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Analyse de la variance :

ANOVA un facteur

Sir Ronald Fischer 1890-1962

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Thmes

Le modle linaire gnral

Les postulats de base

La logique de lanalyse de la variance

Exemples

Les tests post-hocs

La taille deffet

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Le modle gnral linaire

Xij = + Ej + eij Xij - la valeur observe pour le

sujet i du groupe j

- la grande moyenne

Ej - linfluence du traitementsur le groupe j (Ej = j - )

eij - lerreur ou les rsidus -selon les postulats - sontdistribus de manire normaleavec une moyenne de = 0 etun cart-type de W.

Exemple: la taille moyenne

des hommes est 68 et lataille moyenne des femmesest 65

La taille dun homme sera

donc:66.5 + 1.5 + eet la taille dune femme:66.5 - 1.5 + e

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Rpartition des variances

xij = + Ej + eij avec

:

Ej :

eij :

Donc:

X

Xj X

xij Xj

xij !X Xj X xij Xj

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Les sommes des carrs

xij X 2

! Xj X 2

xij Xj 2

x ij X 2

! Xj X 2

x ij Xj 2

x ij X 2

! nj Xj X

2

xij Xj

2

SCtotal ! SCeffect SCerreur

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Les postulats de base

1. Le modle gnral sapplique aux donnes

2. Les valeurs sont distribues normalement

dans la population3. Les chantillons ont des variances

homognes

4. Les chantillons sont indpendants

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La logique de lANOVA

chantillon Population Moyenne Variance

a A A WI2b B B WI2

c C C WI2

d D D WI2

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La logique de lANOVA (suite)

Les variances des diffrents chantillons

sont donc gales et elles sont gales la

variance de la population Wp.

W1 = W2 = ... = Wij = Wp avec

W1 = s1 =

Nous pouvons donc estimer la variance de lapopulation partir de la moyenne des variances

des chantillons ou bien:

xij X 2

N J

xi1 X1

2n1 1

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Selon le thorme des limites centrales: ladistribution dchantillonnage a une moyenne

de et une variance de W2

/nsi lhypothse nulle est vraie il suit donc que:

pour lestim de Wp 2 il faut multiplier par n

E sx2 ! E

Xj X 2

J 1

! Wx2

!W p

2

n

nj Xj X 2

J

1

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Exemple

Afin de tester lhypothse que la consommation de cafinefacilite lapprentissage trois groupes dtudiants se

prparent un examen: le groupe 1 boit une tasse, le

groupe 2 boit 2 tasses et le groupe 3 boit 3 tasses de caf.Voici leurs scores lexamen:

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3

50 48 57

42 47 59

53 65 48

45 59 46

55 51 45

m = 49 m = 56 m = 51

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Exemple suite

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

Groupe

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Sommes des carrs moyens

x ij Xj 2

N J!

50 49 2 42 49 2 ... 46 51 2 45 51 2

15 3

xij

Xj

2

N J!

1 49 ... 25 3612

!46812

! 39

Intra-groupe:

Inter-groupe:

n Xj X J 1

!5 49 52 2 5 56 52 2 5 51 52 2

3 1!

5 9 16 1

2! 65

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Calcul de F F! SCMint erSCM

int ra

!65

39! 1.667

Valeur critique pour 2,12 df et E = .05 -> 3.89

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Exemple 2

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3

47 55 54

53 54 50

49 58 51

50 61 51

46 52 49

m = 49 m = 56 m = 51

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Suite

30

35

40

45

50

55

60

65

0 1 2 3 4

Groupe

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Sommes des carrs moyens

Intra-groupe:

Inter-groupe:

n Xj X J 1

!5 49 52 2 5 56 52 2 5 51 52 2

3 1!

5 9 16 1

2! 65

x ij Xj 2

N J!

47 49 2 53 49 2 ... 51 51 2 49 51 2

15 3

x ij Xj 2

N J!

4 16 ... 0 412

!9412

! 7.83

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Calcul de F F!SCMint er

SCMint ra

!

65

7.83! 8.3

Valeur critique pour 2,12 df et E = .05 -> 3.89

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Tableau ANOVA

Source SC df SCM F p

Intergroup 130 2 65 8.3 .005Intragroup 94 12 7.84

Total 224 14

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Rsum

La variance intra-groupe (la somme moyenne des carts carrs entrechaque observation et la moyenne du groupe) est un estim de lavariance de la population.

Quand lhypothse nulle est vraie - et seulement dans ce cas - la

variance inter-groupe (la somme moyenne des carts carrs entrechaque moyenne de groupe et la grande moyenne) est, selon lethorme des limites centrales, aussi un estim de la variance de lapopulation

Quand il y a un effet de traitement, donc quand lhypothse nulle estfausse, la variance inter-groupe est plus large que la variance intra-

groupe Lanalyse de la variance consiste calculer le rapport entre la variance

inter-groupe et la variance intra-groupe et de comparer le rsultat avecune distribution dchantillonnage connue: la distribution F.

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Les tests post-hocs

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Erreurs Erreur (ou E) par comparaison - le niveau E choisi

pour une seule comparaison de moyennes Erreur par famille - le nombre moyen des erreurs

faites par famille de comparaisons

E e 1- (1-E)c e CE

Exemple: E = .01 et C = 5

E = .049 ou approx. .05

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Contraste

Dfinition: Une comparaison de J moyennes

telle que la diffrence entre deux des Jmoyennes ou la diffrence entre une moyenneet la moyenne de deux autres moyennes

=!c1Q1c2Q2cjQj!7cjQj

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Excursion - Orthogonalit Une comparaison est orthogonale si:

7 (c1jc2j)/nj= 0

Exemple:

jth moyenne

1 2 3 4

C 1: 1 -1 0 0

C2: 1 0 -1 0

C3: 0 0 1 -1 1 vs 2: 7 c1jc2j =(1)(1) + (-1)(0) + (0)(-1) + (0)(0) = 1

1 vs 3: 7 c1jc2j =(1)(0) + (-1)(0) + (0)(1) + (0)(-1) = 0

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T

ukeys-HSD(John Tukey, 1915-2000)

HSD ! q k,df,E SCMintra

n

HSD ! 3.77 7.835

! 4.72

1

49

3

51

2

56

1: 49 - 2 73: 51 - 5

2: 56 -

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La taille deffet

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Taille de leffet

La corrlation entre la VI et la VD (r)

Le pourcentage de la variance de la VD

expliqu par la VI (r2) La diffrence entre deux moyennes en

units dcart-type (d)

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T

aille deffet: eta

2

et omega

2

Treatment Ou tcome

Alive D ead

Treatm

ent

66 34 100

Control 34 66 100

100 100

L2

!Fy dfeffet

Fy dfeffet dferreur!SCeffet

SCtotal

f!L2

1 L2

[2

!SStreat k 1 MSerreur

SStotal MSerreur

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Les tailles

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Puissance

La probabilit de trouver un effet de taille xdans un chantillon de taille N en utilisantun test statistique avec un E donn.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Value of F

Fcrit

= 2.58

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Les erreurs

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Taille deffet et beta

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Variance et beta

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Calcul depuissance

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Calcul de puissance

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