mr lamloum mohamed

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

I. Définition :

3x + 2y = 31

7x – 4y = 3

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, cela revient à trouver deux valeurs qui vérifient les deux équations simultanément.

1ère équation

2ème équation

1ère inconnue

2ème inconnue

Un système

( S )

nom du système (facultatif )

Cette accolade signifie « et ».

Elle indique que les équations doivent être vérifiées simultanément


Cherchons la solution de ce système.

1er cas, si x = 7 et y = 5 alors

• dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 7 + 2 x 5 = 31

• dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 7 – 4 x 5 = 29

Conclusion : Si x = 7 et y = 5 alors les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément. On dit que ( 7 ; 5 ) n’est pas une solution de ce système.

3x + 2y = 31

7x – 4y = 3( S )


3x + 2y = 31

7x – 4y = 3( S )

2ème cas, si x = 5 et y = 8 alors

• dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 5 + 2 x 8 = 31

• dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 5 – 4 x 8 = 3

Conclusion : Si x = 5 et y = 8 alors les deux équations sont vérifiées simultanément. On dit que ( 5 ; 8 ) est une solution de ce système.

On note S = { ( 5 ; 8 ) }


II.Deux méthodes pour résoudre un système :

1. La méthode par substitution :

Substituer c’est remplacer.

Le but est d’isoler une inconnue dans une des deux équations et de la remplacer dans l’autre pour obtenir une équation avec une seule inconnue.


8x + y = 86

3x – 7y = 47( S )

Exemple :

3x – 7y = 47

y = 86 – 8x

y = 86 – 8x

3x – 602 + 56x = 47

On isole y

y = 86 – 8x

3x – 7( 86 – 8x ) = 47?

On remplace ypar 86 – 8x

On résout l’équation.


y = 86 – 8x

3x – 602 + 56x = 47

y = 86 – 8x

59x = 47 + 602

y = 86 – 8x

59x = 649

y = 86 – 8x

x = 64959


y = 86 – 8x

x = 64959

y = 86 – 8x

x = 11

Maintenant je remplace x par 11 dans la 1ère équation.

y = 86 – 8 x 11

x = 11

y = – 2

x = 11Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Ainsi x = 11 et y = – 2.

La solution de ce système est le couple ( 11 ; – 2 )

S = { ( 11 ; – 2 ) }

Vérifions :8x + y = 86

3x – 7y = 47( S )

8 x 11+ ( – 2 ) = 86

3 x 11 – 7 x ( – 2 ) = 47


2. La méthode par combinaisons linéaires :

Résoudre un système par combinaisons linéaires, c’est additionner ou soustraire des multiples des deux équations afin de faire disparaître une des deux inconnues.


2x + 9y = 25

3x – 7y = – 24 ( D )

Exemple :

( 1 )

( 2 )

– 6x + 14y = 48

( 1 )

( 2 )+

0 + 41y = 123

Ainsiy =

123

41 y = 3y = 3

x 3

x ( – 2 )

6x + 27y = 75


Maintenant je remplace y par 3 dans l’équation ( 1 ) :

2x + 9y = 25

y = 3

( 1 )

2x + 9 x 3 = 25

2x + 27 = 25

2x = 25 – 27

2x = – 2

x = – 2

2 x = – 1 x = – 1


Ainsi x = – 1 et y = 3

La solution de ce système est le couple ( – 1 ; 3 )

S = { ( − 1 ; 3 ) }


3. Un système particulier :

y = 15 – 2x

y = x + 4 ( E )

( 1 )

( 2 )

Ici on résout : 15 – 2x = x + 4

On obtient x =11

3

Puis on remplace x par dans une équation.

11

3

On obtient y =23

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III. Résoudre un problème avec un système :

Quand un problème comporte plusieurs inconnues il est parfois possible de le résoudre avec un système. Pour le traiter il faut respecter 4 étapes

( comme pour une équation )


550 personnes ont assisté à un spectacle.Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes.Les enfants paient demi-tarif.

Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

Exercice :

J’appelle x le nombre d’adultes et y le nombre d’enfants qui ont assisté au spectacle.

1ère étape : On choisit les inconnues


2ème étape : On mettre le problème en deux équations

550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550

L’ensemble des x adultes a payé 16x 16x + 8y = 6960

Les enfants paient demi-tarif : donc 8 DT par enfant,

L’ensemble des y enfants a payé 8y ??


550 personnes ont assisté à un spectacle.Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes.Les enfants paient demi-tarif.

Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

Exercice :

2ème étape : je trouve les deux équations qui correspondent au problème

x + y =550

16x + 8y = 6960

Donc

( S )


3ème étape : On résoudre le système

x + y = 550

16x + 8y = 6960

( 1 )

( 2 )

−16x − 16y = − 880016x + 8y = 6960

( 1 ) x ( – 16 )

( 2 )

0 – 8y = – 1840 donc y = = 230 – 1840

– 8


Maintenant je remplace y par 230 dans l’équation ( 1 ) :

x + y = 550

x + 230 = 550

x = 550 – 230

x = 320


4ème étape : Conclusion

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

On vérifie le résultat obtenu


finMr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

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