arab mohamed raed

7/23/2019 Arab Mohamed Raed

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UNIVERSITE DE LIMOGES

Ple de Recherche et dEnseignement Suprieur Limousin Poitou-Charentes

cole DoctoraleScience et Ingnierie en Matriaux, Mcanique, nergtique et Aronautique

Facult des Sciences et Techniques

Thse N [21-2010]

Thse pour obtenir le grade de

Docteur de lUniversit de Limoges

Discipline :Matriaux et ProcdsSpcialit : Cramiques et Traitement de Surfaces

Prsente et soutenue par

Mohamed-Raed ARAB

le 5 juillet 2010

Reconstruction stochastique 3D dun matriau cramique

poreux partir dimages exprimentales et valuation de sa

conductivit thermique et de sa permabilit

JURY

Rapporteurs

Rachid BENNACER, Professeur, Universit de Cergy-Pontoise

Jean-Pierre FONTAINE, Professeur, Universit de Clermont-FerrandExaminateurs :

Jean-Claude LABBE, Professeur mrite, Universit de Limoges

Jean-Pierre LECOMPTE, Matre de Confrences, Universit de Limoges

Hamou SADAT,Professeur, Universit de Poitiers

Kheir-Eddine TARSHA-KURDI, Matre de Confrences, Universit dAlep, Syrie

Invits :

Mohamed EL GANAOUI, Matre de Confrences (HDR), Universit de Limoges

Bernard PATEYRON, Ingnieur de Recherche CNRS (HDR), Docteur s Sciences physiques


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A un Homme qui sappelle Bernard PATEYRON

.

:


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Remerciements

Ce travail de thse a t ralis dans le cadre de la convention franco-syrienne PAB

(9ime

promotion) au sein du Laboratoire Science des Procds Cramiques et de Traitementsde Surface (SPCTS-UMR 6638) de luniversit de Limoges. Je tiens remercier ses

directeurs Monsieur le Professeur Jean-Franois BAUMARDpuis Monsieur le professeur

Thierry CHARTIERde mavoir fait bon accueil.

Ce mmoire de thse naurait pas pu voir la lumire du jour sans la contribution de

nombreuses personnes. Les comptences scientifiques des uns et les encouragements des

autres ont permis, que ltranger, en arrive bout.

Jexprime ma trs sincre reconnaissance mes directeurs de thse, Messieurs Jean-

Claude LABBE, Professeur Emrite de lUniversit de Limoges, Jean-Pierre LECOMPTE

Matre de Confrences (HDR) lENSIL de Limoges, Mohamed EL GANAOUI, Matre de

Confrences (HDR) lUniversit de Limoges et Bernard PATEYRON, Ingnieur de

recherche CNRS (HDR) Docteur dEtat s Sciences physiques, pour lencadrement de ce

travail et pour mavoir guid pendant le temps de prparation de cette thse.

Monsieur Hamou SADAT, Professeur lUniversit de Poitiers, jexprime ma

gratitude pour avoir accept de prsider le jury de cette thse. Je remercie galement

Monsieur Rachid BENNACER, Professeur lUniversit de Cergy-Pontoise, et Monsieur

Jean Pierre FONTAINE, Professeur lUniversit de Clermont-Ferrand, davoir examin

mon travail en tant que rapporteur. Je leur exprime toute ma reconnaissance pour lintrt

quils ont manifest lendroit de ce travail et pour leurs fructueuses apprciations.

Que Monsieur Kheir-Eddine TARSHA-KURDI, Matre de Confrences UniversitdAlep (Syrie) soit remerci dtre venu tout spcialement participer ce jury.

Jadresse toute ma gratitude Monsieur Elalami SEMMA,Professeur lUniversit

Hassan I (Maroc), pour sa collaboration ce travail et le temps quil ma accord durant ses

sjours Limoges. Quil soit assur de mon profond respect. Toute ma gratitude va galement

Jean-Pierre BONNET, Professeur Emrite lcole ENSCI-Limoges, pour son soutien et

ses encouragements avant et au cours de ma thse.


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Je souhaite remercier le Docteur Alain GRIMAUDqui a bien voulu me faire partager

son exprience pratique et sa recherche de solutions immdiates. Je suis trs reconnaissant

envers MonsieurNicolas CALV(Cher Nicolas, le sapeur-pompier de linformatique), pour

son aide et soutien prcieux dans la mise au point des codes raliss lors de cette thse et pour

les astuces et le temps de calculs gagn.

Je noublie pas ceux avec qui jai partag mes trois premires annes au Labo des

Arabes : les Docteurs Fadhel, Khalidet Hamid. Je tiens galement remercier les futurs

Docteurs : Farid, Soumia, et Ridha. Aussi Soufiane(Militant Un : je ne tembte plus avec

mes histoires daventures) et AbdelRazzak (Militant Zro : arrte de dire Non !) pour la

sympathie et les moments inoubliables pendant la priode la plus critique de ma thse.

Infiniment, de tout mon cur, je dois remercier lInconnu(la main du destin). Par lui,

le jour de lt 2009, ma vie a clat et a t compltement chamboule avec lincendie du

laboratoire Racteur Plasma . Il ma transform en SBF (sans bureau fixe) durant trois

mois et SOF (sans ordinateur fixe) durant cinq mois. Je suis encore SEDP (sans

documentations et effets personnels), lesquels sont toujours recouverts de suies. Jadresse

donc un remerciement particulier tous mes collgues du ple cramique qui mont soutenu

aprs cet incendie, notamment Sad(chro).

Mes dplacements lors de la participation aux confrences internationales mont

permis de discuter et nouer des relations avec des professeurs minents. Je cite le Pr. Mike

SUKOPet le Pr. Li-shi LUO(Im not a frog, Sir !) aux USA, le Pr. M. Ziad SAGHIRau

Canada, et le Pr Franois DUBOISet le Dr. Brangre LARTIGUE(a y est, je soutiens

trs bientt) en France.

Je dois un grand MERCI la famille BOUKHARRATA (Kacem, Nefla, Yahya et

Eya) ainsi que Ahmedpour leur soutien et leur accueil chaleureux au cours de six ans de

sjour Limoges (Quon se revoit un jour !). Jexprime ma reconnaissance aussi mon

compatriote Yahya(Meric de ton avis ! ).

.


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Tables des matires

Table des matires

Table des matires....................................................................................................................... INomenclature ............................................................................................................................ V

Liste des figures .................................................................................................................... XIII

Liste des tableaux.................................................................................................................. XIX

Introduction gnrale.................................................................................................................. 1

I. Microstructure dun matriau cramique poreux et son imagerie......................................9

I.1. Introduction ................................................................................................................9

I.2. Matriaux poreux ..................................................................................................... 10I.2.1. Dfinition ......................................................................................................... 10

I.2.2. Porosit............................................................................................................. 10

I.3. Techniques dimagerie ............................................................................................. 12

I.4. Imagerie et traitement dimages............................................................................... 13

I.4.1. Dfinition dune image numrique ..................................................................13

I.4.2. Types dimage .................................................................................................. 14

I.4.3. Formats dimage...............................................................................................15I.4.4. Traitement dimage .......................................................................................... 15

I.5. Conclusion du chapitre............................................................................................. 17

II. Reconstruction stochastique par algorithme du recuit simul (RS) ................................. 19

II.1. Reconstruction tridimensionnelle............................................................................. 19

II.1.1. Introduction la reconstruction tridimensionnelle........................................... 19

II.1.2. Technique de la tomographie ........................................................................... 20

II.1.3. Reconstruction laide de sries de coupes successives.................................. 22

II.1.4. Modles de gomtries reprsentatives : les sphres empiles........................ 24

II.1.4.1. Modle de particules monomodales.........................................................24

II.1.4.2. Modle de particules de distribution alatoire de tailles .......................... 25

II.1.5. Reconstruction stochastique............................................................................. 26

II.2. Introduction la reconstruction stochastique........................................................... 27

II.3. Concepts morphologiques lmentaires................................................................... 29

II.3.1. Fonction de corrlation 1-point ........................................................................ 29

II.3.2. Fonction de corrlation 2-points ...................................................................... 30


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Tables des matires

II.3.3. Surface volumique............................................................................................ 33

II.3.4. Fonction du chemin linaire............................................................................. 34

II.3.5. Fonction de percolation de volume ..................................................................35

II.3.6. Fonction damas 2-points ................................................................................. 36

II.3.7. Fonction de distribution de la taille des pores.................................................. 36

II.4. Recuit simul pour la reconstruction tridimensionnelle...........................................36

II.4.1. Procdure doptimisation ................................................................................. 36

II.4.2. Algorithme gnral de la reconstruction par la mthode du recuit simul....... 39

II.4.2.1. Structure tridimensionnelle initiale .......................................................... 40

II.4.2.2. Echange des voxels: critre de slection ................................................. 40

II.4.2.3. Paramtre de contrle T temprature du recuit .................................. 41

II.4.2.3.1. Comment dterminer la temprature initiale ? ............................... 41

II.4.2.3.2. Comment abaisser la temprature de recuit ?................................. 42

II.4.2.3.2.1. Schma classique........................................................................... 42

II.4.2.3.2.2. Schma des chaines de Markov..................................................... 42

II.4.2.4. Critres de convergence ........................................................................... 43

II.4.2.4.1. Valeur dnergie minimum................................................................... 43

II.4.2.4.2. Valeur de rejections successives maximales ........................................44

II.4.2.4.3. Nombre ditrations maximum............................................................. 44

II.4.3. Algorithme dchantillonnage orthogonal ....................................................... 44

II.4.4. Schma de reconstruction hybride ............................................................. 45

II.4.5. Algorithme Lattice-Point ............................................................................ 45

II.5. Applications .............................................................................................................47

II.5.1. Slection dune image de rfrence .................................................................47

II.5.2. Influence de la condition de bords priodiques................................................ 48

II.5.3. Influence de lisotropie du milieu tudi.......................................................... 48II.5.4. Reconstruction de disques................................................................................ 50

II.5.5. Reconstruction dun damier ............................................................................. 52

II.5.6. Reconstruction dun matriau cramique poreux............................................. 56

II.6. Conclusion partielle.................................................................................................. 58

III. Mthode de Boltzmann sur rseau et modlisation numrique.................................... 65

III.1. Introduction .......................................................................................................... 65

III.2. Origine de la mthode Boltzmann-sur-rseau...................................................... 68III.2.1. Schma Gaz sur rseau..................................................................................... 68


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Tables des matires

III.2.2. Equation de Boltzmann .................................................................................... 69

III.3. Mthode de Boltzmann sur rseau ....................................................................... 70

III.3.1. Boltzmann sur rseau de lquation de Boltzmann.......................................... 70

III.3.2. De la micro dynamique lhydrodynamique macroscopique.......................... 71

III.3.3. Modles BR isothermes ................................................................................... 72

III.3.3.1. Modles un seul temps de relaxation..................................................... 72

III.3.3.1.1. Modle monodimensionnel .................................................................72

III.3.3.1.2. Modle bidimensionnel....................................................................... 73

III.3.3.1.3. Modle BR tridimensionnel ................................................................76

III.3.3.2. Modle plusieurs temps de relaxation ................................................... 78

III.3.4. Schma BR thermique...................................................................................... 78

III.3.4.1. Modle BR pour la convection thermique ............................................... 79

III.3.4.2. Modle BR pour la conduction thermique ............................................... 80

III.3.4.3. Problme conjugu solide-fluide.............................................................. 82

III.3.4.4. Modle BR pour le rayonnement thermique ............................................ 83

III.3.4.5. Extension du modle BR lvaluation des proprits mcaniques........ 83

III.4. Conditions aux limites.......................................................................................... 83

III.4.1. Condition aux limites priodiques.................................................................... 84

III.4.2. Condition de non glissement............................................................................ 84

III.4.3. Condition de glissement................................................................................... 86

III.4.4. Conditions entre/sortie.................................................................................... 86

III.4.4.1. Ecoulement rgi par la vitesse.................................................................. 87

III.4.4.2. Ecoulement rgi par un gradient de pression ...........................................88

III.4.4.3. Condition de bords ouverts ...................................................................... 89

III.4.4.4. Application dune force externe...............................................................89

III.4.5. Conditions aux limites thermiques................................................................... 90III.4.5.1. Temprature impose ............................................................................... 90

III.4.5.2. Condition de bords adiabatiques .............................................................. 91

III.5. De valeurs microscopiques aux valeurs physiques .............................................. 91

III.5.1. Exemple 1......................................................................................................... 92

III.5.2. Exemple 2......................................................................................................... 92

III.6. Algorithme du calcul BR......................................................................................93

III.7. Position de la mthode BR par rapport dautres mthodes numriques............ 95III.7.1. BR et la mthode du calcul des diffrences finies ...........................................95


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Tables des matires

III.7.1.1. Principe de la mthode des diffrences finies ..........................................95

III.7.1.2. Mthode de Dufort-Frankel......................................................................96

III.7.2. Solveurs fonds sur les mthodes dlments finis ..........................................97

III.7.2.1. Logiciel libre : OOF ................................................................................. 97

III.7.2.2. Logiciel commercial COMSOL Multiphysics .........................................98

III.7.3. BR et la mthode de calcul en volumes finis ................................................... 99

III.8. Conclusion partielle............................................................................................ 100

IV. Etude numrique des proprits physiques des matriaux poreux............................. 109

IV.1. Introduction ........................................................................................................ 109

IV.2. Relations caractristiques essentielles dun coulement....................................109

IV.3. Ecoulement de Poiseuille ................................................................................... 111

IV.4. Simulation BR dans un milieu poreux ...............................................................113

IV.5. Etude du transfert thermique par conduction dans un matriau bicouche ......... 117

IV.5.1. Comparaison avec la solution analytique.......................................................119

IV.5.2. Comparaison avec les relations empiriques ................................................... 120

IV.5.3. BR et le logiciel COMSOL Multiphysics ...................................................... 122

IV.6. Simulation thermique BR dans un milieu poreux .............................................. 124

IV.7. De lespace bidimensionnel lespace tridimensionnel .................................... 125

IV.8. Transport de matire...........................................................................................128

IV.8.1. Ecoulement dans un tube par simulation LB D3Q19..................................... 129

IV.8.2. Ecoulement dans un cube rempli de sphres priodiques .............................. 130

IV.8.3. Ecoulement dans un milieu poreux reconstruit .............................................. 131

IV.9. Transfert de la chaleur par conduction...............................................................134

IV.9.1. Influence de la distribution des phases constituantes..................................... 138

IV.9.2. Influence du champ thermique impos .......................................................... 140

IV.9.3. Influence de la taille du domaine ...................................................................140IV.10. Conclusions du chapitre .....................................................................................142

Conclusions gnrales et perspectives ................................................................................... 147

Annexe 1 : Relation entre la fonction 2-Points et la surface volumique dun matriau ............. i

Annexe 2 : Image et traitement dimage ....................................................................................v


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Nomenclature

Nomenclature

Nomenclature latineC colonne

L ligne

p nombre de couches (palettes) dans une image numrique

M valeur de couleur dun pixel dans une image numrique

p pression (Pa)

T temprature (K)

t temps (s)

u vitesse macroscopique (m.s-1)

c vitesse de propagation nodale

cs vitesse du son en rseau

cv chaleur spcifique sous volume constante (J.kg-1.K-1)

cp chaleur spcifique sous pression constante (J.kg-1.K-1)

e vecteur de vitesse nodale (unit)

n nombre de particules (variable boolen)

f fonction de distribution

feq fonction de distribution lquilibre

g fonction de distribution thermique

geq fonction de distribution thermique lquilibre


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Nomenclature

V volume (m3)

L longueur (m)

W largeur (m)

H hauteur (m)

d diamtre (m)

r rayon (m)

k permabilit (m-2)

q flux thermique (W)

h coefficient de transfert thermique par convection (W.m-2.K-1)

g constant de pesanteur (m.s-2)

R constant du gaz parfait (J.mole-1.K-1 )

E nergie (J)

S)

matrice diagonale de relaxation (modle LB-MRT)

m moments (modle LB-MRT)

h coefficient de transfert de chaleur convectif (W.m-2.K-1)

A aire dune section de surface (m2)

Nomenclature grecque

diffusivit thermique (m2.s-1)

coefficient dexpansion volumique (K-1)

nergie interne ; porosit ; prcision de calcul

longueur de passage libre moyen (m)


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Nomenclature

conductivit thermique (W.m-1.K-1)

viscosit dynamique (kg.m-1.s-1)

temps de relaxation adimensionnel

viscosit cinmatique (m2.s-1)

masse volumique (kg.m-3)

constante dune valeur de 3.14159265

fraction solide

porosit = 1

incrment

oprateur de collision

incrmentation

temprature adimensionnelle

Nombres adimensionnels

Kn nombre de KnudsenL

Kn

=

Ma nombre de MachsC

cMa=

Re nombre de Reynolds

uL=Re

Ra nombre de Rayleigh 3TLg

Ra =

Pr nombre de Prandtl=Pr


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Nomenclature

Indice

tot totale

ave moyen

s solide, son

l liquide

i direction selon x, indice de vecteur en rseau BR

j direction selon y

k direction selon z

eff effective

m moyen

eq quilibre

in entre

out sortie

int interface

n port

cond conductif

conv convectif

opp sens oppos

w mur, bord

trans transversal(e)

amb ambiant(e)


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Nomenclature

Abrviations

BGK Bhatnagar, Gross et Krook (modle)

FHP Frisch-Hasslacher-Pomeau (modle)

EF lments Finis (mthode)

DF Diffrences Finies (mthode)

VF Volumes Finis (mthode)

BR Boltzmann sur Rseau (mthode)

DdQq type de modle BR (d: lespace et q: nombre de vecteur de vitesse)

CTE Conductivit Thermique Effective (milieu htrogne)

RTC Rsistance Thermique de Contacte (dpt plasma)

EB Equation de Boltzmann (modle)

GR Gaz sur Rseau (mthode)

RF Radio Frquence

MEMS Micro lectroMcaniques (systmes)

EDP quation aux Drives Partielles

Termes en anglais

LBM Lattice Boltzmann Method

LGA Lattice Gas Automata

MRT Multiple Relaxation Time

CT Computed Tomography

SBB Standard Bounce Back (conditions aux limites)

CFD Computational Fluid Dynamics (mthode)


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Nomenclature

BCs Boundary Conditions (condition aux limites)

PBCs Periodic Boundary Conditions (condition aux limites)

PPM Portable Pixel Map (format dimages)

BMP BitMap Picture (format dimages)

TIFF Tagged Image File Format (format dimages)

Termes pour le schma du Recuit simul

E nergie

LP(R) fonction du chemin linaire

P(0,1) fonction de probabilit

Rr

vecteur de longueur de rfrence

rr

point (vecteur) de lespace de limage

r rayon (m)

)R(S2r

fonction de corrlation 2-points

)(2 RRr

fonction dauto-corrlation 2-points

( )212 ,rrC rr

fonction damas (cluster) 2-points

( )P fonction de distribution de taille des pores

T temprature du recuit

t temps

V volume reprsentatif

Z(r) fonction de phase (fonction indicateur)


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Nomenclature

NP nombre de voisins dun voxel pore dans la mme phase

NS nombre de voisins dun voxel solide dans la mme phase

BK constante de Boltzmann

s surface volumique (m-1)

Symboles grecs

facteur de pondration

facteur de pondration

porosit dun matriau

facteur de rduction de la temprature du recuit

taille moyenne des pores dans une structure

cart type (statistique)

Indices

ad adimensionnel

min minimum

max maximum

ref rfrence

sim simulation

tot total

rej rjection

accept accept


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Nomenclature

. moyenne

0 ltat initial

n noir

b blanc

S solide

P pore

Abrviations

RS Recuit Simul

R-X Rayons X

Termes en anglais

CT Computed Tomography

SA Simulated Annealing

SR Stochastic Reconstruction

LPA Lattice-Point Algorithm

FFT Fast Fourrier Transform


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Liste des figures

Liste des figures

Figure I1 : Diffrents exemples des structures poreuses : (a) composites mullite/alumine/etzircone (rfrence []) ; (b) apatites ; (c) mousses mtalliques ; (d) dpt poreux par

projection plasma (rfrence []). ......................................................................................11

Figure I2 : Matriau poreux deux phases : phase solide (volume SV ) et phase de pores

(volume PV ). ..................................................................................................................... 11

Figure I3 : Chemin suivi lors de lobtention dune image de structure exploitable............... 14

Figure I4 : Reprsentation dune image matricielle de 12x7 pixels (de haut en bas et de

gauche droite). La valeur de chaquepixelest comprise entre 0 et 255 (encodage niveau

de gris).............................................................................................................................. 15

Figure I5 : (a) Image MEB de microstructure et (b) image binaire rsultante de lapplication

de la segmentation. Les pores sont les pixels noirs.......................................................... 16

Figure II1 : Photo de lappareil de tomographie rayon-X. (rfrence [3]). ......................... 21

Figure II2 : Image tridimensionnelle de mousse daluminium, rsultante de limagerie

tomographie prsente en Figure II-1. Taille de lchantillon 500 m .( rfrence [3])..22

Figure II3 : Gomtrie de la tache de lindenter Vickers. (rfrence [4].)............................. 23

Figure II4 : Prsentation schmatique de la reconstruction de composite Al-SiC partir de

coupes successives en sries. (a) Indentation, (b) micrographe de lindentation de Vickers

et (c) progrs de lacquisition-polissage. (rfrence [4].) ................................................ 23

Figure II5 : Empilements (a) triangulaire et (b) carr de particules sphriques de mme taille.

(rfrence [11]. ................................................................................................................. 25

Figure II6 : Construction dempilement de billes avec une distribution de taille. Nombre de

sphres = 150, 15.0= , 1.0= et 10 =r . ...................................................................... 26

Figure II7 : (a) Image binaire dun grs (sandstone) (les pores sont en blanc) de 300x300

pixels(le pixel fait 5m), (b) la fonction de corrlation 2-points. (rfrence [].)............ 31

Figure II8 : (a) Image dun agrgat de billes de verres (les pores en noir) de 760x570 pixels.

(2.1x2.1 m2) (b) La fonction dauto-corrlation extraite de limage (a). (rfrence [31].)

.......................................................................................................................................... 32

Figure II9 : Un voxel dans lespace digital tridimensionnel est en contact avec 26 voxels,

par sommet , par arrt et par face ........................................................................ 33


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Liste des figures

Figure II10 : (a) Image binaire dun grs (sandstone) (les pores en blanc) de 300x300 pixels

(lepixelfait 5m), et (b) fonction du chemin linaire. (rfrence [36].)......................... 34

Figure II11 : Percolation de la phase solide par les pores (sphres bleues) (rfrence [])..... 35

Figure II12 : Principe physique du recuit ; lide est dobtenir un minimum global de

lnergie du systme.........................................................................................................38

Figure II13 : Algorithme gnral du recuit simul avec les diffrents paramtres de contrle.

.......................................................................................................................................... 39

Figure II14 : Reconstruction bidimensionnelle de limage binaire de rfrence (a) avec

34.0= (pixels en noir), (b) rsultat de la reconstruction via lalgorithme lattice-

point et (c) rsultat de la reconstruction via lalgorithme dchantillonnage orthogonal.

.......................................................................................................................................... 46

Figure II15 : Image MEB dun chantillon de cordirite (a) et image binaire obtenue par

lapplication dune valeur du seuil qui maintient une valeur de porosit %42= (b)....48

Figure II16 : (a) Image MEB de SiCde taille 712x484pixels, (b) image binaire de rfrence

de 400x400 pixels et (c) influence ngligeable sur la fonction S2est constate quand la

condition de bords priodiques est applique. ................................................................. 49

Figure II17 : Pour le milieu prsent en Figure II16-b, une influence ngligeable sur les

rsultats est constate quand la fonction S2 (a) et la fonction PL (b) sont tudie selon

lune ou lautre des deux directions orthogonales principales. ........................................ 50

Figure II18 : Rsultat de la reconstruction 3D des disques. (a) Image binaire de rfrence

(100x100 pixels) de disques priodiques dans une cavit carre, (b) coupe dans le

domaine initial 3D Y=50pixels, (c) volution de la structure initiale plusieurs tapes

intermdiaires durant la simulation Y=50 pixels, (d) coupe dans la structure finale

Z=50pixels, (e) coupe dans la structure finale Y=50pixels. ......................................... 51

Figure II19 : Reprsentation en 3D de la structure reconstruite en Figure II18-a. .............. 52

Figure II20 : Fonction de corrlation 2S du milieu tudi en Figure II18-a pour diffrentes

valeurs de longueur de rfrence : (a) 20max =R pixels,5

min 107.3

=E , (b) 40max =R

pixels, 5min 103.3

=E , (c) 60max =R pixels,5

min 105.5

=E , et (d) 100max =R pixels,

5min 101.9

=E . Tous les autres paramtres de simulation sont gardes constants........ 53

Figure II21 : Rsultat de la reconstruction 3D dun damier : (a) Image binaire de rfrence

de 104x104pixels, (b) coupe dans le domaine initial 3D Y=57pixels, (c) coupe dans la


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Liste des figures

structure finale X=14 pixels, (d) coupe dans la structure finale Y=54 pixels, et (e)

coupe dans la structure finale Z=61pixels. ................................................................... 54

Figure II22 : Fonction de corrlation 2S du milieu tudi en Figure II21-a pour deux

valeurs de longueur de rfrence : (a) 26max =R pixels,5

min 105.5

=E , (b) 104max =R

pixels, 4min 101.1

=E . Tous les autres paramtres de simulation sont gardes constants.

.......................................................................................................................................... 55

Figure II23 : (a) Structure de 134x134 pixels avec une fraction volumique de 3.0=

reconstruire. Le rsultat de la reconstruction 3D sont (b) une coupe dans la structure

finale X=110 pixels, (c) une coupe dans la structure finale Y=111 pixels, et (d) une

coupe dans la structure finale Z=121pixels. .................................................................56

Figure II24 : Image binaire de SiC (a) et reprsentation de la fonction 2S (b). Taille de

limage est 167x167pixelsavec une taille dupixel~2 m (rfrence [42]). ................. 57

Figure II25 : Rsultat de la reconstruction de la structure prsente en Figure II24-a. Le

volume de pores est en noir. ............................................................................................. 57

Figure III1 : Position de la mthode BR dans les diffrentes chelles dtudes (Selon [5]).. 66

Figure III2 : Classification des mthodes de simulation dun coulement (daprs []). ........ 66

Figure III3 : Statistique extraite du site www.sciencedirect.com au mois davril 2010 sur le

nombre de publications sur la mthode ainsi que le domaine dapplication.................... 67

Figure III4 : (a) Rseau hexagone de Frisch-Hasslacher-Pomeau (FHP), (b) exemple de pr-

collision et (c) post-collision possible.............................................................................. 69

Figure III5 : Rseau du modle D1Q3. .................................................................................. 73

Figure III6 : Rseau du modle D2Q9. .................................................................................. 73

Figure III7 : Nud du rseau D2Q9 avec ces vecteurs de propagation. ................................ 74

Figure III8 : Quatre nuds diffrents : (gauche) avant la propagation et aprs la collision

(pas de temps t) et (droite) aprs la propagation (temps t+1) imagins par Nils [26]...... 74Figure III9 : Rseau du modle D3Q19. ................................................................................ 76

Figure III10 : Rseau du modle D3Q15 avec ces vecteurs de vitesse..................................77

Figure III11 : Rseau du modle D3Q27. Ici, est le centre du rseau, de premier ordre,

de 2imeordre et de 3imeordre................................................................................. 77

Figure III12 : Condition priodique applique aux bords (les carrs en gris). La flche

continue reprsente le vecteur lors de sa propagation tandis que la flche intermittente est

son tat aprs la propagation. ........................................................................................... 85


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Liste des figures

Figure III13 : Condition de rebond pur. Un disque noir est un obstacle (solide) et le disque

rouge est un site vide (passage de fluide). Une flche continue reprsente ltat de la

particule avant la collision, et la flche intermittente reprsente ltat de la particule aprs

la collision. ....................................................................................................................... 85

Figure III14 : Condition de rflexion spculaire .................................................................... 86

Figure III15 : Populations inconnues lors de lapplication dune quantit impose aux bords.

(a) avant la propagation et linstant t = ti, (b) aprs la propagation et linstant t = ti+

1et (c) rebondissement en arrire et linstant t = ti+ 1. ............................................... 87

Figure III16: Schma de lalgorithme gnral de calcul dans un modle BR........................94

Figure III17 : Fentre principale du logiciel OOF2. .............................................................. 98

Figure III18 : Fentre principale du logiciel COMSOL Multiphysics...................................99

Figure III19 : Reprsentation dun rseau hybride BR-VF. (rfrence [54].)......................100

Figure IV1 : Configuration bidimensionnelle de lcoulement de Poiseuille et conditions aux

limites appliques. La taille du rseau est 200x50pixels............................................... 112

Figure IV2 : Profile analytique (ligne continue) et numrique (les carrs) de la vitesse

horizontale dun coulement de Poiseuille. lu: unit de largeur du rseau (pixel)......... 113

Figure IV3 : Exemple dun matriau poreux : (a) image MEB et (b) image traite et prte

lexploitation numrique (pour lorigine de cette image voir rfrence [7]). ................114

Figure IV4 : Contours de vitesse horizontale calculs par COMSOL Multiphysics (a) et par

un modle BR de taille 552x276pixels(b) et 276x138pixels(c). ................................ 116

Figure IV5 : Variation de la permabilit adimensionnelle en fonction du gradient de

pression...........................................................................................................................117

Figure IV6 : Variation de la permabilit adimensionnelle en fonction de la viscosit. ..... 117

Figure IV7 : Conductivit thermique effective en fonction de la fraction volumique dun

matriau bi-phasique 100:1: 21 = . ............................................................................ 118

Figure IV8 : Domaine de deux matriaux avec deux valeurs diffrentes de conductivit

thermique 2:1: 21 = . .................................................................................................. 120

Figure IV9 : Comparaison entre la solution analytique de lquation Eq. IV-21 (ligne

continue) et les rsultats de la simulation par la mthode BR (cercles).........................121

Figure IV10 : Distribution de la temprature dans le domaine tudi en Figure IV8........ 121

Figure IV11 : Domaine tudi par le logiciel COMSOL Multiphysics et le code de calcul

BR...................................................................................................................................123


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Liste des figures

Figure IV12 : (a) Maillage du domaine par COMSOL Multiphysics ; un effort

supplmentaire est demand pour dfinir le maillage adaptatif autour du milieu 2. (b)

Domaine par BR ; le milieu 2 na plus la forme circulaire cause de leffet de

pixellisation. ................................................................................................................... 123

Figure IV13 : Contours de la temprature dans le domaine tudi ( gauche) par la mthode

EF et ( droite) par la mthode BR. ............................................................................... 124

Figure IV14 : Distribution du champ thermique travers un milieu poreux pour

5.2/5.0/ 21 = . ...........................................................................................................125

Figure IV15 : Distribution du champ thermique travers un milieu poreux pour

5.0/5.2/ 21 = . ...........................................................................................................125

Figure IV16 : Image binaire de SiCavec une porosit estime de ~40% (rfrence [23]) etla fonction de corrlation 2-points correspondante. ....................................................... 127

Figure IV17 : Structure tridimensionnelle rsultante de la reconstruction du milieu prsent

en Figure IV16. ............................................................................................................127

Figure IV18 : Comparaison des profils de vitesse verticale entre la solution analytique et le

rsultat de simulation BR pour un coulement de Poiseuille dans un tube....................130

Figure IV19 : (a) Cube rempli par des sphres monomodales. (b) Cellule unitaire avec une

sphre centre.................................................................................................................131

Figure IV20 : Image MEB de la microstructure de carbure de silicium SiC(porosit en noir).

........................................................................................................................................134

Figure IV21 : Images binaires de la structure doxyde dtain extraites rfrence [39]

gauche (les pores sont en blanc), et reprsentation tridimensionnelle rsultante de la

procdure de la reconstruction droite (les pores ici sont en noir)................................ 136

Figure IV22 : Comparaison des valeurs de la CTE en fonction de la masse volumique

relative estimes par des relations empiriques, simulation ABAQUS [39], simulation DF-

DF...................................................................................................................................137

Figure IV23 : Comparaison des valeurs de la CTE estimes dans un domaine bidimensionnel

et tridimensionnel...........................................................................................................138

Figure IV24 : Fonction de corrlation 2S tudie dans les domaines tridimensionnels

gnres alatoirement et reconstruites stochastiquement par le schma de recuit simul.

........................................................................................................................................139

Figure IV25 : Comparaison des valeurs de la CTE en fonction de la masse volumique

relative dans des domaines alatoires et reconstruits..................................................... 140


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Liste des figures

Figure IV26 : Conductivit thermique effective en fonction du champ thermique appliqu.

........................................................................................................................................141

Figure A2- 1 : Structure de format bmp .....................................................................................v

Figure A2- 2 : Structure dun fichier dimage tiff....................................................................vii


25/190

Liste des tableaux

Liste des tableaux

Tableau I1 : Diffrentes familles de microscopes..................................................................13

Tableau II1 : Taux de porosit des modles cristallographie (la taille du cube est lunit). .. 24

Tableau III1 : Modles D2Qq en rseau orthogonal.............................................................. 75

Tableau IV1 : Relations appliques comme conditions aux limites lentre et la sortie du

domaine prsent en Figure IV3-b............................................................................... 115

Tableau IV2 : Dfinition des variables adimensionnelles, mtx ,, sont les constantes du

rseau (longueur, temps, masse). ................................................................................... 116

Tableau IV3 : Modles thoriques proposs pour dterminer la conductivit thermique

effective dun milieu htrogne caractris par deux valeurs de conductivit

thermique 21, . 21, tant la fraction de volume de chaque phase (noir et/ou blanc)

dans le domaine. ............................................................................................................. 119

Tableau IV4 : Comparaison pour la conductivit thermique effective entre les valeurs

estims par des relations empiriques et celles calculs par le code BR. ........................ 122

Tableau IV5 : Valeur de la CTE du milieu prsent en Figure II19 ; 1/10:/21

........... 128

Tableau IV6 : Comparaison entre les rsultats analytiques et ceux de simulation BR-D3Q19

pour la permabilit dune matrice de sphres priodiques. ..........................................132

Tableau IV7 : Comparaison de la permabilit mesure par voie exprimentale [23], estime

par voie empirique et calcule par simulation BR. ........................................................ 132

Tableau IV8 : Relations appliques comme conditions aux limites lentre et la sortie du

domaine prsent en Figure IV17. ............................................................................... 133

Tableau IV9 : Proprits physiques de loxyde dtain et de lair une temprature 300 K.

........................................................................................................................................137

Tableau IV10 : Proprits physiques du carbure de silicium SiC et de lair une

temprature 300 K. (rfrence [].) ................................................................................ 141

Tableau IV11 : Valeur de la CTE estime dans diffrents taille de rseaux........................ 141


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Introduction gnrale

1

Introduction gnrale

Ce travail sinscrit dans la continuit des travaux de modlisation et des activits derecherche menes au sein du laboratoire SPCTS et notamment le dveloppement du logiciel

Jets&Poudres [1, 2].

En effet lindustrie de la projection plasma se trouve face des besoins de

performance croissants et des exigences de plus en plus svres, ce qui impose une

meilleure comprhension des phnomnes impliqus dans le processus de projection plasma

(fluctuations du pied darc, phnomne de dispersion des grains de poudres, interaction grain-

plasma, impact des grains sur le substrat, ), ainsi que dans le contrle en ligne et modle

numrique. Le laboratoire SPCTS (Sciences des Procds Cramiques et Traitement de

Surface) se propose depuis plus de 30 ans des meilleurs outils de diagnostic et de

modlisation des procds de projection plasma. Ses travaux exprimentaux et de simulations

ont couvert les diffrents domaines du procd [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15].

Il sagit ici dun premier pas dans le domaine de la caractrisation numrique dun

matriau bi-phasique, reprsentatif du dpt obtenu par projection thermique. Le mot phasedsigne ici ltat de matire : solide, liquide et gaz. Un cas particulier des matriaux

diphasique est celui ou la seconde phase est gazeuse et il sagit alors de matriaux poreux.

Ces matriaux cramiques poreux dont les premiers avantages sont lallgement

(diminution de matire) et laugmentation de surface volumique, suscitent un vif intrt en

raison de leurs applications varies et dans des domaines aussi divers que les techniques de

sparation (chromatographie), limmobilisation denzymes, la libration contrle de

substances actives, le transport capillaire de gaz ou despces charges, la catalyse supporte

et plus gnralement la chimie en milieu confin ou encore la conception de nanomatriaux.

Citons encore les membranes et lectrodes de piles combustible, les dpts de protection

anticorrosion, les turbines davions ainsi que lindustrie de microlectronique [16, 17] mais

aussi lisolation thermique ou acoustique.

Une des difficults majeures quant lutilisation de ces matriaux poreux est la

matrise de leurs proprits physiques (mcaniques, thermiques, lectriques) en fonction du


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Introduction gnrale

2

taux de porosit et de la taille et de la rpartition des pores. Le dveloppement des matriaux

poreux suppose donc une prdiction prcise de leurs proprits physiques qui est ainsi

dimportance cruciale.

La mesure exprimentale directe est bien videmment le moyen le plus efficace

daccder la valeur des proprits dintrt. Cependant, celles-ci sont coteuses et longues.

Elles sont aussi difficiles, lorsquil sagit des dpts, en raison des faibles paisseurs, des

architectures complexes et inhomognes en porosit, fissuration et composition. Soulignons

ici que les descriptions analytiques disponibles pour relier la permabilit et la conductivit

thermique la morphologie de dpts ne sont applicables que dans des cas relativement trs

simples et sont insuffisantes pour les gomtries complexes rencontres [18].

Le coefficient de permabilit dun dpt anticorrosion, cest--dire sa rsistance la

pntration dun flux de matire, est sa caractristique fondamentale, de mme que la

conductivit thermique, cest--dire sa rsistance la pntration dun flux thermique, est

celle dune barrire thermique.

Ces grandeurs physiques ne sont pas facilement mesurables et les prdictions par des

modles analytiques ou par voie numrique reprsentent un enjeu important pour la

comprhension et la matrise des matriaux poreux. Il existe de nombreux modlesanalytiques qui permettent de prdire la conductivit thermique effective en fonction du taux

de porosit et des conductivits des deux phases [19, 20, 21, 22], et il en est de mme pour la

permabilit [23, 24, 25, 26]. Ces modles sont fonds sur des simplifications gomtriques

qui sont souvent loignes de la microstructure relle du matriau. La modlisation est quant

elle de plus en plus utilise en raison des progrs informatiques qui permettent de simuler le

transport de la matire et le transfert de la chaleur dans des gomtries complexes en deux et

trois dimensions.

Pour ces raisons il est ncessaire de dvelopper des mthodes destimation de

permabilit quivalente et de conductivit thermique effective partir dimages en

coupe, obtenues par diffrents moyens tels que la microscopie optique (MO) ou lectronique

balayage (MEB). Lintrt des rsultats obtenus en gomtrie bidimensionnelle reste faible, ce

qui impose ltude de gomtries tridimensionnelles.

Caractriser un matriau ncessite donc une reprsentation prcise de sa structure. Du


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Introduction gnrale

3

point de vue exprimental, la structure tridimensionnelle peut tre construite par empilement

de couches de faibles paisseurs [27, 28]. Cette voie dexploitation est trs lourde et trs

longue en temps. La technique de tomographie a ouvert la voie de ltude de structures

tridimensionnelles [29, 30]. En dpit de son dveloppement rapide et de la rsolution leve

des images obtenues, cette technique reste onreuse et peu accessible. En outre la taille de

lchantillon trait est relativement faible comparativement celle de limage obtenue par les

techniques 2D.

La reconstruction stochastique dune structure relle dun matriau cramique partir

des informations morphologiques statistiques extraites dune image bidimensionnelle est

propose dans cette thse. Cette mthode de reconstruction de milieux isotropes ou

anisotropes est fonde sur la minimisation par la mthode du recuit simul (RS) [31, 32]. Lesinformations morphologiques extraites dune image 2D sont de diffrents types, usuellement

ce sont la fraction volumique dune phase, la fonction de corrlation 2-points ainsi que la

fonction du chemin linaire [33] qui sont utilises.

Les mthodes indirectes par simulations numriques sont attrayantes et les mthodes

de diffrence finies et dlments finis sont trs largement exploites [34, 35, 36, 37].

Cependant, les domaines complexes, comme ceux des milieux poreux, reprsentent un dfi en

raison de la complexit du maillage construire.

Une alternative, la mthode Boltzmann sur rseau (BR) [38, 39], est propose pour

caractriser les matriaux poreux par simulation partir dimages binaires de leur structure.

Au cours de ces dernires annes, cette mthode statistique dite chelle msoscopique, cest-

-dire intermdiaire entre chelle microscopique ou atomique, et chelle macroscopique, a

connu un succs immense dans le domaine de la simulation des coulements isothermes [40,

41]. Elle a retenu lattention des mcaniciens des fluides pour la simulation dcoulementsdans des gomtries complexes comme celle des milieux poreux. Elle repose sur un

algorithme qui simule lquation de Boltzmann [42, 43] de faon simple et permet de

remonter simplement la rsolution des quations aux drives partielles de Navier-Stokes.

Ces facilits dapplication des conditions aux limites permettent de simuler des gomtries

complexes, les milieux poreux y compris.

Cette tude se propose de dterminer la permabilit et la conductivit thermique

effective du volume reprsentatif dun matriau poreux isotrope reconstruit partir dune


30/190

Introduction gnrale

4

image 2D de ce matriau.

Le premier chapitre est consacr un rappel bibliographique des techniques

dimagerie et de traitement dimage avec une application aux matriaux cramiques poreux et

la porosit.

Le deuxime chapitre est ddi la description dtaille de la reconstruction

tridimensionnelle au moyen du schma du recuit simul et la mise au point dun outil

numrique.

Le troisime chapitre traite de la mthode numrique de Boltzmann sur rseau. Il

voque les modles de la littrature et les conditions aux limites dveloppes ainsi que les

autres mthodes numriques de discrtisation comme les diffrences finies, les lments finis

et les volumes finis.

Le quatrime chapitre prsente enfin les rsultats obtenus pour la permabilit et la

conductivit thermique effective, compars ceux des tudes exprimentales et numriques

prcdentes.


31/190

Introduction gnrale

5

Bibliographie de lintroduction gnrale

[1] Fadhel Ben-Ettouil, Modlisation rapide du traitement de poudres en projection par

plasma darc. Thse soutenue la FST-Limoges (2008).[2] B. Pateyron, G. Delluc, Jets&Poudres, sur http://www.unilim.fr/spcts/.

[3] F. Kassabji, B. Pateyron, J. Aubreton, M. Boulos, P. Fauchais, Conception d'un four

plasma de 0,7 MW pour la rduction des oxydes de fer. Rev. Int. des Hautes Temp. et

Rfract., 18, (1981)

[4] J. Aubreton, B. Pateyron, P. Fauchais, Les fours Plasma, Rev. Int. Hautes Temp. et

Rfract., 18, 293, (1981)

[5] P. Fauchais, A. Et M. Vardelle, J.F. Coudert, B. Pateyron. State of the art in the field of

plasma spraying and of extractive metallurgy with transferred arc: modelling,

measurement, comparison between both, applications and developments, Pure and

Applied Chemistry, 57 (9), 1171, (1985)

[6] M.F. Lerrol, B. Pateyron, G. Delluc, P. Fauchais. Etude dimensionnelle de l'arc lectrique

transfr utilis en racteur plasma. Rev. Int. Hautes Temp. et Rfract., 24, p 93-104,

(1988)

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"ADEP-Junior" Fiche logiciel L'actualit chimique N 3 Mai-juin 1993, Anonyme

"ADEP - Thermodynamic and transport properties Data Base" Codata Newsletter

November 1993

[8] B. Pateyron, G. Delluc, M.F. Elchinger, P. Fauchais Study of the behaviour of the heat

conductivity and other transport properties of a simple reacting system: H2-Ar and H2-

Ar-air. Dilution effect in spraying process at atmospheric pressure Journal of High

Temperature Chemical Processes, Colloque, supplment au n3, 1, p 325-332, (1992)

[9] B. Pateyron, G. Delluc, M.F. Elchinger, P. Fauchais Thermodynamic and transport

properties of Ar-H2 and Ar-H2-Air plasma gases used for spraying at atmospheric

pressure Plasma Chemistry Plasma Processing, Colloque, supplment au n3, 1, p 325-

332, (1992)

[10] B. Pateyron, M.F. Elchinger, G. Delluc, P. Fauchais Sound velocity in different reacting

thermal plasma coatings Plasma Chemistry Plasma Processing 16 (1), p 39-57, (1996)

[11] W.L.T. Chen, J. Oberlein, E. Pfender, B. Pateyron, G. Delluc, M.F. Elchinger, P.

Fauchais Thermodynamic and transport properties of argon/helium plasmas at


32/190

Introduction gnrale

6

atmospheric pressure Plasma chemistry and plasma processing, 15 (3), p 559-579,

(1995)

[12] J. M. Leger, P. Fauchais, M. Grimaud, M. Vardelle, A. Vardelle, B. Pateyron. A new

ternary mixture to improve the properties of plasma sprayed ceramic coatings. ITSC 92,

June 1-5 Orlando, USA, (1992)

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[14] G.Delluc, H. Ageorges, , B. Pateyron, , P. Fauchais, Fast modeling of plasma jet and

particle behaviours in spray conditions, High Temperature Material Processes 9 (2), p

211-226, (2005)

[15] S. Dyshlovenko, L. Pawlowski, , B. Pateyron, , I. Smurov, J.H. Harding, Modleling ofplasma particle interactions and coating growth for plasma spraying of hydroxyapatite,

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[17] Brian S. Mitchell, An Introduction To Materials Engineering And Science For Chemical

And Materials Engineers, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2004.

[18] J.-M. Dorvaux, O. Lavigne, M. Poulain, Y. Renollet, C. Rio, Calcul de la conductivitthermique partir dimages de couches poreuses. Journe scientifique Barrires

thermiques (ONERA 2001).

[19] Huai X., Wang W. & Li Z, Analysis of the effective thermal conductivity of fractal

porous media. Appl. Th. Eng. 27 2815-2821 (2007).

[20] Wang J., Carson J., North M., & Cleland D., A new approach to modelling the effective

thermal conductivity of heterogeneous materials, Int. J. Heat and Mass Trans. 49 3075-

3085 (2006).[21] Floury J., Carson J. & Tuan-Pham Q., Modelling thermal conductivity in heterogeneous

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[22] Naitali B., Elaboration, caractrisation et modlisation de matriaux poreux. Influence de

la structure poreuse sur la conductivit thermique effective, Thse soutenue Limoges-

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[23] A. Koponen, M. Kataja and J. Timonen, Permeability and effective porosity of porous

media, Phys. Rev. E vol 56 (1997) 3319- 3325.


33/190

Introduction gnrale

7

[24] Yusong Li, Eugene J. LeBoeuf, P.K. Basu, Sankaran Mahadevan, Stochastic modeling of

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(2005) 835-844.

[25] M. Singh, K. K. Mohanty, Permeability of spatially correlated porous media, Chem. Eng.

Sci. 55 (2000) 5393-5403.

[26] A. Maximenko, V. V. Kadet, Determination of relative permeabilities using the network

models of porous media, J. Petroleum Sci. Eng. 28 (2000) 145-152.

[27] B. Wunsch and N. Chawla, Serial Sectioning for 3D Visualization and Modeling of SiC

Particle Reinforced Aluminum Composites, Paper Contest Winner 2003 Undergraduate

Division, Arizona State University.

[28] Y. Keehm, T. Mukerji and A. Nur, Permeability prediction from thin sections: 3Dreconstruction and lattice-Boltzmann flow simulation.

[29] I. Tiseanu, T. Craciunescu, B. N. Mandache, Non-destructive analysis of miniaturized

fusion materials samples and irradiation capsules by X-ray micro-tomography, fus. Eng.

And Des. (2005).

[30] A. Sakellariou, T.J. Sawkins, T.J. Senden, A. Limaye, X-ray tomography for mesoscale

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[31] C. L. Y. Yeong and S. Torquato, Reconstructing random media, Phys. Rev. E Vol. 57(1998) 495-506.

[32] C. L. Y. Yeong and S. Torquato, Reconstructing random media II. Three-dimensional

media from two-dimensional cuts, Phys. Rev. E Vol. 58 (1998) 224-233.

[33] S. Torquato, Random Heterogeneous Materials : Microstructure and Microscopic

Properties (Springer-Verlag, New York, 2002).

[34] Logiciel ABAQUS http://www.simulia.com/products/abaqus_fea.html.

[35] Logiciel FLUENT www.fluent.fr..[36] OOF : Finite Element Modeling for Materials Science. Tlchargeable librement partir

du site http://www.nist.gov/msel/ctcms/oof/.

[37 COMSOL Multiphysics 3.5.a Package: Earth Science Module. Model Library.

[38] Identification des modles et de paramtres pour la mthode de Boltzmann sur rseau.

Thse soutenue luniversit de Paris sud (2007).

[39] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford

Science Publications (2001).


34/190

Introduction gnrale

8

[40] M. C. Sukop et D. T. Thorne, Lattice Boltzmann Modeling. An Introduction for

Geoscientists and Engineers. Springer Publications (2006).

[41] S. Chen and G. Doolen, Lattice Boltzmann Method for Fluid Flow. Annu. Rev. Fluid

Mech. (1998) 30, 29-64.

[42] Li-Shi Luo, Lattice-Gas Automata and Lattice Boltzmann Equations for Two-

Dimensional Hydrodynamics. Phd thesis, Georgia Institute of Technology (1993).

[43] Raed Bourisli, Cellular Automata Methods in Fluid Flow: An Investigation of the Lattice

Gas Method and the Lattice Boltzmann Method. Final report, Belgique (2003).


35/190

Chapitre I : Microstructure dun matriau cramique poreux et son imagerie

9

I.Microstructure dun matriau cramique

poreux et son imagerie

I.1. Introduction

Lefficacit et le rendement de plusieurs applications techniques avances (la

filtration, les catalyseurs, les barrires thermiques,) sont fortement lis aux proprits de

transport et ces proprits physiques sont relies, leur tour, directement la microstructure

du matriau de base. Le comportement dun matriau est contrl par sa microstructure [1]. Il

est donc ncessaire de trouver un lien entre la microstructure et les proprits dun matriau

pour la comprhension et la prdiction de son comportement.

La permabilit ainsi que la conductivit thermique dun milieu poreux dpendent

fortement de la porosit et la distribution des pores dans la phase continue (ici la phase

solide). Par consquent, lobservation visuelle du milieu poreux est trs importante et prcde

linspection quantitative.

A ce jour, les diffrentes techniques dimagerie, notamment la microscopie

lectronique balayage (MEB) [2] et la microscopie optique (MO) [3], permettent dobtenir

des images numriques bidimensionnelles qui dcrivent la microstructure dun matriau. Ces

images sont stockes soit sous forme matricielles [4], o chaque image est discrtise et

reprsente par un tableau de points en deux dimensions et o chaque point rfre une phase

ou un constituant, soit sous forme vectorielle [5]. Le traitement et lanalyse des images

matricielles est dans ce chapitre lobjet de notre intrt.

La reprsentation bidimensionnelle de microstructures est commune et donne une

certaine ide de la morphologie de microstructure, puisquelle contient toute linformation sur

celle-ci, mais elle ne permet pas une apprhension immdiate de la structure tridimensionnelle

du matriau. Par consquent, une technique dexplicitation tridimensionnelle de la

microstructure doit donc tre utilise afin de la visualiser immdiatement et de donner

pleinement accs celle-ci.


36/190


10

Dans ce chapitre, nous abordons les matriaux htrognes et plus prcisment les

matriaux poreux et les techniques dimagerie de caractrisation, puis nous traiterons de

limagerie et des principes de traitement dimage.

I.2. Matriaux poreux

I.2.1. Dfinition

Un matriau htrogne est un matriau compos de domaines ou phases, soit de

diffrentes natures soit dun mme matriau en diffrents tats [6, 7]. Les matriaux

htrognes sont frquemment rencontrs dans la nature. Citons titre dexemples les

matriaux composites, les matriaux poreux et les sables, les roches, les grs (en anglaissandstones), les matriaux granulaires, les gels, les mousses, et certains matriaux

cramiques. La Figure I1 prsente quelques exemples de la microstructure de quelques

matriaux poreux. Ces matriaux rvlent des proprits intressantes dues leur

microstructure complexe, cest pourquoi la modlisation de ces structures est difficile.

La microstructure de ces matriaux peut tre caractrise statistiquement, comme le

montre le chapitre suivant, au moyen de fonctions de corrlations n-points [8] et par des

mesures exprimentales directes.

I.2.2. Porosit

La porosit, et plus gnralement la fraction volumique dune phase, peut tre dfinie

comme le rapport entre le volume non occup par la matire et le volume total, voir Figure I

2. Cette dfinition se traduit par la relation :

T

S

T

p

V

V

V

V== 1 (Eq. I-1)

o est la porosit, PV le volume des pores, SV le volume occup par le solide et TV le

volume total du domaine dintrt.


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11

(a) composites mullite/alumine/et zircone (b) apatites

(c) mousse mtallique (d) dpt poreux et fissur

Figure I1 : Diffrents exemples des structures poreuses : (a) composites mullite/alumine/etzircone (rfrence [9]) ; (b) apatites ; (c) mousses mtalliques ; (d) dpt poreux par projection

plasma (rfrence [10]).

Figure I2 : Matriau poreux deux phases : phase solide (volume SV ) et phase de pores

(volume PV ).

Cette dfinition dcrit la porosit totale qui diffre de la porosit ouverte, cette

dernire est dfinie par les pores joints et connects lextrieur de lchantillon et qui

constituent un passage libre pour un fluide. Alors que la porosit bidimensionnelle reprsente


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12

le rapport entre laire des pores et laire totale dune coupe.

La mthode la plus usuelle lors de la quantification de la porosit consiste peser un

chantillon (en kilogramme) laide dune balance et mesurer son volume (en m 3). La

masse volumique relle se calcule alors partir de ces mesures. La porosit, alors, est le

rapport entre cette valeur rsultante et la valeur thorique de la masse volumique du matriau

solide :

= (Eq. I-2)

Le schage de lchantillon avant de le peser est recommand pour librer lhumidit

des pores, ainsi trouver une valeur plus nette de .

De faon gnrale, dans un milieu digitalis, comme dcrit par la suite, la porosit

dun milieu bi-phasique est calcule par le rapport du nombre des pixels (voxels) qui

correspondent la phase des pores divis par le nombre total des pixels (voxels) du milieu

concern.

I.3. Techniques dimagerieLes images des matriaux tudis sont en gnral obtenues laide dun microscope. Il

existe des multiples types de microscope en fonction de la source et la mthode de lobtention

de limage. Tableau I1 rsume ces types [11].

La microscopie lectronique balayage (MEB) (en anglais Scanning Electron

Microscopy ) est une technique de microscopie lectronique fonde sur le principe des

interactions lectrons-matire, capable de produire des images en haute rsolution de la

surface dun chantillon. Cette technique, considre comme un essai non destructif, consiste

explorer la surface de lchantillon [12], ce qui permet dobtenir des images qui reprsentent

la structure de la surface du matriau tudi. Ces images, en gnral bidimensionnelles, sont

interprtables de diffrentes manires selon les informations dsires.


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13

Tableau I1 : Diffrentes familles de microscopes.

Type Varits

Microscopes

optiques

Microscope optique champ large ; Microscope confocal

(ventuellement balayage laser) ; Microscope contraste de phase ;

Microscope de fluorescence par rflexion totale interne ;

Stromicroscope ; Microscope 3D dconvolution.

Microscopes

lectroniques

Microscope lectronique ; Microscope lectronique en transmission

(MET) ; Microscope lectronique balayage (MEB) ; Microscope

lectronique balayage par transmission (MEBT) ; Microscope

lectronique par rflexion.

Microscopes

sonde locale

Microscope force atomique ; Microscope optique en champ proche ;

Microscope effet tunnel.

Microscopes

ioniques

Spectromtrie de masse ionisation secondaire (SIMS) ; Sonde

atomique tomographique ; Sonde nuclaire (PIXE).

I.4. Imagerie et traitement dimages

I.4.1. Dfinition dune image numrique

Le terme dimage numrique recouvre toute image acquise (par scanner, appareil

photo,..), cre directement par des programmes informatiques, traite, stocke sous forme de

valeurs comprises entre 0 et 255.

Le traitement dimage est une opration qui dbute avec une image et finit avec une

autre ou bien une image corrige. Cette opration ne doit tre confondu avec lanalysedimage [13] qui dbute sur une image et en extrait des rsultats concis, rduisant les donnes

ncessaires pour stocker limage originale comme un tableau des pixels. Le traitement produit

habituellement une autre image aussi grande que loriginale mais dans laquelle les valeurs des

pixels (intensit ou couleur) ont chang.

Ici, le traitement des images est une tape indispensable avant danalyser les

diffrentes informations contenues dans les images. En fait ce traitement a deux objectifs :


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14

Amliorer la qualit de l'image et la rendre "lisible"

Prparer l'analyse : segmentation

Alors, l'analyse permet l'extraction d'informations de l'image. La Figure I3 montre lechemin suivi afin de raliser lanalyse dune image exploitable.

Figure I3 : Chemin suivi lors de lobtention dune image de structure exploitable.

La forme la plus simple pour dcrire une image exploitable est de dfinir un tableau de

L lignes et Ccolonnes. Alors, il est possible dcrire :

[ ] [ ] [ ]pMCLI ,01,01,0: (Eq. I-3)

o,Iest une image,pest le nombre de couches de limage etMest la valeur de couleur. Pour

une image binaire : (p, M) = (1, 1), une image en niveau de gris : (p, M) = (1, 255) et une

image en couleurs : (p,M) = (3, 255).

I.4.2. Types dimage

On distingue deux types principaux dimages dans lespace bidimensionnel [14] :

1. Les images matricielles : Elles sont composes comme leur nom lindique dune

matrice de points plusieurs dimensions, chaque dimension reprsentant une

dimension spatiale. Dans le cas des images deux dimensions (le plus courant), les

points sont appels pixels ; Figure I4. Chaque pixel, correspond en ralit une

dimension dtermine par la rsolution du moyen dacquisition de limage.


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15

132 132 140 140 132 132 115 107 107 99 99 107123 148 156 165 148 132 115 99 99 85 85 90

189 181 181 181 165 140 115 99 90 90 85 99206 206 198 198 173 156 132 115 99 99 107 99222 222 214 206 189 173 156 132 115 99 99 99231 231 214 206 189 181 173 148 132 123 115 115231 231 222 206 198 198 189 165 148 132 123 123

Figure I4 : Reprsentation dune image matricielle de 12x7pixels(de haut en bas et de gauche droite). La valeur de chaquepixelest comprise entre 0 et 255 (encodage niveau de gris).

2. Les images vectorielles: le principe est de reprsenter les donnes de limage par des

formules gomtriques qui peuvent tre dcrites dun point de vue mathmatique. Cela

signifie qu'au lieu de mmoriser une mosaque de points lmentaires, cest la

succession d'oprations conduisant au trac qui est stocke. L'avantage de ce type

d'image est, outre son faible encombrement, la possibilit de l'agrandir indfiniment

sans perdre la qualit initiale.

Dans cette thse, seules les images matricielles sont considres.

I.4.3. Formats dimageUn format dimage est une reprsentation informatique de limage, associe des

informations sur la faon dont limage est code et fournissant ventuellement des indications

sur la manire de la dcoder et de la manipuler [14].

Les images que nous tudions sont celles que lon obtient par microscopie

lectronique balayage. Ces images sont de format TIFF(Tagged Image File Format) [15],

et leur traitement est indispensable. Une image exploitable est une image binaire dans laquelle

on na que deux couleurs : la blanche et la noire. Cette image est, le plus souvent, au format

BMP(BitMap Picture).

Pour la dfinition de ces deux formats le lecteur peut se rfrer Annexe II.

I.4.4. Traitement dimage

Dans le domaine de traitement dimages numriques plusieurs logiciels ont t

dvelopps et rpondent parfaitement nos besoins. Notre besoin est celui dun code capable


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de rendre une image numrique de structure, poreuse dans notre cas dtude, obtenue par

microscope (lectronique ou optique), interprtable de faon quantitative et exploitable par un

code de calcul numrique.

Le traitement dimage vise :

Soit modifier limage pour la rendre claire et sans dfauts : dans ce cas sont

appliques les fonctions communes (filtrage, contours, contraste, clart,).

Soit dextraire des informations quelle contient : dans le cas dun matriau poreux

elle peut donner une ide de la taille des pores, la profondeur, leur rpartition, et si ils

sont connects ou pas. Dans ce cas les fonctions spcialises sont utilises.

Le lecteur se rfrera lAnnexe III consacre au traitement dimages et aux fonctions

appliques.

Le terme dimage binaire signifie que limage est dfinie par deux couleurs qui sont

souvent le noir et le blanc. Cette dfinition de limage permet son exploitation directe par un

code de calcul puisque les deux phases (solide et pores) sont distingues par une des deux

couleurs, Figure I5.

Figure I5 : (a) Image MEB de microstructure et (b) image binaire rsultante de lapplication dela segmentation. Les pores sont les pixels noirs.

La matrise du traitement dimage ncessite une connaissance supplmentaire des

diffrents termes de ce domaine. Pour notre intrt, trois tapes ncessaires sont:


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Transformer limage obtenue par la technique MEB en format BMP.

Appliquer la fonction seuil (en anglais threshold).

Stoker limage sortante dans un fichier sous forme dune matrice pourapplication ultrieure.

I.5. Conclusion du chapitre

Dans le cadre de ce chapitre sont prsentes des gnralits sur les matriaux

htrognes et plus particulirement les matriaux poreux. Ce type de matriaux trouve des

applications vitales dues ces proprits qui varient avec la porosit. Ainsi la porosit est

dfinie et la microscopie lectronique balayage (MEB) est prsente comme techniquedimagerie pour lobtention des images de la microstructure des ces matriaux. Limage

rsultante de MEB est traite de manire distinguer les diffrents constituants et phases du

matriau tudi. Ce traitement est indispensable pour rendre limage exploitable pour

linvestir ultrieurement lors dune procdure de reconstruction tridimensionnelle ou mme

lors dun calcul directe par simulation dune proprit physique.


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Bibliographie du chapitre I

[1] Brian S. Mitchell, An Introduction To Materials Engineering And Science For Chemical

And Materials Engineers, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2004.[2] http://fr.wikipedia.org/wiki/Microscopie_%C3%A9lectronique_%C3%A0_balayage.

[3] http://fr.wikipedia.org/wiki/Microscopie_optique.

[4] http://fr.wikipedia.org/wiki/Image_matricielle.

[5] http://fr.wikipedia.org/wiki/Image_vectorielle.

[6] Hans-Peter Degischer et Brigitte Kriszt, HandBook of cellular metals : Production,

Processing, Applications. Wiley-VCH 2002.

[7] M. N. Rahaman, Ceramic Processing and Sintering, second edition, Taylor & Francis

Group 2003.

[8] S. Torquato, Random Heterogeneous Materials : Microstructure and Microscopic

Properties (Springer-Verlag, New York, 2002).

[9] Ahmed ESHARGHAWI, laboration de matriaux poreux base de mullite par procd

SHS. Thse soutenue le 29 octobre 2009, SPCTS limoges.

[10] Laboratoire SPCTS www.unilim.fr/spcts/.

[11] http://fr.wikipedia.org/wiki/Microscope.

[12] La microscopie lectronique balayage, Alain Duval et Anne Bouquillon

www.culture.gouv.fr/culture.

[13] John C. Russ, Robert T. Dehoff, Practical Stereology 2nd edition. Plenum Press, New

York, NY ISBN 0-306-46476-4.

[14] http://fr.wikipedia.org/wiki/Image_num%C3%A9rique.

[15] http://www.adobe.com/Support/TechNotes.html. TIFF Revision6. Adobe Systems

Incorporated, june 1992.


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Chapitre II : Reconstruction stochastique par algorithme du recuit simul (RS)

19

II. Reconstruction stochastique par algorithme

du recuit simul (RS)

II.1. Reconstruction tridimensionnelle

II.1.1. Introduction la reconstruction tridimensionnelleLide de la reconstruction tridimensionnelle est rcente et provient dun besoin

justifi par la croissance du march des matriaux et est soutenue par lavancement et le

dveloppement rapide des techniques dimagerie et de linformatique. Ce mode de

prsentation dun matriau ou dun objet en 3D permet aux chercheurs de travailler

numriquement sur diffrents aspects de traitement dimages pour obtenir une image nette et

relle qui concerne leur domaine dintrt.

Lvaluation de la vraisemblance de la reconstruction revt une grande importance

dans le domaine de gnie ptrolier et de la biologie ainsi que du gnie des matriaux [1]. Une

procdure de reconstruction effective permet dobtenir des chantillons reprsentatifs dont on

peut analyser les structures et valuer les proprits macroscopiques du matriau tudi. Cest

un moyen non-destructif destimation de ces proprits.

Quelle que soit la technique utilise, quatre tapes sont ncessaires la reconstruction,

ce sont :

1. Lobtention dune image de structure ; cette image est bidimensionnelle.

2. Le traitement et lanalyse de cette image.

3. Le choix dune mthode ou technique de reconstruction.

4. La vrification de lefficacit de la mthode de reconstruction par ltude qualitative


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de la structure tridimensionnelle obtenue par ltape prcdente.

Diffrentes techniques sont utilises pour passer dune image bidimensionnelle une

image tridimensionnelle. Citons par exemple la technique tomographie [2, 3], la

reconstruction partir des coupes en sries successives [4, 5, 6, 7, 8, 9] o partir des

modles fonds sur des gomtries connues [10, 11, 12, 13], et enfin les mthodes de

reconstruction stochastique [14], mot cl dans cette thse, qui sont prsentes de faon

dtaille dans ce chapitre. Signalons ici quil existe dautres mthodes de reconstruction, ainsi

la reconstruction par transformation en ondelettes et la reconstruction partir de spectre de

Fourrier. Cependant ces deux mthodes ne permettent pas de remonter une structure 3D

avec une morphologie impose [15].

II.1.2. Technique de la tomographie

La tomographie est une technique trs utilise en imagerie mdicale, en gophysique

et en astrophysique. Cette technique permet de reconstruire le volume d'un objet partir d'une

srie de mesures effectues par tranches successives depuis l'extrieur de cet objet [16]. Dans

une version haute rsolution, elle est de plus en plus utilise en sciences des matriaux.

Les principales techniques tomographiques sont :

l'imagerie par rsonance magntique nuclaire (IRM).

la tomographie axiale calcule aux rayons X (scanner ou CT).

la tomographie en cohrence optique (OCT).

la tomographie mission de positon (TEP).

la tomographie mission mono-photonique (SPECT, pour single photon

emission computed tomography )

le microscope effet de champ est parfois appel sonde tomographique atomique.

la tomographie lectronique permet d'obtenir une reprsentation tridimensionnelle

d'un objet avec une rsolution de quelques nanomtres l'aide d'un microscope

lectronique en transmission spcialement quip.


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21

la tomographie sismique, qui permet d'imager des structures gologiques grce

partir de la propagation des ondes sismiques.

l'imagerie Zeeman-Doppler, utilise en astrophysique pour cartographier le champ

magntique de surface des toiles.

La tomographie et l'imagerie 3D appliques la paloanthropologie, permettent

d'tudier les structures internes des hominids fossiles et de compenser les

altrations subis au cours de la fossilisation.

La tomographie, rayons X ou neutrons, est un essai non destructif pour lanalyse de

structure 3D totalement cache. La Figure II1 prsente un exemple dun tel appareillage

[3]. Grce sa capacit de pntration, cette technique peut fournir des informations sur la

variation de masse spcifique, la microfissuration et mme la permabilit de matriaux

poreux [2].

Figure II1 : Photo de lappareil de tomographie rayon-X. (rfrence [3]).

Cette mthode ncessite de produire dans un premier temps les donnes, constituant le

"tomogramme", et reprsentant la structure en 3D ainsi que la variation de la composition de

lchantillon. Chaque point dans ce tomogramme se nomme voxel. Un faisceau de rayons-

X traverse lchantillon et une camera enregistre les radiographes . Des sries de

radiographes sont collectes aux angles diffrents, de lchantillon en rotation, pour

produire le tomogramme . Les radiographes sont traites par un algorithme de

reconstruction pour produire le tomogramme . Un exemple de la structure rsultante est


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donn en Figure II2.

Figure II2 : Image tridimensionnelle de mousse daluminium, rsultante de limagerietomographie prsente en Figure II-1. Taille de lchantillon 500 m .( rfrence [3]).

La possibilit dobtenir directement une image 3D de haute rsolution est limite par

le cot trs lev justifi par lutilisation dinstallations techniques complexes et par le

traitement de rsultats issus des mesures. Le SPCTS ne dispose pas de telles installations.

II.1.3. Reconstruction laide de sries de coupes successivesCette voie permet la quantification de microstructures 3D laide des techniques

classiques de la mtallographie couples avec la reconstruction aide par lordinateur pour la

visualisation [4].

Le schma gnral de cette technique se rsume en quatre tapes rptitives :

1. Marquer lchantillon par indentation, Vickersde prfrence (voir Figure II3 pour la

gomtrie), de faon ce que la tache soit apparente lors de passage la technique

dimagerie (par exemple, MEB), Figure II4, plusieurs indentations sont ncessaires

pour dfinir une rgion exploitable.

2. polir lchantillon.

3. Lobtention de limage : cette image est traite, segmente pour obtenir une image

binaire et stocke avec un nombre rfrent pour la reconstruction ultrieure.


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4. Mesurer lpaisseur enleve lors de ltape 2 et recommencer le polissage.

221)2/tan(2

)/D(DDD

h +==

Figure II3 : Gomtrie de la tache de lindenter Vickers. (rfrence [4].)

(a) (b)

(c)

Figure II4 : Prsentation schmatique de la reconstruction de composite Al-SiC partir decoupes successives en sries. (a) Indentation, (b) micrographe de lindentation de Vickerset (c)

progrs de lacquisition-polissage. (rfrence [4].)


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Lanalyse et le traitement dimage sont appliqus aux images successivement acquises

notamment la segmentation. Puis, laide dun logiciel spcialis un domaine 3D est

reconstruit.

Cette mthode de reconstruction ncessite des quipements lourds de laboratoire et

elle nest pas trs aise car elle impose une excution soigne du polissage, de lacquisition

dimages MEB et du traitement des sries dimages obtenues.

II.1.4. Modles de gomtries reprsentatives : les sphres

empiles

La plupart du temps, et pour un milieu granulaire avec des particules trs petites de

lordre de quelques micromtres. Ces granules ou particules sont reprsentes comme de

petites sphres. En fonction de la distribution de taille de ces sphres il sagit dune

distribution monomodale, bimodale et multimodale ainsi quun modle avec une distribution

spcifique de taille des particules.

II.1.4.1. Modle de particules monomodales

Dans ce modle, toutes les particules sont de mme taille. Du point de vue cristallinit

[10], il est possible dimaginer les particules distribues, selon un systme cubique, selon lessommets de ce cube (modle primitif), ou bien les sommets et le centre du cube (modle

cen

arab mohamed raed

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