automatique linéaire continue manuscrit automatique... · 2021. 4. 3. · dans de nombreux cas...

Faculté des Sciences et Techniques de Tanger Automatique linéaire continue

age 1 von 159

Automatique linéaire continue

Université Abdelmalek Essaâdi (FST)

Département Génie Électrique

Pr.Dr.-Ing.habil Mohammed Bsiss


Pr. Mohammed Bsiss a 15

Sommaire

A. Liste des figures ........................................................................................................................... 3

B. Liste destableaux ......................................................................................................................... 4

1 Identification des processus ............................................................................................................. 5

2 Identification en boucle ouverte ...................................................................................................... 7

2.1 Identification expérimentale à un modèle du 1er Ordre .................................................................... 7

2.2 Identification à un modèle du 2er ordre apériodique ( >1) ........................................................... 7

2.3 Identification à un modèle du 2er ordre oscillant (0<z<1) ................................................................ 8

2.4 Modèle de STREJC ......................................................................................................................... 9

2.5 Modéle de Broida........................................................................................................................... 12

3 Identification en boucle fermée ..................................................................................................... 14

3.1 Modéle de Broida........................................................................................................................... 14

3.1.1 Détermination des paramètres du régulateur ..................................................................... 15


3 a 15

A. Liste des figures

Figure6-1: Identification qualitative et quantitative ............................................................................. 5

Figure 6-2: Construction graphique utilisée pour la méthode de Strejc ............................................. 10



B. Liste destableaux

Tableau 7-1 : Tableau du modèle de Strejc ........................................................................................ 11



1 Identification des processus

L’identification d’un procédé est définie comme la détermination, basée sur la connaissance

des entrées et des sorties du procédé appartenant à une classe spécifiée, équivalente au pro-

cédé. En d’autres termes, pour un procédé inconnu, l’identification permet de déterminer un

modèle mathématique de modélisation permettant d’approcher le comportement du procédé.

Principe de l’identification est basé sur des expériences. On distingue deux types d’étapes:

qualitative et quantitative.

• Étape qualitative se base sur la connaissance à priori du système à identifier, on fixe

une structure du modèle comportant des coefficients inconnus.

• Étape quantitative consiste à la détermination des coefficients inconnus du modèle de

façon que la différence entre les sorties réelles du système et celles du modèle soit

minimal selon un critère donne qu’on résout par un algorithme d’identification.

ProcessX1(t)

…

Xn(t)

Max(|Ys(i)-Ym(i)| <5%

Modèle+-

Algorithme

D’identification

Ys(t)

Ym(t)

ai,bi

i

i

i

i

Pb

PapH

=)(

Figure1-1: Identification qualitative et quantitative

Identifier un procédé signifie donc lui faire correspondre un modèle mathématique représen-

tant le comportement du procédé. Pour ce faire, il suffit dans la plupart des cas de savoir quelle

est la relation entre les grandeurs d’entrée x(t) et les grandeurs de sortie y(t) d’un pro-

cédé.Cette relation peut être déterminée par l’enregistrement d’une série de réponses indi-

cielles des grandeurs y(t) à des entrées en échelon appliquées successivement à chaque entrée

de commande Ui (les autres entrées étant constantes pendant l’enregistrement correspondant).

On arrive ainsi à un modèle mathématique du procédé appelé (modèle de représentation) qui

est toujours obtenuquel que soit la méthode utilisée - à partir de l’observation du procédé réel

en fonctionnement.



On distingue :

• Les identifications en boucle ouverte (régulateur en manuel), réalisées suite à un éche-

lon de commande X ,

• Les identifications en boucle fermée (régulateur en auto), réalisées suite à un échelon

de consigne W.



2 Identification en boucle ouverte

Les identifications en boucle fermée (régulateur en auto), réalisées suite à un échelon de con-

signe X. L’identification d’un premier ordre se fait en déterminant K et τ à partir d’un essai

indiciel et l’identification d’un second ordre se fait en déterminant K, λ et ω0 à partir d’un

essai indiciel . On considère que le procédé naturellement stable

2.1 Identification expérimentale à un modèle du 1er Ordre

La fonction de transfert d’un système de premier ordre est définit comme suite :

𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)

𝐸(𝑝)=

𝐾

1 + 𝜏. 𝑝

La réponse d’un système à un échelon d’amplitude Ec a été enregistrée ci-dessous :

Le gain statique K est obtenu à partir du rapport st

st

U

YK =

La constante de temps 𝜏 est obtenue à partir du relevé du temps mis pour atteindre 0,63.K.Ec

ou bien :

• Soit par le temps mis pour atteindre 0,95 K.Ec (temps de réponse tr5%=3τ

• Soit par l’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote finale

2.2 Identification à un modèle du 2er ordre apériodique ( >1)

La fonction de transfert d’un système de deuxième ordre est définit comme suite :

𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)

𝐸(𝑝)=

𝐾

(1 + 𝜏1. 𝑝)(1 + 𝜏2. 𝑝)




Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale 𝑆(+∞) = 𝐾. 𝐸𝑐

Les constantes de temps 𝜏1 et 𝜏2 sont obtenue en utilisant une méthode approchée à partir du

tracé de la tangente au point d’inflexion. Les intersections de cette tangente avec l’axe des

abscisses et l’asymptote horizontale donnent 𝜏1 et 𝜏2

Remarque : Etant Δ >0 on cherche pas z et ω0 mais 𝜏1 et 𝜏2

2.3 Identification à un modèle du 2er ordre oscillant (0<z<1)

La fonction de transfert d’un système de premier ordre est définit comme suite :

121)(

)()(

0

2

2

0

++

==

pp

K

pE

pSpH




Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale 𝑆(+∞) = 𝐾. 𝐸𝑐

Le facteur d’amortissement est obtenu à partir du relevé du 1erdépassement.

On utilise alors :

21

%)(

)()(

)(

−

−

=+

+−=

+=

k

kkk e

s

sts

s

DD

Exemple :

On utilise cette formule pour identifier z à l’aide du 1er dépassement (k=1) :

21

%1

−

−

= eD

On obtient donc : 2

%1

2

2

%1

)(ln

)(ln

D

D

+=

La pulsationpropreestobtenueàpartirdurelevédelapseudo-périodeoudutempsde réponse. On

utilise alors : 2

0 1

22

−==

a

aT

2.4 Modèle de STREJC

La méthode d’identification de STREJC est basée sur les propriétés géométriques de réponse

indicielle d’un système d’ordre nième de fonction de transfert.



n

p

Tp

KepH

)1()(

+= −

On recherche les paramètres K, T,,et ntels que la réponse indicielle soit la plus proches pos-

sible de celle obtenue expérimentalement.

La méthode consiste à déterminer le point d’inflexion P de la réponse enregistrée et à tracer

la tangente en ce point (figure ci-dessous). On montre que le rapporta

u

T

T pour un système non

retardé, ainsi que i , ne dépendent que de n.

Figure 2-1: Construction graphique utilisée pour la méthode de Strejc

Le rapport a

u

T

T

(ou la valeur de i ) permet de déterminer l’ordre n du modèle, en cherchant la

valeur de ces rapports ou la valeur immédiatement inférieure,

'

a

u

T

T

, dans le tableau ci-des-

sus.L’ordre étant ainsi déterminé, la constante équivalent T se lit sur la même ligne dans la

colonne Ta/T.



Tableau 2-1 : Tableau du modèle de Strejc

n Tu/Ta i Ta/T

1 0 0 1

2 0,104 0,264 2,72

3 0,218 0,323 3,70

4 0,319 0,353 4,46

5 0,410 0,371 5,12

6 0,493 0,383 5,70

7 0,570 0,392 6,23

8 0,642 0,400 6,71

9 0,709 0,407 7,16

10 0,773 0,413 7,59

On pratique, on préfère déterminer l’ordre n du système en utilisant le rapport a

u

T

T(la valeur

de i étant rarement utilisée à cause de la difficulté dans la localisation du point P). Si le

rapport a

u

T

T ne correspond pas exactement à une ligne du tableau du modèle de Strejec, la

différence entre la valeur réelle a

u

T

T et la valeur immédiatement inférieure

'

a

u

T

T du tableau

nous servira à déterminer un retard pur fictif ’.En effet un retard pur effectif supplémentaire

par rapport à t ne modifierait pas la valeur Ta mais la valeur Tu. On peut donc considérer que:

uu TT =+ '' ; Si on pose ,

'

dT

T

T

T

a

u

a

u =

− il vient alors a

' d T =

Le gain statique K étant défini pour un procédé statique par la relation st

st

U

YK =



Exemple: Identification de la fonction de transfert par méthode de Strejec

A l’entrée d’un système, on a introduit un échelon de u(t)= 5U (t).

L’enregistrement de la sortie obtenu a la forme typique d’un procédé statique et permet de

lire les valeurs suivantes :

t= 0, Tu=3s, Ta=11,7s etYst=12V

On trouve a

u

T

T=0,257 et on constate que cette valeur ne figure pas dans le tableau de Strejec.

On choisit donc n=3 qui correspond aux rapports :

'

a

u

T

T=0,218 et Ta/T =3,7, d’où T=3,16s.

On trouve d = 0,039 et ’= 0,45s.

Enfin, on détermine la valeur de K en utilisant la relation 4,2==st

st

U

YK

Le modèle de Strejec du procédé aura la forme :

3

45,0

)116,3(

4,2

)(

)()(

+== −

pe

pu

pypH p

2.5 Modéle de Broida

La méthode d’identification de Broida est basée sur les propriétés géométriques de réponse

indicielle d’un système de premier ordre de fonction de transfert.

p

eKpH

p

+

=

−

1)(

L’identification de Broïda permet de calculer les paramètres et τ du modèle à partir de deux

temps caractéristiques de la courbe.

• t1 est déterminé à 28% de la valeur finale de y(t) : y(t1)=0, 28 K.E

• t2 est déterminé à 40% de la valeur finale de x(t) : x(t2)=0, 4 · K.E

• Le temps mort et la constante de temps τ du modèle se déduisent de t1 et t2 grâce

aux équations suivantes : τ = 5, 5 (t2 − t1) ,et T = 2, 8t1 − 1, 8t2



Figure 6 3: Construction graphique utilisée pour la méthode de Broida

Remarque : Ces formules sont applicables tant que / τ < 0, 25



3 Identification en boucle fermée

Dans de nombreux cas industriels, l’identification en boucle ouverte est risquée, voire impos-

sible pour des raisons de sécurité. C’est notamment le cas pour de nombreux procédés inté-

grateurs. Une solution consiste à réaliser l’identification en boucle fermée, le régulateur res-

tant en automatique.

3.1 Modéle de Broida

La méthode d’identification de Broida en boucle fermé reste aussi baser sur les propriétés

géométriques de réponse indicielle d’un système de premier ordre de fonction de transfert.,

p

eKpH

p

+

=

−

1)(

Les étapes à suivre pour déterminer les paramètres caractéristiques de la fonction de transfert

sont les suivants :

• Le régulateur étant en mode auto, on désactive les actions intégrales et dérivées pour

ne conserver que l’action proportionnelle. Le gain du régulateur est réglé à une valeur

K = 1. 2.

• Un échelon est pratiqué sur la consigne W du régulateur.

• Suite à cet essai, on détermine le gain statique du procédé avec la formule :

x

yK

=

• On augmente progressivement le gain K du régulateur jusqu’à ce que la mesure X

présente des oscillations régulières de période Tosc . Le gain permettant d’obtenir ces

oscillations est appelé Kc, gain critique.

• On déduit les paramètres du modèle de Broïda à partir des équations :

)1)(arctan

1(2

,

1)(2

2

2

−−=

−=

cosc

cosc

KKTT

et

KKT



3.1.1 Détermination des paramètres du régulateur

Les règles de la méthode de Broida ont conduit au tableau ci-après, on détermine le type de

correcteur selon le rapport T/ τ

Valeur du Rapport ( / τ) Correcteur proposé

0,05 à 0,1 Correcteur proportionel P

0,1 à 0,2 Correcteur proportionel integral PI

0,2 à 0,5 Correcteur proportionele integral derivé PID

Suivant le type de correcteur on calcule les valeurs de réglage du régulateur :

Régulateur K Ti Td

P

K125

PI

K125

PID

)4,0(

125

+

K

+ 4,0

)5,2(

+

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