2 masses. L nergie

mcanique finale est donc gale l nergie mcaniqueinitiale: if EE . On doit donc calculer la variation de

hauteur de chaque masse durant le dplacement de 40cmpour calculer leurs variations d nergie potentielle.Lamasse 2 tant plus lourde et tant sur une pente plus forte, il est certain qu elle descendra. Si sa rfrence de

hauteur est sa hauteur initiale, sa hauteur finale sera donc ngative: m32,053sinm4,02fy .

Pour la masse 1, en utilisant aussi sa hauteur initiale comme rfrence: m24,037sinm4,01fy .

On peut maintenant dvelopper l quation de conservation pour isoler v, la vitesse commune aux 2 masses aprsle dplacement de 40cm. Ne pas oublier tous les termes Ket Upour les masses 1 et 2:

if EE


Certains termes sont nuls puisque les vitesses initiales sont nulles et que les hauteurs initiales sont les rfrencesde hauteur qu on a choisies :

000022112

2212

121

ff gymgymvmvm

ff gymgymvmm 22112

2121

sms

m

21

2211 18,1kg5kg4

m32,0kg5m24,0kg48,922 2

mm

ymymgv

ff

8E6

Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
http://www.erpi.com/benson.cw


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8E9

Le principal pige dans ce problme vient du fait que quand la massetouche le ressort et continue de descendre en le comprimant, il ne faut pasoublier qu elle continue de perdre de l nergie potentielle. En d autresmots, sa perte de hauteur n est pas que de 60 cm, mais bien de 60cm plus

la distance de compression du ressort.L quation de conservation de l nergie mcanique devra par ailleurscomporter de l nergie potentielle gravitationnelle ET de l nergiepotentielle lastique:

if EE

igiifgff UUKUUK

2212

212

212

21

iiifff kxmgymvkxmgymv

Plusieurs termes sont nuls et peuvent disparatre. La masse est lche du repos, et s immobilisera nouveau l instant o la compression est maximale. On n aura donc plus de terme d nergie cintique. Aussi, au dbut, leressort n est pas encore compress, Ui= 0. Les hauteurs initiales et finales, cependant dpendent de la rfrence

de hauteur choisie. En plaant la rfrence au niveau de la plaque porte par le ressort, on n annule aucun terme,mais les hauteur initiale et finale sont faciles exprimer, soit 60cm etx(la distance de compression du ressort).

000 221

iff mgykxmgy

En exprimant la hauteur finale en fonction de la compression du ressort (qui est de x), on a une quation dusecond degr:

imgyxkxmg2

21 022

1imgymgxkx

Les deux solutions de cette quation sont:m184,0

m266,0

x

x

Puisqu on a exprimxcomme une distance et non une position (sous la hauteur de rfrence ou comme

compression du ressort), on cherche ncessairement une valeur positive. Doncx= 26,6cm.

8E10


8E11


8E14

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8E15

a)Le chariot atteindra le ressort condition d avoir assez d nergie pour atteindre le sommet de l lvation. Parconservation de l nergie, on peut vrifier cette possibilit en vrifiant si le chariot a encore une vitesse positiveen arrivant au sommet:

if

EE

igifgf KUKU

2212

21

iiff mvmghmvmgh

sm

sm2

sm

sm2 32,2m58,925m48,9222 22fiif ghvghv

La rponse tant positive, il russira atteindre le sommet et traverser l autre ct (une vitesse ngative auraitsignifi un scnario impossible, c est--dire une nergie insuffisante pour s lever jusqu au sommet pour pouvoirtraverser et atteindre le ressort.

b)Si toute l nergie cintique et l nergie potentielle gravitationnelle (de 2 mtres en moins) se transforme ennergie potentielle lastique, quelle sera la compression du ressort de 120N/m? Pour cette partie, on pourrait

considrer que la rfrence de hauteur serait le niveau du ressort. Ainsi, la fin du mouvement, il n y aura quede l nergie potentielle lastique (plus de vitesse ni de hauteur):

if EE

igiifgff KUUKUU

000

2212

21

ii mvmghkx

m31,1120

kg2,35m28,922

mN

2sm

sm2

2

k

mvghx ii

Remarque: La rfrence de hauteur demeure un choix pour celui qui rsout le problme, et le fait d utiliser nouveau comme rfrence lepoint le plus bas est tout fait correct. Aprs simplification, l quation calculersera trs semblable et donnera exactement le mme rsultat.

8E19

De A B, la voiture a perdu de l nergie potentielle gravitationnelle sur 18 mtres de hauteur. Elle adonc gagnl quivalent en nergie cintique, puisqu il y a eu conservation de l nergie cintique (aucune perte). Ensuite,mme en remontant au point C, l nergie est conserve. Elle est en fait gale partout. On peut donc crire:

CBA EEE

CgCBgBAgA KUKUKU

221221221 CCBBAA mvmghmvmghmvmgh

a)Si on solutionne pour la vitesse en B partir des donnes en A, et si on utilise les hauteurs donnes parrapport au sol, on aura:

sm

sm2

sm

sm2 3,22m128,9212m308,9222 22BAAB ghvghv

b)Le mme raisonnement, mais de A C, donnera la vitesse en C:


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sm

sm2

sm

sm2 6,15m258,9212m308,9222 22CAAC ghvghv


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8E21


8E23

Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cwa)Si on tient compte de la masse qui tombe de la hauteur donne chaque seconde, on peut considrer que

l nergie potentielle gravitationnelle que cette masse a perdu durant sa chute (de 50 m) est prcisment laquantit d nergie disponible pour transformer dans une autre forme d nergie. Ainsi, la variation d nergiepotentielle gravitationnelle de cette masse est la quantit recherche:

ymgUg

JmkgUs

mg

96 1045,2508,9105 2

b) 95% de cette nergie peut tre utilise: JJ 99 103275,21045,295,0

nergie fournie chaque seconde W9103275,2

Nombre d ampoules Ampoules103275,2100

103275,2 79

AmpouleW

W

8E31

Puisque du frottement cintique se produit sous l objet qui glisse, il y aura perte d nergie mcanique. On doitdonc utiliser comme dpart:

EWnc

iff EEW c

Si le bloc s immobilise, et si on assume que sa hauteur initiale est la rfrence de hauteur (y= 0), on aura:

igfigifgfc KUKUKUdf

00

180cos

221

ifc mvmgyNd

La force de frottement cintique tant lie la force normale, on devrait dterminer lavaleur de la normale dans chaque cas. Cependant, on trouvera qu elle gale cosmgdans tous les cas (y compris l horizontale, o 0 . L quation devient :

221cos ifc mvmgydmg fic gyvdg

221cos

a)Lorsque le dplacement se fait l horizontale( 0 ), la hauteur finale de l objet,aprs le dplacement, est la mme que la hauteur initiale, fixe 0m. L quation de conservation de l nergie sesimplifie donc et on peut trouver la distance d:

0cos 221 gvdg ic m36,10cos8,96,02

4

cos2 2sm

2

sm2

g

vd

c

i
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b)Le dplacement se fait en montant un plan inclin de 30. La hauteur finale del objet, aprs le dplacement, est donc positive et lie la distance recherche et l inclinaison. L objet gagnera une hauteur donne par sindyf . On a donc:

sincos 2212

21 gdvgyvdg ific

d o : m801,030cos6,030sin8,92

4

cossin2 2sm

2

s

m2

c

i

g

vd

c)En descendant un plan inclin de 30, la hauteur devient ngative et est lie nouveau ladistance recherche et l inclinaison. Cette hauteur sera : sindyf . On a donc:

sinsincos 2212

212

21 gdvdgvgyvdg iific

d o : m6,4130sin30cos6,08,92

4

sincos2 2sm

2

sm2

c

i

g

vd

8E32



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8E34

Dans ceproblme, on peut traiter d un seul coup le mouvement entierdepuis le point de dpart du bloc jusqu son arrt contre le ressort. Il nefaut pas oublier cependant que la distance totale parcourue par le bloc n estpas 4m, mais plutt (4m =x). La perte de hauteur, quant elle, est une

fraction de cette distance, tant donn le plan inclin. Aussi, on doit ajouterla contribution du frottement (une force non conservative). Il y aura doncperte d nergie mcanique. L quation de l nergie sera donc :

EWnc

ifnc EEW

0000

180cos iigiffgfc KUUKUUdf

Si on choisit de fixer la rfrence de hauteur au niveau de la position initiale, Ugisera nulle. Puisque le bloc partdu repos et va s immobiliser contre le ressort (lorsque lacompression est maximale), Kiet Kfsont nulles toutes

les deux. Finalement, le ressort tant au repos au dbut du mouvement, Uiest nulle. L quation se rsume donc :

fgfc UUdf avec: xd m4

221

ffc kxmgyNd

Undiagramme de forces permettrait de trouver que cosmgN .Aussi, la hauteur finale, ngative, est lie

l angle et la distance dpar sindyf . Donc:

221sincos fc kxdmgdmg

221sinm4m4cos fffc kxxmgxmg

Rarrang sous forme ax+ bx+ c = 0, on aura:

0m4sincossincos221

cfcf mgxmgkx

Les deux solutions admises par l quation quadratique sont 0,797 m et -0,664m. tant donn que nous avonsconstruit nos quations pour quexsoit une grandeur positive (ajoute 4m), alors on conserve comme rponse0,797m pour la compression maximale du ressort.

8E59


5,0

37

60

kg2

mN

c

k

m


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8E65

En prsence de frottement sur la pente (sur une distance d), il yaura perte d nergie mcanique. Donc:

EWnc

iEfnc EW

Si la rfrence de hauteur est au bas de la pente et la vitesse nulleavant et aprs le mouvement, on aura:

0000

180cos iigiffgfc KUUKUUdf

L quation se rsume :

221

ifc kxmgydf o Nf cc

La hauteur finale du bloc tant lie la distance det l inclinaison, on aura : sindyf

221sin ic kxmgdNd

Un diagramme du forces du bloc sur le plan inclin permettrait de trouver que cosmgN , donc:

221sincos

ic kxmgddmg

On peut isoler dpour solutionner:

m775,002sin02cos12,09,8kg2,02

m16,054

sincos2 2sm

2mN2

c

i

mg

kxd

m16,0

12,0

02

54

kg2,0

mN

i

c

x

k

m


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8P6

a)Durant le mouvement du pendule, il y a conservation de l nergie.Si on lche le pendule partir de l horizontale(position A), il n y ainitialement que de l nergie potentielle gravitationnelle. Le clourencontr par la corde empchera la masse de remonter la mme

hauteur de l autre ct. son nouveau point le plus hautaprs le clou(position B), si elle ne peut regagner autant d nergie potentielle, il luirestera donc de l nergie cintique (gagne durant la chute). Cettenergie cintique correspondra une vitesse tangentielle autour duclou, laquelle impliquera une acclration centripte. Cette acclrationcentripte est le rsultat de la force centripte produite par la tensiondans la corde ET par la force gravitationnelle qui agit galement vers lecentre cette position. On doit donc trouver une expression de lavitesse ce point le plus haut pour ensuite trouver une expression del acclration centripte et ensuite la tension.

Pour trouver la vitesse, on peut crire:

AB EE

0

AgABgB KUKU

ABB mgymvmgy2

21

Sachant que la hauteur initiale de la masse, par rapport son point le plus bas, est gale la longueurLde lacorde, et que la valeur de la masse se retrouve dans tous les termes, on peut crire:

gLvgy BB2

21

Le clou tant une distance Ld 43 partir du haut, il est donc une hauteur L4

1 par rapport au point le plus

bas. Si la masse en fait le tour, elle se retrouvera au double de cette hauteur au point le plus haut de sa remonte,

donc LyB 21 . L quation de l nergie deviendra donc :

gLvgL B221

21

L expression de la vitesse sera alors: gLvB

Dtermination de la force de tension:

Au sommet prcisment de la trajectoire rduite, la somme des forces agissant sur la masse est (verticalement):

mgTmaF

L acclration tant celle d une trajectoire circulaire, il s agit d une acclration centripte gale r

va

r

2

,

avec Lr 41

. Donc: mgmgmgmgL

mgL

mgL

gLm

mgr

mv

T B

3441

41

22


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b)Si on veut que la tension dans la corde soit nulle lorsque la massearrive en haut, la force gravitationnelle sera la seule force agissantsur la masse, donc la seule force centripte. La somme des forces surle pendule nous permettra de raliser que l acclration centriptesera gale g:

mgmaF rr gar

Puisqu il s agit d un mouvement circulaire, on a :r

var

2

avec

Lr 41

Donc:L

v

L

vg

2

41

2 4, ce qui entraine:

42 gL

v

Cette vitesse peut maintenant tre utilise dans les quations de conservation de l nergie pour trouver l angle dedpart correspondant:

CD EE

0

CgCDgD KUKU

CDD mgymvmgy2

21

On peut dmontrer par gomtrie que la hauteur au point C est cos1LyC . En effectuant ceremplacement et en simplifiant par m, on trouve:

cos1221 Lgvgy DD

Comme en a), si la masse remonte son point le plus haut aprs la rencontre du clou, elle se trouve une hauteur

LyD 21 . L quation deviendra donc :

cos1221

21 gLvgL D

On peut maintenant ramener l quation de v trouve prcdemment pour isoler et calculer sa valeur:

cos142

121 gL

gLgL

Aprs simplification par gL:

cos141

21

21 cos1

8

5

8

3cos CQFD


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8P8

On veut que le bloc passe au sommet de la butte de rayon ren rasant la surface, donc sans s y appuyer. La forcenormale y sera donc nulle selon cette condition. La vitesse du bloc, cet endroit, est lie au mouvementcirculaire dcrit, le poids tant la seule force radiale:

mgmaF rrr

vag r

2

grv

Cette vitesse est galement lie l nergie cintiquepossde par le bloc, cette hauteur (position B), aprsavoir gliss (sans frottement donc sans pertes), depuis lahauteurH(position A). Il y a donc conservation de l nergiedurant tout le mouvement, et on peut crire:

AB EE

0

AgABgB KUKU

Puisque le bloc glisse partir du repos (on dit partir de la hauteurH), alors l nergie cintique initiale est nulle.

On peut dcomposer les termes restant pour avoir:

ABB mgymvmgy2

21 (on peut simplifier chaque terme par m)

La hauteur initialeyAtantHet la hauteur finale le rayon de la section circulaire (r), on aura:

gHvgr B2

21

La vitesse en B est la vitesse dtermine au dbut, gale gr . On peut donc tablir la relation finale d o on

peut isolerH, qui sera fonction de r:

gHgrgr2

21 gHgrgr 2

1

2

3rH


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8P10

a)Si on cherche la valeur minimale de hauteur, cela implique qu en passant au sommet de la boucle, le blocsera tout juste en contact avec la piste, sans s appuyer dessus. Le bloc sera donc sur une trajectoire telle que laseule force gravitationnelle, au sommet, suffira lui procurer l acclration centripte qui le fera passer ausommet sans dcrocher et sans s appuyer (la force normale est donc nulle au sommet). L quation des forces

radiales, au sommet, sera donc:mgmaF rr

On doit donc avoir une acclration gale g, ce qui nous permet de dterminer la vitesse que le bloc doit avoir:

R

vgar

2

gRv

Maintenant, quelle est la hauteur de dpart du bloc qui lui donnera prcisment cette vitesse en passant ausommet de la boucle? Par conservation de l nergie, et en plaant la rfrence de hauteur au point le plus bas duparcours (au plus haut de la boucle la hauteur sera 2R), on a:

if EE

0

igifgf KUKU

mgHmvRmg2

212

On peut diviser tous les termes par mpour simplifier, on peut remplacer v par gR tel que dtermin plus tt,

et isolerH: gHgRgR2

212

RRg

gRH 2

522

b)Si en ralitHest le double de R25 , on a RH 5 . Par conservation de l nergie, trouvons la vitesse au

sommet de la boucle, et ensuite la force normale requise pour garder la trajectoire circulaire.

0

igifgf KUKU

RmgmvRmg 52 221

gRv 6

L quation des forces au sommet de la boucle implique la normale ET la force gravitationnelle, chacune agissantvers le bas, donc vers le centre (donc positive):

NmgmaF rr avecR

var

2

gR

vmmgmaN r

2o gRv 6

mggR

gRmN 5

62


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8P11

a)En glissant sur l igloo, l enfant suivra une trajectoire circulaire. Le faitde suivre une trajectoire prcisment circulaire ncessite que la sommedes forces produise exactement la bonne acclration centripte quiquivaudra v/R. La vitesse est lie l nergie cintique gagne (pour

l nergie potentielle gravitationnelle perdue). En tout temps, la sommedes forces se limite la somme de la normale et de la forcegravitationnelle (il n y a pas de frottement).Aussi, la composante radialed acclration est la somme de la pleine normale et de la composanteradiale du poids (qui varie avec l angle de la position), donne par cosmg .

Donc l quation des forces radiales estR

vmNmgmaF rr

2

cos

La normale est ngative dans l quation car elle va l encontre du centre de la trajectoire. Tant que l enfanttouchera la surface, la force normale sera non nulle. Donc l angle auquel l enfant quittera contact avec lasurface correspond l endroit o la normale deviendra nulle. L quation des forces deviendra donc la suivante :

R

vmmg

2

cos transforme: 2cos vgR

Cette quation fait un lien entre l angle et la vitesse. Cette vitesse est encore inconnue, mais on peut ladterminer par la conservation de l nergie, pour la position par rapport la verticale:

if EE

0

igig KUKU la position , la hauteur par rapport au sol est cosR

mgRmvRmg2

21cos Au sommet, la hauteur par rapport au sol est le rayonR

gRvgR 2cos2 2

cos222 gRgRv

On peut maintenant mettre ensemble les 2 rsultats pour isoler :

cos22cos 2 gRgRvgR

cos22cos

2,48cos 321

b)Sile frottement n tait pas nul, cela le ralentirait sur toute la surface o il glisse. Il atteindrait donc pluslentement la position trouve en a) et y passerait moins vite. Ainsi, la force centripte requise serait moinsgrande et la normale n attendrait pas zro en ce point, mais en un point plus bas sur la surface. L enfant quitteraitdonc la surface en un point plus bas.

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