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Analyse de signaux multicomposantesContributions à la Décomposition Modale Empirique,
aux représentations temps-fréquence et au Synchrosqueezing
Thomas Oberlin
Directrice de thèse : Valérie PerrierCo-directeur : Sylvain Meignen
Thèse de DoctoratUniversité de Grenoble – Laboratoire Jean Kuntzmann
4 Novembre 2013
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 1 / 50
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Introduction
Modes AM–FM : ondes modulées en amplitude et en fréquence
AM
FM
x
y
Signaux multicomposantes : superpositions de modes AM–FM
1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−3
−2
−1
0
1
2
Année
Écartàla
moyenne(˚C)
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Cadre mathématique
Un mode AM–FM est une fonction
h(t) = A(t) cos(2πφ(t)),
A et φ′ étant des fonctions à variations lentes devant φ′. Pour de tels signaux, A et φ′sont appelées amplitude et fréquence instantanées.
Un signal multicomposantes est une superposition de modes :
s(t) =K∑
k=1
sk (t) =K∑
k=1
Ak (t) cos(2πφ(t))
Deux problèmes distincts pour ces types de signauxLa séparation des modes : reconstruire les sk à partir de sLa démodulation : retrouver Ak et φ′k à partir de sk
Problèmes mal posés dans le cas général.
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Plan
1 Introduction
2 Décomposition Modale Empirique
3 Ridges temps-fréquence et temps-échelle
4 Synchrosqueezing et réallocation
5 Synchrosqueezing monogène
6 Conclusion
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Plan
1 Introduction
2 Décomposition Modale EmpiriqueMotivation, définitionsProblèmes théoriques et pratiquesContributions
3 Ridges temps-fréquence et temps-échelle
4 Synchrosqueezing et réallocation
5 Synchrosqueezing monogène
6 Conclusion
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Décomposition Modale Empirique (EMD)
Contexte : une méthode de séparation des modesI Formalisation de la méthode : [Huang et al., 1998], [Flandrin et Rilling]I Basée sur la notion de symétrie des enveloppesI EMD + analyse des fréquences instantanées : “Hilbert-Huang transform” (HHT)
PrincipeI s = h1 + m1, avec h1 : mode AM–FM contenant la partie haute-fréquence, et m1 :
variations lentes.I Décomposition récursive de m1 s =
∑i hi + r , où hi : de moins en moins oscillants, et
r : résidu monotone.
Définition (Moyenne locale)
La moyenne locale M[s] d’un signal s est la demi-somme de ses enveloppes inférieures etsupérieures, obtenues par interpolation spline cubique des maxima et minima locaux.
Définition (Sifting Process / Tamisage)
Le Sifting Process consiste à retrancher la moyenne locale itérativement jusqu’à obtenir une IMF,fonction oscillante de moyenne locale (quasi) nulle : SP = (I −M)N .
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
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Définition – Illustration
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 7 / 50
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Définition – Illustration
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Améliorations de l’EMD
Principales faiblessesAspects pratiques
I Résolution fréquentielleI Mélange de modeI Sensibilité aux conditions initiales
Aspects théoriquesI Pas de convergence du Sifting ProcessI Pas de convergence de la décomposition en un nombre fini de modes
Nos contributionsUne nouvelle initialisation pour le SP : EMD-NI
I permet une convergence plus rapide du SPI améliore la séparation fréquentielleI limite le mélange de modes
EMDOS : remplacer le SP par une étape d’optimisation sous contraintesI La fonctionnelle quadratique impose une moyenne locale la plus régulière possibleI Les contraintes linéaires imposent des conditions de symétrie approchée des enveloppes
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EMD-NI [Oberlin et al., 2012a] : une meilleure initialisation du SP
Une meilleure estimation x̂i des extremadu mode haute-fréquence
I utilisant les dérivées paires du signal(passe-haut)
I procédure automatique pourdéterminer l’ordre de dérivation
I approche inspirée par[Rilling and Flandrin, 2008]
a
f
10−2
10−1 1 10
110
2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
af=1
af3=1
af4=1
s
s
s(2)
s(4)
Une moyenne locale intégrale, spline dedegré k interpolant les points (t̄i , s̄i ) :
s̄i =1
x̂i+1 − x̂i
∫ x̂i+1x̂i
s(t) dt
t̄i =
∫ x̂i+1x̂i
t|s(t)− s̄i |2 dt∫ x̂i+1x̂i|s(t)− s̄i |2 dt
.0 2 4 6 8 10
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
Nombre d’itérations de SP
Err
eu
r q
ua
dra
tiq
ue
(lo
g)
EMD
EMD−NI
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EMDOS : une alternative au SP par optimisation sous contraintes
Calcul de la moyenne locale mUtilisation l’EMD-NI pour calculerune approximation m̂ dans ΠkτRecherche de m dans C(m̂), unensemble convexe non vide de Πkτ ,en résolvant le problèmequadratique sous contraintes :
1 1.5 2 2.5 3−1
−0.5
0
0.5
1
t
h(t
)
h(x1)
h(x2)
λ2
λ3
h(x4)
h(x3)
m =
argminm̃∈C(m̂)∥∥m̃(2)∥∥2
C(m̂) ={m̃ ∈ Πkτ , ∀i ∈ 1 . . . L, |λ̂i (m̃)+(s−m̃)(x̂i )||λ̂i (m̂)−(s−m̂)(x̂i )| ≤ α
}.
(1)
Théorème
Pour α ≥ 0, le problème (1) a une unique solution.
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Résultats numériques
0.05 0.1 0.15 0.2−3
−2.8
−2.6
−2.4
−2.2
−2
−1.8
−1.6
α
C1(α
)
EMD
OS k=6
OS k=8
OS k=10
Erreur en fonction de α0.05 0.1 0.15 0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
α
vr(
α)
EMD
OS k=6
OS k=8
OS k=10
Taux de variation
0 1 2 3 4 5 6 7 8−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Iteration n
C1(n
)
EMD EMD−NI EMD−MP EMDOS
Comparaison quantitative
BilanInfluence de l’initialisation du SPNouvelle méthode sans processus itératifBons résultats numériques : résolution fréquentielle, précision, sensibilitéQuelques limitations : gestion du bruit, nombre de modes
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Plan
1 Introduction
2 Décomposition Modale Empirique
3 Ridges temps-fréquence et temps-échelleDéfinitionsÉtat de l’artReconstruction par intégration localePrise en compte de la modulation fréquentielleApplication au débruitage
4 Synchrosqueezing et réallocation
5 Synchrosqueezing monogène
6 Conclusion
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Représentations temps-fréquence et temps-échelle linéaires
Transformée de Fourier de f ∈ L1(R) :
f̂ (ν) =∫Rf (t)e−2iπνt dt. (2)
Définition (TFCT et spectrogramme)
Soit g ∈ L2(R) une fonction fenêtre (réelle et paire). La transformée de Fourier à courtterme (TFCT) de f ∈ L2(R) est
Vf (η, t) = 〈f , gη,t〉 =∫Rf (τ)g(τ − t)e−2iπη(τ−t) dτ. (3)
Définition (TOC et scalogramme)
Soit f ∈ L2(R) et ψ ∈ L2(R) une ondelette réelle admissible(0 < Cψ =
∫∞0 |ψ̂(ξ)|
2 dξξ
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Propriétés
La TFCT et la TOC :sont linéaires, inversibles dans L2(R), redondantesanalysent indifféremment un signal réel ou son signal analytique (sous certainesconditions)sont soumises au principe d’incertitude de Heisenberg-Gabor.
Exemple pour la TFCT :
time (s)
frequency (
Hz)
0 0.5 10
200
400
600
800
1000
petite fenêtretime (s)
frequency (
Hz)
0 0.5 10
200
400
600
800
1000
moyenne fenêtretime (s)
frequency (
Hz)
0 0.5 10
200
400
600
800
1000
grande fenêtre
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Illustration
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t
Signal
0 100 200 300 400 5000
1
2
3
4
5
6
7
8
ν
Transformée de Fourier
t
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
TFCTt
1/a
(lo
g)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
64
181.019
512
TOC
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Approximation au premier ordre
Que devient un mode h(t) = A(t)e2iπφ(t) dans le plan TF ou TE ?Première approximation de h au voisinage du temps t :
h(τ) ≈ h̃t(τ) = A(t)e2iπ[φ(t)+φ′(t)(τ−t)].
Approximation de la TFCT et de la TOC à l’ordre 1
Vh(η, t) ≈ Vh̃t (η, t) = h(t)ĝ(η − φ′(t))
Wh(a, t) ≈Wh̃t (a, t) = h(t)ψ̂(aφ′(t))∗.
t
η
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65150
200
250
300
(t,η)
η−φ’(t)
Reconstruction sur le ridge (RR1)
h(t) ≈ 1ĝ(0)Vh(φ′(t), t)
h(t) ≈ 1ψ̂(1)∗
Wh(1
φ′(t) , t)
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Approximation de phase stationnaire [Delprat et al., 1992]
Proposition (TFCT)Soit (η, t) fixé. On suppose qu’il existe ununique point critique τc = τc (η, t) tel queφ′(τc ) = η, et φ′′(τc ) 6= 0. Alors
Vh(η, t) ≈eiπ4 signeφ
′′(τc )e−2iπη(τc−t)√|φ′′(τc )|
g(τc − t)h(τc ).
(5) t
η
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7150
200
250
300
350
(t,η) τc − t
Proposition (TOC)
Soit (a, b) fixé, et ψ = |ψ|e2iπφψ . On suppose qu’il existe un unique point critique τc telque φ′(τc ) = 1aφ
′ψ
(τc−b
a
), et φ′′(τc ) 6= 1a2 φ
′′ψ
(τc−b
a
). Alors,
Wh(a, b) ≈e iπ4 signe
[φ′′(τc )− 1a2 φ
′′ψ
(τc−b
a
)]a√|φ′′(τc )− 1a2 φ
′′ψ
(τc−b
a
)|ψ(τc − b
a
)∗h(τc ). (6)
Reconstruction sur le ridge au deuxième ordre (RR2).
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Nouvelle reconstruction par intégration locale
Hypothèses : supp ĝ ⊂ [−∆g ,∆g ] et supp ψ̂ ⊂ [1−∆ψ, 1 + ∆ψ].
Principe [Meignen et al., 2012]Pour des modes AM–FM, utilisation d’une formule de reconstruction tronquée :
sk (t) ≈1
g(0)
∫ φ′k (t)+∆gφ′k (t)−∆g
Vs(η, t) dη sk (t) ≈1C ′ψ
∫ 1+∆ψφ′k (t)
1−∆ψφ′k (t)
Ws(a, t)daa .
Condition de séparation fréquentielleTFCT : pour tout k ∈ {1, · · · ,K − 1} :
φ′k+1 − φ′k > 2∆g .
TOC : pour tout k ∈ {1, · · · ,K − 1} :
φ′k+1 − φ′kφ′k+1 + φ
′k> ∆ψ.
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Erreur d’approximation
Théorème (TOC , ordre 1[Daubechies et al., 2011])
Soit un mode h(t) = A(t)e2iπφ(t) vérifiant A ∈ C1(R)⋂
L∞(R), φ ∈ C2(R). On supposequ’il existe ε > 0 tel que pour tout t, A(t) > 0, φ′(t) > 0, |A′(t)| ≤ εφ′(t),|φ′′(t)| ≤ εφ′(t) et |φ′′(t)| ≤ M. Alors en tout point (a, t),
|Wh(a, t)− h(t)ψ̂(aφ′(t))∗| ≤ C ′1(a, t)ε, (7)
C ′1(a, t) = φ′(t)aJ1 + (M + 2πA(t)φ′(t)) a2
2 J2 + πA(t)Ma33 J3 et Jn =
∫R |x |
n|ψ(x)| dx.
Théorème (TFCT, ordre 1)
Soit un mode h(t) = A(t)e2iπφ(t) vérifiant A ∈ C1(R)⋂
L∞(R), φ ∈ C2(R). On supposequ’il existe ε > 0 tel que pour tout t, A(t) > 0, φ′(t) > 0, |A′(t)| ≤ ε, |φ′′(t)| ≤ ε. Alorsen tout point (η, t),
|Vh(η, t)− h(t)ĝ(η − φ′(t))| ≤ εC1(t), (8)
où la constante vaut C1(t) = I1 + πA(t)I2 avec In =∫R |u|
n|g(u)| du.
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Qualité de la reconstruction au premier ordre
Corollaire
On se place dans le cadre du Théorème 4.2. On suppose de plus que supp ĝ ⊂ [−∆,∆].Alors pour tout t, ∣∣∣∣∣h(t)− 1g(0)
∫ φ′(t)+∆φ′(t)−∆
Vh(η, t) dη
∣∣∣∣∣ ≤ C2(t)ε, (9)avec C2(t) = 2∆g(0)C1(t).
Démonstration.Idée de la preuve :∣∣∣∣∣h(t)− 1g(0)
∫ φ′(t)+∆φ′(t)−∆
Vh(η, t) dη
∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣h(t)− h(t)g(0)
∫ ∆−∆
ĝ(η) dη∣∣∣∣ + 1g(0)
∫ φ′(t)+∆φ′(t)−∆
|Vh(η, t)− h(t)ĝ(η − φ′(t))| dη
Même chose pour la TOC.T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 20 / 50
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Problème de la modulation fréquentielle
Illustration dans le cas de la TFCT :
t
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
faible modulationt
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
forte modulation
150 200 250 300 3500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
η
|Vh|
|V
h|
partie intégrée
coupe à t = 0.5
150 200 250 300 3500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
η
|Vh|
|V
h|
partie intégrée
coupe à t = 0.5
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 21 / 50
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Approximation à l’ordre 2
Théorème (TOC, ordre 2)
On se place dans les hypothèses du théorème précédent, sauf que l’hypothèse|φ′′(t)| ≤ εφ′(t), |φ′′(t)| ≤ M est remplacée par |φ′′′(t)| ≤ εφ′(t), |φ′′′(t)| ≤ M. Onsuppose de plus que |ψ| est une fonction paire. Alors pour tout t,
|Wh(a, t)− h(t)ψ̂ca,t(aφ′(t))∗| ≤ K ′1(a, t)ε, (10)
avec K ′1(a, t) = φ′(t)aJ1 +( 16M + πA(t)φ
′(t))a3J3 + 16πA(t)Ma
5J5 etca,t(τ) = e−iπφ
′′(t)a2τ2 .
Théorème (TFCT, ordre 2)
On se place dans les hypothèses du théorème précédent, avec φ ∈ C3(R), et enremplaçant |φ′′(t)| ≤ ε par |φ′′′(t)| ≤ ε. Alors en tout point (η, t),
|Vh(η, t)− h(t)ĝct(η − φ′(t))| ≤ εK1(t), avec ct(τ) = e iπφ′′(t)τ2 , (11)
la constante valant K1(t) = I1 + πA(t)3 I3.
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Cas de fonctions analysantes gaussiennes [Oberlin et al., 2013a]
La fenêtre Gaussienne dépendant d’un paramètre σ
g(x) = σ−12 e−π
x2σ2 et ĝ(ν) = σ
12 e−πσ
2ν2 .
Ondelette de Morlet complexe
ψ(x) = σ−12 e−π
x2σ2 e2iπt et ψ̂(ν) = σ
12 e−πσ
2(1−ν)2 .
Proposition (Approximation d’un mode à l’ordre 2)
|Vh(η, t)| ≈ |h(t)|σ12 (1 + σ4φ′′(t)2)−
14 e−
πσ2(η−φ′(t))2
1+σ4φ′′(t)2 (12)
|Wh(a, t)| ≈ |h(t)|σ12 (1 + σ4a2φ′′(t)2)−
14 e−
πσ2(1−aφ′(t))2
1+σ4a2φ′′(t)2 . (13)
Mise en oeuvre de la reconstruction
Fenêtre gaussienne, support non compact :besoin d’un paramètre γ.
0
1
γ
2∆
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 23 / 50
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Comparaison des méthodes
Comparaison générale
Une famille de signaux-tests :
hc (t) = e−10π(t−0.5)2e2iπ(250t+
500π2
c sin(πt))
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
5
10
15
20
25
parametre c
SN
R (
dB
)
RR1
IR1
RR2
IR2
Sensibilité à l’estimation du ridgeQualité de la reconstruction du signal test h0.7 en fonction du niveau de bruit :
0 10 20 30 40 50 60 70
20
40
60
80
100
SNR d’entrée (dB)
SN
R d
e s
ort
ie (
dB
)
RR2
IR2 γ=0.1
IR2 γ=0.01
IR2 γ=0.001
vrais φ′ et φ′′0 10 20 30 40 50 60 70
20
40
60
80
100
SNR d’entrée (dB)
SN
R d
e s
ort
ie (
dB
)
RR2
IR2 γ=0.1
IR2 γ=0.01
IR2 γ=0.001
φ′ et φ′′ biaisés
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 24 / 50
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Application au débruitage [Oberlin et al., 2013b]
TFCT
t
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
0 100 200 300 400 500 6000
0.02
0.04
0.06
0.08
η
|Vh|
|V
h|
intervalle d’intégration
niveau moyen de bruit
TOC
t
1/a
0 0.2 0.4 0.6 0.81
4.75683
22.6274
107.635
512
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 00
0.5
1
1.5
log(a)
|Wh|
|V
h|
intervalle d’intégration
niveau moyen de bruit
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 25 / 50
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Résultats sur deux signaux synthétiques
Deux signaux synthétiques(sans bruit)
Résultats de débruitage exprimés enSNR (bruit blanc gaussien)
t
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
−5 0 5 10 15 20 25 30 35 400
10
20
30
40
50
60
SNR d’entree (dB)
SN
R d
e s
ort
ie (
dB
)
TFCT1
TFCT2
BT
t
1/a
(lo
g)
0 0.2 0.4 0.6 0.81
8
64
512
−5 0 5 10 15 20 25 30 35 400
10
20
30
40
50
60
SNR d’entree (dB)
SN
R d
e s
ort
ie (
dB
)
TOC1
TOC2
BT
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 26 / 50
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Plan
1 Introduction
2 Décomposition Modale Empirique
3 Ridges temps-fréquence et temps-échelle
4 Synchrosqueezing et réallocationRéallocation et SynchrosqueezingRésultat d’approximationSynchrosqueezing du second ordreRésultats numériques
5 Synchrosqueezing monogène
6 Conclusion
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-
Représentations TF idéales et réallocation
Signal multicomposantes :
s(t) =K∑
k=1
sk (t) =∑
k
Ak (t)e2iπφk (t)
Représentation TF idéale :
TIs (η, t) =K∑
k=1
Ak (t)2δ(η − φ′k (t)),
Représentation TF idéale inversible :
TIRs (η, t) =K∑
k=1
sk (t)δ(η − φ′k (t)),
t
η
spectrogramme
t
η
champ de réallocation
t
η
spectrogramme réalloué
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Réallocation vs Synchrosqueezing
Opérateurs de réallocation :
Fréquence instantanée locale : ω̂s(η, t) = 12π∂t argVs(η, t) = η −Re{
12iπ
V g′
s (η,t)V gs (η,t)
}Retard de groupe local : τ̂s(η, t) = t − 12π∂η argVs(η, t) = t +Re
{V xgs (η,t)V gs (η,t)
}Définition (Réallocation [Kodera et al., 1976, Auger and Flandrin, 1995])La réallocation est obtenue par la transformation (η, t) 7→ (ω̂s(η, t), τ̂s(η, t)) :
Ss(ω, τ) =∫R2|Vs(η, t)|2δ(ω − ω̂s(η, t))δ(τ − τ̂s(η, t)) dηdt. (14)
Définition (Synchrosqueezing [Daubechies and Maes, 1996])Le synchrosqueezing (SST) est obtenu par (η, t) 7→ (ω̂(η, t), t) :
Ts(ω, t) =1
g(0)
∫RVs(η, t)δ (ω − ω̂s(η, t)) dη. (15)
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Illustration
t
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
t
1/a
(lo
g)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
22.3837
106.475
506.485
spectrogramme/scalogramme SST Réallocation
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Un résultat d’approximationCas de la TFCT
Définition (Définition rigoureuse du SST)Soit ρ ∈ D(R) telle que
∫ρ = 1, γ, δ > 0 et s un signal multicomposantes
Tδ,γs (ω, t) =1
g(0)
∫|Vs (η,t)|>γ
Vs (η, t)1δρ
(ω − ω̂s (η, t)
δ
)dη.
ThéorèmeSoit s ∈ B∆,ε, et ν ∈ (0, 12 ). Soit une fenêtre g ∈ S(R) telle que supp ĝ ∈ [−∆,∆], etune fonction ρ ∈ D(R) telle que
∫ρ = 1. Alors, si ε est suffisamment petit,
|Vs(η, t)| > εν ⇒ ∃k ∈ {1 · · · ,K} t.q. (η, t) ∈ Zk := {(η, t) / |η − φ′k (t)| < ∆}.Pour tout k ∈ {1 · · · ,K} et toute paire (η, t) ∈ Zk telle que |Vs(η, t)| > εν , on a
|ω̂s(η, t)− φ′k (t)| ≤ εν .
Pour tout k ∈ {1 · · · ,K} il existe une constante C telle que pour tout t ∈ R,∣∣∣∣∣ limδ→0(∫|ω−φ′k (t)|
-
Synchrosqueezing et modulation fréquentielle
Réallocation vs Synchrosqueezing :
Réallocation SynchrosqueezingGestion des fortes modulations (≈ e iαx
2) X
Reconstruction possible X
Objectif : construire un SST au second ordreI adapté aux chirps linéairesI permettant la reconstruction des modes
État de l’art :I [Gardner and Magnasco, 2006] : réallocation et reconstruction, mais la formule de
reconstruction est peu préciseI [Li and Liang, 2012, Wang et al., 2013] : contournent le problème (démodulent
chaque mode après une estimation grossière des ridges)
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Un prérequis : estimer localement la modulation
Définition
Soit s ∈ L2(R). Son opérateur de modulation est défini en tout point (η, t) où Vs est nonnulle et où ∂t τ̂s(η, t) 6= 0 par :
q̂s(η, t) =∂t ω̂s(η, t)∂t τ̂s(η, t)
. (16)
Proposition
Si h(t) = Ae2iπφ(t) où φ une fonction polynomiale de degré 2, avec φ′′(t) = φ′′ 6= 0, on aen tout point (η, t) où Vh est non nulle et où ∂t τ̂h(η, t) 6= 0,
q̂h(η, t) = φ′′. (17)
De plus, on peut calculer q̂h(η, t) en ces points grâce à la formule suivante :
q̂h = Re
{12iπ
V g′′
h Vgh − (V
g′h )
2
V xgh Vg′h − V
xg′h V
gh
}, (18)
où V g′′
h et Vxg′h désignent la TFCT de h utilisant respectivement les fenêtres g
′′(x) etx 7→ xg ′(x).
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Synchrosqueezing oblique
Principe :utilisation les opérateurs deréallocation standardadaptation de la formule dereconstruction en intégrant surIτ , ensemble de coefficientsdéplacés
t
η
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8100
150
200
250
300
350
400 ridge
I’τ
Iτ
(η+φ’’(τ−t),t)
(η,t)
(ω,τ)
Définition
Soit s ∈ L2(R), son synchrosqueezing oblique de Fourier (OSST) est la transformée
T δ,ρs (ω, τ) =1
g(0)
∫∫R2
Vs(η, t)e iπ(2ω̂s (η,t)−q̂s (η,t)(τ̂s (η,t)−t))(τ̂s (η,t)−t)
1δ2ρ
(ω − ω̂s(η, t)
δ
)ρ
(τ − τ̂s(η, t)
δ
)dηdt.
(19)
Difficulté : régularisation pour gérer les perturbations
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Synchrosqueezing vertical d’ordre 2 [Auger et al., 2013]
Définition (Fréquence instantanée d’ordre 2)
Soit un signal s ∈ L2(R), on définit sa fréquence instantanée locale d’ordre 2 par
ω̃s(η, t) = ω̂s(η, t)− q̂s(η, t)(τ̂s(η, t)− t)
DéfinitionSST vertical d’ordre 2 Le SST vertical d’ordre 2 est le SST obtenu en remplaçant ω̂ parω̃.
Difficultés pour établir un résultat d’approximation équivalent :l’opérateur q̂ approche φ′′ pour une perturbation de chirp linéaireadapter la condition de séparation fréquentielle
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Résultats numériques
t
η
0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
500
TFCT SST
OSST VSSTT. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 36 / 50
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Parcimonie des transformées
t
η
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
nombre de coefficients / N
am
plit
ude n
orm
alis
ée
spectrogramme
réallocation
SST
SST oblique
SST vertical
t
η
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
nombre de coefficients / N
am
plit
ude n
orm
alis
ée
spectrogramme
réallocation
SST
SST oblique
SST vertical
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Reconstruction des modes
reconstruction sur le ridge
sk (t) ≈ Ts(φ′k (t), t).
Résultats de la reconstruction directe (SNR en dB) :
SST OSST VSSTchirps polynomiaux 8 30 27chirps sinusoidaux 4 11 10
reconstruction régularisée (théorème), utilisant un paramètre d :
sk (t) ≈∫ φ′k (t)+dφ′k (t)−d
Ts(ω, t) dω.
0 5 10 150
50
100
150
200
paramètre d
SN
R d
e s
ort
ie (
dB
)
SST standard
VSST d’ordre 2
chirps polynomiaux
0 5 10 150
20
40
60
80
100
paramètre d
SN
R d
e s
ort
ie (
dB
)
SST standard
VSST d’ordre 2
chirps sinusoidauxT. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 38 / 50
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Plan
1 Introduction
2 Décomposition Modale Empirique
3 Ridges temps-fréquence et temps-échelle
4 Synchrosqueezing et réallocation
5 Synchrosqueezing monogènePosition du problèmeSignal monogèneSynchrosqueezing monogèneIllustrations
6 Conclusion
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Signaux multicomposantes en dimension supérieure
Somme d’ondes modulées en amplitude, fréquence et orientation
F (x) =∑
k
Fk (x) =∑
k
A(x) cos(ϕk (x))
I Hypothèses de faibles variations (cohérence locale)I Amplitudes Ak , fréquences |∇ϕk | et orientations ∇ϕk|∇ϕk | instantanées
Deux problèmes : séparation et démodulation
Synchrosqueezing monogène :I Extension du synchrosqueezing à la dimension 2I Dans le cadre du signal monogène [Felsberg and Sommer, 2001]I Théorème d’approximation analogue à la dimension 1
Applications : fronts d’ondes (interférences en optiques, etc), textures localementparallèles, “images orientées”...
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Signal monogène
Définition (Transformée de Riesz)
Soit f une image de ∈ L2(R2). Sa transformée de Riesz est la fonctionRf =
(R1f ,R2f
)T , où chaque composante Rl f , i = 1, 2 est définie parR̂l f (ξ) = −i ξl|ξ| f̂ (ξ).
Définition (Signal monogène)
Le signal monogène associé à f ∈ L2(R2) est défini parMf =(
fRf
).
Les angles d’Euler associés àMf définissent de manière unique amplitude, phase etorientation instantanées.Extension de l’exponentielle complexe : en notantMf = f +R1f i +R2f j,
Mf = A eϕnθ = A (cosϕ+ nθ sinϕ) avec nθ = cos θ i + sin θ j
Exemple : Onde plane f (x) = A0 cos(k · x) avec k = (k1, k2) et k1 > 0.
En notant θ0 = arctan( k2
k1
)et ϕ(x) = k · x , on obtientMf (x) =
( A0 cosϕ(x)A0 sinϕ(x) cos θ0A0 sinϕ(x) sin θ0
).
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Illustration
Image f Amplitude
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fréquence instantanée scalaire
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Orientation
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Synchrosqueezing monogène
Transformée en ondelettes monogène (TOM) WFI Transformée en ondelettes du signal monogèneI Étudiée dans [Unser et al., 2009, Olhede and Metikas, 2009]I Ondelette isotrope et orientation locale
Extension du Synchrosqueezing dans le cadre monogène (MSST)I Opérateurs de réallocation
Λ1(a, b) = ∂b1WF (a, b)× (WF (a, b))−1 , (20)
Λ2(a, b) = ∂b2WF (a, b)× (WF (a, b))−1 .
I Définition du MSST : réallocation de la TOM
Sδ,νF,ε (b, k, n) =
∫Aε,F (b)
WF (a, b)1δ2ρ
(k1 − Re(n Λ1(a, b))
δ
)ρ
(k2 − Re(n Λ2(a, b))
δ
)daa2
I Extension du théorème d’approximation à des modes monogènes
F (x) =L∑`=1
F`(x) ,
où les F`(x) = A`(x) eϕ`(x)nθ`(x) vérifient des conditions de variations lentes etde séparation fréquentielle.
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Un premier exemple
x
y
xy
x
y
x
y
Une image synthétique à 3 composantes
1
2
4
8
16
xy
1/a
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
1/a
y16
8
4
2
1
16
32
64
128
yx
fré
qu
en
ce
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
fré
qu
en
ce
y8
16
32
64
128
Ondelettes SynchrosqueezingReprésentation volumique de l’amplitude et coupe 2D pour x = 0.5.
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Sur des images réelles
x
y
x
y
x
y
x
y
0
100
200
300
0
100
200
3001
2
4
8
16
32
64
128
256
xy
Fre
qu
en
cy f
100
200
300
400
500
600
x
y
0
100
200
300
0
100
200
3001
2
4
8
16
32
64
128
256
xy
Fre
qu
en
cy f
100
200
300
400
500
600
700
BilanExtension naturelle du SSTConcentration de la représentation espace-échelleApproches alternatives :
I Analyse de ridges en dimension 2 [Gonnet and Torresani, 1994]I Analyse des “fréquences émergentes” [Bovik et al., 1992]
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Conclusion : vers un cadre mathématique plus étayé ?
Décomposition modale empiriqueI Méthode difficile à modéliser, à analyser mathématiquementI Des alternatives mieux formulées sont possibles
Bilan : plus de formalisme mathématique, mais pas de garanties sur ladécomposition entière. Compromis entre formalisme mathématique et résultatsnumériques.
Autour du synchrosqueezingI Nouvelles avancées théoriques (reconstruction integrale, SST pour la TFCT, extensions
au second ordre, à la dimension deux)I Comparaisons avec l’état de l’art (liens entre analyse de ridges, synchrosqueezing,
réallocation)I Application (débruitage)
Bilan : mise en perspective du synchrosqueezing, extension des résultats théoriques.
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Perspectives
Développements théoriquesI Théorème d’approximation pour le VSST et le OSSTI Meilleure compréhension du synchrosqueezing monogèneI Résultats d’estimation pour le synchrosqueezing, la réallocationI Gérer des ondes non harmoniques
Développements applicatifsI Test des nouvelles méthodes sur des applications réellesI Besoin de détecteurs de ridges efficacesI Nécessité de comparer plus intensivement
Développements logicielsI Monogenic SynchroSqueezing Toolbox : développement et diffusionI Codes efficaces pour l’estimation de ridges
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RéférencesAuger, F. and Flandrin, P. (1995).Improving the readability of time-frequency and time-scale representations by the reassignment method.43(5) :1068–1089.
Bovik, A. C., Gopal, N., Emmoth, T., and Restrepo, A. (1992).Localized measurement of emergent image frequencies by gabor wavelets.Information Theory, IEEE Transactions on, 38(2) :691–712.
Daubechies, I., Lu, J., and Wu, H.-T. (2011).Synchrosqueezed wavelet transforms : an empirical mode decomposition-like tool.Applied and computational harmonic analysis, 30(2) :243–261.
Daubechies, I. and Maes, S. (1996).A nonlinear squeezing of the continuous wavelet transform based on auditory nerve models.Wavelets in Medicine and Biology, pages 527–546.
Delprat, N., Escudié, B., Guillemain, P., Kronland-Martinet, R., Tchamitchian, P., and Torrésani, B. (1992).Asymptotic wavelet and Gabor analysis : Extraction of instantaneous frequencies.Information Theory, IEEE Transactions on, 38(2) :644–664.
Felsberg, M. and Sommer, G. (2001).The monogenic signal.49(12) :3136–3144.
Gardner, T. J. and Magnasco, M. O. (2006).Sparse time-frequency representations.Proceedings of the National Academy of Sciences, 103(16) :6094–6099.
Gonnet, C. and Torresani, B. (1994).Local frequency analysis with two-dimensional wavelet transform.Signal Processing, 37(3) :389–404.
Huang, N., Shen, Z., Long, S., Wu, M., Shih, H., Zheng, Q., Yen, N., Tung, C., and Liu, H. (1998).The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis.Proceedings of the Royal Society : Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 454(1971) :903–995.
Kodera, K., De Villedary, C., and Gendrin, R. (1976).A new method for the numerical analysis of non-stationary signals.Physics of the Earth and Planetary Interiors, 12(2) :142–150.
Li, C. and Liang, M. (2012).Time–frequency signal analysis for gearbox fault diagnosis using a generalized synchrosqueezing transform.Mechanical Systems and Signal Processing, 26 :205–217.
Olhede, S. and Metikas, G. (2009).The monogenic wavelet transform.Signal Processing, IEEE Transactions on, 57(9) :3426–3441.
Rilling, G. and Flandrin, P. (2008).One or two frequencies ? the empirical mode decomposition answers.Signal Processing, IEEE Transactions on, 56(1) :85–95.
Unser, M., Sage, D., and Van De Ville, D. (2009).Multiresolution monogenic signal analysis using the riesz–laplace wavelet transform.Image Processing, IEEE Transactions on, 18(11) :2402–2418.
Wang, S., Chen, X., Cai, G., Chen, B., Li, X., and He, Z. (2013).Matching demodulation transform and synchrosqueezing in time-frequency analysis.
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Bibliographie personnelle
Auger, F., Chassande-Mottin, E., Lin, Y., Flandrin, P., McLaughlin, S., Meignen, S., Oberlin, T., and Wu, H.-T. (2013).Time-frequency reassignment and synchrosqueezing.IEEE Signal Processing Magazine.
Meignen, S., Oberlin, T., and McLaughlin, S. (2012).A new algorithm for multicomponent signals analysis based on synchrosqueezing : with an application to signal sampling anddenoising.IEEE Transactions on Signal Processing, 60(11) :5787 –5798.
Oberlin, T., Meignen, S., and McLaughlin, S. (2013a).Analysis of strongly modulated multicomponent signals with the short-time fourier transform.In ICASSP’13.
Oberlin, T., Meignen, S., and McLaughlin, S. (2013b).A novel Time-Frequency technique for multicomponent signal denoising.In EUSIPCO’13".
Oberlin, T., Meignen, S., and Perrier, V. (2012a).An alternative formulation for the empirical mode decomposition.IEEE Transactions on Signal Processing, 60(5) :2236–2246.
Oberlin, T., Meignen, S., and Perrier, V. (2012b).On the mode synthesis in the synchrosqueezing method.In EUSIPCO’12.
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Merci de votre attention
T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 50 / 50
IntroductionDécomposition Modale EmpiriqueMotivation, définitionsProblèmes théoriques et pratiquesContributions
Ridges temps-fréquence et temps-échelleDéfinitionsÉtat de l'artReconstruction par intégration localePrise en compte de la modulation fréquentielleApplication au débruitage
Synchrosqueezing et réallocationRéallocation et SynchrosqueezingRésultat d'approximationSynchrosqueezing du second ordreRésultats numériques
Synchrosqueezing monogènePosition du problèmeSignal monogèneSynchrosqueezing monogèneIllustrations
Conclusion