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Cours Automatique continue 0/13

AUTOMATIQUE CONTINUE

A - EVOLUTION DES SYSTEMES INDUSTRIELS

B - ETUDE DES SYSTEMES CONTINUS, LINEAIRES INVARIANTS

1 . Bref historique des systèmes automatiques

2 . Présentation des systèmes asservis

1 – Système

2 – Système mécanisé

3 – Système asservi

4 – Représentation par schéma-blocs

5 – Schéma-blocs d’un système asservi

6 - Comportement d’un système

7 - Performances des systèmes

3 . Systèmes continus linéaires et invariants (S.C.L.I.)

1 - Système monovariable

2 – Système continu

3 – Système linéaire

4 – Système invariant

5 – Signaux tests

6 – Système dynamique – système instantané

4 – Modélisation des systèmes linéaires et invariants (continus et monovariables)

1 – Modèle de connaissance – Modèle de comportement

2 – Représentation par équation différentielle

3 – Méthodes de résolution d’équations intégro-différentielles linéaires par transformée de Laplace

4 – Représentation par fonction de transfert ou par transmittance

5 – Algèbre de schémas blocs 1 . Blocs en cascade

2 . Blocs en parallèle

3 . Système bouclé

4 . Schéma équivalent à retour unitaire

5 . Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) – Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO)

6 . Déplacement d’un point de prélèvement

7 . Déplacement d’un comparateur

8. Système multivariables

5 – Analyse harmonique

1 – Réponse harmonique

2 – Représentation graphique de la fonction de transfert ωH(i )

Cours Automatique continue 1/13 Lycée Camille Vernet - Valence

AUTOMATIQUE CONTINUE

A - EVOLUTION DES SYSTEMES INDUSTRIELS

♦ Avant la mécanisation (préhistoire - 18ème siècle)

L’homme et l’apport d’énergie font partie intégrante du système.

♦ Après la mécanisation (fin 18ème siècle - début 20ème siècle)

L’apport énergétique est extérieur au système. L’homme fait partie du système mais n’intervient plus que par son savoir-faire pour le commander.

♦ Après l’automatisation (début du 20ème siècle)

La frontière de la machine rejoint celle du système. L’homme est extérieur au système. La partie commande, élaborée par le savoir-faire humain, est intégrée à la machine.

Dans les différentes étapes de l’évolution des systèmes, décrites précédemment, on peut à chaque fois retrouver les mêmes éléments constituants, à savoir :

• une partie commande • une partie opérative • un réseau de communication • un apport énergétique.

P.O.

ÉNERGIE Ordres

Infos

M.O.

M.O + V.A.

Convertisseur

Convertisseur

HOMME

autres

P.C.

P.O.

ÉNERGIE Ordres

Infos

M.O.

M.O + V.A.

P.C.

HOMME

M A C H I N E

ÉNERGIE

Exécution

Saisie d'information par les sens

M.O.

M.O + V.A.

HOMME


B - ETUDE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

1. Bref historique des systèmes automatisés

1768 : le régulateur de Watt a pour but de maintenir constante la vitesse de rotation d’une turbine à vapeur. La commande d’admission de vapeur dans la turbine est contrôlée par une vanne dont on peut manœuvrer le pointeau. Un ensemble mécanique déformable constitué de masselottes et de tringles permet une mesure de la vitesse de rotation par l’effet de la force centrifuge. Plus la turbine tourne vite plus les masselottes s’écartent de l’axe de rotation. Pour réaliser un système asservi en vitesse il suffit de transmettre mécaniquement une variation de cet écartement en commande de déplacement du pointeau de la vanne. Si la vitesse de rotation est trop faible, l’écartement insuffisant des masselottes engendre une ouverture de la vanne d’admission de vapeur entraînant une augmentation de la vitesse. Un comportement symétrique a lieu en cas de vitesse trop élevée. A partir du milieu du 19ème siècle, début des travaux sur le bouclage et applications de l’algèbre de Boole (Routh). Le développement des systèmes bouclés se concrétisera vers la fin de la seconde guerre mondiale grâce à l’approche fréquentielle de Nyquist, Bode et Black. Depuis le début des années cinquante, les dispositifs électroniques à lampes sont remplacés par des calculateurs numériques.

1768

Watt, régulateur à boules

1868

Maxwell, stabilité du régulateur de Watt

1877 Routh, critère de Stabilité

1890

Liapunov, stabilité non-linéaire

1899

Heaviside, Calcul symbolique

1927

Black, amplificateur électronique asservi ; Bush, analyseur différentiel

1932

Nyquist, critère de stabilité

1937

Bode, méthode de réponse fréquentielle

1942

Harris, Fonction de transfert

1947

Hurewicz, systèmes échantillonnés ; Nichols, diagramme

1948

Evans, lieu des racines

1950

Krochenberger, analyse non-linéaire

1969

Hoff, microprocesseur

Représentation schématique du régulateur de Watt

Etude fréquentielle

Etude temporelle


2. Présentation des systèmes asservis

2.1 Système Globalement d’un point de vue fonctionnel, on peut décrire un système à partir du schéma suivant :

2.2 Système mécanisé On décrit la chaîne fonctionnelle d’un processus à automatiser par le schéma suivant :

2.3 Système asservi Problème : Le système est sensible aux perturbations Fonctionnement souhaité : On souhaite que le processus fonctionne de manière autonome et soit insensible aux perturbations, si cela est possible.

Dans un système asservi, la commande du processus est élaborée, par la partie commande, à partir d’une comparaison entre ce qu’on veut et ce qu’on a.

2.4 Représentation par schéma-blocs d’un système asservi La représentation par schéma-blocs utilise plusieurs symboles :

♦ les blocs ou

Lorsque le composant subit une perturbation, on a :

♦ les sommateurs et les comparateurs

ils réalisent des additions et des soustractions de signaux. Il est donc impératif que les grandeurs entrant dans les comparateurs et sommateurs soient de même nature

♦ les points de prélèvement qui autorisent la réutilisation d’une grandeur.

NOM DU

COMPOSANT sortie entrée RELATION

MATHEMATIQUE

COMPOSANT

entrée sortie

NOM DU

COMPOSANT entrée sortie

perturbation

+ + +

−

entrée

sortie

perturbations

sortie commande

PROCESSUS

PREACTIONNEUR ACTIONNEUR EFFECTEUR TRANSMETTEUR

perturbations

PROCESSUS

commande

compte rendu

entrée ou consigne sortie

P.C. P.O.

CAPTEUR

PREACTIONNEUR ACTIONNEUR EFFECTEUR TRANSMETTEUR ADAPTATEUR

chaîne d’action ou directe

chaîne de réaction ou de retour

perturbations


2.5 Schéma-blocs d’un système asservi

Dans un système asservi, la commande u est élaborée, par la partie commande, à partir de l’écart ε, différence entre l’image de ce qu’on veut et l’image de ce qu’on a. En reprenant la description du processus, on a alors une forme générique du schéma-blocs d’un système asservi.

Remarques :

♦ L’écart, la commande, l’image de la consigne et de la sortie sont des signaux basse énergie.

♦ L'apport d'énergie n'apparaît pas explicitement dans un schéma-blocs. Cet apport se fait par l’intermédiaire du préactionneur.

♦ Le capteur ne mesure pas nécessairement la sortie mais une grandeur physique du processus.

♦ La perturbation peut être introduite à n’importe quel endroit dans le processus.

♦ Certains blocs peuvent ne pas apparaître.

2.6 Comportement d’un système On peut distinguer deux classes de systèmes :

• les régulations : systèmes destinés à maintenir la sortie constante en présence de perturbations et avec une consigne quasiment constante, par exemple un système de régulation de chauffage.

• les systèmes suiveurs : systèmes destinés qui s’adaptent aux variations rapides et fréquentes de la consigne comme des robots.

La réponse d’un système présente deux phases : • un régime transitoire (ou dynamique) où on s’intéresse au comportement du système suite à des variations de la consigne ou à

l’apparition de perturbations. • un régime permanent (ou statique) pendant lequel l’entrée est fixe et le régime d’équilibre est atteint.

2.7 Performances des systèmes On peut attribuer à un système plusieurs caractéristiques :

• la STABILITE Si l’entrée du système est bornée alors la sortie est bornée.

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10

+ −

image de la sortie

P.C.

CAPTEUR

CORRECTEUR

écart : ε consigne

ADAPTATEUR PROCESSUS

commande : u sortie image de la consigne

perturbations

perturbation

image de la sortie

CAPTEUR

écart : ε consigne

ADAPTATEUR

commande : u image de la consigne sortie

TRANSMETTEUR PREACTIONNEUR CORRECTEUR EFFECTEUR + − + +

ACTIONNEUR

entrée


• la PRECISION Elle est définie à partir de l’erreur :

= −erreur(t ) entrée(t) sortie(t )

Plus l’erreur est petite plus la précision est bonne. En CPGE, on s’intéresse à cette erreur en régime permanent :

( )lim lim∞→+∞ →+∞

= = −t t

e erreur(t ) entrée(t ) sortie(t )

• la RAPIDITE Elle est définie par le temps que met le système à atteindre la réponse en régime permanent à n% près. En général, on définit un temps de réponse à 5% qui représente le temps mis par le système pour

atteindre la réponse en régime permanent à ±5%.

• le DEPASSEMENT Lorsqu’il existe, c’est la différence entre les valeurs des maximums de la réponse en régime transitoire et la valeur de la réponse en régime permanent.

1 1 lim→+∞

= −t

D s(t ) s(t )

Il est généralement exprimé en % :

1

1

lim

lim→+∞

→+∞

−= t

%

t

s(t ) s(t )

Ds(t )

3. Systèmes continus linéaires et invariants (SCLI)

3.1 Système monovrariable Un système est soumis aux lois de la physique qui lient des grandeurs de 2 types :

♦ les entrées : grandeurs sur lesquelles agit le système ♦ les sorties : grandeurs fournies par le système à son environnement.

Un système est dit multivariable s’il possède plusieurs entrées/sorties sinon il est dit monovariable. La suite de l’étude ne portera que sur des systèmes monovariables.

Remarque :

Une perturbation est une action non contrôlée de l’environnement sur le système; elle constitue donc une entrée supplémentaire. Un système monovariable perturbé est ainsi multivariable.

On peut alors créer un système monovariable fictif en utilisant un sommateur, si la perturbation est de même nature que l’entrée. Exemple : Remplissage d’une cuve de section constante

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10

s(t1)

entrée

entrée sortie SYSTEME monovariable

entrée sortie

perturbations

SYSTEME FICTIF

+ +

débit de fuite

hauteur

Cuve percée

Cuve non percée

débit d’entrée +

+

SYSTEME entrée sortie

perturbations


3.2 Système continu Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques le caractérisant sont des fonctions continues du temps. On parle alors de système analogique.

3.3 Système linéaire Un système linéaire est un système qui obéit au principe de superposition.

Pratiquement, tous les systèmes physiques présentent des non linéarités, par exemple :

Cependant, on peut représenter ces systèmes par un modèle linéaire en se plaçant autour d’un point de fonctionnement.

3.4 Système invariant Un système invariant est un système dont les caractéristiques ne se modifient pas dans le temps.

En réalité, aucun système n’est invariant (vieillissement des composants) mais cette hypothèse peut être acceptée si la dynamique étudiée est rapide par rapport au temps de vieillissement.

3.5 Signaux tests Pour étudier le comportement dynamique d’un système, il n’est pas toujours simple de traduire sous forme d’équations les lois de la physique qui régissent le comportement interne du système. Il est donc utile de connaître la réponse d’un système soumis en entrée à un certains nombres de signaux appelés signaux tests. Puisque les systèmes étudiés sont linéaires, il faut qu’une combinaison linéaire de ces signaux tests engendre n’importe quel signal d’entrée. La sortie du système pour cette entrée quelconque est définie alors, par la même combinaison linéaire de chaque signal de sortie associé à chaque signal test.

Impulsion unitaire δ(t) ou impulsion de Dirac

Ce signal, noté δ(t), est une impulsion brève qui vaut zéro en tout point sauf au voisinage de t = 0. On peut définir l’impulsion de Dirac par :

0lim

+→δ = δa

a(t ) (t ) avec δa(t ) qui vérifie :

0

d 1a(t ) t

+∞δ =∫ .

Lorsque l’entrée d’un système est une impulsion de Dirac, on obtient en sortie une réponse impulsionnelle. Remarque : L’impulsion doit être suffisamment durable pour que l’effet soit mesurable.

Echelon unitaire u(t) ou fonction de Heaviside

Cette fonction est définie par : (t 0 pour 0

1 pour 0

= < = >

u ) t

u(t ) t.

Lorsque l’entrée d’un système est un échelon, on obtient en sortie une réponse indicielle.

Rampe

Cette fonction est définie par : 0 < 0

> 0

= =

r(t ) pour t

r(t ) at pour t.

La pente de la droite exprime la vitesse de variation de la grandeur considérée.

Sinusoïde

Ce signal est défini par : 0

0 0

sin 0

= < = ω >

x(t ) pour t

x(t ) X t pour t.

Ce signal est caractérisé par son amplitude X0 et par sa pulsation ω. Lorsque l’entrée d’un système est un signal sinusoïdal, on obtient en sortie une réponse harmonique. Lorsqu’on connaît la réponse harmonique d’un système pour n’importe quelle pulsation du signal d’entrée on peut en déduire la réponse du système pour tout signal périodique, puisqu’une fonction périodique se décompose en une combinaison de sinus grâce aux séries de Fourier.

Remarque : par la suite, on définira un certain nombre de systèmes fondamentaux sur lesquels on appliquera ces différents signaux tests. Les réponses de ces essais permettront par identification, de déterminer la nature de système complexe délicat à mettre en équation.

e

s

e

s

e

s

e

s

saturation seuil hystérésis courbure

⇒ e2(t) s2(t)

e1(t) s1(t)

e(t) s(t) e(t+T) s(t+T)

⇒

t

1

a

a

t

1

t

t

λe1(t) + µe2(t) λs1(t) + µs2(t)


3.6 Système dynamique - système instantané

Système instantané

Système dont les grandeurs de sortie dépendent uniquement et instantanément des grandeurs d’entrée. Cette dépendance n’évolue pas avec le temps.

Exemples :

schéma descriptif schéma fonctionnel

u(t) entrée 1=i(t ) u(t )R

1=x(t ) F(t )k

Les relations entrée-sortie sont qualifiées par des coefficients constants appelés : gains

Système dynamique

Système dont les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrée (effet de mémoire ou d’inertie).

Exemples :

schéma descriptif schéma fonctionnel

d

d

u(t ) e(t ) u(t )i(t ) C

t R

−= = ou encore d

d

u(t )RC u(t ) e(t )

t+ =

x(t) et y(t) sont des variations autour de l’équilibre. Les masses sont négligées.

( )d

d

y(t )k x(t ) y(t )

tµ = −

d

d

y(t )y(t ) x(t )

k t

µ⇒ + =

Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à la masse

M permet d’écrire :

2

2

d d

d d

x(t ) x(t )F(t ) kx(t ) M

t t− µ − =

2

2

d d

dd

x(t ) x(t )M kx(t ) F(t )

tt+ µ + =

Les systèmes dynamiques sont régis par des équations différentielles. La résolution fait appel à des conditions initiales traduisant la mémoire du système.

Remarque :

Tous les systèmes physiques sont dynamiques. L’appellation système instantané est toujours approximative. Par exemple, une sollicitation à très haute fréquence produit des effets d’inductance pour une résistance; un ressort a une masse qui conduit à des effets d’inertie.

i(t)

sortie R SYSTEME

u(t) i(t)

k : ressort

F(t)

x(t)

SYSTEME

F(t) x(t)

SYSTEME e(t) u(t)

x(t)

y(t)

µ : amortissement

SYSTEME x(t) y(t)

e(t) u(t)

R

C i(t)

x(t)

µ : amortissement

k : raideur

F(t)

M

SYSTEME F(t) x(t)


4. Modélisation des systèmes linéaires et invariants (continus et monovariables)

4.1 – Modèle de connaissance – modèle de comportement Le modèle de connaissance s’établit directement à partir de l’analyse du système réel, en mettant directement en œuvre les lois de la physique. Ce modèle découle essentiellement des hypothèses choisies pour écrire les lois physiques.

Le modèle de comportement s’établit à partir des signaux de sortie obtenus en fonction de signaux d’entrée connus appliqués au système à modéliser. On ne connaît alors que les flux entrant et sortant du système : on ne connaît pas la physique interne du système. On sait cependant qu’il existe une structure mathématique liant la sortie à l’entrée du système qui est pour un SLCI une équation différentielle linéaire à coefficient constant. Expérimentalement, on cherche à déterminer les coefficients de l’équation supposée, on parle d’identification du processus

4.2 – Représentation par équation différentielle Un système dynamique continu linéaire invariant et monovariable est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

( ) ( ) ( ) ( )0 0d d

d d

n k

n kn k

s ea t ......... a s t b e t ............. b t

t t+ + = + +

La résolution d’une telle équation différentielle à second membre s’obtient en ajoutant une solution particulière à la solution générale sans second membre.

♦ La solution générale s’obtient par résolution de : ( ) ( )0d

0d

n

n n

sa t ......... a s t

t+ + =

♦ Pour une solution particulière, on choisit la forme de la solution connaissant ( )e t , puis on détermine les constantes par

identification.

Remarque : linéarisation d’un système non linéaire Un système non linéaire peut être rendu linéaire par approximation sous certaines conditions.

4.3 – Méthodes de résolution d’équations intégro-différentielles linéaires par transformée de Laplace

Technique classique de résolution d’équations différentielles

Technique utilisant la transformation dite de Laplace afin de se ramener à de simples opérations algébriques

4.4 – Représentation par fonction de transfert ou par transmittance Soit un système décrit par l’équation différentielle :

( ) ( ) ( ) ( )0 0d d

d d

n k

n kn k

s ea t ......... a s t b e t ............. b t

t t+ + = + +

On se place dans les conditions de Heaviside c’est-à-dire que toutes les conditions initiales sont nulles. Si ce n’est pas le cas il suffit de faire un changement de variable. En appliquant le calcul symbolique, on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 0 0 n n- k

n n- ka p S p a p S p ......... a p S p a S p b E p ............. b p E p+ + + + = + +

ou encore ( )( )

0

0

kk

nn

S p b ............. b p

E p a ............ a p

+ +=+ +

Le rapport ( )( )

S p

E p est appelé TRANSMITTANCE OU FONCTION DE TRANSFERT du système.

Si on note ( ) ( )( )

S pH p

E p= , la relation entrée-sortie fondamentale s’écrit et se représente :

e(t) s(t) Système linéaire

Solution totale Equation intégro-différentielle avec

second membre

Equation particulière Composante permanente

Composante transitoire Equation sans second

membre

Equation intégro-différentielle avec second membre Equation algébrique

Décomposition en forme type Solution totale

Transformation de Laplace

Transformation de Laplace inverse

Manipulations algébriques

domaine temporel domaine symbolique

conditions initiales

domaine

temporel

( ) ( ) ( )S p H p E p= ×

E ( )p S ( )p H ( )p


Cette fonction H(p) est une fraction rationnelle en p et peut donc s’écrire sous la forme :

( ) ( )( )

1

1

kk

mm

S p K .... d pH p

E p p .... c pα

+ += = ×+ +

♦ K : GAIN STATIQUE du système ♦ + αm : ORDRE du système c’est le degré du polynôme situé au dénominateur

♦ α : CLASSE de système

♦ L’équation ( )1 0α + + =mmp .... c p est appelée équation caractéristique.

Les solutions de cette équation sont appelées POLES de la fonction de transfert

Remarques :

♦ La variable de Laplace p est aussi notée s. ♦ Réponse à une impulsion de Dirac

La relation fondamentale entrée-sortie s’écrit : ( ) ( ) ( )S p H p E p= si le signal d’entrée est une impulsion de Dirac alors e(t) = δ(t)

comme la transformée de Laplace d’une impulsion de Dirac vaut 1, alors en remplaçant dans la relation entrée-sortie, on obtient :

( ) ( )S p H p=

La fonction de transfert d’un système peut donc être définie comme étant la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle porte donc en elle toute l’information sur l’équation différentielle, elle est aussi appelée signature du système.

4.5 – Algèbre des schémas Un système complexe se compose en réalité d’une combinaison d’un certain nombre de sous-systèmes plus simples. Un schéma-blocs global fait donc apparaître un ensemble de systèmes élémentaires auxquels on peut associer individuellement une fonction de transfert (transmittance). Compte tenu des liaisons entre ces blocs de base, il peut être nécessaire de calculer une fonction de transfert globale entre deux signaux. Chaque bloc représente un phénomène physique indépendant. Les seules dépendances sont liées aux signaux d’entrée-sortie décrivant le comportement de chaque bloc. On peut toujours modifier un schéma afin de trouver un schéma mathématiquement équivalent (schéma donnant la même fonction de transfert globale) mais le modèle ainsi obtenu s’éloigne de la réalité physique.

1 . Blocs en cascade

2 . Blocs en parallèle

3 . Système bouclé

( ) ( )( )

( )( ) ( )1

S p G pBF p

E p G p H p= =

+

4 . Schéma équivalent à retour unitaire

F ( )p G ( )p H ( )p

S ( )p E ( )p H ( )p G ( )p F ( )p

E ( )p S ( )p

F(p)

+ + +

S(p)

E(p)

E(p)

E(p)

G(p)

H(p)

F(p) + G(p) + H(p)

S(p) E(p)

E(p) S(p)

G(p)

H(p)

+ −

(p)ε

(p)ε E(p) S(p)

G(p)

H(p)

+ −

(p)ε 1

H( p)G(p) +

− H(p)

E(p) S(p)


5 . Fonction de Transfert en Boucle Fermée (BF) – Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (BO)

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )1

S p A p B pBF p

E p A p B p C p= =

+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )R p

BO p A p B p C pp

= =ε

Mathématiquement on peut toujours calculer ( )BO p . Attention physiquement cela n’a de sens que si le signal ( )R p est issu d’un capteur.

Cas des schémas à retour unitaire

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )1

S p M p N pBF p

E p M p N p= =

+

( ) ( )( ) ( ) ( )S p

BO p M p N pp

= =ε

donc ( ) ( )( )1

BO pBF p

BO p=

+

6 . Déplacement d’un point de prélèvement

7 . Déplacement d’un comparateur

8 . Système multivariables

Deux techniques possibles :

1 - On suppose ( ) 0Z p = et on cherche ( )S p en fonction de ( )E p puis on suppose ( ) 0E p = et on cherche ( )S p en fonction de ( )Z p . Comme

le système est linéaire on a alors : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

A p B p B pS p E p Z p

A p B p C p A p B p C p= +

+ +

2 - Par déplacement du sommateur

S(p) E(p)

M(p) + − N(p)

S(p) E(p)

G(p) H(p)

F(p)

R(p)

H(p) G(p)

F(p)G(p)

R(p)

E(p) S(p)

Déplacement vers l’amont Déplacement vers l’aval

F(p)

H(p)

+ − E(p) S(p)

V(p)

G(p)

G(p)H(p)

+ −

F(p)

E(p) S(p)

V(p)

G(p)

Déplacement vers l’aval

Déplacement vers l’amont

G(p) H(p)

E(p) S(p)

R(p) F( p)

H( p)

E(p) S(p)

V(p)

G(p) + −

F(p)

H( p)

F( p)

1

A( p)

Z(p)

S(p)

B(p) E(p)

A(p) −

+

R(p)

+ + +

+

C(p)

(p)ε

A(p)

C(p)

+ −

B(p)

E(p) S(p)

R(p)

(p)ε

A(p) + −

B(p)

E(p) S(p)

R(p)

+ +

C(p)

Z(p)


5. Analyse harmonique

On considère un système d’ordre n, d’entrée ( )e t et de sortie ( )s t dont le comportement est défini par l’équation différentielle suivante :

( ) ( ) ( ) ( )0 0d d

d d

n k

n kn k

s ea t ......... a s t b e t ............. b t

t t+ + = + + (avec n k> ) �

Si on suppose les conditions initiales nulles, ce système est représentable par la fonction de transfert ( ) ( )( )

0

0

kk

nn

S p b p .... bH p

E p a p .... a

+ += =+ +

.

5.1 – Réponse harmonique On appelle réponse harmonique la réponse d’un système soumis à une entrée de type sinusoïdal.

Si on soumet l’entrée d’un système linéaire stable à un signal sinusoïdal du type ( ) ( )0sine t E tω= , on montres qu’en régime permanent la

réponse ( )s t est également sinusoïdale, de même pulsation ω mais déphasée d’un angle ϕ et d’amplitude S0 telle que : ( ) ( )0sins t S tω ϕ= +

L’analyse harmonique s’intéresse à l’évolution de ϕ et du rapport 0

0

S

E en fonction de ω .

Pour déterminer l’amplitude 0S et le déphasage ϕ , une méthode couramment utilisée consiste à utiliser les nombres complexes.

Soient les variables complexes et s eɶ ɶ définies par :

( )0

0

e

e

i t

i t

e E

s S

ω

ω ϕ+

=

=

ɶ

ɶ alors 0

0

eiSs

Ee

ϕ=ɶ

ɶ

La réponse ( )s t et l’entrée ( )e t correspondent à la partie imaginaire de et s eɶ ɶ .

On peut remplacer dans l’équation différentielle du système ( )s t et ( )e t par les variables complexes s et eɶ ɶ .

Comme ( )( ) ( ) ( )0 0

d d e e

d d

n nni t i t

n ns S i S

t t

ω ϕ ω ϕω+ += =ɶ et ( ) ( )0 0d d

e ed d

k kki t i t

k ke E i E

t t

ω ωω= =ɶ

alors l’équation différentielle � devient :

( ) ( )0 0 n k

n ka i s ......... a s b e ............. b i eω ω+ + = + +ɶ ɶ ɶ ɶ

En exprimant le rapport de la sortie sur l’entrée, on obtient la fonction de transfert (ou transmittance) complexe notée ( )H iω qui a pour

expression :

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 1 0

00 1

ek

ik

nn

b b i ....... b i SsH i

Ee a a i ....... a i

ϕω ωωω ω

+ + += = =

+ + +

ɶ

ɶ

On peut alors déterminer les valeurs de l’amplitude 0S et du déphasage ϕ à partir du module et de l’argument de cette fonction de transfert

complexe ( )H iω :

( )( )( )

0 0

arg

S E H i

H i

ωϕ ω = =

Le rapport de l’amplitude de sortie sur l’amplitude d’entrée 0

0

S

E est appelé gain du système à ne pas confondre avec le gain statique de la

fonction de transfert. Le gain du système est égal au module de ( )H iω .

Le déphasage ϕ entre la sortie et l’entrée est appelé phase du système. Elle est égale à l’argument de ( )H iω .

Remarques :

♦ Pour passer de la fonction de transfert ( )H p à la fonction de transfert complexe ( )H iω , il suffit de remplacer p par iω . ♦ Pour établir la fonction de transfert complexe, on a supposé que le système était stable. Si le système n’est pas stable la notion de régime

permanent sinusoïdal n’a pas de sens mais on peut toujours mathématiquement calculer une fonction de transfert complexe pour un système instable.

Terminologie

On parle de réponse en quadrature de phase par rapport à l’entrée lorsque la phase vaut –90°. On parle de réponse en opposition de phase par rapport à l’entrée lorsque la phase vaut –180°.


5.2 – Représentation graphique de la fonction de transfert ( )H iω

L’interprétation des variations de gain et de phase en fonction de la fréquence f ou de la pulsation ω puisque 2

fωπ

= est fondamentale. On va

étudier l’évolution de ces variations, par une méthode graphique : le diagramme de Bode.

Représentation de Bode ou diagramme de Bode

La représentation de Bode d’une fonction de transfert comporte deux courbes :

♦ la courbe de gain : représente l'évolution du gain exprimé en décibels en fonction de la pulsation ω en 1rad.s

− ou de la fréquence f en Hz.

Le gain est exprimé en décibels (dB) et est noté dBG où ( ) ( )20logdBG H iω ω= et où log représente le logarithme décimal.

♦ la courbe de phase ( ) ( )( )arg H iϕ ω ω= : représente l'évolution de la phase exprimée en degrés en fonction de la pulsation ω en 1rad.s

−

ou de la fréquence f en Hz.

Pour les tracés, on utilise habituellement une échelle logarithmique pour l’axe des abscisses.

Les courbes de gain et de phase sont en général tracées l'une sous l'autre sur la même feuille car leur exploitation complète implique une vision simultanée.

-20

-10

0

10

20

0,01 0,1 1 10 100 1000

Pulsation (rad/s)

Gain (dB)

-90

-60

-30

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Pulsation (rad/s)

phase (°)


Propriétés

♦ Si la fonction de transfert ( )H iω est le produit de deux fonctions ( )1H iω et ( )2H iω , le diagramme de Bode de ( )H iω se déduit

facilement, par addition, des diagrammes de ( )1H iω et ( )2H iω . En effet :

• ( ) ( ) ( )1 220log 20log 20logH i H i H iω ω ω= +

• ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2arg arg argH i H i H iω ω ω= +

♦ Si ( )H iω est telle que ( ) ( )1

H iF i

ωω

= (si F est inversible) alors :

• ( ) ( )20log 20logH i F iω ω= −

• ( ) ( )arg argH i F iω ω= −

On voit qu’il suffit de connaître quelques diagrammes de Bode de base2

0 0

1 1 1

11 2i i

K ; ; ;i i Tω ω ω ωξ

ω ω

+ + +

pour pouvoir construire les

diagrammes de Bode de toutes les fonctions de transfert.

Tracé du diagramme de Bode Normalement la représentation du gain et de la phase de la fonction de transfert doit se réaliser point par point. On peut cependant approximer ces courbes par des droites sur certains intervalles, on trace alors le diagramme asymptotique qui permet d’avoir une première idée de l’allure de l’évolution de la phase et du gain d’un système. Comme les systèmes du 1er ordre et du 2ème ordre peuvent se représenter sous la forme de diagramme asymptotique toutes les fonctions de transfert pourront donc être représentées par un diagramme asymptotique.

Terminologie

On peut définir une pulsation de coupure à 3dB− qui est la pulsation à partir de laquelle le gain en décibels perd au moins 3 décibels par

rapport au gain faibles pulsations. A partir cette pulsation, l’amplitude du signal de sortie est atténuée d’au moins 30% par rapport à l’amplitude obtenue pour de faibles pulsations.

Cette pulsation de coupure permet de définir la bande passante à 3dB− .

Dans le paragraphe précédent, on peut remplacer pulsation par fréquence et on définirait donc la fréquence de coupure à 3dB− .

Remarques

Le diagramme de Bode permet de prévoir l'allure de la réponse harmonique d'un système en régime permanent. Il existe d’autres représentations graphiques :

♦ Le diagramme de Nyquist qui représente la fonction de transfert complexe dans le plan complexe. ♦ Le diagramme de Black qui représente la phase de la fonction de transfert complexe (en degrés) en fonction du gain en décibels

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

pulsation (rad/s)

phase (°)

-30

-20

-10

0

10

20

30

0,01 0,1 1 10 100 1000

Pulsation (rad/s)

Gain (dB)

DIAGRAMME DE BODE

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