m33 analyse numérique

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    M33

    Analyse numrique

    Recueil dexercices corrigs et aide-mmoire.

    Gloria Faccanoni

    i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html

    Anne 2013 2014

    Dernire mise--jourJeudi 5 juin 2014

  • Ce fascicule est un support au cours danalyse numrique en deuxime anne dune Licence de Mathmatiques. Ilaborde : la recherche de racines dune fonction relle de variable relle, linterpolation polynomiale, lintgration num-riques, lintgration dquations diffrentielles et la rsolution de systmes linaires. Les applications se font avec le lan-gage Python dont la documentation et les sources peuvent tre tlcharges ladresse http://www.python.org. Lesnotions supposes connues correspondent au programme des cours de Mathmatiques (Analyse mathmatique des fonc-tions relles dune variable relle et Algbre Linaire) et Informatiques (Initiation lalgorithmique et au langage Python)de la premire anne de Licence.

    Lobjet de ce aide-mmoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres,parfois trs fournis, existent. Ici on a cherch, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des tudiants la premire anne et des exigences pour la suite du cursus, dgager les points cls permettant de structurer le travailpersonnel de ltudiant voire de faciliter la lecture dautres ouvrages. Ce polycopie ne dispense pas des sances de courset de TD ni de prendre des notes complmentaires. Il est dailleurs important de comprendre et apprendre le cours au furet mesure. Ce polycopi est l pour viter un travail de copie qui empche parfois de se concentrer sur les explicationsdonnes oralement mais ce nest pas un livre auto-suffisant (il est loin dtre exhaustif ) ! De plus, ne vous tonnez pas sivous dcouvrez des erreurs (merci de me les communiquer).

    On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigs. Ceux-ci, de difficult varie, rpondent une double ncessite.Il est important de jongler avec les diffrents concepts introduits en cours et mme de faire certaines erreurs une foispour bien identifier les piges. Les exercices permettent dorienter les raisonnements vers dautres domaines (physique,conomie, etc.), cela afin dexhiber lintrt et lomniprsence de lanalyse numrique au sens large (modlisation, analysemathmatique, discrtisation, rsolution numrique et interprtation des rsultats). Cependant, veuillez noter que vousnobtiendrez pas grande chose si vous vous limitez choisir un exercice, y rflchir une minute et aller vite voir le dbut dela correction en passant tout le temps essayer de comprendre la correction qui va paraitre incomprhensible. Pour quela mthode dtude soit vraiment efficace, il faut dabord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il fautavoir un papier brouillon cot de soi et un crayon. La premire tape consiste alors traduire lnonc (pas le recopier),en particulier sil est constitu de beaucoup de jargon mathmatique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothsesde la conclusion souhaite, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothses pour appliquer un thormedont on aura vrifier que les hypothses sont bien satisfaites. Cest ici que lintuition joue un grand rle et il ne faut pashsiter remplir des pages pour sapercevoir que lide quon a eu nest pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dansune autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rdiger soigneusement en sinterrogeant chaquepas sur la validit (logique, mathmatique) de ce quon a crit. Si ltape prcdente ne donne rien, il faut chercher de laide(voir le dbut de la correction, en parler un autre tudiant, etc.).

    Gloria FACCANONI

    IMATH Btiment U-318 T 0033 (0)4 94 14 23 81Universit du Sud Toulon-VarAvenue de luniversit B [email protected] LA GARDE - FRANCE i http://faccanoni.univ-tln.fr

    2

  • Table des matires

    Notations 5

    Introduction au calcul scientifique 7

    1. Rsolution dquations non linaires 111.1. tape : localisation des zros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. tape : construction dune suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.1. Mthodes de dichotomie (ou bissection), de LAGRANGE (ou Regula falsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Mthodes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2. Interpolation 612.1. Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.1.1. Mthode directe (ou nave) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.2. Mthode de LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.3. Stabilit de linterpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.4. Mthode de NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    2.2. Polynme dHERMITE ou polynme osculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3. Splines : interpolation par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    2.3.1. Interpolation linaire composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3. Quadrature 933.1. Principes gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2. Exemples de formules de quadrature interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3. Approximation de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    4. quations diffrentielles ordinaires 1294.1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    4.1.1. Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1.2. Condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1.3. Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.1.4. Thorme dexistence et unicit, intervalle de vie et solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    4.2. Schmas numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.2.1. Schmas numriques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.2.2. Schmas numriques dADAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.2.3. Schmas multi-pas de type predictor-corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    4.3. Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.4. Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    4.4.1. A-Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    5. Systmes linaires 1635.1. Systmes mal conditionns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2. Mthode (directe) dlimination de GAUSS et factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3. Mthodes itratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

    A. Python : guide de survie pour les TP 189A.1. Obtenir Python et son diteur IDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    A.1.1. Utilisation de base dIDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.2. Notions de base de Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.3. Fonctions et Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    A.3.1. Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.3.2. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    A.4. Structure conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.5. Boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    3

  • NotationsEnsembles usuels en mathmatiques

    On dsigne gnralement les ensemble les plus usuels par une lettre double barre :

    N lensemble des entiers naturels

    N lensemble des entiers strictement positifsZ lensemble des entiers relatifs (positifs, ngatifs ou nuls)

    Z lensemble des entiers 6= 0Q lensemble des nombres rationnels

    (pq , p Z, q Z

    )R lensemble des rels

    R lensemble des rels autres que 0C lensemble des nombres complexes

    Rn[x] lespace vectoriel des polynmes en x de degr infrieur ou gal n

    IntervallesIngalit Notation ensembli

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