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Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier

pour les tubes composites degrades

Emmanuel Baranger

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Emmanuel Baranger. Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubescomposites degrades. Mecanique [physics.med-ph]. Ecole normale superieure de Cachan - ENSCachan, 2005. Francais.

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C A C H A N

ENSC-2005 no63

THESE DE DOCTORAT

DE LECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN

Presentee parEmmanuel Baranger

pour obtenir le grade deDOCTEUR DE LECOLE NORMALE SUPERIEURE DE

CACHAN

Domaine :MECANIQUE - GENIE MECANIQUE - GENIE CIVIL

Sujet de la these :Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubes

composites degrades

These presentee et soutenue a Cachan le 17 novembre 2005

devant le jury compose de :P. Le Tallec Professeur - Ecole Polytechnique President

P. Cartraud Professeur - Ecole Centrale de Nantes RapporteurC. Hochard Professeur - Universite Aix-Marseille I RapporteurL. Blanchard Ingenieur - Alcatel Alenia Space ExaminateurJ.-F. Maire Ingenieur - ONERA ExaminateurM. Potier-Ferry Professeur - Universite de Metz ExaminateurO. Allix Professeur - ENS Cachan Directeur de these

Laboratoire de Mecanique et TechnologieENS Cachan / CNRS-UMR8535 / Universite Paris 6

61, avenue du President Wilson, F-94235 CACHAN CEDEX (France)

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Je remercie lensemble du LMT-Cachan ou jai effectuema these et en particulier Pierre Ladeveze pourmavoir accueilli au sein de ce laboratoire.

Je remercie aussi tres chaleureusement Olivier Allixpour mavoir encadre et ecoute durant cette periode.On na pas toujours parle mecanique, mais ces discus-sions mont toujours fait avance. Merci de ne mavoirpas abandonne dans les moments difficiles.

Bien entendu, je remercie messieurs Patrice Cartraudet Christian Hochard davoir accepte de rapportermon memoire et monsieur Patrick Le Tallec davoirpreside le jury. Merci aussi aux autres membres dujury, messieurs Michel Potier-Ferry, Jean-FrancoisMaire et Laurent Blanchard. Je tiens a remercierALCATEL ALENIA SPACE pour son soutien fi-nancier et linteret porte a mon travail, ainsi que laDGA/STTC a travers le Programme dEtudes AmontsAnalyse Multi-Echelle : Recherche Innovante pourles materiaux COmposites (AMERICO), coordonnepar lONERA.

Un grand merci aussi aux copains, Pierrot et Gilles(notre captain Americo) mes camarades de jeux sous

Matlab, Frisou capable de maintenir le moral de toutle monde (parfois meme des imprimantes) ,Mathilde,David, Sandra, Guillaume et ses canulards, et tous lesmembres du LMT-Cachan.Enfin, le plus important, je remercie toute ma familleet en particulier ma femme Ines et mon fils Maximepour leur soutien de tous les jours.

Merci

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Table des matieres

Table des matieres i

Table des figures v

Liste des tableaux ix

Introduction 1

1 Probleme a resoudre : contexte, bibliographie, trame de letude 5

1.1 Contexte de letude, presentation des mecanismes de degradation 71.1.1 Description du tube et de son chargement . . . . . . . . 71.1.2 Presentation des mecanismes de degradation des plis tisses 101.1.3 Modelisation des degradations, les differentes echelles . . 101.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Problematique et outils de calcul associes aux composites . . . . 191.2.1 Modelisations simplifiees et effets de bord en elasticite . 191.2.2 Simulation en presence de non linearites materiau . . . . 271.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Reduction de la zone detude : la problematique du raccord 31

2.1 Presentation de la problematique du raccord . . . . . . . . . . . 332.2 Raccord base sur une theorie de poutre simple . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Formulation du probleme poutre . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Exploitation et reconstruction du champ solution . . . . 382.2.4 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.5 Conclusion sur les raccords simples . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Theorie exacte des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.1 Formulation du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.2 Identification des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubescomposites degrades

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Table des matieres

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Decouplage du calcul sur tube sain par lintroduction de modes

de Fourier etendus 593.1 Motivations et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Formulation du probleme decouple . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Ecriture du probleme decouple . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Mise en oeuvre elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.1 Description elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2 Programmation orientee objet dun code elements finis . 77

3.4 Estimation du cout de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4.1 Nombre doperations liees a la resolution dun probleme . 82

3.4.2 Estimation de lencombrement memoire . . . . . . . . . . 843.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5.1 Illustrations issues de la litterature . . . . . . . . . . . . 863.5.2 Solution sur la zone de bord . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.3 Prise en compte de defauts de delaminage axisymetriques 92

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Probleme avec defaut : mise en place et analyse 97

4.1 Modelisation des defauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2 Discretisation elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3

Ecriture du probleme couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.4 Developpement de la solution theorique . . . . . . . . . . . . . . 1074.5 Convergence de la solution tronquee . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5.1 Presentation dun cas detude simple . . . . . . . . . . . 1104.5.2 Estimation demax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.5.3 Convergence de la solution tronquee . . . . . . . . . . . . 1114.5.4 Evaluation a priori de lordre de troncature . . . . . . . . 111

4.6 Cas dun defaut quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.7 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Probleme avec defaut : methode de resolution et application 117

5.1 Presentation du gradient conjugue . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 Choix du preconditionneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3 Evaluation du conditionnement et validation a posteriori de

lordre de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.1 Conditionnement de la methode . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.2 Validation a posteriori de lordre de troncature . . . . . . 125

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5.4 Mise en oeuvre du gradient conjugue et echantillonnage . . . . . 1255.4.1 Influence du repliement de spectre sur la convergence . . 1255.4.2 Influence de la representation du defaut sur la convergence131

5.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6 Analyse des effets de bord : vers le non lineaire 139

6.1 Modelisation du materiau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.1.1 Modelisation des plis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.1.2 Modelisation des interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.2 Resolution du probleme non lineaire global . . . . . . . . . . . . 1546.2.1 Probleme de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2.2 Base des methodes incrementales . . . . . . . . . . . . . 155

6.2.3 Methodes de resolution classiques . . . . . . . . . . . . . 1556.2.4 Pilotage des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.2.5 Acceleration de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2.6 Choix des directions de recherche . . . . . . . . . . . . . 1596.2.7 Un premier pilotage des calculs . . . . . . . . . . . . . . 162

6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Conclusion et perspectives 165

Annexe A : Definition des matrices R et P 167

Annexe B : Calcul des matrices de Hooke transformees 169

Annexe C : Maillage 3D du tube 171

Bibliographie 173


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Table des matieres

iv Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubescomposites degrades

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Table des figures

1.1 Mise en situation des differentes bases . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Parametrage de langle denroulement des plis . . . . . . . . . . 91.3 Parametrage de la liaison tube/manchon . . . . . . . . . . . . . 91.4 Fissures transverses et longitudinales dans un composite tisse . . 10

1.5 Fissuration transverse et delaminage en pointe de fissure . . . . 111.6 Fissures longitudinales (intra-toron a gauche et inter-torons a

droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Ruptures de fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Modes douverture de fissures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Restriction de la base dorthotropie pour un calcul de Fourier

classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10 Notations pour la decomposition de domaine . . . . . . . . . . . 24

2.1 Maillage de lextremite du tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2

Evolution de XX suivant l1 : cas homogene isotrope . . . . . . 402.3 Evolution de XX suivant l1 : cas composite . . . . . . . . . . . 412.4 Evolution de UX suivant l1 : cas homogene isotrope . . . . . . . 422.5 Evolution de UX suivant l1 : cas composite . . . . . . . . . . . . 422.6 Evolution de TX suivant l1 : cas homogene isotrope . . . . . . . 432.7 Evolution de TX suivant l1 : cas composite . . . . . . . . . . . . 432.8 Evolution de MY suivant l1 : cas homogene isotrope . . . . . . . 442.9 Evolution de MY suivant l1 : cas composite . . . . . . . . . . . . 452.10 Evolution des contraintes circonferentielle et axiale (en MPa) en

fonction de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.11 Evolution de la contrainte de cisaillement z (en MPa) en fonc-tion de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.12 Evolution de Zdzz (en MPa) en fonction de R . . . . . . . . . . 542.13 Evolution de la contrainte axiale (en MPa) en fonction de R . . 542.14 Evolution de la contrainte axiale (en MPa) dans le tube en

flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.15 Evolution de la contrainte axiale (en MPa) dans une section

longitudinale du tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


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Table des figures

2.16 Evolution de zr (MPa) le long de la poutre (z en mm) a lin-terface interieure +20/-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.17 Evolution du deplacement uz (mm) dans la section z= 3re . . . 57

3.1 Le tube composite et sa developpee . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2 Representation de la notion de bande . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Description des elements finis utilises (pli et interface) . . . . . . 683.4 Influence de lintegration sur le nombre de modes a energie nulle 693.5 Influence du nombre de points de Gauss sur le conditionnement 703.6 Influence de lelancement sur le conditionnement pour 12 points

de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Influence de lelancement sur le conditionnement pour 25 points

de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.8 Poutre sur appui elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.9 Evolution du deplacement en fonction del (elements lineaires agauche et cubiques a droite ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10 Evolution de la contrainte a linterface en fonction del(elementslineaires a gauche et cubiques a droite ) . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11 Evolution du deplacement en fonction du nombre delements N(elements lineaires a gauche et cubiques a droite ) . . . . . . . . 74

3.12 Evolution de la contrainte a linterface en fonction del(elementslineaires a gauche et cubiques a droite ) . . . . . . . . . . . . . . 74

3.13 Evolution de la contrainte a linterface pour differentes integrations 75

3.14 Solution a convergence en fonction de lintegration numerique . 763.15 Evolution de la contrainte interfaciale en fonction de lintegration 763.16 Diagramme UML de la classeMATERIAU et des ses descendants 783.17 Diagramme UML de la classeMODE CALCet des ses descen-

dants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.18 Diagramme UML de la classeSTRUCTUREet des ses descen-

dants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.19 Diagramme UML de la classe ELEMENT et des ses descendants 813.20 Numerotation des noeuds dans une bande . . . . . . . . . . . . 833.21 Evolution des deformations en fonction de R : peaux homoge-

neisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.22 Evolution des contraintes (MPa) en fonction de R : peaux ho-

mogeneisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.23 Evolution des contraintes pour des peaux homogeneisees . . . . 883.24 Evolution des contraintes pour des peaux heterogenes . . . . . . 893.25 Evolution des contraintes dans un tube [+55/ 55/0/ 55/55]

en flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.26 Evolution de la contrainte axiale dans le tube composite . . . . 90

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Table des figures

3.27 Evolution de la contrainte zr (MPa) aux interfaces (traction) . 913.28 Evolution de la contrainte rr (MPa) aux interfaces (traction) . 91

3.29 Evolution de la contrainte r (MPa) aux interfaces (traction) . 91

3.30 Evolution de la contrainte zr (MPa) aux interfaces (flexion) . . 923.31 Evolution de la contrainte rr (MPa) aux interfaces (flexion) . . 93

3.32 Evolution de la contrainte r (MPa) aux interfaces (flexion) . . 93

3.33 Evolution du taux de restitution denergie en fonction de la tailledu defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1 Representation dun defaut en forme de demi-ellipse . . . . . . . 100

4.2 Allure dun defaut standard modelise . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3 Representation dun defaut apres troncature . . . . . . . . . . . 101

4.4 Erreur commise par la troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5 Evolution de lerreur en fonction de lordre de troncature . . . . 1124.6 Ordre de troncature en fonction de pour une erreur inferieure

a 1% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.7 Representation de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.8 Evolution de lerreur relative en fonction de la largeur dun defaut114

4.9 Maillage fin dune section du tube . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.10 Pre-endommagement dans linterface interieure [+20/ 20] . . . 1155.1 Evolution de lerreur au cours des iterations . . . . . . . . . . . 124

5.2 Evolution de d12 pour k= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3 Exemple dendommagement aux points dechantillonnage . . . . 1315.4 Reconstruction de lendommagement sur 32 modes . . . . . . . 132

5.5 Evolution de lendommagement maximum en fonction de lordrede troncature de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.6 Non convergence du gradient conjugue . . . . . . . . . . . . . . 133

5.7 Description circonferentielle dun defaut . . . . . . . . . . . . . 1345.8 Maillage fin dune section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.9 Convergence du gradient conjugue . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.10 Pre-endommagement dans linterface interieure [+20/ 20] . . . 1365.11 Evolution de zr (en MPa) dans linterface interieure [+20/ 20]1365.12 Evolution de rr (en MPa) dans linterface interieure [+20/ 20]1375.13 Evolution de r (en MPa) dans linterface interieure [+20/ 20]1376.1 Evolution du temps dintegration en fonction de lendommagement151

6.2 Evolution du comportement en cisaillement pur . . . . . . . . . 152

6.3 Definition des axes dorthotropie de linterface . . . . . . . . . . 1536.4 Cout de calcul des algorithmes de Newton modifie et Newton

secant : cas de la traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160


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Table des figures

6.5 Cout de calcul des algorithmes de Newton modifie et Newtonsecant : cas de la flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.6 Evolution post-pic du comportement du tube en traction . . . . 163

6.7 Numerotation des degres de liberte par circonference . . . . . . 1726.8 Numerotation des degres de liberte par rayon . . . . . . . . . . 172

viii Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubescomposites degrades

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Liste des tableaux

1.1 Caracteristiques mecaniques des constituants du pli . . . . . . . 71.2 Sequences dempilement et dimensions des tubes . . . . . . . . . 8

2.1 Caracteristiques du T300/934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1 Differentes repartitions de points de Gauss pour le massif . . . . 693.2 Cout des differentes methodes de resolution . . . . . . . . . . . 833.3 Estimation du cout de calcul (nombre doperations) . . . . . . . 843.4 Estimation de lencombrement memoire de la matrice de rigidite 853.5 Estimation de lencombrement memoire de la solution . . . . . . 86

5.1 Comparaison des conditionnements theoriques et calcules . . . . 1245.2 Comparaison entre taux de convergence reel et theorique . . . . 1245.3 Validation a posteriori de lordre de troncature . . . . . . . . . . 1255.4 Nombre diterations a convergence en fonction de lechantillonnage 130

6.1 Temps dintegration numerique du comportement en cisaille-ment (en secondes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.2 Nombre de resolutions de problemes elastiques en fonction delalgorithme choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


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Liste des tableaux

x Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubescomposites degrades

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Introduction

Modelisation et simulation sont de nos jours des mots clefs du metier din-genieur. En effet, dans ce domaine, une volonte de plus en plus forte tend amettre en avant la pratique des simulations dans le processus industriel afinde guider, de completer ou de remplacer une partie de lapproche experimen-

tale. On parle alors dessais virtuels (virtual testingen anglais). Cette volontese manifeste actuellement a travers certains programmes de recherche natio-naux ou europeens dans le domaine de laeronautique (MAIA, MUSCA, ...).Un des enjeux du virtual testingen mecanique des materiaux et des structuresest la prevision de levolution des endommagements et de la rupture aussibien en statique quen dynamique. Ceci est dautant plus vrai pour les mate-riaux composites qui possedent une grande diversite de constituants de baseet darchitectures car ils engendrent ainsi des campagnes dessais tres lourdeset couteuses. Qui plus est, la gamme dessais est tres large et setend sur dif-ferentes echelles, des essais de base aux essais sur structures en passant par

differents niveaux deprouvettes technologiques. Dans le cadre de lA340-600,par exemple, le cout des essais de caracterisation concernant les compositesatteint plusieurs centaines de millions deuros. Notons que dans le domainespatial, dans lequel se situe cette these, le recours a la simulation est indispen-sable afin de valider les modeles utilises pour la prediction du comportementen service.Cette these sinscrit dans la problematique duvirtual testinget plus particulie-rement de la tolerance aux defauts de structures composites. Cette thematiqueest issue dun probleme industriel rencontre par ALCATEL ALENIA SPACEet prend place dans le plan detudes amont AMERICO (Analyse Multi-Echelles

et Recherche Innovante pour les Composites a matrice Organique) finance parla DGA et coordonne par lONERA. Notre objectif est de mettre en placeun outil numerique permettant, a terme, la verification de la tenue de tubescomposites en presence de defauts et completant ainsi une base de donneesexperimentales couteuse et limitee.

Un prealable necessaire a la simulation jusqua rupture est de disposerdune base materiau solide. Dans le cas des composites stratifies, en presence


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Introduction

deffets localises, ceci constitue un challenge important car les phenomenes dedegradations gouvernant la reponse jusqua rupture de la structure se situenta une echelle mesoscopique, voire microscopique.

Une demarche initiee par Ladeveze (Ladeveze, 1986, 1989) et de plus enplus suivie pour simuler la tenue des structures composites est lanalyse deleurs endommagements a lechelle mesoscopique mettant en place la notion depli et dinterface. Cette echelle fait intervenir lepaisseur dun pli comme gran-deur caracteristique, celle-ci etant de lordre de 0.2 mm. Des travaux sur lesplis ont ete effectues par (Ladeveze et Le Dantec, 1992; Renard et Jeggy, 1989;Aussedat et al., 1994; Hochard et al., 2001) et sur les interfaces par (Allix,1992; Schellekens et De Borst, 1993; Corigliano, 1993; Chaboche et al., 2001).Ces differentes etudes ont permis de developper et didentifier des modeles decomportement permettant de decrire, par lintermediaire de la mecanique de

lendommagement, leffet des differents mecanismes de degradation du stratifietels que la rupture des fibres, la decohesion entre fibres et matrice ou le dela-minage.Cependant, le traitement numerique dun modele de composite decrit a lechelledes constituants mesoscopiques conduit tres rapidement a des problemes de tresgrandes tailles . A titre dexemple, le maillage dune liaison entre tubes compo-sites realisee par un manchon metallique requiert la resolution dun problemedenviron dix millions de degres de liberte (ddls). De plus le probleme pose estnon lineaire et different pour chaque famille de defauts crees lors des phases defabrication. Ainsi, le traitement de ce type de problemes (non linearites, grand

nombre de degres de liberte) necessite le developpement de methodes de calculadaptees.

Pour limiter les temps de calcul, un premier aspect est de simuler de fa confine uniquement la zone ou se developpent les degradations, ici les extremitesdu tube. Le cout de calcul a lechelle mesoscopique des extremites reste tresimportant (voire prohibitif dans la cas de letude de familles de defauts). Destechniques de calcul efficaces du probleme bord ont ete recherchees. Dans lecas de la plaque composite trouee (Allix, 1992) avait utilise la propriete degeometrie axisymetrique pour coupler des elements finis classiques avec desdeveloppements en series de Fourier au moyen dune methode de resolutioniterative avec preconditionneur. Le caractere axisymetrique du tube nous adonc conduits a explorer les possibilites offertes par lutilisation dun develop-pement en serie de Fourier.

Deux axes principaux ont donc ete abordes. Le premier concerne la gene-ration de conditions limites 3D adequates a partir dune theorie de poutre. Ceprobleme de raccord intervient lors de la reduction de la zone detude et ne

2 Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les tubescomposites degrades

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Introduction

doit pas perturber lanalyse fine de lextremite en creant un endommagementartificiel au raccord. Differentes approches ont ete traitees pour cela, elles nousont mene a lutilisation de la theorie exacte des poutres (Ladeveze et Sim-

monds, 1996) qui permet de construire facilement la solution de Saint-Venantdu probleme.Le deuxieme axe concerne la mise en place dun element fini specialise dans letraitement de geometries de revolution. Dans le cas dun tube sain, celui-ci per-met de decoupler le probleme 3D en petits problemes poses sur une bande. Cedecouplage est rendu possible par lintroduction de modes de Fourier etendus.Dans le cas du tube degrade, un couplage fort intervient entre les modes, unemethode iterative de gradient conjugue adaptee est alors mise en place pourresoudre tres efficacement le probleme a travers lutilisation intensive du cal-cul parallele et le choix dun preconditionneur decouplant les modes etendus.

Les questions de cout de calcul, dechantillonnage et de troncature du develop-pement en serie ont tout particulierement ete examinees. Le dernier chapitreaborde les aspects lies a lintegration numerique de lois de comportement me-soscopiques endommageables (plis et interfaces) dans loutil developpe. Leffi-cacite de ce dernier est limitee par lutilisation de Matlab. Dans ce contexte eten raison du temps de developpement dun nouvel outil, les cas tests conduitspermettent uniquement de valider lintegration correcte du comportement sanspouvoir traiter dexemples industriels representatifs.

Ce document est compose de 6 chapitres.

Le premier presente une etude bibliographique sur les themes abordes par cetteetude, a savoir la modelisation des degradations dans les materiaux compositeset les methodes de calcul efficaces associees aux structures composites.Le deuxieme chapitre traite de la reduction de la zone detude fine par luti-lisation dune modelisation poutre. La problematique du raccord entre poutreet massif 3D y est traitee.Le troisieme chapitre concerne la mise en place dune strategie de calcul adap-tee aux problemes axisymetriques grace au developpement en series de Fourier,ainsi que limplantation numerique de cette strategie.Le quatrieme chapitre etend les resultats precedents au cas dune geometriede revolution en presence de defauts. Une etude theorique est menee sur lin-

fluence de la troncature du developpement en serie.Le cinquieme chapitre presente la mise en oeuvre dune methode de gradientconjugue permettant la resolution du probleme couple introduit au chapitreprecedent.Enfin, le sixieme chapitre est une ouverture vers le non lineaire et presente surdes cas tres simples les techniques a utiliser pour simuler la tenue dun tubeen presence de defauts.


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Introduction


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Chapitre 1

Probleme a resoudre : contexte,

bibliographie, trame de letude

La tolerance aux defauts etant une thematique tres large, ce chapitre seconcentrera sur les aspects touchant a la presente etude. Les structurescomposites etudiees sont constituees de composites a fibres longues.Deux aspects sont presentes : la modelisation du comportement et lesoutils de simulation adaptes, ceux-ci etant intimement lies. En effet,une etude fine des mecanismes de degradation a lechelle du pli en-

gendre de grands couts de calcul et impose donc lutilisation dunestrategie adaptee.

Sommaire

1.1 Contexte de letude, presentation des mecanismes de

degradation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Description du tube et de son chargement . . . . . . . . 7

1.1.2 Presentation des mecanismes de degradation des plis tisses 10

1.1.3 Modelisation des degradations, les differentes echelles . 10

1.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Problematique et outils de calcul associes aux com-

posites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Modelisations simplifiees et effets de bord en elasticite . 19

1.2.2 Simulation en presence de non linearites materiau . . . 27


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1.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


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1.1. Contexte de letude, presentation des mecanismes de degradation

1.1 Contexte de letude, presentation des me-

canismes de degradation

La simulation et la prediction du comportement de structures necessitentla connaissance de differents modeles de description du reel :

la modelisation geometrique la modelisation du comportement du materiau la modelisation du chargement et des conditions limites

Dans ce paragraphe, une breve description des tubes etudies sera donnee puison sattachera plus particulierement au deuxieme point qui concerne la modeli-sation du comportement du materiau. Ces differents modeles sont utilises dansle cadre de la tolerance aux dommages pour predire la ruine de la structure. Ilest a noter que dans ce cadre, le dimensionnement est classiquement effectue

dans une optique conservative en definissant un defaut maximal non visible pour lequel lintegrite de la structure ne doit pas etre mise en cause.

1.1.1 Description du tube et de son chargement

Les tubes etudies sont constitues de plis G969/RTM6. Ces plis sont des plistisses (taffetas non-equilibres de fibres de carbone). Dans la direction de chane,les torons sont en M55J 6k et dans la direction de trame HR 1k. La contexturedu tissu (8 fils/cm pour la chane et 3 fils/cm pour la trame) conferent au tissuun comportement elastique equivalent a un empilement de deux plis unidirec-

tionnels (Whitcomb et Tang, 2001). Le sens chane etant beaucoup plus rigideet plus dense que le sens trame, le pli se comporte (en elasticite) quasimentcomme un unidirectionnel. La matrice RTM6 est une matrice epoxy equiva-lente a la matrice M18 mais possedant de meilleures proprietes pour mise enforme par le procede RTM 1. Les proprietes mecaniques des constituants dupli sont donnees dans le tableau 1.1.

HR 1k M55J 6k RTM6 M18E (GPa) 230 537 2,890 3,5

Tableau 1.1 Caracteristiques mecaniques des constituants du pli

Le tube dune longueur de lordre du metre est compose de differents en-roulements de plis tisses. Langle dhelice de ces enroulements depend du

1RTM (Resin Transfer Moulding) : La technologie RTM consiste a injecter un melangereactif liquide sur une preforme fibreuse dans un moule sous pression. Ce moule est ensuiteporte a haute temperature afin de permettre la polymerisation. Les renforts a fibres longuessont necessairement tisses afin quils restent en place durant linjection.


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1. Probleme a resoudre : contexte, bibliographie, trame de letude

pli considere et de lapplication a laquelle la barre est destinee (tableau 1.2 etfigure 1.1). Les axes localement definis par la chane et la trame du tissu (notes1 et 2) sont les axes dorthotropie du materiau (figure 1.2).

diametre (mm) epaisseur du tube (mm) sequence (o) nombre de plis32 1 [+20, 20, 0, 20, +20] 550 1.6 [0, 24, 0, +24]S 8

Tableau 1.2 Sequences dempilement et dimensions des tubes

Figure 1.1 Mise en situation des differentes bases

Les tubes sont organises en treillis, les liaisons entre ces differents tubessont assurees par des manchons colles (figure 1.3). Le diametre des tubes varieentre 20 et 50 mm. Les manchons sont en titane ou en aluminium, la longueurde recouvrement varie entre 15 et 50 mm.

Les tubes sont sollicites mecaniquement (traction et flexion) et thermique-ment (entre100oCet +100oC) suivant leur implantation et leur expositionau soleil. A terme, le cyclage thermique devra donc etre pris en compte dansla simulation.


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Figure 1.2 Parametrage de langle denroulement des plis

longueur de collage

diametre

epaisseur

tube compositeManchon

Figure 1.3 Parametrage de la liaison tube/manchon


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1.1.2 Presentation des mecanismes de degradation des

plis tisses

De nombreux materiaux composites a fibres longues, comme les carbone/epoxy,presentent un avantage tres particulier par rapport aux metaux : la directiondu dommage depend de larrangement geometrique des constituants des com-posites et non pas du mode de chargement. Il est a noter que ce nest pas lecas pour les composites a matrice ceramique (Aubard, 1992).Dans le cas des tissus, qui sont composes de torons entrecroises, trois classesprincipales de degradations sont a noter (figure 1.4 dapres (Aussedat et al.,1994; Aussedat, 1997)) : les fissures transverses, les fissures longitudinales etles ruptures de fibres (figure 1.7 dapres (Aussedat, 1997) ).Les fissures transverses apparaissent de maniere assez homogene, parallele-

ment a laxe des fibres et dans lepaisseur des torons de chane et de trame(figure 1.5 dapres (Aussedat, 1997) ), elles sont initiees par des decohesionsfibres/matrice. Les fissures longitudinales se developpent dans le plan du tissuet parallelement a laxe des fibres (figure 1.6 dapres (Aussedat, 1997) ). Cephenomene est a rapprocher du delaminage qui apparat couramment dans lesstratifies a plis unidirectionnels en pointe de fissures transverses ou pres desbords. Grace aux deux reseaux de fibres, le comportement du stratifie dansles directions de chane et de trame peut etre assimile a un comportementelastique fragile. Dautre part, contrairement aux plis unidirectionnels, la pre-sence de fibres en direction transverse permet de reprendre la charge et evitelouverture des fissures transverses, qui ne sont sollicitees quen cisaillement.

Figure 1.4 Fissures transverses et longitudinales dans un composite tisse

1.1.3 Modelisation des degradations, les differentes echelles

Les reglementations de tolerance aux dommages mises en place entre 1975et 1980 en aeronautique (normes FAR 25 aux Etats-Unis et JAR 25 en Eu-rope) necessitent de supposer lexistence de defauts dans la structure. En effet,


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Figure 1.5 Fissuration transverse et delaminage en pointe de fissure

Figure 1.6 Fissures longitudinales (intra-toron a gauche et inter-torons adroite)

Figure 1.7 Ruptures de fibres


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la structure est dimensionnee telle quun defaut engendrant sa ruine doit etredetectable. Il est alors necessaire de representer les dommages detectables etleur influence. Ce paragraphe presente les deux grandes familles de represen-

tation des defauts (fissures) et les criteres associes.

1.1.3.1 Description discrete des fissures par la mecanique de la rup-

ture

Une fissure est une zone qui separe un solide en deux. Autrement dit, cestune surface de discontinuite des deplacements et des contraintes. Il est neces-saire de distinguer deux aspects, linitiation de la fissure et la propagation dudefaut.

La mecanique de la rupture (Bui, 1978) met en place differents criterespermettant de predire la propagation dune telle fissure. Pour cela, la fissureest representee de maniere discrete.Le premier critere de propagation de fissure est du a Griffith (Griffith, 1924).Ce critere developpe en elasticite lineaire repose sur une approche energetiquede la propagation des fissures en faisant lhypothese de lexistence dune energieliberee fonction de laire de fissure creee. Laccroissement denergie potentielledP pour un accroissement daire fissuree dA fait alors intervenir une quantiteG, appelee taux de restitution denergie. Le bilan denergie secrit alors :

dP+ GdA= 0 (1.1)

G=dPdA

(1.2)

Afin de predire la propagation, ce taux de restitution denergie est comparea une valeur critiqueGcsupposee caracteristique du materiau. Si G = Gcalorsla fissure se propage. Differentes methodes sont utilisees pour calculer le tauxde restitution denergie. Les methodes de perturbation de maillage, necessitentplusieurs calculs : le calcul au pas courant et le calcul simulant lavancee dunefissure. Une autre methode consiste a calculer G par lintermediaire de linte-grale J mise au point par Rice dans le cas bidimensionnel (Rice, 1968). Dans

le cadre des materiaux composites, les fissures sont sollicitees en mode mixteet un critere souvent utilise est le suivant :

GIGIc

+

GIIGII c

+

GII IGIIIc

= 1 (1.3)

Un exemple didentification des parametres intervenant dans ce critere dans lecadre dinterfaces entre plis est donne dans (Allixet al., 1998).


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La deuxieme famille de criteres de propagation de fissure repose sur letudedu champ de contraintes locales en pointe de fissure (Irwin, 1957). Pour cela lechamp de deplacement en pointe de fissure est developpe comme suit (r et

sont les coordonnees polaires dun point relativement a la pointe de fissure) :

U(r, ) = U(0) + kIrIuI() + kIIr

IIuII() + . . . (1.4)

Les k sont les facteurs dintensite des contraintes et les u sont les modesassocies aux exposants singuliers avec 0 < I < II, (si < 1 le champ decontrainte devient singulier).

Les coefficients et les modes u associes ne dependent que des proprieteslocales de la structure. Les facteurs dintensite quant a eux dependent descaracteristiques globales de la structure et du chargement. Les differents modes

douverture dune fissure sont decrits sur la figure 1.8.

Figure 1.8 Modes douverture de fissures

On dit quil y a propagation lorsquun critere base sur les facteurs dinten-site des contraintes depasse une valeur critique. Differents criteres ont ete misen place suivant les cas de couplage entre modes, notons par exemple (Erdoganet Sih, 1963) pour un critere en contrainte circonferentielle maximale et (Sih,1973) pour un critere en energie de deformation minimale. Plusieurs methodes


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permettent de calculer les facteurs dintensite des contraintes. Les approcheslocales se basent sur la forme des champs de contraintes (approche statique) oude deplacement (approche cinematique) en pointe de fissure. Notons aussi quil

est possible dextraire ces facteurs a partir du taux de restitution denergie parlintermediaire de champs auxiliaires (Petit, 1994).

La mecanique de la rupture est un outil permettant de decrire la propa-gation de fissure en considerant une fissure deja existante, cependant il fautetre en mesure de decrire le defaut preexistant, cest-a-dire se placer a la memeechelle que celui-ci. Cette echelle de modelisation fine peut devenir un incon-venient majeur si elle est petite, en particulier si cette echelle est celle de lafibre. De plus, pour les composites, il est necessaire de distinguer les modes cequi rend difficile lidentification des taux de restitution denergie critique.

En ce qui concerne linitiation, les criteres energetiques de la mecaniquede la rupture sont mis en defaut car le taux de restitution denergie tend verszero. De meme, comme le champ de contrainte en pointe de fissure tend verslinfini, les criteres en contrainte sont systematiquement satisfaits. Lexperiencemenee par (Parvizi et al., 1978), met en evidence la complementarite de cesdeux criteres dinitiation. Lapproche menee par Leguillon (Leguillon, 2002)vise a mettre en place un critere permettant dunifier ceux en contrainte et enenergie. Cette etude parait prometteuse et reste a tester pour les composites.Cependant, cette approche ne met pas en place de critere global dinitiation,elle est basee sur lanalyse locale dune situation existante.

1.1.3.2 Description continue des degradations par la mecanique de

lendommagement

La mecanique de lendommagement vulgarisee par (Lemaitre et Chaboche,1985) et dont le lecteur trouvera des exemples dapplication dans (Allix etHild, 2002) a ete initiee par Kachanov et permet de decrire linfluence de po-rosites ou de micro-fissures sans les decrire geometriquement. Ces defauts sontalors representes par lintermediaire de variables internes appelees variablesdendommagement agissant sur le comportement comme un abattement de

rigidite. Le mecanique de lendommagement sinsere dans le contexte thermo-dynamique classique presente ici. Les differents modeles dedies aux compositesseront presentes plus tard.

Soit d un ensemble de variables dendommagement. Soit la deformationtotale,e la deformation elastique et p la deformation plastique telle quon aitla partition : = e +p. On fait lhypothese que letat du systeme peut etredecrit par le jeu de variables (, p, d). Ici d est suppose etre un vecteur.


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Linegalite de Clausius-Duhem secrit :

(Tdsdt

dedt

) qT

gradT+ T r[ ddt

]0 (1.5)

s est lentropie,e lenergie, qle flux de chaleur et T la temperature. Separonsla dissipation totale en deux parties :

la dissipation intrinseque :

1 = (Tds

dt de

dt) + T r[

d

dt] (1.6)

la dissipation thermique :

2 = qTgradT (1.7)En isotherme 2 = 0 sinon ce terme mene classiquement a la loi de Fourier

qui assure la positivite de la dissipation thermique.Dans les composites a fibres longues, on introduit lenergie libre de Helmoltz

=(e T s), la dissipation intrinseque devient :

( dedt

Tdsdt

) + T r[d

dt] 0 (1.8)

(d

dt + s

dT

dt) + T r[

d

dt ] 0 (1.9)dou :

T r[( e

)de

dt] + T r[

dp

dt ]

p

dp

dt

d

.dd

dt (

T + s)

dT

dt 0 (1.10)

Les variables (e, T) sont supposees independantes dou :

=

e

(T,d,p)

(1.11)

s = T

(e,d,p)

(1.12)

Afin dintroduire la difference de comportement entre ouverture et ferme-ture des fissures, lenergie est separee en plusieurs termes relatifs a chaque


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partie du comportement. Cela permet dassurer la bonne regularite des quan-tites derivant de lenergie. Linegalite 1.10 devient :

T r[ dp

dt ] Ypdp

dt+ Yd. dd

dt 0 (1.13)

Avec les quantites duales des variables internes :

Yp =

p

(e,T,d)

(1.14)

Yd = d

(e,T,p)

(1.15)

(1.16)

En general on assure separement :

T r[dp

dt ] Ypdp

dt 0 (1.17)

Yd.dd

dt 0 (1.18)

Pour verifier Yd.dddt 0 il faut dd

dt 0. Notons quen general, lendommage-

ment est gouverne par la force thermodynamique associee :

d= Ad(Yd|, t) (1.19)Remarque : Il est a noter que certains problemes lies a la localisation (Ba-

zant et Bittnar, 1994) peuvent apparatre. Il est alors necessaire de mettre enplace des limiteurs de localisation (Bazant et Pijaudier-Cabot, 1988; Larsy etBelytschko, 1988; Ladeveze et Le Dantec, 1992) afin deviter toute dependanceau maillage.

Afin de modeliser le frottement entre les levres des fissures refermees, il peutetre interessant dintroduire un modele de plasticite couple au modele dendom-magement. Afin dutiliser les modeles classiques de plasticite, la contrainte ef-fective et son dual le taux de deformation plastique effectif sont introduits. La

contrainte effective secrit :=K K10 (1.20)

ouKest le comportement endommage et K0 le comportement sain. Cette de-finition generalise au cas anisotrope, la notion de contrainte effective classiqueintroduite dans le cas isotrope :

=

1 d (1.21)


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Le taux de deformation plastique effectif qui nexistait pas dans le cas isotrope,est introduit et verifie :

T r[ p] =T r[p] (1.22)

A partir de ce cadre general, differentes modelisations peuvent etre construitescomme par exemple (Ladeveze et Le Dantec, 1992; Daudeville et Ladeveze,1993; Allix, 1992; Allix et al., 1998) pour les plis unidirectionnels et (Hochardet al., 2001) pour les plis tisses. Ce dernier sera detaille par la suite. Ces mo-delisations placent lechelle detude au niveau du pli elementaire. En effet, lamecanique de lendommagement represente les mecanismes de degradation demaniere homogeneisee, il convient donc de rester a une echelle suffisammentproche de ces mecanismes afin de pouvoir encore les distinguer. Cependant,lechelle du pli est une echelle assez fine (0.1 mm) vis a vis de celle de la struc-ture (> 50 mm). Un effort devra donc etre fait sur la strategie de calcul afin

dappliquer ce type de modelisation de maniere performante.

1.1.3.3 Techniques de changement dechelle, du micro vers le meso

Les structures composites presentent de nombreuses echelles, celle de lastructure (echelle macro), celle du pli (echelle meso) ou encore celle de la fibre(echelle micro). Il est donc legitime de se poser la question du changementdechelle, cest a dire de predire linfluence de parametres decrits a une echellesur le comportement vu a une autre echelle. Cette problematique interessefortement les industriels dans le cadre de la conception dun materiau virtuel

qui permettrait devaluer la pertinence des choix effectues dans lelaborationdun composite. Ce type de demarche permet aussi de mieux comprendre lesdomaines de validite de certaines modelisations.

Ce paragraphe est divise en deux parties, la premiere donne les methodesdhomogeneisation les plus utilisees dans le cas des composites a fibres longuesdans le cas elastique. Celles-ci vont permettre devaluer linfluence de la contex-ture dun tissu sur ses proprietes elastiques par exemple (Whitcomb et Tang,2001). La deuxieme partie discute du changement dechelle en presence defissures.

1.1.3.3.1 Homogeneisation en elasticite Dans ce chapitre sont presen-tees les methodes dhomogeneisations les plus utilisees dans le cadre des com-posites a fibres longues.Soit un volume elementaire representatif (VER), volume dans lequel les quan-tites sont supposees plus ou moins homogenes. Lobjectif est de construire lecomportement elastique reliant la contrainte homogeneisee a la deformationhomogeneisee . Dans ce type de technique, trois echelles sont presentes :

lechelle de la structure : longueur caracteristique L ;


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lechelle du VER : longueur caracteristique l ; lechelle des heterogeneites : longueur caracteristique d ;On fait alors lhypothese que les echelles sont separees : d

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1.2. Problematique et outils de calcul associes aux composites

un modele dendommagement. Une deuxieme approche, suivie par (Ladevezeet Lubineau, 2001, 2002, 2003; Ladeveze et al., 2003; Lubineau et Ladeveze,2005; Marsal et al., 2005), consiste a consolider et ameliorer un modele com-

posite existant decrit a lechelle mesoscopique. Cette demarche dhomogenei-sation est realisee pas par pas pour des etats de degradation admissibles. Ellepermet entre autre de justifier de lutilisation de deux variables dendomma-gement par pli UD dont les lois devolution sont simulees afin de simplifier lademarche didentification. Notons que dans le cas des chargements hors plans,cette approche a permis de montrer laspect non local de la notion dinterface,aspect introduit de facon pragmatique dans le cadre des petits chocs (Guinardet al., 2002).

1.1.4 Conclusion

La prise en compte des degradations dans les materiaux composites peutetre consideree sous deux angles differents. La premiere approche est basee surla description geometrique dun defaut, cest la mecanique de la rupture. Il estalors necessaire de se placer au niveau des mecanismes de degradation, ce quidevient tres difficile si les degradations se produisent a lechelle de la fibre. Ladeuxieme approche se place a une echelle superieure et prend en compte lesdegradations de maniere continue, cest la mecanique de lendommagement. Ilest alors possible de rendre compte des degradations au sein du stratifie en seplacant a lechelle du pli, ce qui reste tres couteux et necessite une strategie de

calcul adaptee. Dans cette these, on se placera dans le cadre de la mecaniquede lendommagement avec lutilisation de meso-modeles, en particulier celui de(Hochard et al., 2001) pour les plis tisses.

1.2 Problematique et outils de calcul associes

aux composites

1.2.1 Modelisations simplifiees et effets de bord en elas-

ticite

1.2.1.1 Les theories simplifiees

La description des mecanismes de degradation a des echelles fines (meso oumicro) necessitent des calculs tres lourds, des theories plus ou moins simpli-fiees ont donc ete mises au point. Dans ce paragraphe trois dentre elles sontpresentees, la modelisation unidimensionnelle avec les theories de poutres, lamodelisation bidimensionnelle avec les theories de plaques (ou de coques) mul-


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ticouches ou non. Ces theories etant simplifiees, la solution donnee est souventerronee aux bords. Ceux-ci font alors lobjet dun traitement special. Enfin unemodelisation tridimensionnelle reduite sera presentee avec des calculs axisyme-

triques ou de Fourier.

1.2.1.1.1 Poutres Une poutre est un solide ayant deux de ses dimensionstres inferieures a la troisieme. Lobjectif des theories de poutre est de reduire unprobleme tridimensionnel a un probleme unidimensionnel pose suivant sa plusgrande dimension quil est possible de resoudre tres rapidement. Differentestheories plus ou moins precises ont ete mises en place au fil du temps. Lespremieres theories de Euler-Bernoulli et Timoshenko (Timoshenko et Goodier,1970) sont basees sur des hypotheses mixtes. La premiere hypothese postuleune forme du deplacement de chaque section de la poutre, la deuxieme pos-

tule la nullite dune partie de la contrainte. Ces theories ont ete justifiees etenrichies par une demarche asymptotique (Rigolot, 1980) qui, en fonction delordre du developpement (par rapport a un parametre delancement), per-mettent daugmenter la precision de la theorie. Au premier ordre, la theoriede Timoshenko est verifiee puis cest au tour des theories de voiles mincesde Vlassov (Vlassov, 1962). Bien entendu, plus lelancement est grand et plusces theories sont precises. Lutilisation de ces modeles unidimensionnels est engeneral justifiee par le principe de Saint-Venant qui donne des classes dequiva-lence entre chargements assurant la localisation des contraintes pres des zonesdapplication des charges ou de changement de section. Cest a partir de ce

concept que Ladeveze (Ladeveze et Simmonds, 1995) construit une theorie depoutre appelee theorie exacte et ne reposant sur aucune hypothese dordre ci-nematique ou statique. Le chapitre 2 entrera plus en detail sur la formulationde ces differentes theories ainsi que sur leur utilisation.Notons aussi les travaux plus recents de (Buannic et Cartraud, 2001a,b) de-veloppant des theories de poutres basees sur un developpement asymptotique.Ces travaux sappliquent a des pourtes ayant une structure periodique suivantla plus grande dimension ; lobjectif etant de construire une solution correcte(fonction de lordre du developpement asymptotique) loin des zones dappli-cation des conditions limites. Pour cela, un soin particulier est apporte a laconstruction des conditions limites.

1.2.1.1.2 Plaques et coques multicouches Une plaque ou une coqueest un solide ayant une de ses dimensions tres inferieure aux deux autres.Lobjectif des theories de plaque (coque), est de reduire un probleme tridimen-sionnel a un probleme bidimensionnel pose suivant ses plus grandes dimensions.Les premieres theories sont dues a Timoshenko et Reissner-Mindlin, elles sontle pendant de celles dEuler-Bernoulli et Timoshenko pour les poutres. Pour


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lutilisation dans le cadre des composites, de nombreuses theories prenant encompte les differentes couches du stratifie ont ete mises en place (Reddy, 1984;Carreira, 1998; Caron et al., 1999). Tous ces modeles imposent une forme du

champ de deplacement dans lepaisseur, ou du stratifie, ou de chaque pli. Ceshypotheses ne sont donc valides que pour des sollicitations relativement doucesdans lepaisseur du stratifie. Certains, comme les modeles M4 de (Carreira,1998; Caronet al., 1999; Caron et Sab, 2001; Carreira et al., 2002) permettentde calculer la contrainte aux interfaces entre les plis et ainsi de mettre enoeuvre des criteres de delaminage. Lutilisation de ce type de modelisationpermet deviter la singularite entre plis pres dun bord libre (singularite pre-sente en elasticite 3D (Pipes et Pagano, 1970; Pagano et Pipes, 1978)). Cesmodeles multicouches font partie des modeles fins utilises dans lindustrie carils sont implantes dans les grands codes de calcul (Nastran, Samcef...).

1.2.1.1.3 Qualite des solutions plaques Contrairement aux structuresmetalliques, les bords jouent un role important dans les structures compositesnotamment en raison du delaminage. Ainsi, le calcul des structures de typeplaque a ete remis en cause pour prendre en compte les conditions limitesreellement imposees. Differentes evaluations de lerreur commise sur la solu-tion interieure pour la theorie de Kirchhoff-Love ont ete menees dans (Koiteret Simmonds, 1972; Danielson; Ladeveze, 1975, 1976). Des cinematiques plusriches ont alors ete etudies (Valid, 1977; Cheng, 1979; Levinson, 1980; Reddy,1984; Rychter, 1986), ne menant a des estimations derreur que sur la zone inte-

rieure. Notons les approches de (Verchery, 1974) permettant dobtenir de faconprecise les contraintes darrachement et de cisaillement normal, ainsi que lesapproches directes de (Pagano et Soni, 1983). De nouvelles theories de plaquesont alors ete baties afin dameliorer la solution au niveau des conditions limites(Ladeveze, 1980; Ladeveze et Pecastaings, 1988; Ciarlet, 1997).

1.2.1.1.4 Calcul des effets de bord Parallelement aux etudes visant aameliorer la qualite des solutions plaques, des techniques de calcul deffets lo-caux ont ete developpees. Dans le cas de bords localement droits, les effetslocaux sont calcules en resolvant un probleme de bande orthogonal au bord.

Des methodes elements finis peuvent alors etre utilisees (Dong et Goetschel,1982), ou encore des techniques analytiques. Ces dernieres techniques reposentsur lutilisation de fonctions de contrainte de Papkovitch ou analogues (Hor-gan, 1982; Choi et Horgan, 1977; Zwiers et al., 1982; Wijeyewickrema, 1995;Wijeyewickremaet al., 1996) utilisees sur des problemes en deformation planeou deformations planes generalisees. La decroissance exponentielle de leffet debord a partir du bord charge est alors caracterisee en terme de valeurs propres.Dans le cas dune simple plaque isotrope homogene sur bord droit, les valeurs


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propres sont determinees avec les conditions de bord libre sur les faces inte-rieures et exterieures de la plaque. La projection sur la base modale est quant aelle determinee grace a la forme des conditions limites (residu impose). Ces me-

thodes analytiques, peu couteuses, permettent des etudes parametriques maisaussi de valider lapplication quasi-systematique du principe de Saint-Venant atravers levaluation de la longueur de penetration des effets de bord. Cependantces etudes sont limitees dans la prise en compte de lanisotropie du materiauainsi que par son heterogeneite.Les travaux de Ladeveze et Pecastaings (Ladeveze, 1983; Pecastaings, 1985b)sur le principe de Saint-Venant pour les poutres ou les plaques ont alors donnenaissance a la technique utilisee par (Pecastaings, 1985a). Ce principe permetde separer leffet interieur a grande longueur donde de leffet localise. Dansle cadre des poutres, ces travaux ont donnes naissance a la theorie exacte

des poutres (Ladeveze et Simmonds, 1995). Dans le cadre des plaques, lestravaux initialement effectues dans le cas isotrope transverse ont ete etendusdans le cadre composite avec bord localement droit notamment par Engrand(Engrand, 1982, 1985). Lidee dune analyse fine par bande a ete exploitee parAllix dans (Allix, 1992, 1989) pour construire une solution approchee dans lecas anisotrope. Celui-ci traite le cas du delaminage dans les plaques compositestrouees, un developpement en serie de Fourier permettant de ce ramener a desproblemes dans une bande. Lidee etait de dissocier la variation lente decritepar la serie de Fourier des variations rapides decrites par elements finis.

1.2.1.1.5 Calcul en mode axisymetrique ou Fourier Dans le cadre degeometries de revolutions, il est parfois possible de transformer une resolution3D en plusieurs resolutions 2D decouplees. Ce type de simplifications dites cal-cul axisymetriques ou calcul de Fourier decrites par exemple dans (Zienkiewiczet Taylor, 2000) ne sont appliquees que dans le cas dun materiau ayant undes axes dorthotropie perpendiculaire a la section longitudinale (figure 1.9)etudiee (section representative de tout le volume). En fait, le champ de depla-cement inconnu ainsi que le chargement sont decomposes en serie de Fourieret la resolution est effectuee mode par mode. Ce type danalyse rapide per-met davoir acces aux champs complets de contrainte et de deplacement pour

une resolution peu couteuse. Malheureusement, ces calculs simplifies ne sontpas applicables directement aux composites compte tenu de leur anisotropie.Combescure, quant a lui, utilise les developpements en series de Fourier pouretudier le flambage de coques axisymetriques (Combescure et Gusic, 2001) surdes materiaux isotropes. Il introduit un defaut depaisseur ou de geometriede la fibre neutre sous forme de series de Fourier. Le probleme couple alorsdifferents modes quil choisit. Les modes sur lesquels la solution est rechercheesont donnes a priori. Ces techniques ont ete implantees dans le code de calcul


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INCA sous forme delements coques appeles COMI ou COMU.

Figure 1.9 Restriction de la base dorthotropie pour un calcul de Fourierclassique

1.2.1.2 Sous-structuration et approches multi-echelles

Dans certains cas, lorsque des modelisations simplifiees ne suffisent pas, lerecours a des modelisations elements finis 3D peut etre indispensable ; ce quiengendre des problemes de grande taille inabordables avec des moyens de cal-

cul standards. Les strategies de sous-structuration sont alors mises en oeuvresur des machines paralleles. Lobjectif est de decouper un gros probleme enplusieurs plus petits. Chaque petit probleme est alors resolu presque indepen-damment des autres (sur un processeur), les sous-structures dialoguant jus-qua convergence vers la solution du probleme 3D initial. Dans ce paragraphe,trois grandes methodes de decomposition de domaine sans recouvrement sontpresentees dans le cadre statique lineaire. Dautres methodes existent comme(Ben Dhia, 1998) qui propose de recoller differents modeles entre eux, cettemethode ne sera pas abordee ici.

Le domaine etudie note est divise en deux sous domaines distincts 1

et2(figure 1.10), relies par une interface12. Les trois methodes se differencientpar le choix des inconnues au niveau des interfaces : deplacement et/ou effort.

1.2.1.2.1 La methode de Schur primale Cette methode, initialementpresentee par (Przemieniecki, 1963) et reprise dans de nombreuses etudes(Mandel, 1993; De Roeck et al., 1992; Roux, 1990) privilegie le deplacement alinterface. En notant,ules inconnues dinterface et u1(resp.u2) les inconnues


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Figure 1.10 Notations pour la decomposition de domaine

relatives aux noeuds interieurs a la sous-structure 1 (resp. 2) , le problemediscretise secrit de la maniere suivante : K11 0 K10 K22 K2

KT1 KT2 K

u1u2

u

=

F1F2

F

(1.23)

K11et K22ne representent pas la rigidite complete de chaque sous-structuremais seulement la partie concernee par les degres de liberte u1 et u2. La me-thode de Schur consiste a condenser le probleme sur les inconnues de linter-faces. Il est alors possible de definir la matrice du complement de Schur S et

le probleme devient :

Su=B (1.24)

avec :

S = K KT1K111K2 KT2K122K1S (1.25)B = F KT1K111F1 KT2K122F2 (1.26)

Les inconnues relatives aux sous-structures sont alors post-traitees a partirdes inconnues dinterface par la relation :

ui=K1ii (Fi Kiu)i[1, 2] (1.27)

La mise en oeuvre parallele de la methode conduit a lutilisation de me-thodes iteratives de type gradient conjugue. Lutilisation de preconditionneurs(De Roeck et Le Tallec, 1990) ameliore alors grandement lefficacite de cesmethodes iteratives.


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1.2.1.2.2 La methode de Schur duale Cette approche est lapprocheduale de la precedente ; ce sont ici les efforts a linterface qui sont privilegies (lesinconnues statiques sont des multiplicateurs de Lagrange assurant la continuite

du champ de deplacement a la traversee de linterface). Le probleme discretisesecrit :

K11 0 L10 K22 L2LT1 L

T2 0

u1u2

=

F1F2

0

(1.28)

Les quantites noteestilde, sont ici relatives a une sous-structure (exemple :u1 represente tous les degres de liberte de la sous-structure 1). La condensa-tion du probleme sur les multiplicateurs de Lagrange donne :

=C (1.29)

avec :

= LT1K111 L1+ L

T2

K122L2 (1.30)

C = LT1K111

F1+ LT2

K122F2 (1.31)

Ce probleme se resout par lintermediaire de techniques de resolution itera-tives comme pour la methode primale. Il est a noter que les problemes lies auxsous-structures ne font pas apparatre de conditions limites en deplacement

dou la necessite dun traitement particulier pour calculer le pseudo-inverse deloperateur. La methode FETI (Farhat et Roux, 1991) utilise cette techniqueen tirant avantage de la faible interconnection entre sous-structures, elle offreainsi un grand degre de parallelisme.

1.2.1.2.3 Les approches mixtes Les approches mixtes ne privilegient au-cune des quantites cinematiques ou statiques. Plusieurs de ces techniques, abase de Lagrangien augmente ont ete proposees (Le Tallec, 1994; Glovinski etLe Tallec, 1990). Ces methodes sont naturellement tres bien adaptees lorsqueles interfaces entre sous-structures font intervenir des comportements com-

plexes comme le contact frottant ou lendommagement. On peut noter aussi lamethode LATIN proposee dans (Ladeveze, 1996) et developpee dans (Champa-ney et al., 1997; Dureissex et Ladeveze, 1999; Ladeveze et al., 2002). De plus,elle presente dans sa forme la plus recente, une composante multi-echelles (La-deveze et Nouy, 2003). Les champs deffort et de vitesse aux interfaces sontalors decomposes en parties dites macro et micro, la partie macro representantune moyenne du champ et la partie micro etant definie par un principe delocalisation.


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1.2.1.3 Methodes de resolution iteratives : Krylov

Considerons la resolution du systeme lineaireAx = B . Il peut etre interes-

sant de resoudre ce probleme de maniere iterative, dans le cadre de methodesde sous-structuration par exemple. La iieme iteration conduit a lapproxima-tion xi de la solution x, le residu associe est alors : ri = B Axi. La donneedu vecteur x0 permet dinitialiser la procedure.

Les solveurs de Krylov presentes par exemple dans (Saad, 2000; Shewchuk,1994; Barrett et al., 1994) reposent sur la construction iterative dun sousespace de Krylov m(A, r0) defini de la maniere suivante :

m(A, r0) =V ect(r0, Ar0, . . . , Am1r0) (1.32)

ouV ect(vi) designe lespace vectoriel engendre par les vecteursvi. La resolution

du systeme consiste a rechercherxm sous les contraintes :

xm x0+ m(A, r0) (1.33)rm ? m(A, r0) (1.34)

Le residu a literation m (rm) doit etre orthogonal au sous espace de Krylovm(A, r0). Le choix dun operateur symetrique defini positif M differe entre lesmethodes et permet de definir (uM v) cest a dire uTMv = 0. Ici seulsles algorithmes de gradient conjugue et de GMRes(m) seront presentes avecpreconditionneur.

1.2.1.3.1 GMRes Le principe de recherche dexm dans un algorithme deGMRes preconditionne a gauche est le suivant :

xm x0+ m(M1A, r0) (1.35)rm M m(M1A, r0) (1.36)

La particularite de lalgorithme est de ne pas calculer dapproximation aufur et a mesure des iterations, une mise en oeuvre adroite permettant davoiracces a une norme du residu a chaque iteration. Lorthogonalite de la baseetant obtenue par rapport au preconditionneur (defini positif), il est possiblede resoudre des problemes non symetriques avec lalgorithme de GMRes.

1.2.1.3.2 Gradient Conjugue Lalgorithme du gradient conjugue ne sap-plique qua des matrices symetriques definies positives permettant ainsi de de-finir un produit scalaire. Le principe de recherche de xm dans un algorithmede gradient conjugue preconditionne est le suivant :

xm x0+ m(M1A, r0) (1.37)rm A m(M1A, r0) (1.38)


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Theoriquement, les nouvelles directions de recherche generees par le proces-sus iteratif nont besoin detre reorthogonalisees que par rapport a la dernieredirection. Cependant, en pratique la relation de conjuguaison est perdue rapi-

dement au fil des iterations, une reorthogonalisation est donc necessaire. Aveccette procedure supplementaire le gradient conjugue devient presque aussi cou-teux que le GMRes.

1.2.1.3.3 Convergence et preconditionnement Les methodes de GMReset gradient conjugue presentent toutes deux des theoremes de convergence, no-tamment pour le gradient conjugue :

x xmA2

1 + 1

m

x x0A (1.39)

ou est le conditionnement de la matrice a inverser (M1A). De cefait le choix dun preconditionneur permet une convergence plus rapide car diminue, il est donc crucial. En pratique ces estimations sont souvent tropmajorantes car la totalite du spectre nintervient pas, seule une partie estactivee. Une etude plus precise introduisant la notion de spectre de Ritz(Paigeet al., 1995) permet de mieux apprecier le taux de convergence de la methode.

1.2.2 Simulation en presence de non linearites materiau

Dans ce paragraphe, seuls quelques concepts generaux touchant a notreetude sont presentes, le calcul non lineaire etant un domaine tres vaste. Le lec-teur pourra se reporter aux ouvrages (Zienkiewicz et Taylor, 2000; Ladeveze,1996) pour une presentation plus approfondie.

Le cadre de la plasticite etant desormais relativement fige, lintegration deslois de comportement elasto-plastiques repose sur des algorithmes classiques detype retour radial (Ortiz et Simo, 1986). Dans le cadre des composites a fibreslongues, les lois de comportement continuent a evoluer ((Hochard et al., 2001)pour les plis tisses). Ces modelisations font intervenir de lendommagement

couple a la plasticite. De plus, lendommagement introduisant des problemesde localisation, ces modeles sont souvent regularises par lintroduction dunelongueur caracteristique(Bazant et Pijaudier-Cabot, 1988; Larsy et Belytschko,1988; Ladeveze et Le Dantec, 1992), ce qui les rend non-locaux. Le problemeest alors de proposer une integration coherente du comportement et dassurerla convergence. Dans ce contexte plus flou, des algorithmes de type Newtonsont utilises ((Bordreuilet al., 2003) pour le modele de (Hochard et al., 2001)).


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Pour ce qui est de la resolution du probleme non lineaire pose sur la struc-ture, les methodes incrementales sont souvent utilisees. Celle-ci, contrairementa dautres non incrementales comme la methode LATIN (Ladeveze, 1996),

consistent premierement a decomposer lintervalle de temps en plusieurs sous-intervalles. Lhistoire des inconnues est alors approchee sur chacun deux, demaniere lineaire par exemple. Le probleme a resoudre est donc rendu inde-pendant du temps, mais reste non lineaire. Un algorithme de type Newtonpeut etre utilise pour resoudre ce probleme. Ce dernier est constitue de deuxgroupes dequations, le premier contient les equations lineaires (eventuellementglobales) et le second les equations locales (eventuellement non lineaires), lasolution se trouvant a lintersection de ces deux sous espaces. Ces groupesdequations representent ladmissibilite statique et cinematique dune part et larelation de comportement dautre part. Les algorithmes mis en place consistent

a iterer entre les deux sous espaces en suivant des directions de recherche. Lechoix de ces directions fait la difference entre les methodes. Celles de New-ton utilisent un retour sur le groupe dequations non lineaires a deformationconstante. Le passage du deuxieme groupe vers le premier utilise, suivant lescas, le comportement tangent (Simo et Taylor, 1985), le comportement courantou le comportement initial. Dans le cadre de lendommagement, le comporte-ment tangent netant pas toujours positif, le choix du comportement courantest effectue. En effet, celui-ci permet une convergence plus rapide que le com-portement initial.

Un dernier probleme se pose dans la mesure ou la structure admet unecharge limite car un pilotage en effort nest pas toujours possible. Des tech-niques de pilotage sont alors mises en oeuvre, elles consistent a relacher lacontrainte deffort impose. Celui-ci devient inconnu, une equation supplemen-taire est alors ajoutee pour indiquer a lalgorithme quel chemin suivre, pourcela lalgorithme se base sur une quantite evoluant de maniere monotone. Larecherche de la solution est classiquement effectuee dans un hyperplan (Riks,1972; Ramm, 1981) ou dans une hypersphere (Crisfield, 1981; Hellweg et Cris-field, 1998). Ce pilotage depend fortement des phenomenes mis en jeu, (Alfanoet Crisfield, 2003) par exemple etudie le cas du developpement du delaminage.

1.2.3 Conclusion

Afin de rendre possible lutilisation de modeles fins de materiaux compo-sites, une strategie de calcul efficace est necessaire. En effet lechelle mise enjeu, de lordre du dixieme de millimetre, est tres inferieure a celle de la struc-ture. Trois points sont a etudier.Le premier concerne la reduction de la zone detude fine a la zone pertinente


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(ici les extremites du tube), en dehors de celle-ci, une theorie simplifiee doitetre utilisee. Le probleme est alors de generer des conditions limites correctes,a partir de la theorie simplifiee, a appliquer sur le modele fin.

La resolution du probleme elastique de bord intervenant tres souvent dans lecadre dune resolution non lineaire pour differentes familles de defauts, il estnecessaire de mettre au point un traitement efficace de ce probleme (deuxiemepoint). Compte tenu de la geometrie du tube, la piste du developpement enseries de Fourier parait tres interessante. Dans le cas de couplage entre modes,il est possible dutiliser une methode de resolution iterative comme pour lestechniques de sous structuration qui, par le choix dun bon preconditionneurpermet une resolution parallele du probleme.Enfin, le troisieme point concerne la resolution du probleme non lineaire etlintegration des lois de comportement.


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Chapitre 2

Reduction de la zone detude :

la problematique du raccord

Lutilisation de modeles fins, a lechelle du pli, engendre des couts decalcul prohibitifs. Par exemple, le maillage 3D dun tube mene a la re-solution dun probleme non-lineaire denviron 10 mil lions de degres deliberte. Or experimentalement, les degradations ont lieu aux extremi-tes, il est alors interessant de reduire la zone detude fine. Un modelepoutre est utilise pour predire la solution a coeur et generer des condi-tions limites a imposer sur le probleme fin dextremite. Dans ce cha-pitre, la problematique du raccord entre modelisation poutre et modele3D est traitee. Ce raccord est base sur la solution de Saint-Venant duprobleme qui est construite grace a la theorie exacte des poutres.

Sommaire

2.1 Presentation de la problematique du raccord . . . . . 332.2 Raccord base sur une theorie de poutre simple . . . 34

2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2 Formulation du probleme poutre . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Exploitation et reconstruction du champ solution . . . . 38

2.2.4 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.5 Conclusion sur les raccords simples . . . . . . . . . . . . 44


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2.3 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Theorie exacte des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.1 Formulation du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2 Identification des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


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2.1. Presentation de la problematique du raccord

2.1 Presentation de la problematique du rac-

cord

La solution du probleme delasticite pose sur le tube peut etre decomposeeen deux zones distinctes. La premiere, le coeur, reste elastique et relativementhomogene. La deuxieme, lextremite, est le lieu des degradations et est sou-mise a des effets de bord tridimensionnels. Dans notre approche, la solutioninterieure sera construite a partir de quantites poutres. Une fois cette solutionconnue, elle sera utilisee pour generer les conditions limites a appliquer a unmodele fin non lineaire de lextremite du tube.

Un point essentiel est celui du raccord entre la zone dinteret, ici lesextremites du tube, et la zone danalyse a moindre cout (ici linterieur du

tube). Au raccord, on simpose la contrainte de ne pas generer deffets locauxartificiels notamment dans loptique de calcul non lineaire ou ces effets locauxpourraient venir progressivement polluer la solution dans la zone dinteret.Un premier type dapproche, qui prend de plus en plus dimportance du faitdes besoins de couplage de modeles, est juste de considerer que lon a a associerdeux types de modeles, un de la zone interieure (modele poutre) et lautre dela zone de bord (modele 3D). Une approche possible dans cet esprit est desuivre la demarche proposee par Ben Dhia (Ben Dhia, 1998), demarche quelon pourrait qualifier de partition de modele.La voie suivie ici est plus classique, il sagit de considerer que lon traite un seul

modele (poutre 3D) que lon cherche a calculer de facon efficace. Une premiereapproche est de batir les modeles de facon asymptotique a un ordre suffisantpour generer la solution interieure. Une difficulte importante dans ce cas estla question du calcul dissocie des effets de bord. Ces aspects ont notammentete regardes dans (Buannic et Cartraud, 2001a,b). La voie suivie ici cherche acalculer une approximation de la solution 3D a linterieur en utilisant effica-cement une theorie de poutre puis un relevement 3D de la solution. En effet,cette approche avait donne des resultats tout a fait satisfaisants dans le cas desplaques composites (Allix, 1989) 1. Il sest avere que cette idee, mise en appli-cation dans un cadre simple, est en echec pour les poutres composites. Dans

le cas ou les effets de bord ne penetrent pas a coeur, linformation contenuedans le raccord est la solution de Saint-Venant du probleme elastique, celle-cine contenant pas deffet localisee. La theorie exacte des poutres (Ladeveze et

1En imposant comme conditions limites le champ de deplacement reconstruit a partir dela theorie de plaque, O. Allix remarque que la plaque est surcontrainte dans son epaisseurpar la partie normale du deplacement. Pour eviter cette surcontrainte, il suffit alors de nepas imposer la partie normale du deplacement partout, mais seulement sur le plan moyende la plaque.


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2. Reduction de la zone detude : la problematique du raccord

Simmonds, 1995) est alors mise en oeuvre pour construire la solution de Saint-Venant.Le prochain paragraphe presente lutilisation dune theorie simple de poutre

et sa mise en defaut, les suivants presentent la theorie exacte des poutres et laconstruction du raccord.

2.2 Raccord base sur une theorie de poutre

simple

Lobjectif de ce paragraphe est letude de la faisabilite dun raccord base surune theorie de poutre classique (Euler-Bernoulli ou Timoshenko) ne generantpas deffet de bord artificiel. Une premiere etude simplifiee a ete menee, celle-ci

ne prend pas en compte le gauchissement dans un premier temps. Pour celales cas tests traites ne devront pas faire intervenir de couplage avec la torsion.La construction du modele poutre utilise est presentee puis appliquee pourgenerer un raccord.

2.2.1 Notations

Soit une poutre droite elastique (domaine ) daxe ez et de section S. Dansla base des coordonnees cartesiennes ( ez, ex, ey), les coordonnees dun point M

appartenant a la poutre secrivent : OM = z ez +x ex +y ey = z ez + X ( X

appartient a la section droite dabscisse z).Cette poutre est soumise a un chargement volumique fd et a des effortssurfaciques Fd ou des deplacement Ud a ses extremites (z= 0 et z = L). Lechamp de deplacement est noteU, le champ de deformations et le champ decontraintes. Loperateur de Hooke representant le comportement de la poutreest note K. Les champs de contraintes et de deformations sont decomposes enpartie plane (par rapport a la section droite de la poutre) et anti-plane.

=

zz2zx2zy

xxyy2xy

= AP ; =

zz2zx2zy

xxyy2xy

= AP (2.1)

De meme le comportement se decompose :

K=

KAA KAPKPA KPP

(2.2)


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2.2. Raccord base sur une theorie de poutre simple

2.2.2 Formulation du probleme poutre

Les theories classiques de poutre comme Euler-Bernoulli ou Timoshenko

sont basees sur des hypotheses mixtes (Timoshenko et Goodier, 1970). (Her-rakovich, 1998) donne une illustration dans le cas des poutres composites. Ledeplacement de chaque section est suppose etre un mouvement de corps rigideet la contrainte anti-plane est supposee etre nulle, cest a dire :

U(M) = u(z) +(z) X= u(z) + x(z)y y(z)xv(z) z(z)y

w(z) + z(z)x

(2.3)

P = 0 (2.4)

Ces hypotheses se justifient, dune part par la comparaison avec des pro-

blemes simple delasticite (solutions des problemes de Saint-Venant) et dautrepart, par lutilisation de methodes asymptotiques tronquees aux premiers ordres(Rigolot, 1980; Grillet et al., 2000). En pratique, plus la poutre est elancee etmieux les hypotheses sont verifiees. Le gauchissement netant pas introduit, latorsion ne sera pas etudiee et en pratique z(z) = 0.Afin de prendre en compte des hypotheses mixtes, une formulation adaptee estutilisee, celle dHellinger-Reissner (Reissner, 1950). Le probleme est alors detrouver les champs de contrainte statiquement admissible et de deplacementUcinematiquement admissible rendant stationnaire la fonctionnelle :

HR(, U) =12

TK1d +

Td

fdU d

FdU dS (2.5)

sous les contraintes 2.3 et 2.4.La stationnarite par rapport a donne :

()T[ K1]d = 0 (2.6)

avec statiquement admissible a zero donc P= 0. Il vient :

A = (K1)AAA (2.7)

Le comportement utilise ne prend en compte que la partie anti-plane du com-portement 3D.

A=

(K1)AA1

A=KpoutreA (2.8)

Remarque : (K1)AA

1 =KAA (2.9)

Strategie de calcul et utilisation de series de Fourier pour les

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