Analyse numérique

Jaouad DABOUNOUDépartement de Mathématiques et Informatique

Interpolation polynomiale

Année universitaire 2014/2015

Université Hassan PremierFaculté des Sciences et Techniques

Settat

Interpolation polynomiale

• Introduction• Interpolation polynomiale

• Le polynôme de Lagrange

• Le polynôme de Newton

• Algorithme de Neville

• Interpolation par une fonction spline• Fonctions splines quadratiques

• Fonctions splines cubiques

Introduction

Supposons que nous connaissons les valeurs d'une fonction en un nombre

de points x0, x1, ... , xn, mais que nous n'avons pas l'expression

analytique de f.

Pour estimer la valeur de f en un point quelconque x R, on peut

construire un polynôme P tel que P(xi) = f(xi) pour i=0,1,...,n et

utiliser l'approximation P(x) f(x).

C'est ce qu'on appelle interpolation polynomiale.

Polynôme d’interpolation de Lagrange

Théorème: Etant donnés n+1 points x0, x1, ... , xn, distincts et n+1 réels y0,

y1, ... , yn, , il existe un polynôme PPn(R) et un seul tel que

P(xi) = yi ; i=0,1, ... ,n

)()(0

xLyxPn

iii

Reque:

Les Li vérifient les propriétés suivantes:

Li(xi) = 1

Li(xj) = 0 si i j

Démonstration : Existence

Démonstration :Démonstration : Unicité

si on a deux polynômes P et Q ayant pour les n+1 points (xi , yi)

P(xi) = Q(xi) = yi alors soit R = P – Q, on a :

R(xi) = 0 pour les n+1 nombres distincts xi, i=0,n; or R, comme P et Q est de

degré au maximum égal à n. On en déduit que R = 0.

Interpolation polynomiale

Exemple: On considère le tableau des xi et yi:

i 0 1 2 3 4xi -2 -1 0 1 2yi 7,216 7,07 5,246 3,05 2,629

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 22.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Points d’interpolation

Interpolation polynomiale

Exemple: Le polynôme d'interpolation de Lagrange en ces xi et yi est

P(x) = 0.0348 x4 + 0.2879 x3 - 0.22 x2 - 2.298 x + 5.246

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 22

3

4

5

6

7

8

Interpolation polynomiale Exemple: On considère la fonction

On peut remarquer que P(xi)= f(xi) pour i=0,4

Interpolation polynomiale Définition : Soit f une fonction définie aux points xi, supposés deux à deux distincts. On définit les différences divisées par récurrence comme suit :

Interpolation polynomiale Définition : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction

On considère les points xi = 1, et 2. Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :

xxf 1)(

35,

34

Interpolation polynomiale Proposition :

Démonstration : Par récurrence.

Interpolation polynomiale Théorème: (Formule de Newton)Le polynôme d'interpolation de f aux points x0, x1, …, xn s'exprime dans la base de Newton comme:

Démonstration : Par récurrence.

Calcul de l'erreur

Soit f:[a , b] R une fonction donnée, on construit le polynôme P(x) qui

interpole les valeurs de f aux points x0, x1, ... , xn (xi [a , b]), ce qui conduit à yi

= f(xi) pour i = 1, 2, ..., n.

Soit e(x) l'erreur d'interpolation :

e(x) = f(x) - P(x)

Posons Int(x, x0 , x1, ... xn) le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ... xn

et la fonction

(x) = (x – x0) (x – x1)..... (x - xn)

Théorème 1.2. Quelque soit x[a , b], il existe Int(x, x0 , x1, ... xn) tel que

Algorithme de Neville

Soit P0 l'unique polynôme de degré 0 qui passe par le point (x0,y0). De la même

manière, on construit les polynômes P1, P2, ... Pn.

Soit P01 l'unique polynôme de degré 1 passant par les points (x0,y0) et (x1 , y1).

On définit aussi les polynômes P12, P23, ... P(n-1)n. De proche en proche on arrive

au polynôme de plus grand degré P01...n qui coïncide avec l'unique polynôme

d'interpolation P.

Algorithme de Neville

L'algorithme de Neville permet de construire par récurrence les polynômes

Pi(i+1)...(i+m). Soit